空間點(diǎn)線面位置關(guān)系

§8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2019課標(biāo)全國Ⅲ,8,5分)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平

面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則

()

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案

B本題考查了兩直線的位置關(guān)系,通過面面垂直考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力,體現(xiàn)的核心素養(yǎng)為直觀想象.過E作EQ⊥CD于Q,連接BD,QN,BE,易知點(diǎn)N在BD上,∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,∴EQ⊥平面ABCD,∴EQ⊥QN,同理可知BC⊥CE,設(shè)CD=2,則EN=

=

=2,BE=

=

=2

,又在正方形ABCD中,BD=

=2

=BE,∴△EBD是等腰三角形,故在等腰△EBD中,M為DE的中點(diǎn),∴BM=

=

=

,∴BM=

>2=EN,即BM≠EN.又∵點(diǎn)M、N、B、E均在平面BED內(nèi),∴BM,EN在平面BED內(nèi),又BM與EN不平行,∴BM,EN是相交直線,故選B.疑難突破過點(diǎn)E作CD的垂線,構(gòu)造直角三角形是求BM的關(guān)鍵,也是解本題的突破口.2.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,9,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD

所成角的正切值為

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查異面直線所成的角.因?yàn)镃D∥AB,所以∠BAE(或其補(bǔ)角)即為異面直線AE與CD所成的角.設(shè)正方體的棱長為2,則BE=

.因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C,所以AB⊥BE.在Rt△ABE中,tan∠BAE=

=

.故選C.

解題關(guān)鍵找到異面直線所成的角是求解關(guān)鍵.3.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面

ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為

()A.

B.

C.

D.

答案

A設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)成棱長為2a的正方

體,如圖所示.正六邊形EFGPQR所在的平面即為平面α.點(diǎn)A為這個大正方體的中心,直線GR為

m,直線EP為n.顯然m與n所成的角為60°.所以m,n所成角的正弦值為

.故選A.

思路分析將原正方體向前、向左、向上拓展為一個棱長為2a的大正方體,則直線m,n均可以

在新正方體中找到,所成角也就找出來了.評析本題考查了直線與平面的平行和平面與平面的平行的判定和性質(zhì),考查了空間想象能力.4.(2015課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,

D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.

(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:

(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=

=6,AH=10,HB=6.因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為

.思路分析(1)由于AE=

=

<10,EB>10,知H不在AA1或BB1上,分別在AB,CD上取點(diǎn)H,G,使AH=DG=10,連接EH、FG,則四邊形EFGH即為所求.(2)作EM⊥AB于M點(diǎn),易得MH=

=6,則AH=10.所求兩個幾何體的體積之比即為兩等高梯形的面積之比.考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則

()A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n答案

C∵α∩β=l,∴l(xiāng)?β,∵n⊥β,∴n⊥l.故選C.思路分析利用直線與平面垂直的性質(zhì)及平面交線的性質(zhì),判斷C正確.2.(2016山東,6,5分)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平

面α和平面β相交”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

A因?yàn)橹本€a和直線b相交,所以直線a與直線b有一個公共點(diǎn),而直線a,b分別在平面α,β

內(nèi),所以平面α與β必有公共點(diǎn),從而平面α與β相交;反之,若平面α與β相交,則直線a與直線b可能

相交、平行、異面.故選A.解題思路根據(jù)兩平面相交的定義證明充分性.評析本題考查了線面的位置關(guān)系和充要條件的判斷.3.(2015廣東,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,

則下列命題正確的是

()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案

D解法一:如圖1,l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖2,l1與l2是異

面直線,l1,l2都與l相交,故C不正確,選D.

解法二:因?yàn)閘分別與l1,l2共面,故l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l與l1,l2都

不相交,則l∥l1,l∥l2,從而l1∥l2,與l1,l2是異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交,選D.4.(2015浙江,4,5分)設(shè)α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β

()A.若l⊥β,則α⊥β

B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β

D.若α∥β,則l∥m答案

A對于選項(xiàng)A,由面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,若α⊥β,l?α,m?β,

則l與m可能平行,可能相交,也可能異面,所以選項(xiàng)B錯誤;對于選項(xiàng)C,當(dāng)l平行于α與β的交線時,l

∥β,但此時α與β相交,所以選項(xiàng)C錯誤;對于選項(xiàng)D,若α∥β,則l與m可能平行,也可能異面,所以選

項(xiàng)D錯誤.故選A.考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系C組

教師專用題組1.(2014遼寧,4,5分)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面.下列說法正確的是

()A.若m∥α,n∥α,則m∥n

B.若m⊥α,n?α,則m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,則n∥α

D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α答案

B若m∥α,n∥α,則m與n可能平行、相交或異面,故A錯誤;B正確;若m⊥α,m⊥n,則n∥α

或n?α,故C錯誤;若m∥α,m⊥n,則n與α可能平行、相交或n?α,故D錯誤.因此選B.2.(2014廣東,9,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一

定正確的是

()A.l1⊥l4

B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案

D

?

?l1∥l4或l1與l4相交或l1與l4異面.故l1與l4的位置關(guān)系不確定.故答案為D.評析本題考查空間兩條直線的位置關(guān)系,考查空間想象能力及推理能力.3.(2014陜西,17,12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體

的棱AB,BD,DC,CA于點(diǎn)E,F,G,H.(1)求四面體ABCD的體積;(2)證明:四邊形EFGH是矩形.

解析(1)由該四面體的三視圖可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面體ABCD的體積V=

×

×2×2×1=

.(2)證明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵AD⊥平面BDC,BC?平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四邊形EFGH是矩形.考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2018寧夏銀川一中二模)已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn),M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),若

MN=BC=4,PA=4

,則異面直線PA與MN所成角的大小是

()A.30°

B.45°

C.60°

D.90°答案

A如圖,取AC中點(diǎn)D,連接DN,DM,

由已知條件可得DN=2

,DM=2,在△MND中,∠DNM(或其補(bǔ)角)為異面直線PA與MN所成的角,則cos∠DNM=

=

,∴∠DNM=30°,故選A.2.(2019內(nèi)蒙古集寧一中四模,7)如圖,在四面體ABCD中,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn),若CD=2AB=

4,EF⊥BA,則EF與CD所成的角為

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°答案

A取CB的中點(diǎn)G,連接EG,FG.則EG∥AB,FG∥CD,∴EF與CD所成的角為∠EFG(或其

補(bǔ)角),∵EF⊥AB,∴EF⊥EG.

EG=

AB=1,FG=

CD=2,∴在Rt△EFG中,sin∠EFG=

,∴EF與CD所成的角為30°.故選A.3.(2019遼寧遼南協(xié)作體一模,5)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則異面直線A1D與B1D1所成的角為

()

A.

B.

C.

D.

答案

C不妨設(shè)正方體的棱長為1.連接BD,BA1,

因?yàn)锽1D1∥DB,所以∠A1DB(或其補(bǔ)角)為異面直線A1D與B1D1所成的角,在△A1DB中,A1D=

,DB=

,A1B=

,所以∠A1DB=

,即異面直線A1D與B1D1所成的角為

.故選C.方法總結(jié)求異面直線所成的角,常用平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角.

作平行線時,一般是過兩條異面直線中一條上的某點(diǎn)作另一條直線的平行線.在有中點(diǎn)時,要注

意中位線的應(yīng)用.4.(2017內(nèi)蒙古包頭十校聯(lián)考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動,則異面直線

CP與BA1所成角θ的取值范圍是

()A.0<θ<

B.0<θ≤

C.0≤θ≤

D.0<θ≤

答案

D如圖,因?yàn)锳1B∥CD1,所以∠D1CP(或其補(bǔ)角)即為異面直線CP與BA1所成的角,由題

意知點(diǎn)P不能與D1重合,當(dāng)點(diǎn)P無限與D1靠近時,∠D1CP無限接近于0,當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)D1向點(diǎn)A移動

時,∠D1CP變大,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時,∠D1CP最大,為

,故∠D1CP的取值范圍是

,所以異面直線CP與BA1所成角θ的取值范圍是

,選D.

5.(2019陜西榆林一模,6)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為B1C1的

中點(diǎn),則異面直線AF與C1E所成角的余弦值為

()

A.

B.

C.

D.

答案

B不妨設(shè)正方體的棱長為1.取A1D1的中點(diǎn)G,連接AG,易知GA∥C1E,則∠FAG(或其補(bǔ)

角)為異面直線AF與C1E所成的角.連接FG,在△AFG中,AG=

=

,AF=

=

,FG=1,于是cos∠FAG=

=

,故選B.6.(2019東北三省三校一模,4)已知α,β是不重合的平面,m,n是不重合的直線,則m⊥α的一個充分

條件是

()A.m⊥n,n?α

B.m∥β,α⊥βC.n⊥α,n⊥β,m⊥β

D.α∩β=n,α⊥β,m⊥n答案

C

m⊥n,n?α,得出m與α斜交或垂直,故A不符合題意;m∥β,α⊥β,得出m與α相交或平

行,故B不符合題意;n⊥α,n⊥β,得出α∥β,又m⊥β,所以m⊥α,故C符合題意;α∩β=n,α⊥β,m⊥n,

得出m與α相交或垂直,故D不符合題意.故選C.7.(2019陜西咸陽模擬檢測(二),4)設(shè)a,b為兩條不同直線,α,β為兩個不同平面,則下列命題正確

的是

()A.若a∥α,b∥α,則a∥b

B.若a?α,b?β,α∥β,則a∥bC.若a∥α,a∥β,則α∥β

D.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,則α⊥β答案

D平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可以是平行、相交或異面,所以A項(xiàng)不正

確;分別位于兩個互相平行的平面內(nèi)的兩條直線可以是平行或異面,所以B項(xiàng)不正確;平行于同

一條直線的兩個平面可以是相交的,也可以是平行的,所以C項(xiàng)不正確;根據(jù)兩個平面的法向量

垂直時,兩個平面是垂直的,可以得出若a⊥α,b⊥β,a⊥b,則α⊥β,所以D項(xiàng)是正確的.故選D.8.(2018吉林第三次調(diào)研)已知α,β是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列命題:①若m⊥α,m?β,則α⊥β;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若m?α,n?α,且m,n是異面直線,則n與α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α且n∥β.其中正確的命題是

(只填序號).答案①④解析對于①,由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故①正確.對于②,由題意知,滿足條件的平面

α,β的位置關(guān)系為α∥β或α,β相交,故②不正確.對于③,由題意知,當(dāng)滿足條件時有n與α相交或n

∥α,故③不正確.對于④,由線面平行的判定方法可得n∥α且n∥β,故④正確.綜上可得①④正

確.9.(2017遼寧大連3月測試)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,過正方體ABCD-A1B1C1D1的

體對角線BD1的截面面積為S,則S的取值范圍是

.答案

解析如圖所示,易知當(dāng)M、N分別為AA1、CC1的中點(diǎn)時,截面MBND1的面積最小,此時,截面

MBND1為菱形,所以最小面積為

×MN×BD1=

×

×

=

;當(dāng)截面為ABC1D1時,截面面積最大,最大面積為1×

=

.∴S的取值范圍是

.

B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組(時間:25分鐘分值:40分）一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2018新疆烏魯木齊第二次質(zhì)量監(jiān)測)已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下

列命題中正確的是

()A.若α⊥β,m⊥β,則m∥αB.若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等,則α∥βC.若m⊥α,m⊥n,則n∥αD.若m∥n,n⊥α,則m⊥α答案

D對于A,若α⊥β,m⊥β,則除了m∥α,還可以m?α,故錯誤;對于B,若三點(diǎn)不在平面β的同側(cè),則α與β相交,故錯誤;對于C,若m⊥α,m⊥n,則有可能n?α,故錯誤;對于D,兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于平面,故正確.故選D.2.(2019寧夏銀川質(zhì)量檢測,4)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,a?α,b?β,則a⊥l是a⊥b的

()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

A平面α⊥平面β,α∩β=l,a?α,b?β,當(dāng)a⊥l時,利用面面垂直的性質(zhì)定理,可得a⊥b成立;當(dāng)a⊥b時,a與l不一定是垂直的,所以a⊥l是a⊥b的充分不必要條件,故選A.3.(2019陜西榆林二模,6)已知正四面體A-BCD中,M為AB的中點(diǎn),則CM與AD所成角的余弦值為

()A.

B.

C.

D.

答案

C如圖,設(shè)正四面體A-BCD的棱長為2,取BD的中點(diǎn)N,連接MN,CN,∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴MN∥AD,∴∠CMN(或其補(bǔ)角)是CM與AD所成的角,取MN的中點(diǎn)E,則CE⊥MN,在△CME中,ME=

,CM=

,∴直線CM與AD所成角的余弦值為cos∠CME=

=

=

.故選C.

方法總結(jié)求異面直線所成的角,要先利用三角形中位線定理或平行四邊形的性質(zhì)等找到異

面直線所成的角,然后利用直角三角形的性質(zhì)或余弦定理求解,如果利用余弦定理求余弦,最后

結(jié)果一定要取絕對值,因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角.4.(2019甘肅、青海、寧夏3月聯(lián)考,6)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

=3

,則異面直線AC1與BE所成角的余弦值為

()A.

B.

C.

D.

答案

D取BB1上靠近B1的四等分點(diǎn)F,連接C1F,則C1F∥BE,連接AF,∴∠AC1F(或其補(bǔ)角)為

異面直線AC1與BE所成的角,設(shè)正方體的棱長為4,則AC1=4

,C1F=

,AF=5,∴cos∠AC1F=

=

.故選D.5.(2017遼寧五市八校第二次聯(lián)考)設(shè)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的對角面BDD1B1(含邊界)內(nèi)的

點(diǎn),若點(diǎn)P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距離相等,則符合條件的點(diǎn)P

()A.僅有一個

B.有有限多個C.有無限多個

D.不存在答案

A與平面ABC,平面ABA1距離相等的點(diǎn)位于平面ABC1D1上;與平面ABC,平面ADA1距離相等的點(diǎn)位于平面AB1C1D上;與平面ABA1,平面ADA1距離相等的點(diǎn)位于平面ACC1A1上.據(jù)此可知,滿足題意的點(diǎn)位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共點(diǎn)處,滿足題意的點(diǎn)

僅有一個,為正方體的中心.選A.6.(2018陜西榆林二模)如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)中任取3個點(diǎn)作平面α,設(shè)α∩平面

ABC=l,若l∥A1C1,則這3個點(diǎn)可以是

()

A.B,C,A1

B.B1,C1,AC.A1,B1,C

D.A1,B,C1

答案

D當(dāng)α為平面A1BC1時,因?yàn)槠矫鍭BC∥平面A1B1C1,平面A1BC1∩平面ABC=l,平面A1BC1

∩平面A1B1C1=A1C1,所以l∥A1C1,故選D.7.(2018內(nèi)蒙古包頭一模)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC