岳中文-結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)資料4章

多自由度體系§4-1兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)多層房屋振動(dòng)

不等高排架振動(dòng)

。。。。

多自由度體系簡(jiǎn)化多自由度體系建立運(yùn)動(dòng)方程剛度法（平衡方程）柔度法（位移協(xié)調(diào)）1.剛度法無阻尼自由振動(dòng)微分方程取質(zhì)量和作隔離體隔離體1.慣性力和2.彈性力和根據(jù)達(dá)朗伯原理，列平衡方程

圖10-30c中，結(jié)構(gòu)所受的力、與結(jié)構(gòu)的位移、之間滿足剛度方程。(a)(b)

式（b）式（a）,得：

是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)（圖10-30d）代入(4-1)(4-1)兩個(gè)自由度無阻尼體系的自由振動(dòng)微分方程求解：假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則式(4-1)的解可設(shè)：(c)式(c)所示運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn):1)在運(yùn)動(dòng)過程中，兩質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角，和是位移幅值；2）兩質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但二者比值始終保持不變。即

這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型。

式（c）代入式（4-1），得：(4-2)

和不全為零的解答，則：(4-3a)式(4-3a)稱為頻率方程或特征方程，可求頻率。將式（4-3a）展開：（4-3b)（4-4)可見：具有兩個(gè)自由度的體系有兩個(gè)自振頻率。

其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率。：第二圓頻率。由自振圓頻率和，確定它們各自相應(yīng)的頻率。代入（4-2）

這個(gè)比值確定的振動(dòng)形式：第一圓頻率相對(duì)應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型。第一振型中質(zhì)點(diǎn)1的振幅第一振型中質(zhì)點(diǎn)2的振幅同樣，由（4-5a）第二振型中質(zhì)點(diǎn)1的振幅得：（4-5b）第二振型中質(zhì)點(diǎn)2的振幅求出的兩個(gè)振型分別如圖10-31b、c

在一般情況下，兩個(gè)自由振動(dòng)體系的自由振動(dòng)可看作是兩個(gè)頻率及其主振型的組合振動(dòng)，即，方程（4-1）的全解從以上的討論中，歸納：（1）在兩個(gè)（多個(gè)）自由度體系自由振動(dòng)問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。（2）兩個(gè)（多個(gè)）自由度體系的自振頻率不止一個(gè)，其個(gè)數(shù)與自由度的個(gè)數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。（3）每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型就是多自由度體系能夠按單自由度振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。

（4）與單自由度系統(tǒng)相同，多自由度的自振頻率和主振型也是本身的

固有性質(zhì)。

例4-1圖10-32a所示兩層剛架、其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、第二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間側(cè)移剛度分別為k1、k2,即層間產(chǎn)生單位相對(duì)側(cè)移時(shí)候所施加的力，如圖10-32b所示。試求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率和主振型。解：由圖10-32c和d可求出結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)：將剛度系數(shù)代入到式（4-3b）,得：（a）分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，由此求得：此時(shí)式（a）變?yōu)榍笾髡裥蜁r(shí)，可由式（4-5a）和（4-5b）求出振幅比值，從而畫出振型圖。第一主振型第二主振型如圖10所示-33（2）當(dāng)時(shí)，代入式（4-5a）和（4-5b），可求出主振型：由此求得：此時(shí)式（a）變?yōu)槿绠?dāng)n=90時(shí)，由此可知，當(dāng)頂部質(zhì)量和剛度突然變小時(shí)，頂部位移比下部位移大很多。建筑結(jié)構(gòu)中，這種因頂部質(zhì)量和剛度突然變小，在振動(dòng)中引起巨大反響的現(xiàn)象，稱為鞭稍效應(yīng)。2.柔度法思路：在自振運(yùn)動(dòng)中的任一時(shí)刻，質(zhì)量、的位移、應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力、作用下所產(chǎn)生的靜力位移。據(jù)此可列方程如下：（4-6）柔度系數(shù)下面求微分方程（4-6）的解。仍設(shè)解為如下形式：這里，假設(shè)多自由度體系按某一主振型象單自由度體系那樣作自由振動(dòng)，和是兩質(zhì)點(diǎn)的振幅（圖10-24c）.有式（a）可知兩質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：（a）（b）質(zhì)點(diǎn)慣性力的振幅代入式（4-6）（4-7）（4-7）主振型的位移幅值主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。（c）（c）(4-8)式(c)主振型(4-9)(4-9)例4-2試求圖10-35a所示等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型。設(shè)梁在三分點(diǎn)1和2處有兩個(gè)相等的集中質(zhì)量m解：先求柔度系數(shù)。為此，作圖如圖10-35b、c所示。由圖乘法求得：然后代入式(4-8)，得：從而求得兩個(gè)自振圓頻率：最后求主振型。由式（4-9a、b）,得第一主振型對(duì)稱第二主振型反對(duì)稱3.主振型的正交性現(xiàn)以圖10-37所示體系的兩個(gè)主振型為例來說明。圖10-37a為第一主振型，頻率為，振幅為，其值正好等于相應(yīng)慣性力所產(chǎn)生的靜位移。圖10-37b為第二主振型，頻率為，振幅為，其值正好等于相應(yīng)慣性力所產(chǎn)生的靜位移。上述兩種靜力平衡用功的互等定理，可得：兩主振型關(guān)于質(zhì)量的正交關(guān)系§4-2兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)1.剛度法圖10-38所示兩個(gè)自由度體系為例，在在動(dòng)荷載下的振動(dòng)方程：(4-10)(4-1)如果荷載是簡(jiǎn)諧荷載，即：(a)

則在平穩(wěn)振動(dòng)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧震動(dòng)：(b)將式(a)和(b)代入（4-10），消去公因子后，得：(4-11)(4-12)將式(4-11)的位移幅值代回到式(b)，即得任意時(shí)刻t的位移。位移幅值例4-3設(shè)例10-4中的圖10-32a所示剛架在底層橫梁上作用簡(jiǎn)諧荷載（圖10-39）.試畫出第一、二層橫梁的振幅與荷載頻率θ之間的關(guān)系曲線。設(shè)解：剛度系數(shù)為荷載幅值為：(c)代入式（4-12）和式（4-11），得其中，(d)將式（d）和例4-1中的特征方程相比，可知：其中兩個(gè)頻率和已由例4-1求出：因此式（c)可寫成：(e)圖10-40所示為振幅參數(shù)與荷載頻率參數(shù)之間的關(guān)系曲線。Y1趨于無窮大Y2趨于無窮大2.柔度法

圖10-42a所示兩個(gè)自由度體系，受簡(jiǎn)諧荷載作用，在任一時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)1、2的位移y1和y2，可以由體系慣性力和動(dòng)力荷載共同作用下的位移，通過疊加寫出（10-42b）(4-13)設(shè)平穩(wěn)振動(dòng)階段的解為：(a)將式（a）代入式（4-13),消去公因子后，得：(4-14)由此可解得位移的幅值為：(4-15)式中：(4-16)在求得位移幅值Y1、Y2后，可得到各質(zhì)點(diǎn)的位移和慣性力。位移：慣性力：

因?yàn)槲灰?、慣性力和動(dòng)力荷載同時(shí)到幅值，動(dòng)內(nèi)力也在振幅位置達(dá)到幅值。動(dòng)內(nèi)力幅值可以在各質(zhì)點(diǎn)的慣性力幅值和動(dòng)力荷載幅值共同作用下按靜力分析方法求得。如任一截面的彎矩幅值，可由下式求出：例4-4

試求圖10-42a所示體系的動(dòng)位移和動(dòng)彎矩的幅值圖。已知：m1=m2=m,EI=常數(shù)，θ=0.6ω1解：（1）例4-2中已經(jīng)求出柔度系數(shù)和基本頻率。

所以（2）作MP圖，與例4-2中的