2022屆重慶市高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版+解析版）

2022屆重慶市高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）復(fù)數(shù)z=（3+i）（1-4i）,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是（）

A.-12B.-4C.10D.18

2.（5分）己知集合A=[x\2x-1>5},B={x[（x-a）（x-a+1）20},若A則a

的取值范圍是（）

A.[4,+8）B.[3,+8）C.（-8,4]D.（-8,3]

22

3.（5分）如果雙曲線x。一y三■=1的離心率為y上/S+―1，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，

a2b22

x2y2

簡(jiǎn)稱為黃金雙曲線.現(xiàn)有一黃金雙曲線C：-7^--T7=1">0）,則該黃金雙曲線C

V5-1b2

的虛軸長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.V2D.2V2

4.（5分）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正

八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)

氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn).若相鄰兩個(gè)氟原子間的距離為2a,則六氟化硫分

子中6個(gè)氟原子構(gòu)成的正八面體體積是（）（不計(jì)氟原子的大小）

4注38-\/23LAL3

A.---aB.---aC.4>/2a3D.8V2a3

33

5.（5分）在（/一|）7的展開式中，金項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.280B.-280C.560D.-560

6.（5分）已知函數(shù)/（工）=/+加?+2,若/（2）=7,則/（-2）=（）

A.-7B.-3C.3D.7

21

7.（5分）已知〃>0,力>0,且a+b=2,則一+二的最小值是（）

a2b

99

A.1B.2C.一D.一

42

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=Ec-x+a恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是（）

A.（-8,-1）B.（-8,1）c.（-1,+°°）D.（1,+0°）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9.（5分）已知向量或=（?7i,2）,b=（-1,n）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a||b,貝利〃+2=0B.若a||b,則加〃-2=0

C.若a1b,則/n-2〃=0D.若al.b,則，*+2〃=0

10.（5分）旅游是人們?yōu)閷で缶裆系挠淇旄惺芏M(jìn)行的非定居性旅行和游覽過(guò)程中所發(fā)

生的一切關(guān)系和現(xiàn)象的總和.隨著經(jīng)濟(jì)生活水平的不斷提高，旅游已經(jīng)成為人們生活的

一部分.某地旅游部門從2020年到該地旅游的游客中隨機(jī)抽取部分游客進(jìn)行調(diào)查，得到

各年齡段游客的人數(shù)和旅游方式如圖所示，則下列結(jié)論不正確的有（）

A.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數(shù)少于選擇自助游的青年人

人數(shù)的一半

B.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)占總游客人數(shù)的13.5%

C.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數(shù)之和比選擇自助

游的青年人多

D.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為25%

11.（5分）已知函數(shù)/G）=2cos（OK+專）-1（a）>0）,若函數(shù)/G）的三個(gè)相鄰的零點(diǎn)

分別為了1,X2,X3（X\<X2<X3）,且卜1-尤|=入位-X3|=苴，則3+入的值可能是（）

59

A.一B.—C.4D.6

22

12.（5分）已知三棱柱ABC-AiBiCi的6個(gè)頂點(diǎn)全部在球。的表面上，AB=AC,ZBAC

=120°,三棱柱48（7-481。的側(cè)面積為8+4b，則球。的表面積可能是（）

A.4nB.8nC.16TtD.32Tl

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中的橫線上。

丫2-X-1丫S27T

,則//（?。?__________________.

｛sinx,x>03

14.（5分）小華、小明、小李小章去4,B,C三個(gè)工廠參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)工廠都有

人去，且這四人都在這三個(gè)工廠實(shí)踐，則小華和小李都沒(méi)去B工廠的概率

是.

15.（5分）已知數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S”，且品=2斯-2（〃€N+）,貝US9=.

16.（5分）已知拋物線C：/=以的焦點(diǎn)為「直線/：x-y-1=0與拋物線C交于A,B

兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方）,則黑=.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）在①。3+。6=18,②｛詞的前"項(xiàng)和%=n2+pn,③。3+“4=。7,這三個(gè)條件中

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并解答.

問(wèn)題：在等差數(shù)列｛斯｝中，ai=2,且一.

（1）求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式;

（2）若bn=7rJ—,求數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和7k

anan+l

18.（12分）在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且（2b-c）cosA-acosC

=0.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若△ABC的面積為3我，求△4BC外接圓面積的最小值.

19.（12分）如圖，在多面體A8CD￡尸中，四邊形A8CD是正方形，DEJ_平面ABC。，BF

_L平面ABC。，DE=2BF=2AB.

（1）證明：平面ABF〃平面C￡>E；

（2）求平面48尸與平面CE尸所成銳二面角的余弦值.

E

20.（12分）北京冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國(guó)

北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京、張

家口同為主辦城市，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北

京冬奧組委對(duì)報(bào)名參加北京冬奧會(huì)志愿者的人員開展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培

訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，從中隨機(jī)抽取80名志愿者的考

核成績(jī)，根據(jù)這80名志愿者的考核成績(jī)得到的統(tǒng)計(jì)圖表如下所示.

女志愿者考核成績(jī)頻率分布表

分組頻數(shù)頻率

[75,80]20.050

[80,85]130.325

[85,90]180.450

[90,95]am

[95,100Jb0.075

若參加這次考核的志愿者考核成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)，則考核等級(jí)為優(yōu)秀.

（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；

（2）若從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女

志愿者的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

男志愿者考核成績(jī)頻率分布直方圖

,尸2,且|F1尸2|=2,

點(diǎn)多在橢圓C上.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知點(diǎn)P(l,，)為橢圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)放的直線/與橢圓C交于異于點(diǎn)尸的A,

3兩點(diǎn)，若△出8的面積是券，求直線/的方程.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)—xe^-2lnx-^+x-2.

(1)求函數(shù)fG)圖象在x=l處的切線方程;

(2)證明：/(x)>0.

2022屆重慶市高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）復(fù)數(shù)z=（3+i）（1-4/）,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是（）

A.-12B.-4C.10D.18

【解答】解：z=（3+力（1-4Z）=3-⑵+i+4=7-lli,

故復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別為7,-11,

故復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和為-4,

故選：B.

2.（5分）已知集合A={x|2x-1>5},B={x[（x-a）（x-a+1）>0},若AUB=R,則a

的取值范圍是（）

A.[4,+8）B.[3,+8）C.（…，4jD.（一，3]

【解答]解：A={x\2x-1>5}={木>3},B={x\（x-6Z）（x-a+1）20}={x|xWa-1

或

若AUB=R,則a-123,即心4.

.?.a的取值范圍是[4,+8）.

故選：A.

3.（5分）如果雙曲線。一1的離心率為二;一，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，

a2b22

x2y2

簡(jiǎn)稱為黃金雙曲線.現(xiàn)有一黃金雙曲線C7^7-77=1（b>0），則該黃金雙曲線C

V5-1b2

的虛軸長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.V2D.2V2

Q2+/?2匕2+1

【解答】解：由題意可得，-r=；=1+~7=~~~~）2,解得b2—2,即b=>/2,

a2a2V5-12

故黃金雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為2b=2y/2.

故選：D.

4.（5分）六氟化硫，化學(xué)式為SP6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正

八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)

氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn).若相鄰兩個(gè)氟原子間的距離為2a，則六氟化硫分

子中6個(gè)氟原子構(gòu)成的正八面體體積是（）（不計(jì)氟原子的大?。?/p>

A.-----aB.-----優(yōu)C.4y[2crD?Sy/2cr

33

【解答】解：六氟化硫（SF6）的分子是一個(gè)正八面體結(jié)構(gòu)，這個(gè)正八面體結(jié)構(gòu)是兩個(gè)正

四棱錐組合而成，

棱錐的高為：JM2—（缶）2,

正四棱錐的體積為：|x2ax2axy/4a2-（V2a）2=^^a3,

8y/2

六氟化硫分子中6個(gè)氟原子構(gòu)成的正八面體體積是：-y-a3Q.

故選：B.

5.（5分）在（/一|）7的展開式中，金項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.280B.-280C.560D.-560

【解答】解：在（/一》7的展開式中，通項(xiàng)公式為小1=6>（-2）令21-

4/?=5,求得r=4,

故小項(xiàng)的系數(shù)是點(diǎn)?24=560,

故選：C.

6.（5分）已知函數(shù)/（x）=加+加3+2,若/（2）=7,則/（-2）=（）

A.-7B.-3C.3D.7

【解答】解：由函數(shù)f（x）=加+/?4+2且/（2）=7,

得32。+勖=5,

：.f（-2）=-（32。+8匕）+2=-5+2=-3,

故選：B.

21

7.（5分）已知a>0,h>0,且a+b=2,則一+/的最小值是（）

a2b

99

A.1B.2C.一D.一

42

【解答】解：?.">（）,b>0,且a+b=2,

當(dāng)且僅當(dāng)J=三，即4=6=號(hào)時(shí)取等號(hào)，

a2b33

219

故一+云的最小值是一，

a2b4

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=/,M-x+q恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則4的取值范圍是()

A.(-8,-1)B.(…，1)C.(-1,+8)D.(1,+8)

11X

X---

【解答】解：由題，fX1=X

則當(dāng)0<x<l時(shí);f(x)>0,f(JC)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)

遞減.

故/(X)在x=1處取得最大值f(1)="-1,

由題可知，需滿足/(I)>0,即

當(dāng)4>1時(shí)，/(/")=-/。<0,

故函數(shù)f(x)=/nx-x+a在(/。，1)上存在一個(gè)根，

存在b>(VT+a)2>1,

使得/(6)</l(l+>/lTa)2]=/n(1+VTTa)2-(1+VTTa)2+a<2(1+VTTa)-

(1+(1+a)~+a=0,

從而函數(shù)=/〃x-x+a在(1,b)上存在一個(gè)根，

故a的取值范圍為(1,+°°).

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分。

9.(5分)已知向量之=(m,2),b=(-1,n),則下列結(jié)論正確的是()

A.若aIIb,則〃2〃+2=OB.若；||b,則-2=0

C.若a1b,貝ij“2-2”=0D.若a_Lb,貝！j,〃+2〃=0

【解答】解：時(shí)，有加〃-2X(-1)=0,HDmn+2=0,選項(xiàng)A正確、選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

Z_Lb時(shí)，有加X(jué)（-1）+2Xn=0,即m-2"=0,選項(xiàng)C正確、選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.（5分）旅游是人們?yōu)閷で缶裆系挠淇旄惺芏M(jìn)行的非定居性旅行和游覽過(guò)程中所發(fā)

生的一切關(guān)系和現(xiàn)象的總和.隨著經(jīng)濟(jì)生活水平的不斷提高，旅游已經(jīng)成為人們生活的

一部分.某地旅游部門從2020年到該地旅游的游客中隨機(jī)抽取部分游客進(jìn)行調(diào)查，得到

各年齡段游客的人數(shù)和旅游方式如圖所示，則下列結(jié)論不正確的有（）

A.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數(shù)少于選擇自助游的青年人

人數(shù)的一半

B.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)占總游客人數(shù)的13.5%

C.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數(shù)之和比選擇自助

游的青年人多

D.估計(jì)2020年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為25%

【解答】解：設(shè)2020年到該地旅游的游客總?cè)藬?shù)為“，由題意可知游客中老年人、中年

人、青年人的人數(shù)分別為0.2a,0.35a,0.45a,

其中選擇自助游的老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為0.04a,0.0875a,0.135a.因?yàn)?/p>

1

0.875a>0.l35ax*=0.0675“，所以A錯(cuò)誤，

2020年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)與總游客人數(shù)的比值為些也x

a

100%=13.5%,所以B正確，

因?yàn)?.04a+0.0875a=0.1275a<0.135。，所以C錯(cuò)誤，

2020年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為—十°'°875a+°I。。乂100%=

a

26.25%,所以。錯(cuò)誤.

故選：ACD.

11.(5分)已知函數(shù)=2cos(o)x+^)-1(u)>0),若函數(shù)f(x)的三個(gè)相鄰的零點(diǎn)

分別為XI，X2,X3(XIVhV用)，且|xi-X2|=入|%2-用|=半則3+入的值可能是()

59

A.一B.-C.4D.6

22

【解答】解：函數(shù)/(x)=2cos(WA-+I)-1(?>0),若函數(shù)/(X)的三個(gè)相鄰的零點(diǎn)

分別為XI,X2,X3(XIVx2Vx3),

即COS(o)x+^)=2的三個(gè)相鄰的解分別為XI,X2,X3(X1<X2<X3)，

且|%1-X2|=A|X2~X3\=.

22717rj12717T1

?二一x—=一,/.u)=4,入=2；或-x—=—,Aa)=2,入=小

3co33to32

???3+入=6,或u)+入=2，

故選：AD.

12.(5分)己知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)全部在球0的表面上，AB=AC,ZBAC

=120°,三棱柱48。-481。的側(cè)面積為8+4K，則球。的表面積可能是()

A.4nB.8nC.16TTD.32n

【解答】解：由題意知，三棱柱ABC-4B1C1為直三棱柱,

設(shè)直三棱柱的高為〃，球的半徑為R,△ABC的中心為點(diǎn)。，則0￡>=/

'：AB=AC,ZBAC=120°,

，可設(shè)AB=AC=m,則BC=V5/n,AD=m,

二三棱柱ABC-A向Ci的表面積為(A8+AC+BC”/z=8+4g,即(2+百)，泌=8+46,

??mh=:Ai

在RtZ\OA。中，OA2=OZ）2+AD2,即R2=（_）2+m2t

2

，球的表面積S=4TTR2=4TT（1廬+加2）>4TTX21^--m2=4ftmh—16TT,

當(dāng)且僅當(dāng)〃仁獅，等號(hào)成立,

.?.球0的表面積可能是16m32K.

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中的橫線上。

%2+1/x<052n7

13.（5分）己知函數(shù)/（x）=則”/（?。?三

sinx,x>0

x2+1/x<0

【解答】解:知函數(shù)/（x）=

,sinx,x>0

所以/（當(dāng)衛(wèi)）=sin善衛(wèi)=s譏（17兀+1）=—sin^=一拳

所以fG（等））=/（-f）=（—苧）2+1=

、7

故答案為：

4

14.（5分）小華、小明、小李小章去A,B,C三個(gè)工廠參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)工廠都有

7

人去，且這四人都在這三個(gè)工廠實(shí)踐，則小華和小李都沒(méi)去3工廠的概率是

【解答】解：先把四個(gè)同學(xué)分成三組，有廢=6種，然后在進(jìn)行排列，屑=6種，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的分配方案共有6X6=36和I

因?yàn)樾∪A和小李沒(méi)有去8工廠，進(jìn)行分情況討論，

若B工廠有兩個(gè)人，那么肯定是小李和小章，則小華和小李分別取A和B工廠，即掰=2

種；

若8工廠有一個(gè)人，從小李和小章中選一個(gè)，?=2種，然后剩下的一個(gè)人和小李和小

華分配到A、C工廠,有廢掰=6種,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，此時(shí)的分配方案共有2X6=12種.

綜上可得，不同的分配方案有12+2=14種，

147

即小華和小李都沒(méi)去B工廠的概率是二=—.

3618

_7

故答案為：—.

15.(5分)已知數(shù)列｛〃”｝的前"項(xiàng)和為S,且S"=2a”-2(”6N+),則S9=1022.

【解答】解：Sn=2an-2(〃€N+),

當(dāng)〃=1時(shí)，a\=S\=2a\-2,所以m=2,

當(dāng)〃22時(shí)，Sn-\=2an-i-2(nGN+),

兩式相減可得加=2如-2加一|,

整理得Cln—2cin'I，

所以數(shù)列｛珈｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以S9=駕二=1022.

1-Z

故答案為：1022.

16.（5分）已知拋物線C：丫2=以的焦點(diǎn)為F，直線/：x-y-1=0與拋物線C交于A,B

兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則黑=3+2或?

【解答】解：由題意可知，直線/經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,設(shè)其傾斜角為0,

則cos。：?，如圖所示，直線，是拋物線C的準(zhǔn)線，

作AA'_L，，BB'U,BE1AA',

則|A41=|AF|,|A'E1=|BB'|=|BF|,

故|A￡l=|4fl-\BF\,\AB\=\AF\+\BF\,

因?yàn)閏osZBA￡=j44r=cos9=孝,

|/1￡>IZ

哪耦嚀

則黑=3+2丘

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）在①03+46=18,②｛〃"｝的前"項(xiàng)和Sn="+pn,③43+44=47,這三個(gè)條件中

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并解答.

問(wèn)題：在等差數(shù)列｛斯｝中，a\=2,且.

（1）求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

（2）若九—,求數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和7k

anan+l

【解答】解：選①〃3+。6=18,（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為止可得2m+7d=2+7d=18,解

得d=2,

所以?！?2+2(〃-1)=2n；

(2)若6九=------=-3—7-—----)，

斯品+14n(n+l)4nn+i

可得力,=」(I-A4-I-I4-4-1———)1(]——3_)n

」何力？4-2十23十…十九九+1，=4sn+17=4n+4

選②{“〃}的前n項(xiàng)和%="+pn,

(1)由m=Si=l+p=2,可得p=l,

則S〃=〃2+〃，

當(dāng)"22時(shí)、an=Sn-Sn-1=層+〃-(/?-1)2-(〃-1)=2〃，

上式對(duì)n=\也成立,

所以?！?2〃；

11111

(2)若b=(——---),

anan+l_4n(n4-l)-4nn+1

—n

可得Tn=,1)=1(1_1)=

nn+14n+14n+4,

選③。3+44=47,

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,可得2m+5d=m+6d,即=d=2,

所以a〃=2+2(n-1)=2n；

11111

(2)若“=(——---),

斯冊(cè)+1-4九(n+1)-4nn+1

可得%=*（T+X+“+\一磊）=5（1一擊）n

=4n+4'

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,且(2b-c)cosA-acosC

=0.

（1）求角A的大??；

（2）若AABC的面積為3/，求△ABC外接圓面積的最小值.

【解答】解：(1)???在△ABC中，(2b-c)cosA-6ZcosC=0,

\2+<2均2a24-b2-c2

(2b-c)x-ax

2bc2ab=0,

J.tr+c1-?=bc,

.Ab2+c2—a2be1

..cos4=一貴'一=示=2,

VAG(0,n),

71

???A4一-亍

(2)由(1)知：A=半△ABC的面積為3A/5="csinA=乎姐

be—12,

，由余弦定理可得：a2=h2+c2-hc^2hc-bc=bc=\2,即〃22次，當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)等

號(hào)成立，

設(shè)AABC外接圓半徑為R,則由正弦定理一匕=2幾可得R=又為烏=2,當(dāng)且

sinAzsm/i2x竽

僅當(dāng)b=C,時(shí)等號(hào)成立，

.二△ABC外接圓面積S=nR224ir,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，即△ABC外接圓面積的

最小值4TT.

19.(12分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，OE_L平面ABC。，BF

_L平面ABC。，DE=2BF=2AB.

(1)證明：平面尸〃平面CDE；

(2)求平面48尸與平面CEf所成銳二面角的余弦值.

【解答】(1)證明：因?yàn)椤?gt;E_L平面A8CD,BFJ_平面ABCD,

則DE//BF,

又QEu平面CDE,BFC平面CDE,

所以8F〃平面CDE,

因?yàn)樗倪呅蜛8CZ)是正方形，則4B〃C￡),

又CQu平面CDE,A8C平面CDE,

所以A8〃平面CDE,

因?yàn)锳8,BFu平面A8F,ABDBF=B,

所以平面AB尸〃平面CDE；

(2)解：由題意可知，DA,DC,兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)AB=1,則A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,2),F(1,1,1),

所以b=(l,1,-1),CF=(1,0,1),

設(shè)平面CEF的法向量為/=(x,y,z),

貝膽mU，叫2工；=。

令x=l,貝lJy=-2,z=-1,

故/n=(1/-2/—1)，

又平面4B尸的一個(gè)法向量為￡=(L0,0),

所以|皿至小=需=+=*

V6

故平面ABF與平面CEF所成銳二面角的余弦值為二?.

6

20.(12分)北京冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國(guó)

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京冬奧組委對(duì)報(bào)名參加北京冬奧會(huì)志愿者的人員開展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培

訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，從中隨機(jī)抽取80名志愿者的考

核成績(jī)，根據(jù)這80名志愿者的考核成績(jī)得到的統(tǒng)計(jì)圖表如下所示.

女志愿者考核成績(jī)頻率分布表

[75,80]

[80,85]

[85,90]

[90,95]

[95,100]

若參加這次考核的志愿者考核成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)，則考核等級(jí)為優(yōu)秀.

(1)分別求這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；

(2)若從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女

志愿者的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

男志愿者考核成績(jī)頻率分布直方圖

頻率

組即

0.080

0.060

0.025

8:818

O*707580859095100號(hào)核成績(jī)/分

【解答】解：(1)這次培訓(xùn)考核的女志愿者人數(shù)為：二=40人，

0.05

這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為：

(80-40)X(0.015+0.010)義5=5人，

這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為［1-(0.050+0.325+0.45)X40=7.

(2)從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，

記抽到女志愿者的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,

仆=1）=軍=另=務(wù)

ZZULL

C12

（x—2）-CSC7_105_21

-PX2）-3-220-44'

c12

P（x=3）-豆-巫_工

產(chǎn)6-r3-220-44'

c12

；.X的分布列為：

X012

P17217_

22224444

172177

X的期望E（X）=0x22+1x^2+2X44+3X44=4-

21.（12分）已知橢圓C：