2021年中考數(shù)學綜合題沖刺20 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題（拔高）（含答案及解析）

專題20因動點產(chǎn)生的相似三角形問題（提優(yōu)）

1.如圖，在△ABC中，AB^Ucrn,BC=9cm,動點尸從點A開始沿48邊以4cm/s的速度向點B運動；動

點。從點B開始沿8c邊以2clnls的速度向點C運動.點P和點0同時出發(fā),當其中一個點到達終點時，

請問當△Q3P與△ABC相似時，，的值是多少？

DDR0DD

【分析】分兩種情形：當77；=m時，兩主角形相似，當二=m時：兩三角形相似，分別構(gòu)建方程求

BABCBCBA

?解即可.-

【解答】解：由題意AB=L2a”<8C=9a”，AP=4t,BQ=2t,則8尸三（72-47）cm.

BPBQ

當云時，兩三四形相似，?,

D/iDCf

12-4C2￡

129

解得uI.

DpDQ

當77=77時，兩三角形相似，

BCBAJ

.12-4t2t

912

解得t=魯

924

?綜上所述，當△Q3P與A43C相似時，J的值是二或二.

---,*511.?.-

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考

常存題型.

2.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=5cm,ZBAC=60°,動點M從點8出發(fā)，在84邊上以每

秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒的速度向點B勻速運

動，?設(shè)運動時間為f秒（0W）,連接MN.

（1）若與△ABC相似，求/的值.

（2）當「為何值時，四邊形4CNM的面積最小？并求出最小值.

【分析1(1)分兩種情況：①當ABC時，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得

出r的值：②當△NBMsaABC時，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出f的值；

(2)過M作于點D,則MD〃AC,證出△8MDS/\84C,得出比例式求出MD=r.四邊形

ACNM的面積y=/^ABC的面秋-/XBMN的面般，得出『是「的匚次函數(shù)二，由三次盲數(shù)的性質(zhì)即可彳生出

結(jié)果.

【解答】解：(1)?.,在Rt^ABC中，N4CB=90°,AC=5,/8AC=60°,

c.■J,'tJ/i

;./B=3(r,

."8=2AC=10,J3C=5V3.

分兩種情況：①當△MBNs/^BC時，

,----

MBBN2t5V3-x/3t

則=，即一=----7=一-，

>ABBC10573

解得：/=I-L。..七

f,

②當ANBMs△ABC時，

同理可得：仁攀

?/???

綜上所述：當片^^時，△M8N與△A6C疝以；

"TFte—0-工，.?

J

._rTF14°Tt

f9,4一/，?^4Q\

(2)過M作A/D_L8c于點D,則MD//AC,，

MDBMMD2t

：.——=——，即——=—,

ACAB510.

解得：MD=t.

設(shè)四邊形ACMW的面積為y,

V=1X5X5V3-5(5V3-V3/)-2.5).2+^V3..《

“Zz28

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，’當t=2.5時，V的值最小值為3g.

,8

【?點評】本題是相似聯(lián)綜合題目，考查了相似三用形的判定與性質(zhì)、含30。，角的直角三角形的性質(zhì)、三

角形面積的計算；本題綜合性強，證向三角形相似是解袂問題的關(guān)鍵.

3.如圖，ZVIBC中，NC=90°,AC=3c"i,BC=4cm,動點P從點8出發(fā)以2c，m/s速度向點c移動，同

時動點。從C出發(fā)以\cmls的速度向點A移動，設(shè)它們的運動時間為t秒；

(I)根據(jù)題意知：8=tcm,CP=(4-2f)cm；(用含，的代數(shù)式表示)

(2)/為何值時，△CPQ與aABC相似.

(2)設(shè)經(jīng)過/秒后兩三角形相似，則可分不列兩種情況進行求解：①若RtZxABCsRt/XQPC,②若Rt

.△ABCsRtZsPQC,然后列方心求解....?..一

，【解答】解：(.1)，經(jīng)過/秒同CQ=t,CP^4-2t,,*..,.,、

故答案為：r；(4-2f).

(2)設(shè)經(jīng)過f秒后兩'三角形相似，則可分下列鬲種情況進行求解，

.4cOC3t

①若RtAABC^RtACPC則一=一，即-=^―，解得r=1.2；

BCPC4421

■.▼，_i*?

PCAC4—2t31A

?②若RtZXABCsRdPQC則n=―,即一^=-；解得匚掙

由P點在BC邊上的運動速度為2cm/s,0點需AC邊上的速度為\crhls,-前求出「的取值.范圍應(yīng)該為b<

<2,

驗證可知①?兩種情況下所求的;均滿足條件.

A

答：要使△C,P。與△CBA相似，運動的時網(wǎng)為1.2或K秒.

JLJL

【.點評】本題考查動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì),掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵：特

別是(2)注意分類討論.

4.在RtzMBC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=\5cm,現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，

動點。從點C出發(fā)，沿線段C8向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s,點。的速度是2cm/s,它

???,V-

們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設(shè)運動時間為/秒.求：

(1)當1=3時，這時，P,。兩點之間的距離是多少.

(2)當r為多少時，P。的長度等于4JIU?

(3)當f為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與ABC相似？

【分析】先由運動知，CQ=2tcm,CP=(20-4f)cm,再確定出0W7W5；

(1;先求出CP=8q",CQ=6cm,最后用勾股定理求出入。，即可得出結(jié)泠；1?

(2)利用勾股定理得出(4V10)2=(20-4〃2+(202,解方程，即沖出結(jié)峪；

(3)分①△CPQS/XCAB和②△CPQSACBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得

出結(jié)論.

【解答】解：山運動知，AP=4lcm,CQ=2tcm,

VAC=20cw,

；.CP=(20-4r)cm,

?點尸在AC上盒動，

；忘

.420,<????

???W5,」，

??,點。在3。運動，

???2/W15,?''?'

K7.5,，.、，.，,,-

.0WW5,

(1)當f=3時，CP=8cm,CQ=6on,

在RtZkPCQ中，.根據(jù)勾股定理得，22=〃7干軟=10(?！?；.

%?,■/b|L>">w**bL>*i-wL>*

,7■.ga<^】、，

(2)在RtZSPCQ中，根據(jù)團股定理德，P^^Cf^+CQ2,

\'PQ=4y/10,

：.C4V10)2=(20-4r)2+⑵)2,??

解得，r=2或匚6洛去)，

即當f為2時，PQM長度等于44U；

'j?*<r5|r,，

y*y<-..

(3):以點C,P,。為頂點的三角形與48c相似，且NC=/C=90°,

:.①叢CPQ?NCAB,

,.￡￡_￡￡--.

??—,

ACBC.

；20-4t2t''—?［、

??~-,

2015

■，f=3,t..’.’

②△CPQ二△GA,

.CP_CQ..

??=1,

BCAC??，

.20—4t2t

??二—,

1520、

?戶竺^

y--:,1

40

即當，為3或五時，以點C,P,。為頂點的三角形與ABC相似.

【點評】此題是相似形綜合題,.主要考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解

本題的關(guān)鍵.:

,-JC?.一二、>??,jfTTir

5.在Rt/VIBC中，*kc=90°,AC=Scm,BC=6cnt.現(xiàn)有動點P從點3出發(fā)，沿AC向點C方向運動,

動點。從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動.如果點P的速度是2a”/秒，點。的速度建Icvn/秒，

它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，設(shè)運動的時間為/秒.

(1)用含t的代數(shù)式表示RtACPg的面積S；

(2)當f=2秒時，P,。兩點之間的距離是多少？

(3)當f為多少秒時，以點C,P,。為頂點的三角形與AABC相似？

【分析】(1)先由運動知，AP^2t,CQ=t,得出。尸=8-2/,最后用三角形的面積公式，即可得出結(jié)論：

(2)先求出CP三4小，CQ^lcm,最后用勾扁理親解，即可得出結(jié)論］

'(3)分RtACPC^RtACAS或RtACPQ^RtAcBA兩種情況，利用相似:角形的性質(zhì)得出比例式，’建

立方程求解，即可得也結(jié)論.,?f.

■Mr**:<**A**

【解答】解：(1)由題意得：AP=2t,CQ=r，則CP=8-2/,

11

：.R^ACPQ的面積為5=件尸、CQ=*x(8—2t)x亡=的一/(owW4)；

^T-，，,..bj...,,■

'(2)山題意彳*AP=2t,CQ=t,則C尸二8-2f,/；.

當1=2秒時，CP=8丁2/=4c〃z,CQ=2cm.

在RtACPg中，由勾股定理得：PQ=〃P2+CQ2=V42+22=2V5cm；

(3)由題意得：M〃2f；CQ=f,則CP=8-27,

?.?以點C,P.Q為頂點的三角形與△居(?相似，且48C=NPCQ=9(T,

...分RtACPQ^RtACAB或Rt/\CPQ^Rt^CBA兩種情況：

1QpQQ

①當RtACPg^RtACAB時，則一=—,

CACB

.8-2tt

??,=—，

86

:/W|r./w--.■

解得：f=導秒；.，

cpco

②當RtaCPQSRt^CBA時，則==三,

CDCA

8-2tt

?*?—i

68

解得：t=考秒；...，.......

用此U學秒或仁考秒時,，以點C、P、。為頂點的三角形與△ABC相似：

【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了勾股定理，二角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，用分類

討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.?

6.如圖，在平面直角坐標系中，點B(12,10),過點B作x軸的垂線，垂足為A.作y軸的垂線，垂足為

C點。從。出發(fā)，沿)，軸正方向以每秒1個單位長度運動；點E從。出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個單

位長度運動；點廠從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個單位長度運動.當E點運動到點A時，三點隨之停

止運動.設(shè)運動時間為人

(1)用含，的代數(shù)式分別表示點E,點尸的坐標.

(2)若△OQE與以苫A,E,F為頂點的三角弦相似，求/的值.

【分析】(1)由題可得。E=3f,OD=l,BF=2t,易證四邊形OA8c器矩形，從而可得AB=OC；^10,

BC=OA=12,從而可求出OE、AF,即可得到點E、b的坐標；

(2)1需分兩種情加(①△OCES^AEF,②幺OO-A4FE),討論，破后運用相似三角形的性質(zhì)薪

可解決問題

【解答】解：(1)由題可奔OE=3/,OD=t,BF=2t.?

：8AJ_x軸，8cL軸，NAOC=90。，*

/./AOC=蝠AO=ZBCO=90J,

，加邊形048c是矩形，

：.AB=OC,BC=OA.

VB(12,10),

/.BC=OA=]2,AlT=OC=]0,

：.AF=]0-2t,'AE=I2-3t,

.?.點E的坐標為(3/,,0),點尸的坐標為(12,JO-29..

(2)①當△ODEsZ\AEF時，

■■■■

"-00OE...

則有77二77，?

AEAF

;t3t：

②當△OQEs縛FE時，

二一ODOE*

則有=二7，

AFAE

.t3t.

-12-3tr

解得“=0(舍5,〃=6.

:點E運動到點/時，三點隨之停止運動，.

；.3忘12,

."W4.

V6>4,

?*.f—6舍去,

【點評】本題主要考查了相似三角形的判些與性質(zhì)、矩形的判定與性廟、軸對稱的性質(zhì)等知識，送用分

，A.x.>?.-

親討論的思想臭解力本題組關(guān)鍵.

7.如圖(1),在△ABC中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cro.點P由點8出發(fā)沿8A方向向點A勻速運

動，同時點。由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2c〃?/s.作PDLAC于D,連接

PQ,設(shè)運動時間為f(s)(0<?<4),解答下列問題:

(1)設(shè)△AP。的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值;

時，AAP。是等腰三角形.

【分析1⑴根據(jù)乖件的定義得到/的=/c=9(r,根據(jù)相似一角形的性質(zhì)得到答二卷求得必

6-13根據(jù)三角形石面積公式得到S=累(？.P0=12t?(6-.)=—1I+6t=一—1)2+苧:

A

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)當AP=Z。方寸，即10-2f=2f,當AQ^QP時，如圖1,過Q相于E,根據(jù)相似三疳形的

5-t2tf-f10-2tti

性質(zhì)得到7-=G，當AP=P。時，如圖2,-：PD±AC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到一行一=1解方

程即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)'：PD±AC,

，/PZM=NC=90°,

XV44=乙4,

.△A3PsA4C8,

APPD

'AB~BC'

?42=8。〃，BC=6cm,ZC=90°,

.AB=\0cm,

%J^r1.,__?--，?

?AP=10-2f,4Q=2f,'二二

_1_0_-_2_t——MD

10____6

.PD=6-1tf

???

?S=,PD=12￡,(6—等)=-3產(chǎn)+6t=—(t—))2+

-0<r<4,''^

..t二|時，S有最大值是手；,.

(2)&4P=AQ時，即10-4=*

解得：t=?,

Z-

當AQ=QP時,如圖1,過，。作QELAP于盧,

1

：.AE=^AP=5-r,,

z

?二NA=N4NAEQ=NC=90°,

：./\AEQ^/\ACB,

.AEAQ

?.=,

ACAB

1?_5—t2t.

810

解得：t=lf,

當AP=P。時,，如圖2,-：PD±AC,

：.AD=夕。=「，

J，">

u：l\ADPs叢ACB,

.4PAD

??—,

ABAC

（_1_0_—_2_t_t.

??-'=一,

108

而得：￡=瞿「,

52540

綜上所述，當r的值為3或6或^時，,△APQ是等腰三角形，

【點評】本題考查了相似?:角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰二角形的性質(zhì)，（3）分類討論是解題的

二關(guān)鍵.?？.1W.，.一;..V

8.如圖，在△ABC中，BA=BC=\2cm,AC=16cm,點P從A點出發(fā)，沿A5以每秒3cm的速度向3點

?,,▲1A

運動，同時點。從。點出發(fā)，沿CA以每秒4c〃?的速度向A點運動，設(shè)運動的時間為x秒.

（1）當X為何值時，△AP。與4008相似？

（2）當受”=工時，請直接寫出醇2的值.

SAABC4S"BC

，_\L

?■

【分析】⑴分兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可:⑥當△APQsaCQB時；②當^

APQsACBQ時廣

(2)先由出出=當?shù)贸鯟。的長，從而可得A’Q的長，再由點P和點。而速度，可得AP的長，從而

s4ABe4

P?L^5f―.^QT**?

8P的長可求，根據(jù)等高三角形的面積比等于高所在的底邊之比，可求的答案.

【解答】（].）解：由題意得：?

*?,■

AP=3x,QC=4xtAQ=\6-4x

：.BA=BC

???NA=NC^.^

④當△4”?JgcQB時

CQBC

■—s____

AP-AQ..

.4x12

??~~~*=_

3X16-4X

解得：X=[.,..

?.>-■f.

②當△APQSACBQ時

CQ__B￡4、

AQ「AP

?4，_12

"16-4X-3x.

解得：xi=-2+2西，;2-2V5（含去）

綜上所述，當x=（或-2+2西時，A4PQ與△CQ8相似.

（2）由圖形可施，當衿”=工時，^=-

S"BC，4AC4

?*

^：AC=\6cm"

:?CQ=4cm,AQ^Uem1

??,84=30=12。外唐尸從4,點出發(fā)，沿A3以豫秒3o左的速度向8點運現(xiàn)，同時點。從C點出發(fā)，消

CA以每秒4cm的速度向

：.AP=3cmfBP=9cm

.S&BPQ93

S〉A(chǔ)QB124

..S&BCQ1?JI'

?=1J

S"BC4

.S&AQB_3

S^ABC4

,S&BPQ_S&BCQS&AQB_339

S^ABCS△月8cS“BC，4416.

.??醇的值黑.」.一

S"BC16，

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等高三角形的面積問題等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定

理并數(shù)形結(jié)合，是解題的關(guān)鍵.

9.如圖1,RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3aM

的速度向點A勻速運動，同時動點。從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2c機的速度向點8勻速運動，運動

時間為r秒（0<f<2）,連接PQ.

（1）若ABP。與AABC相似，求r的值；

（2）（如圖2）連接AQ,CP,若AQLCP,求/的值.

BB

【益析】⑴根據(jù)勾股定理求分△BPQ/ABAC、咽種情況，’根據(jù)相似三角尼第

快質(zhì)列出比例前可算加乎>.>,>

(2)過尸作PM_L8C于點M,AQ,CP交于點M則有尸8=57,PM=3t,8Q=8-4f,根據(jù)zMCQs

△CMP,得出AC：CM^CQ：MP,代入計算即W.

【解答】解：(1)①當△8PQs/^54c時,

BPBQ

'：—=一,BP=3t,QC=2t,AB=Wcin,BC*cm,

BABC-.--

.3t8-2t

*'10-8

20

???t.=yp

②當△3P0S/\8CA時，

U9BP_BQ_...

'~BC_~BAf°■:，，，?■?,■,..

.8-2t3t

?010~?JL1

.「32

"t=23;,，

on20

.」=篇或一時,，△BP。與Z\ABC相似；

11

(2)如圖所示；過戶作PM^BC于點M,AQ,CP交吉點、N,

Q12.19

則有PB=33PM=[t,BM=芳3MC=8--yt,

,：ZNAC+ZNCA^^,/PGW+NNCA=90°,

.?./NAC=Z尸CM且N4CQ=NPMC=90°,,-

：./\ACQ^^CMP,

.ACCQ

"CM~MP'?

62t

【點評】此題辱相似形練金題，主要考查了事似三角型的判定與性呵，多股定理;直角三角形段性即

等脾三角形的性質(zhì)，由三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

10.如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC=\0cm,8c=16c九點。由點A出發(fā)沿A8方向向點8勻速運

動，同時點E由點8出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為lc"?/s.連接DE,設(shè)運動時間為

t(.<)(0</<10),解答下列問題：

(1)當f為何值時，△BDE的面積為7.5C,〃2；

(2)在點￡>,E的運動中，是否存在時間f,使得△BOE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間r；

若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形邊8E的高即可求解;

(2)根據(jù)等腰三角形和相似三角形的的定和性質(zhì)分兩種情況說明‘即可.

■

【解答】解：（1?分別過點。、A作。AGA.BC,垂足為尸、G

>'.gifTrir*一9fQ

如圖

9

：AB=AC=\OfBC=[6：.BG=&f：.AG=6.

'：AD=BE=t,1.80=10-3

■DF10-t

??—■一

610

<:，■■<-->*0.fx<*?*jTf

Q*A，>>'*A，*>

解得。9=耳(to-t)

????/

1，

?：S?BDE=”E?DK=7.5

3

A-(10-r)y=15

5.?

,解得f=5.J々”.‘°?々'J

答：/為5秒時，ABDE的面積為7.5C/M2.?J'

存在.理由如下：

(2)/ff,,

①當時，ABDEs^BCA,

BEBDt10-t

—=—即nn—=----,

ABBC1016

解得/=涔."，,，1'''?二，，?.―

②當BD-DE^yABDESABAC,

BEBDt10-t

—=—BP--=-------,

BCAB1610

解得仁胃J

■■..

SORO

?答：存在時間f為一^一;秒時，使得△8DE與△4Bd相似.

.1313

'【點評】本題考古f相似三角形吃判定和性廟：等腰三角形的性質(zhì)，解狀'本題的關(guān)鍵是動點變化過程中

??^

形成不同的等腰三角修.■人^,^,

11.如圖，平面直角坐標系中，菱形OABC的邊0A在x軸正半軸上，。4=10,cosNCQ4=|.一個動點尸

從點0出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段0A方向運動，過點P作PQLOA,交折線段OC-CB

于點Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN,點、N在射線04上，當尸點到達A點時，運動結(jié)束.設(shè)點P

的運動時間為［秒（r>0）.

（1）C點的坐標為（6,8）,當1=7時N點與A點重合:

（2）在整個運動過痛中，設(shè)正方形PQMN與嶷0ABC的重合部分面積為S,直接寫出S與r之間的'函

數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的日變量，的取值范圍；

（3）如圖2,在運動過程中，過點。和點B的直線將正方形PQMN分成了兩部分，請問是否存在某一

1

時刻，使得被分成的兩部分中有一部分的面積是菱形面積的g?若存在，請求出對應(yīng)的/的值；若不存在，

請說明理由.

【分析】（1）根般菱形的性質(zhì)得出0A=0C,最根據(jù)三角函數(shù)求出點C溫標即可，根據(jù)。4=10,編

建方程求解即前

（2）根據(jù)面積公式列，出函數(shù)關(guān)系式，注意動點運動時的.幾種情況，得出自變量的成值范圍；

（3）根據(jù)被分成的兩部分中有一'部分的面積是菱形面積的;，畫出圖示，分幾種情況進行討論解答.-

【解答】解：（1）二菱形0ABe中，04=10,

???"=10,

VcosZC0A=p,

???點C的坐標為：（6,8）,

???動點尸從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段0A方向運動，

30P

VcosZCO>4=|=^,OP=t,

?；。4=10,N點'與4點重合，

4、?

??.-，+,=10,

3.??

?30

1,r=T

.??G當時，N點與A點重合；，

（2）①0之tM苧,5=絳2,

?3050280200

②——VtW6,S=———t7+-----1-------,

J7,2793

③6VtW8,S=一|嚴+9+噤：:

④8<W10,,S二104-8f；

???-

（3）S奏畛=80,,宜線08過原點（0,0）,8點\1618）,故直線。8解析次為y=*,

??1?,15tt4t?廣

右S兩邊形QEFM=耳S說,叱（7+6）-T=16，口=2倔

者S四邊形EPNF=GS菱形,則5（5+1）]=16」2=耳同，

②當6V/W8,EP=1,EQ=8-1,FN="4,FM=4一5.

若S四邊形EPNF=2s菱形則5?+4）?8=16；f=0（舍），

???*>?

11

?若S齦施EFM=/荔，則5（12-t）?8=16，/3=8;

③810,不存在符合條?'件的/值.

【點評】此題考查的是函數(shù)綜合題，難度比較大?關(guān)鍵是運用四邊形的性廨和面積?公式進行分析，注藏

出現(xiàn)的幾種情況討論，不能漏解.

*X

12.如圖，Rt/VIBC中，ZACB=90a,AC=6cm,8C=8an,動點P從點8出發(fā)，在區(qū)4邊上以每秒5c〃?

的速度向點A勻速運動，同時動點。從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4c機的速度向點3勻速運動,■■運動

時間為I秒(0<r<2),連接P。.

(1)若△BP。與aABC相似，求f的值；

(2)連接42、CP,若AQLCP,求f的值.

【芬析】(「)分兩慟青況，「①雪時，BP-BA=BQ-.BC；第ABPQ晨ABCA時，BP：

BC=BQ：BA,*根據(jù)、P=5f,QC=4t,AB=\Ocm,BC=8cm,代入同等即可；

(2)過P作PM_LBC于點M,AQ,CP交于點N,則有PB=5r,PM=3t,MC=8-4t,根據(jù)△ACQs

△CMP,得出AC：CM^CQ：A/P,代入計算即句.

【解答】解；根據(jù)勾股定理得：84=府不/=10;

,(1)分兩種情況討論：

「■",BPBQ

①當△8PQS\8AC時，一=—,

2BABC

\'BP=5t,QC=4f,AB=10,8C=8,

5t8-4t…gr

—=一~一，解得，r—1,

108

.BPBQ

②*BPQs/\BCA時，—=—,

5t8-4C，片?2

.??1=刀~',麻，得'Z=41：

32.

.\r=l或一時,，XBPQSXBCA；

41

(2)過P作PM_L8c于點M,AQfCP交于點N,如圖所示:

則PB=5t,PMKt,A7C=8-4t,

；/NAC+NNCA=90°，./尸dW+/NCA=90°.,

：.4NAC=乙PCM,

?；ZACQ=ZPMC,

■

【點評】本題考杳了相似三角形的判定與性質(zhì)；由三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點C在x軸上，NOC￡>=NO=90°,AO=OC=10c，〃，CD=6cm.

???

(I)請求出點A的坐標.

(2)如圖2,動點P、。以每秒Itro的速度分別從點。和點C同時出發(fā)，點尸沿OA、AD,0c運動到

點C停止，點。沿C。運動到點。停止.設(shè)P、Q同時出發(fā)，秒.

①是否存在某個時間f(秒)，使得△。尸。為直角二角形？若存在，請求出r的值；若不存在，請說明理

由.

【分析】(1)做AEL0C,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出的長度，然后運用勾股定理即可推出MA的長度，

即可推出A點的坐標：

(2)①作AN±0A,設(shè)與0C的延長線交于N點,延長DA到y(tǒng)軸，設(shè)與y軸交于點M,通過求證人

OAMsaNA。,-推出0N=郛m再分情況進行討論.若NOPQ=90°,則為直角

'三角形，由PQ〃AM推向詈=算即可求出仁錚若NOQP=90°子則公。尸。為直角三角形，施

過求證NAONS*QOP,隹出—=—即司求出i=咨所以Wt=萼卻7?或若f=孚cm時，ZXOPQ

ONOAv，丫

為魯角三角形；

②作那10P視作底邊，山”〃AN,推出先=嬴，再由OQ=10-3AN=?ON/

J，.TV'J/V■_<?^****

推出高。〃的長度，然后根據(jù)0P=f,即可■推出5=-2產(chǎn)+3￡（o〈yi0）.

【解答】解：（1）如圖1,作4EJ_0C’于E.

???ZOCQ=NC=90°,?、??

：.AD//OC,

、：CD=6cm,'1k

??AE=DC=Gci7itf.

?/04=OC=10。小

.'.0E=Scm,

?**

?"(8,6)；-.

?_A",j?Jk"——A

(2)作4VL04,設(shè)與。C的延長線交于M點:，延長ZM,與y軸交手點日.

①如圖2,

：.AM±OMf

；.DM//0C,

'：A(8,6),

.'.AM=8c〃？，OM—CD—6cm,

???ZAON=ZMAO,

,?1L二二一

/AMO=/OAN=90°

:.XOMAS*NAO,??

.OMMAOA

9,AN~AO~ON'

,;dM=6cm,AM=ScmfOA—\Ocm,

15?5

/.AN=-^-cm,ON=gam,

如圖，若NOPQ=90°,則AOP。為直角三角形,

：.PQ//AN,

.OPOQ

??=,

OAON

,:P,。兩點的運動時間為I秒，OC=