《4.1數(shù)列的概念》同步練習(xí)與答案解析

選擇性必修二《4.1數(shù)列的概念》同步練習(xí)一、單選題1．已知數(shù)列中，，（），那么等于（）A． B． C．2 D．42．?dāng)?shù)列、、、、、、、、、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．“干支紀(jì)法”是我國記年、月、日、時(shí)的序號(hào)的傳統(tǒng)方法，天干地支簡(jiǎn)稱“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，農(nóng)歷1861年為辛酉年，農(nóng)歷1862年為壬戌年，農(nóng)歷1863年為癸亥年，則農(nóng)歷2068年為（）A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年4．原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段，做一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為（）A． B． C． D．5．衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，則該數(shù)列第16項(xiàng)為（）A．152 B．134 C．128 D．1026．公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究.他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來表示數(shù)，稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.如圖所示，數(shù)列1，6，15，28，45，…，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都可以用六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么該數(shù)列的第11項(xiàng)對(duì)應(yīng)的六邊形數(shù)為（）A．153 B．190 C．231 D．276二、多選題7．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．8．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．9．對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值，是數(shù)列的“谷值點(diǎn)”，在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為()A． B． C． D．三、填空題10．在數(shù)列中，，，則______．11．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.12．已知數(shù)列滿足：，，若正整數(shù)使得成立，則___________.四、解答題13．?dāng)?shù)列中，.（1）是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？（2）為何值時(shí)，有最小值？并求最小值.14．下面圖形都是由小正三角形構(gòu)成的,設(shè)第個(gè)圖形中的黑點(diǎn)總數(shù)為.(1)求的值;(2)找出與的關(guān)系,并求出的表達(dá)式.①②③④15．已知數(shù)列中，，，且.（1）求、的值，（2）設(shè)試用表示，并求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列可以是無窮數(shù)列，也可以是有窮數(shù)列，如取時(shí)，可得無窮數(shù)列：1，2，，，...；取時(shí)，可得有窮數(shù)列：，，0.（1）若，求的值；（2）若對(duì)任意，恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：取數(shù)列中的任何一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列.答案解析一、單選題1．已知數(shù)列中，，（），那么等于（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)，，計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列是以3為周期的數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，…所以?shù)列是以3為周期的數(shù)列，所以，故選：B本題主要考查數(shù)列的周期性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．?dāng)?shù)列、、、、、、、、、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)可知，該數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，再由可求得結(jié)果.【詳解】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，可得此數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，由于，所以前項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查斐波那契數(shù)列的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3．“干支紀(jì)法”是我國記年、月、日、時(shí)的序號(hào)的傳統(tǒng)方法，天干地支簡(jiǎn)稱“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，農(nóng)歷1861年為辛酉年，農(nóng)歷1862年為壬戌年，農(nóng)歷1863年為癸亥年，則農(nóng)歷2068年為（）A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年【答案】D【分析】由題意得天干是以10為周期的數(shù)列，地支是以12為周期的數(shù)列，以1861為首項(xiàng)，即可得答案.【詳解】記辛，酉（1861）；壬，戌（1862）；癸，亥（1863），所以記天干為數(shù)列，且最小正周期為10，記地支為數(shù)列，且最小正周期為12，故戊，子（2068），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性，難點(diǎn)在于需將題目信息轉(zhuǎn)化為所學(xué)數(shù)列的知識(shí)，考查邏輯推理，歸納分析的能力，屬中檔題.4．原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段，做一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)，以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線恰有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)畫圓弧的規(guī)律：分別以B，C，A為圓心，抽象半徑長度的數(shù)列，明確圓弧與直線的交點(diǎn)情況，再根據(jù)當(dāng)“螺旋蚊香”與直線恰有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若使“螺旋蚊香”的總長度最小，確定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，求得最后圓弧的半徑即可.【詳解】如圖所示：當(dāng)以B為圓心，半徑為：1，4，7，10，…除起點(diǎn)外，與直線無交點(diǎn)，①當(dāng)以C為圓心，半徑為：2，5，8，11，…與直線有一個(gè)點(diǎn)，②當(dāng)以A為圓心，半徑為：3，6，9，12，…除終點(diǎn)（即①的起點(diǎn)，點(diǎn)A除外）外，與直線無交點(diǎn)，③所以當(dāng)“螺旋蚊香”與直線恰有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若使“螺旋蚊香”的總長度最小，則完成整數(shù)個(gè)循環(huán)，所以以B為圓心的弧與直線只有交點(diǎn)A，以C為圓心的弧與直線10個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心的弧與直線有10個(gè)交點(diǎn)，即數(shù)列②有10項(xiàng)，數(shù)列③有10項(xiàng)，所以最后一個(gè)圓弧的半徑為，所以“螺旋蚊香”的總長度的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的抽象與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的應(yīng)用，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.5．衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，則該數(shù)列第16項(xiàng)為（）A．152 B．134 C．128 D．102【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)找出規(guī)律,依次寫出來即可.【詳解】前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶數(shù)項(xiàng)分別為2,8,18,32,50,…,可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式:.所以該數(shù)列第16項(xiàng)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式、歸納法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.6．公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究.他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來表示數(shù)，稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.如圖所示，數(shù)列1，6，15，28，45，…，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都可以用六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么該數(shù)列的第11項(xiàng)對(duì)應(yīng)的六邊形數(shù)為（）A．153 B．190 C．231 D．276【答案】C【分析】根據(jù)題中所給圖與對(duì)應(yīng)的六邊形數(shù)，記第個(gè)六邊形數(shù)為，找出規(guī)律，相鄰兩項(xiàng)差構(gòu)成等差數(shù)列，累加求得，將代入求得結(jié)果.【詳解】記第個(gè)六邊形數(shù)為，由題意知：，，，，，，累加得，即，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題目.二、多選題7．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)可得正確答案.【詳解】對(duì)A，寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，由，，，……，，可得：.故是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng).對(duì)D，斐波那契數(shù)列總有，則，，，……，，，故D正確；故選：ABCD.【點(diǎn)睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換.8．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運(yùn)算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．9．對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值，是數(shù)列的“谷值點(diǎn)”，在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為()A． B． C． D．【答案】AD【分析】由數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前七項(xiàng)各項(xiàng)的值，然后根據(jù)題意進(jìn)行求解即可,【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，，，，，所以數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為2，7.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查了數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.三、填空題10．在數(shù)列中，，，則______．【答案】【分析】由已知得：當(dāng)時(shí)，，與原式相減得，即，遞推可得答案.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，所以，即，也即是，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題.11．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.【答案】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+33．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)?，，所以的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．12．已知數(shù)列滿足：，，若正整數(shù)使得成立，則___________.【答案】2019【分析】根據(jù)可得且，結(jié)合已知條件的等式成立，即可求的值；【詳解】知：且，則：，，而，∴，即得.故答案為：2019【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列遞推式，結(jié)合等式成立求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，注意結(jié)合已知等式中乘積形式、平方形式轉(zhuǎn)化遞推式求參數(shù)；四、解答題13．?dāng)?shù)列中，.（1）是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？（2）為何值時(shí)，有最小值？并求最小值.【答案】（1）第項(xiàng)；（2）或時(shí)，最小值為【分析】（1）令且，解方程可得的值.（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性和最值可得有最小值以及對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】令，即，解得：或（舍）（2）由，因?yàn)?，開口向上，對(duì)稱軸所以或時(shí)，有最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷數(shù)列中的項(xiàng)，以及求數(shù)列的最小項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.14．下面圖形都是由小正三角形構(gòu)成的,設(shè)第個(gè)圖形中的黑點(diǎn)總數(shù)為.(1)求的值;(2)找出與的關(guān)系,并求出的表達(dá)式.①②③④【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意可直接寫出結(jié)果；（2）分別計(jì)算出，，，，歸納出，再由累加法即可求出的表達(dá)式.【詳解】（1）由題意可得：，，，；（2）因?yàn)?；；；；觀察猜想：是一個(gè)首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，即．因?yàn)椋?；；；；把上述式子累加可得到：；又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于?？碱}型.15．已知數(shù)列中，，，且.（1）求