《5.2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 》同步練習(xí)與答案解析

選擇性必修二《5.2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算》同步練習(xí)一、單選題1．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A． B． C． D．2．原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會(huì)轉(zhuǎn)變成穩(wěn)定的原子，這種過程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益．假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中N0為時(shí)釷234的含量．已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A．12貝克 B．12ln2貝克 C．6貝克 D．6ln2貝克3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)于定義域?yàn)槿我?，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù).給出下列函數(shù)：①；②；③；④其中為恒均變函數(shù)的序號(hào)是（）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④4．設(shè)，，，…，，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為（）A． B．C． D．6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，集合，中有且僅有１個(gè)元素，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題7．給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．8．經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常用彈性函數(shù)研究函數(shù)的相對(duì)變化率和相對(duì)改變量.一般的，如果函數(shù)存在導(dǎo)函數(shù)，稱為函數(shù)的彈性函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù)是B．函數(shù)的彈性函數(shù)是C．D．9．已知，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．三、填空題10．已知，則的值為___________.11．若函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為____________.12．對(duì)于三次函數(shù)（）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算______.四、解答題13．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.14．已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的值．15．記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值16．已知函數(shù)，記為的導(dǎo)數(shù)，.（1）求；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的猜想.答案解析一、單選題1．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2．原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會(huì)轉(zhuǎn)變成穩(wěn)定的原子，這種過程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益．假設(shè)在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中N0為時(shí)釷234的含量．已知時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，則（）A．12貝克 B．12ln2貝克 C．6貝克 D．6ln2貝克【答案】A【分析】由時(shí)，釷234含量的瞬時(shí)變化率為，可求，從而可求.【詳解】解：，所以，，(貝克)，故選：A.【點(diǎn)睛】考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及求函數(shù)的值，基礎(chǔ)題.3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)于定義域?yàn)槿我?，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù).給出下列函數(shù)：①；②；③；④其中為恒均變函數(shù)的序號(hào)是（）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④【答案】B【分析】針對(duì)每一個(gè)函數(shù)，分別計(jì)算出與，檢驗(yàn)兩者是否恒相等，即可得解.【詳解】對(duì)于①，，，滿足，故①為恒均變函數(shù)；對(duì)于②，，，滿足，故②為恒均變函數(shù)；對(duì)于③，當(dāng)，時(shí)，，即此時(shí)，故③不為恒均變函數(shù)；對(duì)于④，當(dāng)，時(shí)，，，即此時(shí)，故④不為恒均變函數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查了運(yùn)算能力和對(duì)于新概念的理解，屬于中檔題.4．設(shè)，，，…，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和已知定義，依次對(duì)其求導(dǎo)，觀察得出，可得解.【詳解】，，，，，，由此可知：，.

故選：D.【點(diǎn)晴】本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依次求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)找到所具有的周期性是解決此問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】計(jì)算得到，，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】函數(shù)，，，，故答案選.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，計(jì)算出是解題的關(guān)鍵.6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，集合，中有且僅有１個(gè)元素，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】計(jì)算得，又由題知，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以可得，則有，求解不等式組即可得的取值范圍.【詳解】計(jì)算得，又由題知，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以，由得，所以，解得：，所以當(dāng)時(shí)得；當(dāng)時(shí)得；當(dāng)時(shí)得；故得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.二、多選題7．給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出每一個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，判斷是否在上恒成立,從而得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，當(dāng)時(shí)，恒有，是凸函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，當(dāng)上，恒有，是凸函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則在上恒成立，是凸函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，則在上恒成立，故不是凸函數(shù).故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查獲得新知識(shí)、應(yīng)用新知識(shí)的能力，比較簡(jiǎn)單.解答時(shí)只要準(zhǔn)確求出原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析即可.8．經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常用彈性函數(shù)研究函數(shù)的相對(duì)變化率和相對(duì)改變量.一般的，如果函數(shù)存在導(dǎo)函數(shù)，稱為函數(shù)的彈性函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù)是B．函數(shù)的彈性函數(shù)是C．D．【答案】ABD【分析】利用題目中的定義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，即A正確；對(duì)于B，，即B正確；對(duì)于C，而，二者不相等，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，即D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】本題是一道新定義的題，考查了學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，較難.9．已知，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】∵，∴，∴，即A正確；，即B錯(cuò)誤，C正確；，故D錯(cuò)誤，故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題10．已知，則的值為___________.【答案】.【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，分別代入1和-1得到方程組，解得，，再相加可得答案.【詳解】由，得，所以，①②由①②得，,則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11．若函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為____________.【答案】【分析】由題意可設(shè)，由，可得，由此求出的解析式，不等式可解.【詳解】，可設(shè)由，得又，即，解得又即解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)解決問題的題型，由題眼可知，原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)形式相同，由此可聯(lián)想構(gòu)造型函數(shù)，屬于難題.12．對(duì)于三次函數(shù)（）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算______.【答案】2020【分析】由題意“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心,求出給定函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo),探究出對(duì)稱性,計(jì)算出結(jié)果.【詳解】函數(shù),則,,結(jié)合題意令,解得,而,由題意可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則有,令則兩式相加得,所以,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)得計(jì)算和函數(shù)得對(duì)稱性,需要理解題目條件的意思,并能運(yùn)用已知條件來解題,本題的難點(diǎn)在函數(shù)的對(duì)稱性,能探究出函數(shù)對(duì)稱性可得計(jì)算結(jié)果,需要掌握解題方法.四、解答題13．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，；（3）因?yàn)椋苫境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則可得，；（4）因?yàn)?，所以化?jiǎn)可得，.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；考查運(yùn)算求解能力；熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.14．已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，得到，對(duì)其求導(dǎo)，得出切線斜率，進(jìn)而可求出切線方程；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別計(jì)算，，，將所求式子化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）若，則，所以，則，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以所求切線方程為：；（2）由得，所以，，，因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查求曲線在某點(diǎn)的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于?？碱}型.15．記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）對(duì)函數(shù)分別求導(dǎo)，通過且，列方程求解即可；（2）對(duì)函數(shù)分別求導(dǎo)，通過且，列方程，求出即可.【詳解】解：（1）函數(shù)，則．由且，得，此方程組無解，因此，與不存在“”點(diǎn)．（2）函數(shù)，，則．設(shè)為與的“”點(diǎn)，由且，得，即，（*）得，即，則．當(dāng)時(shí)，滿足方程組（*），即為與的“”點(diǎn)．因此，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新概念的理解與應(yīng)用，考查分析能力與計(jì)算能力，難度不大.16．