《7.2　離散型隨機變量及其分布列》教案與分層同步練習

《7.2離散型隨機變量及其分布列》教案第一課時離散型隨機變量課標要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念.2.了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.通過研究離散型隨機變量的概念，提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).【課前預習】新知探究在奧運射擊運動中，運動員射擊一次，可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，……，命中10環(huán)等結(jié)果，若用X來表示他一次射擊所命中的環(huán)數(shù)，則X即為隨機變量．問題上述情景中，隨機變量X的取值情況如何？提示隨機變量X的結(jié)果可由0，1，……，10共11個數(shù)來表示．1．隨機變量隨機變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應隨機試驗的某一個隨機事件．定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量．2．離散型隨機變量可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量，通常用大寫英文字母表示隨機變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.3.隨機變量和函數(shù)的關系隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．拓展深化[微判斷]1．隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限可列個．(√)2．離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù)．(×)提示取值是有限個或可以一一列舉的隨機變量才是離散型隨機變量．3．離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值．(×)提示離散型隨機變量一定是某個區(qū)間內(nèi)有限個或可以一一列舉的值．[微訓練]1．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中無放回地條件下每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1，2，…，6 B．1，2，…，7C．1，2，…，11 D．1，2，3，…解析可能第一次就取到白球，也可能把6個紅球都取完后，才取得白球，故X的可能取值為1，2，3，4，5，6，7.答案B2．在考試中，需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學回答這三個問題的總得分X的所有可能取值是__________．解析當答對3道題時，X＝300；當答對2道題時，X＝100；當答對1道題時，X＝－100；當答對0道題時，X＝－300.答案300,100,－100,－300[微思考]1．隨機變量是自變量嗎？提示不是．它是隨試驗結(jié)果變化而變化的，不是主動變化的．2．離散型隨機變量的取值必須是有限個嗎？提示不一定．離散型隨機變量的取值可以一一列舉出來，所取值可以是有限個，也可以是無限個．【課堂互動】題型一隨機變量的概念【例1】判斷下列各個量是否為隨機變量，并說明理由．(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張，被抽出卡片的號數(shù)；(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和；(3)體積為8cm3的正方體的棱長．解(1)被抽取卡片的號數(shù)可能是1，2，…，10，出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機的，是隨機變量．(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11種情況，出現(xiàn)哪種情況都是隨機的，因此是隨機變量．(3)正方體的棱長為定值，不是隨機變量.規(guī)律方法解答此類題目的關鍵在于分析變量是否滿足隨機試驗的結(jié)果，即隨機變量的取值實質(zhì)上是試驗結(jié)果對應的數(shù)，但這些數(shù)是預先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗中哪一個結(jié)果發(fā)生，隨機變量取哪一個值．【訓練1】指出下列哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)；(3)某個人的屬相隨年齡的變化．解(1)某人射擊一次，可能命中的所有環(huán)數(shù)是0，1，…，10，而且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此命中的環(huán)數(shù)是隨機變量．(2)擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果是1點，2點，3點，4點，5點，6點中的一個，且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此出現(xiàn)的點數(shù)是隨機變量．(3)一個人的屬相在他出生時就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機變量．題型二離散型隨機變量的判斷【例2】指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由．(1)湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈，將所有路燈進行編號，其中某一路燈的編號X；(2)在一次數(shù)學競賽中，設一、二、三等獎，小明同學參加競賽獲得的獎次X；(3)丁俊暉在2017年世錦賽中每局所得的分數(shù)．解(1)橋面上的路燈是可數(shù)的，編號X可以一一列出，是離散型隨機變量．(2)小明獲獎等次X可以一一列出，是離散型隨機變量．(3)每局所得的分數(shù)X可以一一列舉出來，是離散型隨機變量．規(guī)律方法判斷離散型隨機變量的方法(1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果．(2)將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗結(jié)果所對應的實數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．【訓練2】下列隨機變量是離散型隨機變量的個數(shù)是()①擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)；②投籃一次的結(jié)果；③某同學在12：00至12：30到校的時間；④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件，其中合格品的件數(shù)．A．1 B．2C．3 D．4解析①中骰子出現(xiàn)的點數(shù)為1，2，3，4，5，6，可以一一列舉出來．②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，則也可以一一列舉出來．④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0，1，2，3，共4種情況，可以一一列舉出來．③中學生到校時間可以是12：00到12：30中的任意時刻，不能一一列舉出來，因此③不是離散型隨機變量，故只有①②④滿足．答案C題型三用隨機變量表示事件的結(jié)果【例3】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，取后不放回，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)．(2)從分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．解(1)設所需的取球次數(shù)為X,則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，3，4，…，11.(2)設所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X＝3，4，5，…，11.X＝3,表示“取出標有1，2的兩張卡片”；X＝4,表示“取出標有1，3的兩張卡片”；X＝5,表示“取出標有2，3或1，4的兩張卡片”；X＝6,表示“取出標有2，4或1，5的兩張卡片”；X＝7,表示“取出標有3，4或2，5或1，6的兩張卡片”；X＝8,表示“取出標有2，6或3，5的兩張卡片”；X＝9,表示“取出標有3，6或4，5的兩張卡片”；X＝10,表示“取出標有4，6的兩張卡片”；X＝11,表示“取出標有5，6的兩張卡片”．【遷移1】(變條件)若本例(2)中條件不變，所取卡片上的數(shù)字之差的絕對值為隨機變量Y,請問Y有哪些取值？其中Y＝4表示什么含義？解Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5.Y＝4表示“取出標有1，5或2，6的兩張卡片”．【遷移2】(變條件，變問法)甲、乙兩隊員進行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”，用X表示需要比賽的局數(shù)，寫出X所有可能的取值，并寫出表示的試驗結(jié)果．解根據(jù)題意可知X的可能取值為4，5，6，7.X＝4表示共打了4局，甲、乙兩人有1人連勝4局．X＝5表示在前4局中有1人輸了一局，最后一局此人勝出．X＝6表示在前5局中有1人輸了2局，最后一局此人勝出．X＝7表示在前6局中，兩人打平，后一局有1人勝出．規(guī)律方法解答用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果問題的關鍵點和注意點(1)關鍵點：解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值對應的意義，即一個隨機變量的取值對應一個或多個隨機試驗的結(jié)果．(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果．【訓練3】(多空題)一個木箱中裝有6個大小相同的籃球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)隨機抽取3個籃球，以X表示取出的籃球的最大號碼，則X所有可能的取值為__________，其中X＝4表示的試驗結(jié)果有__________種．解析根據(jù)題意可知X的可能取值為3，4，5，6，其中當X＝4時，表示取得的一球編號為4，另兩個球從1，2，3中選取，有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)．答案3，4，5，63【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．所謂的隨機變量就是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應關系，隨機變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應于隨機試驗的某一個隨機事件．3．寫隨機變量表示的結(jié)果，要看三個特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗之前不能確定取值．二、素養(yǎng)訓練1．下列敘述中，是離散型隨機變量的為()A．將一枚均勻硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D．袋中有2個黑球6個紅球，任取2個，取得一個紅球的可能性解析選項A，擲硬幣不是正面向上就是反面向上，次數(shù)之和為5，是常量；選項B，是隨機變量，但不能一一列出，不是離散型隨機變量；選項D，事件發(fā)生的可能性不是隨機變量．故選C.答案C2．擲均勻硬幣一次，隨機變量為()A．擲硬幣的次數(shù)B．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)C．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù)D．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和解析擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個標準如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機試驗，那么正面向上的次數(shù)就是隨機變量，設為X，X的取值是0，1.A項中擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機變量；C項中的標準模糊不清；D項中，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對應的是必然事件，試驗前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果，所以不是隨機變量．故選B.答案B3．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率解析對于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量不是變量，B、D也是一個定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機變量．答案C4.拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和記為X，那么“X＝4”表示的隨機試驗的結(jié)果是()A．2枚都是4點B．1枚是1點，另1枚是3點或者1枚是3點，另1枚是1點C．2枚都是2點D．1枚是1點，另1枚是3點，或者2枚都是2點，或者1枚是3點，另一枚是1點解析拋擲2枚骰子，設其中1枚是x點，另1枚是y點，其中x，y＝1，2，…，6.而X＝x＋y，故X＝4?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))答案D5．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________(填序號)．①廣州白云機場候機室中一天的旅客數(shù)量X；②廣州某水文站觀察到一天中珠江的水位X；③深圳歡樂谷一日接待游客的數(shù)量X；④虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.解析①③④中的隨機變量X的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中的隨機變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按一定的次序一一列出，故不是離散型隨機變量，故填②.答案②【課后作業(yè)】基礎達標一、選擇題1．給出下列四個命題：①15秒內(nèi)，通過某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機變量；②解答高考數(shù)學卷Ⅰ的時間是隨機變量；③一條河流每年的最大流量是隨機變量；④一個劇場共有三個出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機變量．其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析由隨機變量的概念可以直接判斷①②③④都是正確的．答案D2．將一個骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是()A．兩次擲出的點數(shù)之和B．兩次擲出的最大點數(shù)C．第一次與第二次擲出的點數(shù)之差D．兩次擲出的點數(shù)之和為7的概率解析將一個骰子擲兩次，兩次擲出的點數(shù)之和是一個變量，且隨試驗結(jié)果的變化而變化，是一個隨機變量．同理，兩次擲出的最大點數(shù)、第一次與第二次擲出的點數(shù)之差也都是隨機變量，而兩次擲出的點數(shù)之和為7的概率是一個定值．答案D3．下面給出三個隨機變量：①某地110報警臺1分鐘內(nèi)接到的求救電話的次數(shù)X；②某森林樹木的高度在(0，50](單位：m)這一范圍內(nèi)變化，測得某一樹木的高度X；③某人射擊一次擊中的環(huán)數(shù)．其中離散型隨機變量有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析由離散型隨機變量的定義可知①③中的隨機變量都是可以一一列舉出來的，故均為離散型隨機變量，而②中的隨機變量可以取(0，50]內(nèi)的任意值，無法一一列舉，故它不是離散型隨機變量．答案C4．袋中有大小相同的5個鋼球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼．在有放回地抽取條件下依次取出2個球，設兩個球號碼之和為隨機變量X，則X的所有可能取值是()A．1，2，…，5 B．1，2，…，10C．2，3，…，10 D．1，2，…，6解析第一次可取1，2，3，4，5中的任意一個，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一個，兩次的號碼和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10.答案C5．拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為X，則“X≥5”表示的試驗結(jié)果為()A．第一枚6點，第二枚2點B．第一枚5點，第二枚1點C．第一枚1點，第二枚6點D．第一枚6點，第二枚1點解析由“X≥5”知，最大點數(shù)與最小點數(shù)之差不小于5.答案D二、填空題6．甲進行3次射擊，甲擊中目標的概率為eq\f(1,2)，記甲擊中目標的次數(shù)為X，則X的可能取值為__________．解析甲在3次射擊中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．答案0，1，2，37．在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取3件，記次品的件數(shù)為X，則“X<2”表示的試驗結(jié)果是____________________________．解析應分X＝0和X＝1兩類．X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1件次品、2件正品．故“X<2”表示的試驗結(jié)果為取到1件次品、2件正品或取到3件正品．答案取到1件次品、2件正品或取到3件正品8．一批產(chǎn)品共有12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取得合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是__________．解析可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，故X的所有可能取值有0，1，2，3.答案0，1，2，3三、解答題9．某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件次品、2件次品，而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨機抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產(chǎn)品不能通過．若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過一天、兩天分別得1分、2分，設該車間在這兩天內(nèi)得分為X，寫出X的可能取值．解X的可能取值為0，1，2.X＝0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品．X＝1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品，1天檢查到了次品．X＝2表示在兩天檢查中沒有發(fā)現(xiàn)次品．10．指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由．(1)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；(2)在西安至成都的高鐵線上，每隔500m有一電線鐵塔，將電線鐵塔進行編號，其中某一電線鐵塔的編號X；(3)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位X.解(1)不是離散型隨機變量．因為實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出．(2)是離散型隨機變量．因為電線鐵塔為有限個，其編號從1開始，可以一一列出．(3)不是離散型隨機變量．因為水位在(0，29]范圍內(nèi)變化，對水位值我們不能按一定次序一一列出．能力提升11．袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，任意抽取2個球，設2個球號碼之和為Y，則Y所有可能值的個數(shù)是()A．25 B．10C．7 D．6解析∵Y表示取出的2個球的號碼之和，又1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，故Y的所有可能取值為3，4，5，6，7，8，9，共7個．答案C12．寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)一個袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)X；(2)拋擲甲、乙兩枚骰子，所得點數(shù)之和Y.解(1)X可取0，1，2.X＝i，表示取出的3個球中有i個白球，3－i個黑球，其中i＝0，1，2.(2)Y的可能取值為2，3，4，…，12.若以(i，j)表示拋擲甲、乙兩枚骰子后骰子甲得i點且骰子乙得j點，則Y＝2表示(1，1)；Y＝3表示(1，2)，(2，1)；Y＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；Y＝5表示(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；Y＝6表示(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；Y＝7表示(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)；Y＝8表示(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)；Y＝9表示(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)；Y＝10表示(4，6)，(5，5)，(6，4)；Y＝11表示(5，6)，(6，5)；Y＝12表示(6，6)．創(chuàng)新猜想13．(多選題)下列所述中，X是離散型隨機變量的是()A．某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)XB．某無線電尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)XC．一天之內(nèi)的溫度XD．一位射擊手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射擊手在一次射擊中的得分解析ABD中的X可以取的值可以一一列舉出來，而C中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，屬于連續(xù)型的．答案ABD14．(多選題)對一批產(chǎn)品逐個進行檢測，第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為X，則X＝k表示的試驗結(jié)果為()A．第k次檢測到正品B．第k＋1次檢測到次品C．前k－1次檢測到正品D．前k次檢測到正品解析由題意，得X＝k表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為k，因此前k次檢測到的都是正品，第k＋1次檢測到的是次品，故選BD.答案BD第二課時離散型隨機變量的分布列及兩點分布課標要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列.2.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質(zhì).通過研究離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).【課前預習】新知探究在迎奧運會射擊比賽訓練中，統(tǒng)計某運動員的射擊結(jié)果可知，該運動員射擊所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)(含7環(huán))以上，已知該運動員射擊一次命中7環(huán)的概率為0.1，射擊一次命中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列．問題你能知道該運動員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布情況嗎？提示通過學習本節(jié)課的離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)，我們可以很快解決此類問題．1．離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和(1)離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱為分布列．(2)可以用表格來表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．2．離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.3．兩點分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，\o(A,\s\up6(－))發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我們稱X服從兩點分布或0－1分布．拓展深化[微判斷]1．在離散型隨機變量分布列中隨機變量的每一個可能值對應的概率可以為任意的實數(shù)．(×)提示概率必須滿足pi≥0才行．2．在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積．(×)提示在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和．3．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1.(√)[微訓練]1．設離散型隨機變量X的概率分布列如下表：X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析由分布列的性質(zhì)，知eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，故p＝eq\f(1,3).答案C2．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1，2，…，則P(2＜X≤4)＝__________．解析P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).答案eq\f(3,16)[微思考]1．拋擲一枚骰子，朝上的一面所得點數(shù)X有哪些值？取每個值的概率是多少？提示X的取值有1，2，3，4，5，6，則P(X＝1)＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(1,6)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，P(X＝5)＝eq\f(1,6)，P(X＝6)＝eq\f(1,6).2．離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的嗎？提示是．離散型隨機變量的各個可能值表示的事件不會同時發(fā)生，是彼此互斥的.【課堂互動】題型一求離散型隨機變量的分布列【例1】為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測量數(shù)據(jù)如下：編號12345x169178166177180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥177且y≥79時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列．解5件抽測品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝0.3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.1.∴優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.1規(guī)律方法求離散型隨機變量分布列的步驟(1)首先確定隨機變量X的取值；(2)求出每個取值對應的概率；(3)列表對應，即為分布列．【訓練1】某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列．解將O，A，B，AB四種血型分別編號為1，2，3，4，則X的可能取值為1，2，3，4.P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(1,45))＝eq\f(2,9)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,12),Ceq\o\al(1,45))＝eq\f(4,15)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(1,45))＝eq\f(8,45)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,15),Ceq\o\al(1,45))＝eq\f(1,3).故其分布列為X1234Peq\f(2,9)eq\f(4,15)eq\f(8,45)eq\f(1,3)題型二分布列的性質(zhì)及其應用【例2】設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．解由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123從而由上表得兩個分布列為(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列|X－1|0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的應用(1)通過性質(zhì)建立關系，求得參數(shù)的取值或范圍，進一步求出概率，得出分布列．(2)求對立事件的概率或判斷某概率是否成立．【訓練2】(1)已知離散型隨機變量X的分布列為X123…nPeq\f(k,n)eq\f(k,n)eq\f(k,n)…eq\f(k,n)則k的值為()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．3解析由eq\f(k,n)＋eq\f(k,n)＋…＋eq\f(k,n)＝1，得eq\f(nk,n)＝1，即k＝1.答案B(2)設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1，2，3)，則P(X≥2)＝__________．解析由已知得隨機變量X的分布列為X123Peq\f(k,2)eq\f(k,4)eq\f(k,8)∴eq\f(k,2)＋eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝1，∴k＝eq\f(8,7).∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(3,7).答案eq\f(3,7)題型三兩點分布【例3】袋中有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，兩球全紅，,1，兩球非全紅，))求隨機變量X的分布列．解由題意知，X服從兩點分布，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,11))＝eq\f(3,11)，所以P(X＝1)＝1－eq\f(3,11)＝eq\f(8,11).所以隨機變量X的分布列為X01Peq\f(3,11)eq\f(8,11)規(guī)律方法兩點分布的4個特點(1)兩點分布中只有兩個對應結(jié)果，且兩結(jié)果是對立的；(2)兩點分布中的兩結(jié)果一個對應1，另一個對應0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多個結(jié)果的隨機試驗中，如果我們只關心一個隨機事件是否發(fā)生，就可以利用兩點分布來研究它．【訓練3】已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列．解由題意知，X服從兩點分布，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,199),Ceq\o\al(2,200))＝eq\f(99,100)，所以P(X＝1)＝1－eq\f(99,100)＝eq\f(1,100).所以隨機變量X的分布列為X01Peq\f(99,100)eq\f(1,100)【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．離散型隨機變量的分布列，不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一個值時的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況．3．一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．二、素養(yǎng)訓練1．已知隨機變量X的分布列如下：X12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m則P(X＝10)等于()A.eq\f(2,39) B.eq\f(2,310)C.eq\f(1,39) D.eq\f(1,310)解析P(X＝10)＝1－eq\f(2,3)－…－eq\f(2,39)＝eq\f(1,39).答案C2．已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)等于()X－101PabcA.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.由分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq\f(1,3).∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案D3．已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果錯誤的是()A．a(chǎn)＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3解析易得a＝0.1，P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.7，P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故C錯誤．答案C4．設X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101Peq\f(1,2)1－2qq2則P(X≤0)＝__________．解析由分布列的性質(zhì)，得1－2q≥0，q2≥0，eq\f(1,2)＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－eq\f(\r(2),2)，q＝1＋eq\f(\r(2),2)(舍去)．P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝eq\f(1,2)＋1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)－eq\f(1,2).答案eq\r(2)－eq\f(1,2)5．若離散型隨機變量X的分布列為：X01P9c2－c3－8c試求出離散型隨機變量X的分布列．解由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝eq\f(1,3)或eq\f(2,3).檢驗：當c＝eq\f(1,3)時，9c2－c＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)＞0，3－8c＝3－eq\f(8,3)＝eq\f(1,3)＞0；當c＝eq\f(2,3)時，9c2－c＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(2,3)＞1，3－8c＝3－eq\f(16,3)＜0(不適合，舍去)．故c＝eq\f(1,3).故所求分布列為X01Peq\f(2,3)eq\f(1,3)【課后作業(yè)】基礎達標一、選擇題1．設隨機變量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么()A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9解析由題意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.答案C2．若隨機變量X的分布列如下：X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<x)＝0.8時，實數(shù)x的取值范圍是()A．(－∞，1] B．[1，2]C．(1，2] D．[1，2)解析由分布列知，P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，∴P(X<2)＝0.8，故1<x≤2.答案C3．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解析P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案C4．下列表中能成為隨機變量X的分布列的是()解析選項A、D不滿足分布列的概率和為1，選項B不滿足分布列的概率為非負數(shù)．答案C5．若離散型隨機變量X的分布列如表所示，則a的值為()X－11P4a－13a2＋aA.eq\f(1,3) B．－2C.eq\f(1,3)或－2 D.eq\f(1,2)解析由分布列的性質(zhì)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－1＋3a2＋a＝1，,0≤4a－1≤1，,0≤3a2＋a≤1，))解得a＝eq\f(1,3).答案A二、填空題6．一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量X，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤X≤\f(5,3)))＝________．解析設二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有eq\f(k,2)個，總數(shù)為eq\f(7,2)k個．∴X的分布列為X123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤X≤\f(5,3)))＝P(X＝1)＝eq\f(4,7).答案eq\f(4,7)7．由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，以□代替，其表如下：X123456P0.200.100.□50.100.1□0.20根據(jù)該表可知X取奇數(shù)值時的概率是__________．解析由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇數(shù)值時的概率為P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.答案0.68．一批產(chǎn)品分為四級，其中一級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的兩倍，三級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的一半，四級產(chǎn)品與三級產(chǎn)品相等，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗質(zhì)量，其級別為隨機變量X，則P(X＞1)＝__________．解析依題意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性質(zhì)得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，則4P(X＝2)＝1，即P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,8).∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)三、解答題9．將一枚骰子擲兩次，第一次擲出的點數(shù)減去第二次擲出的點數(shù)的差為X，求X的分布列．解第一次擲出的點數(shù)與第二次擲出的點數(shù)的差X的可能取值為－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，則P(X＝－5)＝eq\f(1,36)，P(X＝－4)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，…，P(X＝5)＝eq\f(1,36).故X的分布列為X－5－4－3－2－1012345Peq\f(1,36)eq\f(1,18)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(5,36)eq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(1,9)eq\f(1,12)eq\f(1,18)eq\f(1,36)10.設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)設“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉事件A包含的基本事件；(2)設X＝m2，求X的分布列．解(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以事件A包含的基本事件為(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)．(2)由于m的所有不同取值為－2，－1，0，1，2，3，所以X＝m2的所有不同取值為0，1，4，9，且有P(X＝0)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝9)＝eq\f(1,6).故X的分布列為X0149Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)能力提升11．已知隨機變量X只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A．[0，eq\f(1,3)] B．[－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)]C．[－3，3] D．[0，1]解析設隨機變量X取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案B12．設隨機變量X的分布列為P(X＝eq\f(k,5))＝ak(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＜X＜\f(7,10))).解由題意，所給分布列為Xeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性質(zhì)得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝eq\f(1,15).(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(5,5)))＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5)，或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).(3)∵eq\f(1,10)＜X＜eq\f(7,10)，∴X＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＜X＜\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).創(chuàng)新猜想13．(多選題)下列問題中的隨機變量服從兩點分布的是()A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)為隨機變量XB．某射手射擊一次，擊中目標的次數(shù)為隨機變量XC．從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，取出白球,0，取出紅球))D．某醫(yī)生做一次手術，手術成功的次數(shù)為隨機變量X解析只有A中隨機變量X的取值有6個，不服從兩點分布．答案BCD14．(多空題)隨機變量Y的分布列如下：Y123456P0.2x0.350.10.10.2則x＝__________，P(Y≤3)＝__________．解析由分布列的性質(zhì)得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.答案0.050.6《7.2離散型隨機變量及其分布列》分層同步練習第一課時【基礎達標練】1.給出下列四個命題:①在某次數(shù)學期中考試中,一個考場30名考生做對選擇題第12題的人數(shù)是隨機變量;②黃河每年的最大流量是隨機變量;③某體育館共有6個出口,散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機變量;④方程x2-2x-3=0的根的個數(shù)是隨機變量.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C2.一個袋子中有除顏色外其他都相同的紅、黃、綠、白四種小球各若干個,一次倒出3個小球,下列變量是離散型隨機變量的是()A.小球滾出的最大距離B.倒出小球所需的時間C.倒出的3個小球的質(zhì)量之和D.倒出的3個小球的顏色的種數(shù)解析對于A,小球滾出的最大距離不是離散型隨機變量,因為滾出的最大距離不能一一列出;對于B,倒出小球所需的時間不是離散型隨機變量,因為所需的時間不能一一列出;對于C,3個小球的質(zhì)量之和是一個定值,不是隨機變量;對于D,倒出的3個小球的顏色的種數(shù)可以一一列出,是離散型隨機變量.答案D3.袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球,設兩個球的號碼之和為隨機變量X,則X所有可能取值的個數(shù)是()A.5 B.9 C.10 D.25解析X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9個.答案B4.一串5把外形相似的鑰匙,只有一把能打開鎖,依次試驗,打不開的扔掉,直到找到能開鎖的鑰匙為止,則試驗次數(shù)X的最大可能取值為()A.5 B.2 C.3 D.4解析由題意可知前4次都打不開鎖,最后一把鑰匙一定能打開鎖,故試驗次數(shù)X的最大可能取值為4.答案D5.一用戶在打電話時忘了號碼的最后四位數(shù)字,只記得最后四位數(shù)字兩兩不同,且都大于5,于是他隨機撥最后四位數(shù)字(兩兩不同),設他撥到所要號碼時已撥的次數(shù)為ξ,則隨機變量ξ的所有可能取值的種數(shù)為()A.24 B.20 C.4 D.18解析由于后四位數(shù)字兩兩不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列,故有A4答案A6.對一批產(chǎn)品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗結(jié)果為()A.第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品B.第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品C.前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品D.前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品解析由題意,得ξ=k表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為k,因此前k次檢測到的都是正品,第k+1次檢測到的是次品,故選D.答案D7.已知Y=2X為離散型隨機變量,Y的可能取值為1,2,3,…,10,則X的可能取值為.解析分別將Y的取值1,2,3,…,10代入Y=2X中,得X=12,1,32,2,52,3,7答案12,1,32,2,52,3,78.下面給出三個變量:(1)2013年地球上發(fā)生地震的次數(shù)ξ.(2)在一段時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)生的α粒子數(shù)η.(3)在一段時間間隔內(nèi)某路口通過的寶馬車的輛數(shù)X.其中是隨機變量的是.解析(1)2013年地球上發(fā)生地震的次數(shù)ξ是確定的,故不是隨機變量;(2)發(fā)出的α粒子數(shù)η是變化的,是隨機變量;(3)通過的寶馬車的輛數(shù)X是變化的,是隨機變量.答案(2)(3)9.某籃球運動員在罰球訓練時,規(guī)定罰中1球得2分,罰不中得0分,該隊員在5次罰球中命中的次數(shù)X是一個隨機變量.(1)寫出X的所有可能取值及每一個取值所表示的試驗結(jié)果;(2)若記該隊員在5次罰球后的得分為Y,寫出所有Y的取值及每一個取值所表示的試驗結(jié)果.解(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.它們表示在5次罰球中分別罰中0次,1次,2次,3次,4次,5次.(2)Y的所有可能取值為0,2,4,6,8,10.它們表示5次罰球后分別得0分,2分,4分,6分,8分,10分.10.一個袋中裝有除顏色外其他都相同的5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)為X.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應的X的值;(2)若規(guī)定抽取3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管結(jié)果如何都加上6分,求最終得分Y的可能取值.解(1)結(jié)果取得3個黑球取得1個白球,2個黑球取得2個白球,1個黑球取得3個白球X0123(2)由題意可得Y=5X+6,而X的可能取值為0,1,2,3,所以Y對應的取值為5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,即Y的可能取值為6,11,16,21.【能力提升練】1.袋中裝有大小和顏色均相同的5個乒乓球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,現(xiàn)從中任意抽取2個,設兩個球上的數(shù)字之積為X,則X所有可能取值的個數(shù)是()A.6 B.7 C.10 D.25解析X的所有可能取值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共10個.答案C2.一個袋中裝有5個白球和5個紅球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)記為ξ,則隨機變量ξ的值域為.答案{0,1,2,3}3.一個木箱中裝有8個同樣大小的籃球,編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8,現(xiàn)從中隨機取出3個籃球,以X表示取出的籃球的最大號碼,則X=8表示的試驗結(jié)果有種.解析X=8表示“3個籃球中一個編號是8,另外兩個從剩余7個中任選”,有C7答案214.某人去商廈為所在公司購買玻璃水杯若干只,公司要求至少要買50只,但不得超過80只.商廈有優(yōu)惠規(guī)定:一次購買少于或等于50只的無優(yōu)惠;多于50只的,超出的部分按原價的7折優(yōu)惠.已知水杯原來的價格是每只6元.這個人一次購買水杯的只數(shù)ξ是一個隨機變量,則他所付款η是否也為一個隨機變量呢?ξ,η有什么關系呢?解所付款η也是一個隨機變量,且η=50×6+(ξ-50)×6×0.7=4.2ξ+90,ξ∈[50,80],且ξ∈N.5.某次演唱比賽,需要加試文化科學素質(zhì),每位參賽選手需回答3個問題,組委會為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇,其中有5道文史類題目、3道科技類題目、2道體育類題目.測試時,每位選手從給定的10道題目中不放回地隨機抽取3次,每次抽取一道題目,回答完該題后,再抽取下一道題目作答.記某選手抽到科技類題目的道數(shù)為X.(1)試求出隨機變量X的可能取值.(2)X=1表示的試驗結(jié)果是什么?可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果?解(1)由題意得X的可能取值為0,1,2,3.(2)X=1表示的試驗結(jié)果是“恰好抽到一道科技類題目”.可能出現(xiàn)C3【素養(yǎng)培優(yōu)練】寫出下列隨機變量可能的取值,并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果.(1)一個袋中裝有大小相同的2個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)X;(2)拋擲兩枚骰子各一次,第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差的絕對值Y.解(1)X的所有可能取值為0,1,2.X=0表示所取的3個球是3個黑球;X=1表示所取的3個球是1個白球、2個黑球;X=2表示所取的3個球是2個白球、1個黑球.(2)Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.用(a,b)表示一個樣本點,其中a為第一枚骰子擲出的點數(shù),b為第二枚骰子擲出的點數(shù).Y=0表示擲出的兩枚骰子的點數(shù)相同,其包含的樣本點有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).Y=1表示擲出的兩枚骰子的點數(shù)相差1,其包含的樣本點有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).Y=2表示擲出的兩枚骰子的點數(shù)相差2,其包含的樣本點有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4).Y=3表示擲出的兩枚骰子的點數(shù)相差3,其包含的樣本點有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3).Y=4表示擲出的兩枚骰子的點數(shù)相差4,其包含的樣本點有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2).Y=5表示擲出的兩枚骰子的點數(shù)相差5,其包含的樣本點有(1,6),(6,1).第七章隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列第二課時【基礎達標練】1.設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y=X-2,則P(Y=2)等于()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,故P(Y=2)=P(X=4)=0.3.答案A2.已知離散型隨機變量X的分布列如下表,則實數(shù)c為()X01P9c2-c3-8cA.13 B.C.13或解析由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,解得c=13答案A3.若隨機變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<a)=0.8時,實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)解析由隨機變量X的分布列知P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故當P(X<a)=0.8時,實數(shù)a的取值范圍是(1,2].答案C4.若隨機變量X的分布列如下表所示,則a2+b2的最小值為()X0123P1a1bA.124 B.116 C.1解析由分布列性質(zhì)可知a+b=12,故a2+b2≥(a+b)答案C5.已知離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則P12A.23 B.34 C.4解析∵P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),∴a2∴P12<X<52=P(X=1)+P(X=2)=54答案D6.已知隨機變量X的分布列如下表.X012345P127812則X為奇數(shù)的概率為.答案87.有一種密碼,明文由三個字母組成,密碼由明文的這三個字母對應的五個數(shù)字組成.編碼規(guī)則如下表.明文由表中每一排取一個字母組成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二