北師大版數(shù)學(xué)初二年級(jí)（上冊(cè)）全部資料全

./第一章勾股定理知識(shí)導(dǎo)學(xué)：

勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。這個(gè)定理在中國(guó)又稱為"商高定理",在外國(guó)稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"。運(yùn)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明,在有關(guān)直角三角形求邊的計(jì)算中,只要分析出兩個(gè)條件?！财渲兄辽僖贿吘湍芙狻Ｒ⒁庥袝r(shí)要利用邊與邊之間的關(guān)系,設(shè)未知數(shù)通過列方程來解幾何題。在運(yùn)用勾股定理進(jìn)行證明時(shí),要結(jié)合已知條件和所學(xué)過的各種圖形的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形,同時(shí)要加強(qiáng)分析。

典型例題：

例1.如圖在中,,的平分線AD交BC于D,

求證：。

證明：平分

在中,

例2.作長(zhǎng)為的線段。

分析：故只須先作出長(zhǎng)為的線段。

作法：<1>作直角邊長(zhǎng)為1〔單位長(zhǎng)的等腰直角三角形。

<2>以斜邊AB為一直角邊,作另一直角邊長(zhǎng)為3的Rt⊿ABD,則線段BD的長(zhǎng)為所求。例3.如圖,中,分別為BC的高和中線,求DE的長(zhǎng)。解：設(shè)

又

在中,

在中,

即

解得：

例4.如圖：正方形ABCD中,E是DC中點(diǎn),F是EC中點(diǎn)。

求證：。

分析：要證,一般方法是在中取一個(gè)角使之等于,再證明另一個(gè)角也等于,

另一種方法是把小角擴(kuò)大一倍,看它是否等于較大的角。

證明：取BC中點(diǎn)G,連結(jié)AG并延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線于H。

∵∠ABG=∠HCG,BG=CG,∠AGB=∠HGC

又

在中,設(shè),由勾股定理得：

又課后練習(xí)：

1.如圖,中,,D為BC的中點(diǎn)。

求證：。

2.如圖中,,求AC的長(zhǎng)及的面積。

3.如圖中,,AD為的平分線交BC于D,,,求AC的長(zhǎng)。4.如圖,中,,求BC的長(zhǎng)。5.如圖中,,D為AB的中點(diǎn),E、F分別在AC、BC上,且,

求證：。

答案：

1.證明：

2.解：作AB的垂直平分線DE交AB于D,交AC于E

連結(jié)BE,則

在中,3.解：作交AB于E

平分

在和中,

在中,

又4.解：作于D

由知

又

在中,〔負(fù)值舍去

5.證明：延長(zhǎng)FD到G使

連結(jié)AG、EG,則EF=EG

趣話勾股定理1955年希臘發(fā)行了一張郵票,圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體──畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn)。郵票上的圖案是對(duì)數(shù)學(xué)上一個(gè)非常重要定理的說明。它是初等幾何中最精彩的,也是最著名和最有用的定理。在我國(guó),人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲,人們稱它為畢達(dá)哥拉斯定理。

勾股定理斷言：直角三角形的斜邊的平方等于其它二邊的平方的和。如果我們要找一個(gè)定理,它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑,那么勾股定理稱得上是最佳選擇。但是,如果人們要考究這個(gè)定理的起源,則常常會(huì)感到迷惑。因?yàn)樵跉W洲,人們都把這個(gè)定理的證明歸功于畢達(dá)哥拉斯；但通過二十世紀(jì)對(duì)在美索不達(dá)米亞出土的楔形文字泥版書進(jìn)行的研究,人們發(fā)現(xiàn)早在畢達(dá)哥拉斯以前一千多年,古代巴比倫人就已經(jīng)知道這個(gè)定理。在我國(guó)西漢或更早時(shí)期的天文歷算著作《周髀算經(jīng)》中,第一章記述了西周開國(guó)時(shí)期〔約公元前1000年商高和周公姬旦的問答。周公問商高："天不可階而升,地不可將盡寸而度。"天的高度和地面的一些測(cè)量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高回答："故折矩以為勾廣三,股修四,徑隅五。"即我們常說的勾三、股四、弦五。《周髀算經(jīng)》里還這樣記載：周髀長(zhǎng)八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也,正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸,正北千里,勾一尺七寸。日益表南,晷日益長(zhǎng)。候勾六尺,即取竹,空經(jīng)一寸,長(zhǎng)八尺,捕影而觀之,室正掩日,而日應(yīng)空之孔。由此觀之,率八十寸而得徑寸,故此勾為首,以髀為股,從髀至日下六萬里而髀無影,從此以上至日,則八萬里。這段文字描述了中國(guó)古代人民如何利用勾股定理在科學(xué)上進(jìn)行實(shí)踐。錢偉長(zhǎng)教授對(duì)這段文字作了詳細(xì)的說明："……商高,陳子等利用立竿〔即周髀測(cè)定日影,再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺,在鎬京〔今XX附近一帶,夏至日太陽影長(zhǎng)一尺六寸,再正南千里,影長(zhǎng)一尺五寸。正北千里,影長(zhǎng)一尺七寸。祖先天才地用測(cè)量日影的辦法,推算了夏至日太陽離地的斜高,用同理測(cè)定了冬至日的太陽斜高。又取中空竹管,徑一寸長(zhǎng)八尺,用來觀測(cè)太陽,我們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽圓影恰好充滿竹管的視線,於是用太陽的斜高和勾股的原則,推算太陽的直徑。這些測(cè)定的數(shù)據(jù)雖然非常粗略,和實(shí)際相差很遠(yuǎn),但在三千年前那樣早的年代,有這樣天才的創(chuàng)造和實(shí)踐的觀測(cè)精神,是我們應(yīng)該學(xué)習(xí)的。"由此,中國(guó)人把這個(gè)定理稱為勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是,歐洲人稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理,也有他們的說法。因?yàn)槭钱呥_(dá)哥拉斯本人,至少是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的某一成員首先給出了對(duì)這個(gè)定理符合邏輯的證明。雖然,畢達(dá)哥拉斯有不少杰出的證明,如利用反證法證明√2不是有理數(shù),但最著名的就是證明勾股定理了。傳說當(dāng)他得到了這個(gè)定理時(shí),非常的高興,殺了一頭牛作為犧牲獻(xiàn)給天神。也有些歷史學(xué)家說是一百頭牛,這個(gè)代價(jià)可太大了！

勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理──有四百多種說明！希臘郵票上所示的證明方法,最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。漢朝的數(shù)學(xué)家趙君卿,在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí),附了一個(gè)圖來證明勾股定理。這個(gè)證明是四百多種勾股定理的說明中最簡(jiǎn)單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個(gè)定理的嗎？〔提示：考慮黑邊框正方形的面積計(jì)算勾股定理及其逆定理一、知識(shí)要點(diǎn)

1.掌握直角三角形的性質(zhì)。

如圖,直角ΔABC的性質(zhì)

〔1勾股定理:∠C=90°,則有c2=a2+b2

另外還有:

〔2∠C=90°,則有∠A+∠B=90°,

〔3∠C=90°,則有c>a,c>b。

〔4補(bǔ)充定理：在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于30度,則這個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

如圖：

∠C=90°且∠A=30°,則有BC=AB<或者AB=2BC>

2.掌握勾股定理的逆定理：

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理,而勾股定理的逆定理為直角三角形的判定定理。

即在ΔABC中,若a2+b2=c2,則ΔABC為RtΔ。其中c是三角形中最長(zhǎng)的邊。

3.注意事項(xiàng):

<1>注意勾股定理只適用于直角三角形,一般的非直角三角形就不存在這種關(guān)系。

<2>理解勾股定理的一些變式

c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2

c2=<a+b>2-2ab,2ab=<a+b+c><a+b-c>

<3>在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù)。

滿足不定方程x2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù)〔又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù),顯然,以x,y,z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股數(shù),對(duì)解題是會(huì)有幫助的：

<3,4,5>,<6,8,10>,<5,12,13>,<7,24,25>,<8,15,17>……

如果<a,b,c>是勾股數(shù),當(dāng)t>0時(shí),以at,bt,ct為三角形的三邊長(zhǎng),此三角形必為直角三角形。

二、例題精講:

例1、已知如圖,在ΔABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,求CD的長(zhǎng)。

分析：本題考查勾股定理的應(yīng)用,解題思路為先用勾股定理求AC,再運(yùn)用三角形的面積公式得到SΔABC=

BC·AC=AB·CD,于是不難求CD。

解：因?yàn)棣BC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有

AC2=AB2-BC2=25-9=16,故AC=4。

又SΔABC=BC·AC=AB·CD

∴CD=,∴CD的長(zhǎng)是2.4cm。

解題規(guī)律：

〔1勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用就是已知直角三角形的兩邊可以求出第三條邊。因此,熟記一些平方數(shù)為勾股定理的運(yùn)用提供便利。

〔2本題的解題關(guān)鍵是先用勾股定理求AC,再用"面積法"求CD。

例2、試判斷：三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1<n>0>的三角形是否是直角三角形。

分析：條件中給出的是三邊的長(zhǎng),要判斷三角形是否為直角三角形,應(yīng)考察三邊的關(guān)系是否滿足a2+b2=c2,但是要找出最大的邊。

解：∵<2n2+2n+1>-<2n2+2n>=1>0,

<2n2+2n+1>-<2n+1>=2n2>0<n>0>,

∴2n2+2n+1為三角形中最大邊。

又∵<2n2+2n+1>2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

∴<2n2+2n>2+<2n+1>2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

∴<2n2+2n+1>2=<2n2+2n>2+<2n+1>2

根據(jù)勾股定理的逆定理可知,此三角形為直角三角形。

解題規(guī)律：

如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形。

①首先判定出最大邊〔如c；

②驗(yàn)證：c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系：

若a2+b2=c2,則ΔABC是以∠C為直角的直角三角形。

若a2+b2≠c2,則ΔABC不是直角三角形。

例3、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷ΔABC的形狀。

分析：要判斷ΔABC的形狀,需要找到a、b、c的關(guān)系,而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手,解決問題。

解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴<a-3>2+<b-4>2+<c-5>2=0。

∵<a-3>2≥0,<b-4>2≥0,<c-5>2≥0。

∴a=3,b=4,c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

評(píng)注：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。

例4、已知：如圖,折疊長(zhǎng)方形〔四個(gè)角都是直角,對(duì)邊相等的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的長(zhǎng)。

分析:容易知道三角形ΔAEF≌ΔAED,則AF=AD=BC=10,易求得BF、CF,在RtΔEFC中,滿足EF2=CE2+CF2。

解：設(shè)CE=x,則DE=8-x,

由條件知：ΔAEF≌ΔAED,∴AF=AD=10,EF=DE=8-x,

在ΔABF中,BF2=AF2-AB2=102-82=62,

∴BF=6,∴FC=4,

在RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2,∴<8-x>2=x2+42,

即64-16x+x2=16+x2,∴16x=48,x=3,

答：EC的長(zhǎng)為3cm。

解題規(guī)律：1.題目中有多個(gè)直角三角形,可以多次使用勾股定理；

2.利用解方程的思想來解決幾何問題是今后我們常用到的數(shù)學(xué)方法。

例5.如圖正方形ABCD,E為BC中點(diǎn),F為AB上一點(diǎn),且BF=AB。請(qǐng)問FE與DE是否垂直?請(qǐng)說明。

分析：題目中給出的是一些線段之間的關(guān)系,如何利用線段關(guān)系來考察直線垂直呢?連接DF,我們發(fā)現(xiàn)考察FE與DE是否垂直,實(shí)際上就是考察三角形DEF是否為直角三角形。

答：DE⊥EF。

設(shè)BF=a,則BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

連接DF〔如圖

∵DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,∴FE⊥DE。

解題思路:

〔1要正確區(qū)別與運(yùn)用勾股定理和它的逆定理；

〔2用計(jì)算的方法來說明三角形是直角三角形也是常用的方法；

〔3還可以設(shè)AB=a,有興趣的同學(xué)試試看；

〔4在以后的學(xué)習(xí)中還可以看到此題有更多和更好的證明方法。

例6、〔上海市中考題如圖,公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯,且∠QPN=30°,點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí),周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響,那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí),學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由,如果受影響,已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？

分析：〔1要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響,大于100m則不受影響,故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。

〔2要求出學(xué)校受影響的時(shí)間,實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校,行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。

解：作AB⊥MN,垂足為B。

在RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,

AP=160,∴AB=AP=80。

〔在直角三角形中,30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

∵點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,∴這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。

如圖,假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響,那么AC=100<m>,

由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,∴BC=60。

同理,拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響,那么,AD=100<m>,BD=60<m>,

∴CD=120<m>。

拖拉機(jī)行駛的速度為:18km/h=5m/s

t=120m÷5m/s=24s。

答略。

小結(jié):勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過做輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。

例7.CD是ΔABC的高,試判斷："CA2-CB2=AB<DA-DB>"是否成立？

分析：

<1>作出三角形的高以后,可以出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形；

<2>由于三角形的高有不同情況,高可能在三角形內(nèi)部,可能在三角形外部,因而要考慮分類討論；

<3>根據(jù)問題需要,可考慮應(yīng)用勾股定理進(jìn)行試探。

答：〔1當(dāng)CD在ΔABC形內(nèi)時(shí)〔如圖：

CA2-CB2=AD2-DB2=<AD+DB><AD-DB>=AB<AD-DB>

〔2當(dāng)CD在ΔABC形外時(shí)〔如圖：

CA2-CB2=AD2-DB2=<AD+DB><AD-DB>=AB<AD+DB>

所以,當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)成立,在三角形外時(shí)不成立。

解題思路:

〔1有直角時(shí),出現(xiàn)線段平方的關(guān)系常常會(huì)涉及到勾股定理；

〔2當(dāng)可能性不唯一時(shí),要分類討論。

練習(xí):

1.填空題目:

〔1直角三角形的周長(zhǎng)為12cm,斜邊的長(zhǎng)為5cm,則其面積為________；

答：6。

詳解：設(shè)兩直角邊分別為a和b,則有：a+b=7,將a+b=7兩邊平方得：

∴a2+2ab+b2=49而a2+b2=52=25,

∴2ab=24,∴ab=6。

〔2如果一個(gè)直角三角形的一條直角邊是另一條直角邊的2倍,斜邊長(zhǎng)是5cm,那么這個(gè)直角三角形的面積為______。

答：5

詳解：設(shè)一條直角邊為a,另一條直角邊為2a,則SΔ=a×2a=a2,

而a2+<2a>2=25,∴a2=5,∴SΔ=a2=5。

<3>若三角形的三邊為n+1,n+2,n+3,當(dāng)n=_____時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形。

答：2。

詳解：n+3是最大邊,當(dāng)<n+1>2+<n+2>2=<n+3>2時(shí),即n=2時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形。

<4>如圖,AD⊥CD,AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,若∠CAB=55°,則∠B=______。

答：35°。

解：在直角三角形ADC中,求得AC=5,由此可證得：ΔABC為RtΔ。則有∠B=90°-∠CAB=35°

<5>如果梯子的底端離建筑物9m,那么15m長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是____。

答：12m。點(diǎn)撥：設(shè)到達(dá)的高度為x,則有x2=152-92=144?！鄕=12。

2.選擇題:

<1>如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD等于〔。

A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm

答：B。

詳解：AB2=62+82=100,所以AB=10。

依題意有：ΔACD≌ΔAED。

設(shè)CD=x,則DE=x,BD=8-x,BE=10-6=4。

在RtΔDEB中：x2+42=<8-x>2,x=3cm。

〔2如果線段a,b,c能組成直角三角形,則它們的比可以是〔

A、1∶2∶4B、1∶3∶5C、3∶4∶7D、5∶12∶13

答：D。

設(shè)三邊分別為5m,12m,13m。三邊滿足勾股數(shù)。

〔3下列敘述中,正確的是〔。

A、直角三角形中,兩條邊的平方和等于第三邊的平方。

B、如果一個(gè)三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形

C、ΔABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a2+b2=c2,則∠A=90°

D、ΔABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a,b,c,若c2-a2=b2,那么∠B=90°

答：B。分析：A錯(cuò),直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

〔4直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)為11,另外兩邊的長(zhǎng)也是自然數(shù),那么它的周長(zhǎng)是〔。

A、132B、121C、120D、以上答案都不對(duì)

答：A。

詳解：設(shè)另兩邊為x,y<x>y>,則有x2-y2=112=121,由平方差公式得<x+y><x-y>=121,∵x+y>x-y。

∴x+y=121且x-y=1,

∴周長(zhǎng)為121+11=132。

3.如圖,從電線桿離地面6m處向地拉一條長(zhǎng)10m的纜繩,這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有多遠(yuǎn)？

依題意：AC=6,AB=10,如圖,在RtΔACB中,BC=8<m>。

故這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有8m。

4.在一根長(zhǎng)為24個(gè)單位的繩子上,分別標(biāo)出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn),它們將繩子分成長(zhǎng)為6個(gè)單位、8個(gè)單位和10個(gè)單位的三條線段。一手將繩子的兩個(gè)端點(diǎn)握在一起〔A點(diǎn)和D點(diǎn),兩名同伴分別握住B點(diǎn)和C點(diǎn),一起將繩子拉直,會(huì)得到一個(gè)什么形狀的三角形？為什么？

答：得到一個(gè)直角三角形,因?yàn)?2+82=102。所以,所得三角形為RtΔ。

5.已知：如圖,在ΔABC中,∠A=90°,DE為BC的垂直平分線。求證：BE2=AC2+AE2。

答：連CE,則BE=CE,

∵∠A=90°,∴AE2+AC2=EC2,〔勾股定理

∴AE2+AC2=BE2,即BE2=AC2+AE2。第一章檢測(cè)題一、選擇題

1、若把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度,則新三角形是〔。

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定

2、下列各組數(shù)分別是三角形三條邊的長(zhǎng),能構(gòu)成直角三角形的邊的是〔。

A、5,13,13B、1,C、1,,3D、1.5,2.5,3.5

3、正方形ACEF的邊AC是正方形ABCD的對(duì)角線,則正方形ABCD與正方形ACEF的面積比是〔。

A、∶2B、∶1C、1∶2D、4∶1

4、已知三角形兩邊分別是5和12,若這兩邊的夾角是30°,則其面積是〔。

A、30B、15C、45D、60

5、已知等邊三角形的面積為cm2,那么它的高是〔。

A、cmB、cmC、cmD、cm

二、填空題

6、如圖1,CE、CD分別是RtΔABC斜邊上的高和中線,那么圖中所有的直角三角形分別是_____,圖中所有的等腰三角形是_____,其中相等的線段是_____=_____=_____。

7、如圖2,在ΔABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,EF⊥AC交AD于G,那么圖中所有直角三角形分別是________,

∠DAC是RtΔ_____與RtΔ________的公共角,∠C=∠_____=∠_____；若∠BAD=42°,∠CAD=15°,則∠GDE=____度,

∠DGE=____度,∠DEG=____度。

8、在ΔABC中,∠A的對(duì)邊為a,∠B的對(duì)邊為b,∠C的對(duì)邊為c,∠C=90°。

①若a=5,b=12,c=_____。

②若b=5,c=7,則a=_____。

③若c=30,a∶b=3∶4,則a=____,b=_____。

④若a=m,∠A=30°,則b=_____,c=______。

⑤若b=m,∠A=30°,則a=_____,c=______。

⑥若a=b,c=m,則a=_____,SΔABC=_____。

⑦若a=b=m,則c=_____,SΔABC=_____。

9、在RtΔABC中,∠C=90°,a=6,b=8,則c=_____,斜邊上的高等于____。

10、正方形的面積為acm2,則以這個(gè)正方形的對(duì)角線為邊的正三角形的面積是______。

11、在ΔABC中,BC=n2-1,AC=2n,AB=n2+1,則∠A+∠B=_____。

12、直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是3cm和4cm,則斜邊上的高是_____cm。

13、已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為6,則它的高是______,面積是_______。

14、在ΔABC中,AC⊥BC,以AC和BC為邊向形外作等邊三角形的面積為3cm2和4cm2,則以斜邊AB為邊向形外所作等邊三角形的面積是_____。

15、已知直角三角形的兩條直角邊是6cm和8cm,則斜邊上的中線長(zhǎng)是_____。

16、若直角三角形的兩直角邊滿足a+b=,斜邊c=2,則SΔABC=______。

三、解答題

17、在ΔABC中,∠C=90°,AB=m2+n2,BC=m2-n2<m>n>0>,求AC。

18、直角三角形斜邊上的中線比一直角邊短1cm。如果斜邊長(zhǎng)為10cm,求兩條直角邊的長(zhǎng)和面積。

19、如圖3,在ΔABC中,AB>AC,AD是中線,AE是高。求證：AB2-AC2=2BC·DE。

20、如圖4,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5m的C處,直立長(zhǎng)著一根蘆葦,出水部分BC的長(zhǎng)是0.5m,把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B恰好在D點(diǎn)。求：水的深度AC。

21、沙漠探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地出發(fā),以12公里/小時(shí)的速度向東南方向搜索前進(jìn),同時(shí),B組也由駐地出發(fā),以9公里/小時(shí)的速度向東北方向搜索前進(jìn),求2個(gè)小時(shí)后,A、B兩組之間的距離。

第一章檢測(cè)題答案：

一、1.A2.B3.C4.B5.C

二、6.ΔABC、ΔAEC、ΔBEC、ΔDEC；ΔADC、ΔBDC；AD,DC,DB

7、ΔADB、ΔADC、ΔDEB、ΔDEA、ΔAEF、ΔAGF；ADC,AFG;AGF,EGD；48,75,57

8、①13②③18,24④,2m

⑤⑥⑦

9、10,4.8〔提示：利用直角三角形的兩個(gè)面積公式,得到方程即ab=ch,得到,其中a,b,為直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高.

10、

11、90°〔提示：滿足BC2＋AC2=AB2,所以三角形ABC是以頂點(diǎn)C為直角的RT△。

12、

13、

14、7cm2〔提示：等邊三角形的面積公式為,其中a為等邊三角形的邊長(zhǎng)。這個(gè)公式記住直接用會(huì)很快。設(shè)RT△三邊為a,b,c,則。

15、5cm

16、。<提示：a+b=,則<a+b>2=6,a2+b2+2ab=c2+2ab=6,所以2ab=6-22=2,直角三角形的面積為

>

三、17、2mn

18、6cm,8cm,24cm2。

19、證明：

AB2-AC2

=<BE2+AE2>-<EC2+AE2>

=BE2-EC2

=<BE+EC><BE-EC>

=BC·<BE-EC>

∵BD=DC,∴BE=BC-EC=2DC-EC。

∴AB2-AC2=BC·<2DC-2EC>=2BC·DE。

20、如圖,依題意AB=AD,AB⊥CD,

設(shè)AC長(zhǎng)度為x,由題意得CD=1.5,AB=x+0.5=AD,

所以：x2+1.52=<x+0.5>2,

解得x=2。

答：水的深度為2米。

21、2小時(shí)后,A組走的路程為：12×2=24,

B組走的路為：9×2=18。

因兩組前進(jìn)的方向是直角,所以兩組之間的距離是：

=30〔公里。

答：2小時(shí)后,兩組之間的距離是30公里。第二章實(shí)數(shù)平方根和立方根一、知識(shí)要點(diǎn)：1、平方根的意義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根〔或二次方根。

注意：這樣的數(shù)常常有兩個(gè)。2、平方根的性質(zhì)：

<1>一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù);如9的平方根是±3。

<2>0的平方根是0本身；

<3>負(fù)數(shù)沒有平方根。3.平方根的表示方法:正數(shù)a的平方根表示為"±"4.算術(shù)平方根:正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根。記作。0的平方根0,也叫做0的算術(shù)平方根。5.≥0〔當(dāng)a<0時(shí),無意義。到此為止,我們已學(xué)完三個(gè)非負(fù)數(shù):|a|、a2和<a≥0>。6.立方根和開立方同平方根開平方的概念類似。二.易犯錯(cuò)誤：1.算術(shù)平方根與平方根混淆,例如出現(xiàn)100的平方根等于10的錯(cuò)誤．2.表示的正數(shù)a的算術(shù)平方根。蘊(yùn)含條件a≥0。三.例題分析:例1.求下列各數(shù)的平方根,算術(shù)平方根:

<1>121<2>0.0049<3><4>4<5>|a|2解:<1>∵<±11>2=121∴121的平方根是±11,算術(shù)平方根是11；即±=±11,=11。<2>∵<±0.07>2=0.0049∴0.0049的平方根是±0.07,算術(shù)平方根是0.07,即,±=±0.07,=0.07。<3>∵<±>2=∴的平方根是±,算術(shù)平方根是,即±=±,=。<4>要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),即4∵<±>2=∴4的平方根為±,算術(shù)平方根為。即,±。<5>∵<±|a|>2=|a|2,而±|a|=±a。∴|a|2的平方根是±a,算術(shù)平方根為|a|。說明:通過例1,我們看到必須熟記1-20的平方數(shù),和1-10的立方數(shù),才能很好地做這部分習(xí)題。例2.求下列各式的值:解:<1>3=3×=<2>±=±<3>=8<4>±=±<5>-<帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)><6>3×=3×7=21<7><8>×0.6+×0.9=0.3+0.3=0.6<9><a<b>=∵a<b,∴原式=-<a-b>=b-a。<10>=-1例3、化簡(jiǎn)：分析：本題逆用冪之積,完全平方公式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)。解：原式=例4、如圖,數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b、c、d,其中A和B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

〔1化簡(jiǎn)：

〔2求值：3a+2c+d+2|c-b|+分析：∵A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴a=-b代入各式化簡(jiǎn)。解：〔1∵a=-b,由圖可知b>0∴原式=〔2∵b>c,b>d；

原式=3a+2c+d+2<b-c>+b-d

=3a+2c+d+2b-2c+b-d

=3a+3b=3a-3a=0例5.求下列各式中的x:<1>49x2=169解:x2=∴x=±∴x=±。<2>9<3x-2>2=<-7>2分析:先求出3x-2的值,再進(jìn)一步求x的值。解:<3x-2>2=∴3x-2=±∴3x-2=±接下來需分類討論。

當(dāng)3x-2=時(shí),3x=+2,∴x=。

當(dāng)3x-2=-時(shí),3x=-+2,∴x=-。

∴x=或x=-。<3>=11解:兩邊平方得x=121。<4>27<x-3>3=-64解:<x-3>3=-∴x-3=∴x-3=-∴x=<5><5x+2>3-125=0解:<5x+2>3=125∴5x+2=∴5x+2=5

∴x=<6>=2解:∴x-1=23∴x-1=8∴x=9例6.若<x-y+5>2與互為相反數(shù),求x,y的值。解:∵<x-y+5>2與互為相反數(shù)。∴<x-y+5>2+=0∵<x-y+5>2≥0,≥0,∴解這個(gè)方程組得∴x=-且y=。說明:在這里用到"幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零,只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別是零,才符合要求"這一性質(zhì)。四.練習(xí):1.判斷正誤:<1>的平方根是±3。〔<2>=±。〔<3>16的平方根是4?！?lt;4>任何數(shù)的算術(shù)平方根都是正數(shù)?！?lt;5>是3的算術(shù)平方根?！?lt;6>若a2=b2,則a=b?！?lt;7>若a=b,則a2=b2?！?lt;8>729的立方根是±9。〔<9>-8的立方根是-2。〔<10>的平方根是±?！?lt;11>-沒有立方根?！?lt;12>0的平方根和立方根都是0?！?.填空:<1><-3>2的平方根是______,算術(shù)平方根是______。<2>169的算術(shù)平方根的平方根是______。<3>的負(fù)的平方根是______。<4>-是______的一個(gè)平方根,<->2的算術(shù)平方根是______。<5>當(dāng)m=______時(shí),有意義；當(dāng)m=______時(shí),值為0。<6>當(dāng)a為______時(shí),式子有意義。<7>是4的______,一個(gè)數(shù)的立方根是-4,這個(gè)數(shù)是______。<8>當(dāng)x為______時(shí),有意義。<9>已知x2=11,則x=______。<10>當(dāng)a<0時(shí),=______。3.選擇題:<單選><1>在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,可進(jìn)行開平方運(yùn)算的是<>。

<A>負(fù)實(shí)數(shù)<B>正數(shù)和零<C>整數(shù)<D>實(shí)數(shù)<2>若=5,則x=<>

<A>0<B>10<C>20<D>30<3>下列各式中無意義的是<>。

<A>-<B><C><D><4>下列運(yùn)算正確的是<>

<A>-=13<B>=-6<C>-=-5<D>=±<5>如果a<0,那么a的立方根是<>

<A><B><C>-<D>±<6>下列各題運(yùn)算過程和結(jié)果都正確的是<>

<A><B>=2×=<C>=7+=7<D>=a+b4.求下列各式中x的值:

<1>4x2-100=0<2>64<x+1>3+27=05.如果+|6y-5|=0,求xy的值。練習(xí)參考答案:1.判斷正誤:

<1>×<2>×<3>×<4>×<5>√<6>×

<7>√<8>×<9>√<10>√<11>×<12>√2.填空:

<1>±3；3<2>±<3>-

<4>3；<5>m≥；m=3<6>a≥2且a≠3

<7>立方根；-64<8>x為任意實(shí)數(shù)<9>±<10>-a3.選擇題:

<1>B<2>D<3>D<4>C<5>A<6>A4.求x的值:

<1>x=±5<2>x=-5.x=,y=,xy=。10.1平方根考點(diǎn)掃描

1.了解一個(gè)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的意義。

2.會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。名師精講

1.如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根,即如果x2=a,那么x叫做a的平方根。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根,它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。2.一個(gè)正數(shù)a的正的平方根,用符號(hào)""表示,a叫做被開方數(shù),2叫做根指數(shù),2通常省略不寫,表示為,正數(shù)a的負(fù)的平方根,用符號(hào)"–"表示,這兩個(gè)平方根合起來記作"±",0的平方根記作""。求一個(gè)正數(shù)a的平方根的過程,就是平方的逆運(yùn)算——開方,求平方等于a的兩個(gè)數(shù)的過程,常用的方法步驟是：①從平方入手,寫出形如<±>2=a的式子；②從平方式確定出所求數(shù)的平方根；③表示出開平方的結(jié)果

±=±x。3.本節(jié)的內(nèi)容是本章的基礎(chǔ),重點(diǎn)是理解平方根及算術(shù)平方根的意義,所以試題以判斷、選擇、填空的形式出現(xiàn)較多,解題時(shí)應(yīng)注意對(duì)概念的理解。利用定義求某些數(shù)的平方根及算術(shù)平方根也是常出現(xiàn)的題目。中考典例

1.<北京海淀區(qū)>已知x、y是實(shí)數(shù),若axy–3x=y,則實(shí)數(shù)a的值是<>

A、B、–C、D、–考點(diǎn)：一元一次方程的解法、算術(shù)平方根評(píng)析：將原條件變?yōu)?。根?jù)算術(shù)平方根,平方的非負(fù)性可得3x+4=0,y–3=0,解得

x=,y=3將其代入到axy–3x=y中,建立關(guān)于a的一元一次方程–4a+4=3解得a=,故選A。2.<XXXX>計(jì)算：-22+<-2>2+

考點(diǎn)：平方根的運(yùn)用。評(píng)析：此題關(guān)鍵是求的算術(shù)平方根,然后再進(jìn)行加法運(yùn)算,但應(yīng)注意–22與<–2>2的不同。

計(jì)算結(jié)果為。3.<XX省>36的算術(shù)平方根是<>

A、6B、±6C、D、±考點(diǎn)：算術(shù)平方根。評(píng)析：求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根,即為正數(shù),所以可用平方法確定,因?yàn)?的平方是36,所以36的算術(shù)平方根為6,選A。此題也可用排除法,根據(jù)算術(shù)平方根的定義排除B、D,由<>2≠36,排除C,因此選A。真題專練

1.<北京市燕山>下列各式中,正確的是<>

A、B、=±2C、=2D、=–22.<北京市西城區(qū)>下列運(yùn)算中正確的是<>

A、a2·a3=a6B、=2C、<3–π>0=0D、3–2=–93.<XX省>4的平方根是。4.<北京崇文區(qū)>下列計(jì)算結(jié)果正確的是<>

A、<–2>2=4B、2–2=–4C、<–2>0=0D、5.<XX省>若|x–2|+=0,則xy=。6.<XX市>一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是a+1和a–3,則a,x。答案：1、C；2、B；3、±2；4、A；5、6<提示：由條件得：x–2=0,y–3=0,即x=2,y=3>；6、1,4<提示：由平方根的意義可知a+1+a–3=0,解得a=1,則x=4>。10.3立方根考點(diǎn)掃描

1.知道一個(gè)數(shù)的立方根的意義。

2.會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根。名師精講

1.關(guān)于立方根的概念可參照平方根的概念來學(xué)習(xí)。如果x3=a,那么x叫做a的立方根。2.平方根與立方根的區(qū)別

<1>表示方法：平方根用"±"表示,根指數(shù)2可以省略；立方根用""表示,根指數(shù)3不能略去,更不能寫成"±"。<2>性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù),一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；負(fù)數(shù)沒有平方根,一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。<3>立方根中的a的取值為任何數(shù),即正數(shù)、負(fù)數(shù)、零均可；平方根中的a的取值只能為a≥0,因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根。3.若a>0,則=–,即求負(fù)數(shù)的立方根,可以先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的立方根,然后再取它的相反數(shù)。中考典例

<XXXX>–8的立方根與4的算術(shù)平方根的和是<>

A、0B、4C、–4D、0或–4考點(diǎn)：算術(shù)平方根、立方根。評(píng)析：根據(jù)立方根,算術(shù)平方根的意義,先分別求出–8的立方根為–2,4的算術(shù)平方根為2,最后求和即–2+2=0故選A。真題專練

1、<XX市>下列各組數(shù)中,互為相反數(shù)的是<>

A、0B、|–2|與2C、–2與D、–2與2、<XX省>在下列式子中,正確的是<>

A、=–B、–=–0.6C、D、答案：1、C；2、A課外拓展、平方根近似值的一種求法在不少場(chǎng)合,我們需要求出某個(gè)正數(shù)平方根的近似值,那么,通常采用什么方法呢？教科書中介紹了查表的方法,使用計(jì)算器的方法和筆算開平方法,這些都是十分實(shí)用的。下面我們介紹另一種實(shí)用的方法。假定我們要求的近似值。因?yàn)?2=9,42=16,據(jù)此知道比3大比4小,設(shè)=3+b,b是一個(gè)正的純小數(shù),兩邊平方得到13=9+6b+b2因?yàn)閎2是一個(gè)比b還小得多的正純小數(shù),舍去b2得到13=9+6b,于是得到的一個(gè)近似值為3.67。若我們要得到更好的近似值,那么,可以以第一次得到的近似值為基礎(chǔ),設(shè)=,c是一個(gè)絕對(duì)值較小的正數(shù)或負(fù)數(shù)。兩邊平方得,舍去c2,得到,

。

于是就有=3.67－0.06=3.61,即得到的第二次近似值為3.61。觀察上面的計(jì)算過程,就可發(fā)現(xiàn),在式子=3+b和=３+c中,３或３是接近于的一個(gè)有理數(shù),b或c用分?jǐn)?shù)表示時(shí),它的分子是被開方數(shù)13與接近于的數(shù)的平方之差,分母是2倍的接近于的數(shù),即有

=≈3+,

=≈。

由此我們可以看到,這其中隱藏著的某種規(guī)律性的東西,用式子表示出來就是

≈a+。這一規(guī)律早在我國(guó)魏晉間杰出的數(shù)學(xué)家劉徽的《九章算術(shù)注》里〔約公元263年前后就已提及。不僅如此,書中還提到,在非平方數(shù)的場(chǎng)合,有另一近似表達(dá)式

≈a+,并指出平方根的值在兩個(gè)近似值之間：

a+<<a+。利用這些公式,在0<|b|<a2的情況下,我們就可以很方便地求出一個(gè)正數(shù)平方根的近似值。例如,如果我們?nèi)=,b=-,就可求出古代巴比倫人給出的的近似值。如果我們?nèi)=,b=,就可以得到的第一次近似值,從出發(fā),就可求出的第二次近似值。這一結(jié)果是古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德在他的著作中給出的的一個(gè)近似值：與的差小于0.0000005。如果我們?nèi)=3.5,b=0.25,就可迅速求出≈3.536,它與教科書上的筆算開平方得到的結(jié)果=3.54是一致的。無理數(shù)的引入與確立我們知道實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)的形式來表示。當(dāng)用小數(shù)的形式表示時(shí),每個(gè)有理數(shù)都可寫成一個(gè)有限小數(shù)或一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)。而無理數(shù)則只能用一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)來表示。在古代由于日常生活中不僅要計(jì)算單個(gè)的對(duì)象,還要度量各種量,例如長(zhǎng)度、重量等,為了滿足這些簡(jiǎn)單度量的需要,于是便引入了分?jǐn)?shù)。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為度量就是一種量與量的比較,任何兩條線段之比,都可以用兩個(gè)整數(shù)的比來比較,也即一條線段的長(zhǎng)度可以表示成某一適當(dāng)長(zhǎng)度單位的倍數(shù),因此在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派看來,世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù),除此以外,沒有別的什么數(shù)了。然而得到了公元前5世紀(jì),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)成員依帕索在考慮單位正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度時(shí),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)與該學(xué)派信念——線段的長(zhǎng)度總是可以表示成整數(shù)或整數(shù)的比相矛盾的結(jié)論。如果我們?cè)O(shè)單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)能寫與整數(shù)或整數(shù)的比,即可設(shè)它為a∶b,其中a、b的最大公約數(shù)為1,那么根據(jù)勾股定理,易推得a、b滿足b2=2a2,因此b2也即b必是偶數(shù),這樣b就可寫成b＝2c,代入b2=2a2得a2=2c2,因此可得a2也即a必是偶數(shù),于是a、b就存在一個(gè)公約數(shù)為2,這與假設(shè)a、b的最大公約數(shù)為1矛盾,所以單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示。這一發(fā)現(xiàn)非同尋常,使該學(xué)派感到十分震驚和困惑,它說明存在著一種不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示的量,這直接違背了該學(xué)派的信念,純屬大逆不道。于是該學(xué)派按教規(guī)缺席審判要活埋依帕索,依帕索當(dāng)時(shí)聽到風(fēng)聲便逃走了。然而幾年之后,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的忠實(shí)門徒還是找到了依帕索,他們殘忍地將他扔進(jìn)了地中海,害死了他。對(duì)于依帕索所發(fā)現(xiàn)的新數(shù),古希臘數(shù)學(xué)家稱之為"ir-ratio-nalnumber",意思是說"不成比〔或不能表達(dá)的數(shù)",而實(shí)際上他們并不想將它看成一個(gè)數(shù)。到了1606年,我國(guó)明朝的徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯歐幾里得《原本》時(shí),便將它譯成"無理數(shù)"。無理數(shù)發(fā)現(xiàn)以后,由于它有悖于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信念,因此數(shù)學(xué)上就出現(xiàn)了所謂的第一次危機(jī)并致使希臘數(shù)學(xué)由注重?cái)?shù)到注重形〔幾何的轉(zhuǎn)變。在這一時(shí)期,包括歐幾里得在內(nèi)的數(shù)學(xué)家大多都繞開無理數(shù),對(duì)它不屑一顧。到了以阿基米德為代表的古希臘亞歷山大里亞數(shù)學(xué)時(shí)期,幾何學(xué)開始從定性到定量的轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)家開始使用無理數(shù),阿基米德還計(jì)算了π的近似值。在我國(guó),公元3世紀(jì)的劉徽也認(rèn)識(shí)到了像、等這些開方開不盡的數(shù),創(chuàng)造了求π的科學(xué)方法,他把這些數(shù)直接納入運(yùn)算,且用近似值來表示他們。和中國(guó)一樣,印度和阿拉伯人也不考慮可公度問題,直接將無理數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。到了12世紀(jì)印度的婆什迦羅等還給出了無理數(shù)的加、減、乘、除、開方法則。到了16、17世紀(jì)歐洲的數(shù)學(xué)家將無理數(shù)納入更廣泛的運(yùn)算中,有很多像笛卡兒等人的數(shù)學(xué)家承認(rèn)無理數(shù)是數(shù),但也有一些數(shù)學(xué)依然認(rèn)為,無理數(shù)不能精確地確定它的值,因此不是一個(gè)真正意義上的數(shù),只能作幾何理解。對(duì)無理數(shù)的嚴(yán)格定義要到19世紀(jì),當(dāng)實(shí)數(shù)理論建立以后它才給出。至此,人們對(duì)無理數(shù)才有了一個(gè)全面的了解。實(shí)數(shù)一、概述：從有理數(shù)到實(shí)數(shù),是數(shù)的范圍的一次重要的擴(kuò)充,對(duì)今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著重要的意義,因此我們應(yīng)學(xué)好這部分知識(shí)。在初中數(shù)學(xué)課中我們都是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究問題,到了高中我們還將學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)知識(shí)。本單元的重點(diǎn)和難點(diǎn)都是實(shí)數(shù)的有關(guān)概念。二、知識(shí)要點(diǎn)：

1.有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)都可以表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),如可表示為0.4,可表示為等等；所有形如<m,n為互質(zhì)的整數(shù),n≠0>的數(shù)都是有理數(shù)。2.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù),無理數(shù)不能表示成分?jǐn)?shù)的形式。如：π,,-,-……。3.實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。我們一般用下列兩種情況將實(shí)數(shù)進(jìn)行分類：

4.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反之?dāng)?shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)又都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。5.實(shí)數(shù)的相反數(shù)：如果a表示一個(gè)正實(shí)數(shù),-a就表示一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)。又如果a表示一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),則-a表示一個(gè)正實(shí)數(shù)。a與-a互為相反數(shù)。0的相反數(shù)仍是0。如π與-π,與-,m與-m…均互為相反數(shù)。6.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。即如果a是一個(gè)實(shí)數(shù),則有

|a|=例如,|-|=,|-π|=π,||=,|-|=-<->=-…注意：-a<a<0>是正數(shù),例如：-<->7.有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用。三、例題分析：

例1.找出下列各數(shù)中的無理數(shù)：-5,3.1416,,-,,,π,-,0.808008…,,,。解：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。3.1416是有限小數(shù)；是無限循環(huán)小數(shù)；-5,-=-3,=-2是整數(shù)；=,是分?jǐn)?shù),所以它們都是有理數(shù)。那么無理數(shù)有：,,π,-,0.808008…,因?yàn)樗鼈兌际菬o限不循環(huán)小數(shù)。注意：0.808008…是無限不循環(huán)小數(shù),只是數(shù)字有規(guī)律,但不是循環(huán)小數(shù),兩者區(qū)分開。例2.比較下列各組數(shù)的大小：

<1>-與-7<2>π與<3>-與-

<4>把下列各數(shù)按照由小到大的順序,用不等號(hào)連結(jié)起來：4,-3,-4,1.414,0,0.8,-,π,

-|4|,分析：實(shí)數(shù)比較大小是綜合性較強(qiáng)的題目,往往需要把無理數(shù)用近似的有理數(shù)代替,再用有理數(shù)比較大小的方法來進(jìn)行比較；有些需要用平方的方法,平方后再比較大??；有時(shí)還需找中介值等等。解：<1>變成統(tǒng)一形式∵|-|=,|-7|=7=<∴-<-7<兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的反而小><2>利用近似數(shù)

∵π=3.14159…,=3.1428…∴π<<3>用平方的方法：<->2=13+7-2=20-2<->2=20-2∵20-2<20-2即<->2<<->2且->0,->0∴-<-<4>∵-=-1.414…,=1.414…,-|4|=-4,π=3.14159…,把所有的數(shù)在數(shù)軸上找到與它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)<或者變成近似數(shù)>,從左到右便可得到：

-4<-|4|<-3<-<0<0.8<1.414<<π<4例3.化簡(jiǎn)下列各式：

<1>|-|<2>|π-3.142|

<3>|-|<4>|x-|x-3||<x≤3><5>|x2+6x+10|分析：要正確去掉絕對(duì)值符號(hào),就要弄清絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零,然后根據(jù)絕對(duì)值的定義正確去掉絕對(duì)值。解：<1>∵=1.414…<∴|-|=-<2>∵π=3.14159…<3.142∴|π-3.142|=3.142-π<3>∵<,∴|-|=-<4>∵x≤3,∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-<3-x>|=|2x-3|=說明：這里對(duì)|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法,我們對(duì)這個(gè)絕對(duì)值的基本概念要有清楚的認(rèn)識(shí),并能靈活運(yùn)用。<5>|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|<x+3>2+1|∵<x+3>2≥0,∴<x+3>2+1>0∴|x2+6x+10|=x2+6x+10例4.計(jì)算下列各式：

<1><2>

<3><4>0.2-0.7解：<1>=-4+2-3-2=-7<2>

=-+1

=-=-<3>

=0.8-0.14+1.1=1.76<4>0.2-0.7

=0.2×20-0.7×90=4-63=-59例5.已知<x-6>2++|y+2z|=0,求<x-y>3-z3的值。解：∵<x-6>2++|y+2z|=0且<x-6>2≥0,≥0,|y+2z|≥0,幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零,則必有每個(gè)加數(shù)都為0?！嘟膺@個(gè)方程組得∴<x-y>3-z3=<6-2>3-<-1>3=64+1=65例6.已知：=0,求實(shí)數(shù)a,b的值。分析：已知等式左邊分母不能為0,只能有>0,則要求a+7>0,分子+|a2-49|=0,由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式組從而求出a,b的值。解：由題意得由<2>得a2=49,∴a=±7由<3>得a>-7,∴a=-7不合題意舍去?！嘀蝗=7把a(bǔ)=7代入<1>得b=3a=21∴a=7,b=21為所求。例7.有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm,寬為8cm的矩形,要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形,問邊長(zhǎng)應(yīng)為多少cm。解：設(shè)新正方形邊長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15∵邊長(zhǎng)為正,∴x=-15不合題意舍去,∴只取x=15<cm>答：新的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)取15cm。四、練習(xí)：

<一>判斷正誤：

<1>帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)<>

<2>不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)<>

<3>無限小數(shù)都是無理數(shù)<>

<4>無理數(shù)一定是無限不循環(huán)小數(shù)<>

<5>有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)<>

<6>最小的實(shí)數(shù)是零,最大的實(shí)數(shù)不存在<>

<7>無理數(shù)加無理數(shù)的和是無理數(shù)<>

<8>有理數(shù)加無理數(shù)的和是無理數(shù)<>

<9>有理數(shù)乘無理數(shù)的積是無理數(shù)<>

<10>無理數(shù)乘無理數(shù)的積是無理數(shù)<><二>填空：

<1>|x-y+2|與互為相反數(shù),則x=_______,y=_______。<2>|x|=,則x=________。<3>=2,則x=________；若=3,則x=______。<4>若0≤x≤1,則+=____________。<5>如果分式有意義,則x的取值范圍是__________。<三>已知=0,試求x2-y2的值。<四>已知：x2+y2+4x-6y+13=0,求x2+y的平方根。練習(xí)參考答案：<一>判斷正誤：<1>×<反例：=2><2>×<反例：π><3>×<4>√<5>×<6>×<7>×<反例：+<->=0><8>√<9>×<反例：0×=0><10>×<反例：×=5><二>填空：<1>-；<2>±<><3>2；±3<4>1<5>x<3且x≠-3<三>解：∵x2+y2-2xy-14x+14y+49=<x-y>2-14<x-y>+49=<x-y-7>2根據(jù)題意得即解這個(gè)方程組得∴x2-y2=<x+y><x-y>=<26+19><26-19>=45×7=315<四>解：∵x2+y2+4x-6y+13=0而x2+y2+4x-6y+13=x2+4x+4+y2-6y+9=<x+2>2+<y-3>2∴<x+2>2+<y-3>2=0∵<x+2>2≥0,<y-3>2≥0∴∴x2+y=4+3=7∴x2+y的平方根為±。10.5實(shí)數(shù)考點(diǎn)掃描

1.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的意義。

2.了解有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用。名師精講

1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù),任何一個(gè)有理數(shù)都可寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式.反之,任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。

2.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).初中遇到的無理數(shù)有三類：①開不盡方,如：、等；②特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如：1.010010001…；③特定意義的數(shù),如：π、sin45°<以后要學(xué)>等,它們的本質(zhì)特征是無限不循環(huán)小數(shù)。

判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)或無理數(shù),不能只看表面,往往要經(jīng)過整理化簡(jiǎn)后才能下結(jié)論.如<+1>0是無理數(shù)嗎？因?yàn)?lt;+1>0=1是有理數(shù),∴<+1>0不是無理數(shù)。3.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)有以下兩種分類方法：

①按屬性分類：

②按符號(hào)分類

4.關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算法則,運(yùn)算規(guī)律和運(yùn)算性質(zhì),在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)仍成立。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算,而且正數(shù)和零總可以進(jìn)行開方運(yùn)算,負(fù)數(shù)只能開奇次方。應(yīng)當(dāng)注意,負(fù)數(shù)不能開偶次方。5.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示。反過來,數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示一個(gè)實(shí)數(shù)。我們可以用幾何作圖方法,在數(shù)軸上表示某些無理數(shù),如、等。6.近年中考考查本節(jié)內(nèi)容的題型較多,多以填空和選擇題的形式出現(xiàn),還有判斷、比較大小、求絕對(duì)值等題型也比較常見。重點(diǎn)考查：

①相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值、平方根、算術(shù)平方根、有理數(shù)、無理數(shù)等概念的掌握情況。

②實(shí)數(shù)大小的比較、簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)運(yùn)算等內(nèi)容。

③把一個(gè)數(shù)科學(xué)記數(shù),正確把握近似數(shù)的精確度和有效數(shù)字之間的關(guān)系。

④利用數(shù)軸,靠直觀判斷給出實(shí)數(shù)的特點(diǎn),進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算。中考典例

1.<2001XX省>計(jì)算：

考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

評(píng)析：該題是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,包括絕對(duì)值,0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,正整數(shù)指數(shù)冪。只要準(zhǔn)確把握各自的意義,就能正確的進(jìn)行運(yùn)算,其結(jié)果為1。易錯(cuò)點(diǎn)：忘記負(fù)整數(shù)指數(shù)<0指數(shù)>冪的意義,而使<>–2=–,<>0=0。2.<2001北京西城區(qū)>在3,2.3,,π四個(gè)數(shù)中,無理數(shù)的個(gè)數(shù)是<>

A、1B、2C、3D、4考點(diǎn)：無理數(shù)的意義

評(píng)析：只要弄明白無理數(shù)的意義及類型就能準(zhǔn)確選出答案B,即、π是無理數(shù)。3.<2001XXXX>下列計(jì)算正確的是<>

A、<–2>3×<–3>2=65B、x6÷x2=x3

C、<3–π>0+2–1=D、=–考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算評(píng)析：該題是運(yùn)算法則的考查,可用排除法。A：因?yàn)榈讛?shù)不同,指數(shù)不能相加；B：指數(shù)不應(yīng)相除而是應(yīng)該相減,C：<3–π>0=1,2–1=,所以1+=是正確的；D：左邊是一正數(shù),而右邊是負(fù)數(shù),所以不相等；故選C。說明：此類問題有一定的普遍性,在解答時(shí),必須準(zhǔn)確把握各種運(yùn)算法則。真題專練

1.<2002XX市>下列各式中計(jì)算正確的是<>

A、2+=2B、<>–3=16

C、a3·a4=a12D、20020+<–1>2002=22.<2002北京東城區(qū)>在實(shí)數(shù)–,0,,–3.14,中無理數(shù)有<>

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)3.<2001宿遷市>下列命題中正確的是<>

A、<–2>2的平方根是–2B、–1的立方根是–1

C、0.2060精確到千方位D、無理數(shù)是指無限循環(huán)小數(shù)答案：1、D；2、A；3、B無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在代數(shù)中,無理數(shù)是一類極其重要的數(shù),但它是通過幾何圖形發(fā)現(xiàn)的?；钴S于公元前6世紀(jì)后半期的希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,認(rèn)為世間萬物都是由數(shù)組成的。他們特別重視對(duì)整數(shù)的研究。通過對(duì)音樂中音階的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的分析,他們發(fā)現(xiàn)音樂的和聲與自然數(shù)1,2,3,4,5,…之間有著奇妙的聯(lián)系。我們彈一根弦,它發(fā)出了一個(gè)音；再去彈一根長(zhǎng)度恰好是2倍的弦,就會(huì)聽到它發(fā)出的音比原來的音恰好低8度。進(jìn)一步又發(fā)現(xiàn)：如果把發(fā)出c音的弦的長(zhǎng)度看作1,那么長(zhǎng)度為,,,,,,2,〔注意,這些長(zhǎng)度都可以表示為自然數(shù)或自然數(shù)的比的弦會(huì)分別發(fā)出下8度的B音、A音、G音、F音、E音、D音和C音。從這一發(fā)現(xiàn)開始,他們進(jìn)一步堅(jiān)信：一切和聲,一切真善美,一切自然現(xiàn)象都可以用整數(shù)之間的關(guān)系來表示,甚至一切行星在它們的軌道上運(yùn)行時(shí),也一定會(huì)發(fā)出一種天上的、整數(shù)比的音樂來,即所謂"天體音樂"。可是不久,他們卻發(fā)現(xiàn),邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能表示成兩個(gè)整數(shù)的比。他們費(fèi)了九牛二虎之力,找不出一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù),可以用作度量這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)的單位長(zhǎng)度。后來,畢達(dá)哥拉斯的一名學(xué)生布伯斯向世人宣布：正五邊形、正方形的對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比,都不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示；這些無法用整數(shù)關(guān)系來描述的比,是人們還沒有認(rèn)識(shí)的一類新的數(shù)?，F(xiàn)在,我們都知道,這類新的數(shù)叫做無理數(shù),它和有理數(shù)相對(duì),實(shí)際上,有理數(shù)和無理數(shù)的英文名稱是"rationalnumber"和"irrationalnumber",譯成"比數(shù)"和"非比數(shù)"更為合適。下面介紹一種在數(shù)軸上確定某些無理數(shù)的位置的方法。如圖1所示：

圖1

其中都是無理數(shù)。

再介紹一種通過作直角三角形找出長(zhǎng)度等于某些無理數(shù)的幾何線段的方法,如圖2所示：

圖2第三章平移與旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)要求：一、圖形的平移

1.通過實(shí)例認(rèn)識(shí)平移,探索平移的基本性質(zhì),理解平移特征。

2.能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形。

3.利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì),認(rèn)識(shí)和欣賞平移在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

二、旋轉(zhuǎn)

1.通過實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn),探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì),理解旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的特征。

2.能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形。

3.靈活運(yùn)用軸對(duì)稱平移、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

4.欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用

三、中心對(duì)稱

1.理解中心對(duì)稱圖形和成中心對(duì)稱的概念。

2.探索中心對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)以及成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形特征。

學(xué)習(xí)要求：

本章是探究在平移與旋轉(zhuǎn)這兩種運(yùn)動(dòng)與變換下圖形發(fā)生的變化,通過實(shí)例,理解平移與旋轉(zhuǎn)兩種變換過程,結(jié)合動(dòng)手實(shí)踐,合作交流探索出平移,旋轉(zhuǎn)及中心對(duì)稱的特征。

1.平移與旋轉(zhuǎn)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；

在兩種變換下的圖形大小形狀都沒有發(fā)生變化；

平移交換是把圖形平行移動(dòng),它是由移動(dòng)的距離和方向決定的。

旋轉(zhuǎn)變換是圖形繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),它是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定。

2.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的聯(lián)系

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形是指圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某角度〔小于周角與自身重合的圖形,中心對(duì)稱圖形是旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。

3.中心對(duì)稱圖形與成中心對(duì)稱既有區(qū)別又有聯(lián)系。

例題分析例1如圖,試問：由⊿ABC平移得到的三角形有幾個(gè)？

解：一共有5個(gè)

說明：事實(shí)上,圖中所有的小三角形均與三角形ABC形狀相同,但根據(jù)平移的定義,只有5個(gè)。

例2如圖,已知：點(diǎn)A及射線XY。求作：點(diǎn)A沿射線XY方向平移3cm后的圖形。作法：在射線AY上截取線段AA'=3cm,點(diǎn)A'即為所求。

例3如圖,經(jīng)過平移,△ABC的頂點(diǎn)A移到了點(diǎn)D,請(qǐng)作出平移后的三角形。

分析：因?yàn)锳與D是對(duì)應(yīng)點(diǎn),而平移的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行且相等所以平移方向——射線AD,平移距離——線段AD的長(zhǎng),

作法〔一

1、分別過點(diǎn)B、C沿AD方向作線段BE、CF,使它們與AD平行且相等

2、順次連結(jié)D、E、F

則△DEF即為所求。

作法〔二

1、過點(diǎn)D分別作DE、DF分別平行于AB、AC,且使DE=AB,DF=AC

2、連接EF

則△DEF即為所求。

作法〔三

1、過點(diǎn)B作線段BE平行AD且等于AD

2、連接DE

3、分別以D、E為圓心,以AC、BC為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F

4、連接DF、EF

則△DEF即為所求。

例4已知線段MN為正六邊形ABCDEF平移后所得的一條邊,請(qǐng)畫出平移后的圖形。解：〔如圖

說明：利用分類思想,MN可能是由AB平移而來,也可能是由ED平移所得,故本題有兩種可能。

例5如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=4,現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。

〔1若平移距離為3,求△ABC與△A’B’C’的重疊部分的面積；

〔2若平移距離為x〔,求△ABC與△A’B’C’的重疊部分的面積y,并寫出y與x的關(guān)系式。

解：〔1由題意CC’=3,BB’=3,所以BC’=1,

又由題意易得重疊部分是一個(gè)等腰直角三角形,所以其面積為；

〔2說明：這里應(yīng)用了平移的定義及對(duì)應(yīng)線段平行的性質(zhì)。應(yīng)用題專題講座應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際,生動(dòng)地反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系,能否從具體問題中歸納出數(shù)量關(guān)系,反映了一個(gè)人分析問題、解決問題的實(shí)際能力.

列方程解應(yīng)用題,一般應(yīng)有審題、設(shè)未知元、列解方程、檢驗(yàn)、作結(jié)論等幾個(gè)步驟.下面從幾個(gè)不同的側(cè)面選講一部分競(jìng)賽題,從中體現(xiàn)解應(yīng)用題的技能和技巧.

1.合理選擇未知元

例1：〔1983年XX市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題某人騎自行車從A地先以每小時(shí)12千米的速度下坡后,以每小時(shí)9千米的速度走平路到B地,共用55分鐘.回來時(shí),他以每小時(shí)8千米的速度通過平路后,以每小時(shí)4千米的速度上坡,從B地到A地共用小時(shí),求A、B兩地相距多少千米？

解法1：〔選間接元設(shè)坡路長(zhǎng)x千米,則下坡需

依題意列方程：

解之,得x=3.

答：A、B兩地相距9千米.

解法2：〔選直接元輔以間接元設(shè)坡路長(zhǎng)為x千米,A、B兩地相距y千米,則有如下方程組

解法3：〔選間接元設(shè)下坡需x小時(shí),上坡需y小時(shí),依題意列方程組：

例2：〔1972年美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題若一商人進(jìn)貨價(jià)便誼8%,而售價(jià)保持不變,那么他的利潤(rùn)〔按進(jìn)貨價(jià)而定可由目前的x%增加到<x+10>%,x等于多少？

解：本題若用直接元x列方程十分不易,可引入輔助元進(jìn)貨價(jià)M,則0.92M是打折扣的價(jià)格,x是利潤(rùn),以百分比表示,那么寫出售貨價(jià)〔固定不變的等式,可得：

M〔1+0.01x=0.92M[1+0.01〔x+10].

約去M,得

1+0.01x=0.92[1+01.1〔x+10].

解之,得x=15.

例3：在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間,時(shí)鐘上的分針和時(shí)針在什么時(shí)候重合？

分析：選直接元,設(shè)兩針在3點(diǎn)x分鐘時(shí)重合,則這時(shí)分針旋轉(zhuǎn)了x分格,時(shí)針旋轉(zhuǎn)了〔x-15分析,因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的速度是每分鐘1分格,旋轉(zhuǎn)x分格需要分鐘,時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度是每分鐘分格,旋轉(zhuǎn)〔x-15分格要

例4：〔1985年XX東臺(tái)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題從兩個(gè)重為m千克和n千克,且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上,切下重量相等的兩塊,把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后,兩者的含銅百分?jǐn)?shù)相等,問切下的重量是多少千克？

解：采用直接元并輔以間接元,設(shè)切下的重量為x千克,并設(shè)m千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q1,n千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q2,則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克,混合熔煉后所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+<n-x>q2]千克和[xq2+<m-x>q1]千克,依題意,有：

2.多元方程和多元方程組

例5：〔1986年XX市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相贈(zèng)送,先由A給B、C,所給的豆數(shù)等于B、C原來各有的豆數(shù),依同法再由B給A、C現(xiàn)有豆數(shù),后由C給A、B現(xiàn)有豆數(shù),互送后每人恰好各有64粒,問原來三人各有豆多少粒？

解：設(shè)A、B、C三人原來各有x、y、z粒豆,可列出下表：則有：

解得：x=104,y=56,z=32.

答：原來A有豆104粒,B有56粒,C有32粒.

例6：〔1985年XX市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題某工廠有九個(gè)車間,每個(gè)車間原有一樣多的成品,每個(gè)車間每天能生產(chǎn)一樣多的成品,而每個(gè)檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的速度也一樣快,A組8個(gè)檢驗(yàn)員在兩天之間將兩個(gè)車間的所有成品〔所有成品指原有的和后來生產(chǎn)的成品檢驗(yàn)完畢后,再去檢驗(yàn)另兩個(gè)車間的所有成品,又用了三天檢驗(yàn)完畢,在此五天內(nèi),B組的檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完畢余下的五個(gè)車間的所有成品,問B組有幾個(gè)檢驗(yàn)員？

解：設(shè)每個(gè)車間原有成品x個(gè),每天每個(gè)車間能生產(chǎn)y個(gè)成品；則一個(gè)車間生產(chǎn)兩天的所有成品為〔x+2y個(gè),一個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為<x+5y>個(gè),由于A組的8個(gè)檢驗(yàn)員每天的檢驗(yàn)速度相等,可得

解得：x=4y

一個(gè)檢驗(yàn)員一天的檢驗(yàn)速度為：

又因?yàn)锽組所檢驗(yàn)的是5個(gè)車間,這5個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為5<x+5y>個(gè),而這5<x+5y>個(gè)成立要B組的人檢驗(yàn)5天,所以B組的人一天能檢驗(yàn)<x+5y>個(gè).

因?yàn)樗袡z驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度都相等,所以,<x+5y>個(gè)成品所需的檢驗(yàn)員為：

〔人.

答：B組有12個(gè)檢驗(yàn)員.

3.關(guān)于不等式及不定方程的整數(shù)解

例7：〔1985年XX市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題把若干顆花生分給若干只猴子,如果每只猴子分3顆,就剩下8顆；如果每只猴子分5顆,那么最后一只猴子得不到5顆,求猴子的只數(shù)和花生的顆數(shù).

解：設(shè)有x只猴子和y顆花生,則：

y-3x=8,①

5x-y＜5,②

由①得：y=8+3x,③③代入②得5x-<8+3x>＜5,

∴x＜6.5

因?yàn)閥與x都是正整數(shù),所以x可能為6,5,4,3,2,1,相應(yīng)地求出y的值為26,23,20,17,14,11.

經(jīng)檢驗(yàn)知,只有x=5,y=23和x=6,y=26這兩組解符合題意.

答：有五只猴子,23顆花生,或者有六只猴子,26顆花生.

例8：〔1986年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題在一次射箭比賽中,已知小王與小張三次中靶環(huán)數(shù)的積都是36,且總環(huán)數(shù)相等,還已知小王的最高環(huán)數(shù)比小張的最高環(huán)