高中數(shù)學(xué)必修4全套學(xué)案

./第一章三角函數(shù)1.1任意角和弧度制?1.1.1任意角課前自主學(xué)習(xí)KEQIANZIZHUXUEXI[基礎(chǔ)自學(xué)]一、角的概念1．角的概念<1>角可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．<2>角的表示頂點(diǎn)：用O表示；始邊：用OA表示,用語(yǔ)言可表示為角的始邊；終邊：用OB表示,用語(yǔ)言可表示為角的終邊．2．角的分類按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角負(fù)角按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角零角當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí),我們也把它看成一個(gè)角,叫做零角二、象限角1．象限角：若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合,則角的終邊在第幾象限,就稱這個(gè)角是第幾象限角．2．軸線角：若角的終邊在坐標(biāo)軸上,則這個(gè)角不屬于任何象限．三、終邊相同的角設(shè)α表示任意角,所有與角α終邊相同的角,包括α本身構(gòu)成一個(gè)集合,這個(gè)集合可記為{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}．[自我小測(cè)]1．判斷<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．<><2>銳角是第一象限的角,但第一象限的角不一定是銳角．<><3>象限角與終邊落在坐標(biāo)軸上的角表示形式是唯一的．<>提示：<1>×<2>√<3>×2．做一做<1>下列各組角中,終邊不相同的是<>A．60°與－300°B．230°與950°C．1050°與－300°D．－1000°與80°答案C<2>將－885°化為α＋k·360°<0°≤α<360°,k∈Z>的形式是________．答案195°＋<－3>×360°

課堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU1終邊相同的角之間有什么關(guān)系？提示：與α終邊相同的角,可表示為β＝k·360°＋α<k∈Z>,即兩角相差360°的整數(shù)倍．2如何表示終邊在坐標(biāo)軸上的角和象限角？提示：終邊在x軸非負(fù)半軸上的角：α＝k·360°<k∈Z>；終邊在y軸上的角：α＝90°＋k·180°<k∈Z>；第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°<k∈Z>．題型一正確理解角的概念例1下列結(jié)論：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的序號(hào)為________<把正確結(jié)論的序號(hào)都寫上>．[解析]①銳角是大于0°且小于90°的角,終邊落在第一象限,故是第一象限角,所以①正確；②－330°角是第一象限角,但它是負(fù)角,所以②不正確；③480°角是第二象限角,但它不是鈍角,所以③不正確；④0°角小于180°,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,故④不正確．[答案]①角的概念的理解正確解答角的概念問(wèn)題,關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念,另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明,而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．[跟蹤訓(xùn)練1]<1>經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí),鐘表上的時(shí)針旋轉(zhuǎn)了<>A．60°B．－60°C．30°D．－30°<2>如圖∠α＝__________,∠β＝__________.答案<1>B<2>－150°210°解析<1>鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周是－360°,其中每小時(shí)旋轉(zhuǎn)－eq\f<360°,12>＝－30°,所以經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí)應(yīng)旋轉(zhuǎn)－60°.題型二終邊相同的角的表示及象限角例2已知α＝－1910°.<1>把α寫成β＋k·360°<k∈Z,0°≤β<360°>的形式,指出它是第幾象限的角；<2>求θ,使θ與α的終邊相同,且－720°<θ≤0°.[解]<1>∵－1910°÷360°＝－6余250°,∴－1910°＝－6×360°＋250°.相應(yīng)β＝250°,從而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角．<2>令θ＝250°＋k·360°<k∈Z>,取k＝－1,－2就得到適合－720°<θ≤0°的角：250°－360°＝－110°,250°－720°＝－470°.∴θ＝－110°或θ＝－470°.[變式探究]與－1560°角終邊相同的角的集合中,最小正角是________,最大負(fù)角是________．答案240°－120°解析與－1560°角終邊相同的角的集合為{α|α＝k·360°＋240°,k∈Z},所以最小正角為240°,最大負(fù)角為－120°.怎樣表示終邊相同的角及象限角<1>已知終邊所處的位置,寫角的集合時(shí),可先寫出0°～360°范圍內(nèi)的角,然后再加k·360°<k∈Z>組成集合即可．<2>象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖形判定,在直角坐標(biāo)系中作出角,角的終邊落在第幾象限,此角就是第幾象限角．二是根據(jù)終邊相同的角的概念．把角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi),轉(zhuǎn)化后的角在第幾象限,此角就是第幾象限角．[跟蹤訓(xùn)練2]在0°到360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限的角．<1>－120°；<2>640°；<3>－950°12′.解<1>－120°＝－360°＋240°,∴在0°到360°范圍內(nèi),與－120°終邊相同的角是240°角,它是第三象限的角．<2>640°＝360°＋280°,∴在0°到360°范圍內(nèi)與640°終邊相同的角是280°角,它是第四象限的角．<3>－950°12′＝－3×360°＋129°48′,∴在0°到360°范圍內(nèi)與－950°12′終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角．題型三區(qū)域角的表示例3寫出終邊落在陰影部分的角的集合．[解]設(shè)終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}．∴角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,k∈Z}∪{α|<2k＋1>180°＋30°≤α<<2k＋1>180°＋105°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或<2k＋1>·180°＋30°≤α<<2k＋1>180°＋105°,k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°,k∈Z}．[變式探究]將例3改為下圖,寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域的角的集合<包括邊界>．解<1>{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°,k∈Z}．<2>{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°,k∈Z}．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟<1>先按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域的起始和終止邊界．<2>由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角α,β,寫出所有與α,β終邊相同的角．<3>用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角,組成集合．[跟蹤訓(xùn)練3]寫出終邊在如下圖所示陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍．解<1>與45°角終邊相同的角的集合為{α|α＝45°＋k·360°,k∈Z},與30°－180°＝－150°角終邊相同的角的集合為{α|α＝－150°＋k·360°,k∈Z},因此終邊在陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°,k∈Z}．<2>方法同<1>,可得終邊在陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°,k∈Z}．[規(guī)律小結(jié)]1.角的概念的理解<1>弄清角的始邊與終邊．<2>結(jié)合圖形明確這個(gè)角從始邊到終邊轉(zhuǎn)過(guò)了多少度．<3>注意逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的區(qū)別．2.研究象限角時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題<1>前提條件：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合；<2>并不是任何角都是象限角,如終邊落在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角,軸線角的表示如下表：終邊所在的位置角的集合x軸非負(fù)半軸{α|α＝k·360°,k∈Z}x軸非正半軸{α|α＝k·360°＋180°,k∈Z}y軸非負(fù)半軸{α|α＝k·360°＋90°,k∈Z}y軸非正半軸{α|α＝k·360°＋270°,k∈Z}3.表示與α終邊相同的角時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題<1>k是整數(shù),這個(gè)條件不能漏掉；<2>α是任意角；<3>k·360°與α之間是"＋"號(hào),如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋<－30°><k∈Z>；<4>終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同．[走出誤區(qū)]易錯(cuò)點(diǎn)?分角所在象限及范圍的確定的誤區(qū)[典例]若α是第三象限的角,則eq\f<α,3>是<>A.第一象限的角B.第三象限的角C.第四象限的角D.第一象限或第三象限或第四象限的角[錯(cuò)解檔案]因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕?所以取α＝210°,得到eq\f<α,3>＝70°,是第一象限的角,故選A.[誤區(qū)警示]第三象限的角α有無(wú)數(shù)個(gè),用α＝210°得到eq\f<α,3>＝70°而選擇答案A,犯了以偏概全的錯(cuò)誤．[規(guī)范解答]因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕?所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°<k∈Z>,則k·120°＋60°<eq\f<α,3><k·120°＋90°<k∈Z>,取k＝0,得到eq\f<α,3>可在第一象限；取k＝1,得到eq\f<α,3>可在第三象限；取k＝2,得到eq\f<α,3>可在第四象限．故選D.矯正訓(xùn)練若α為第二象限的角,則eq\f<α,2>為第幾象限角？解若α為第二象限角,則有k·360°＋90°<α<k·360°＋180°,k∈Z則k·180°＋45°<eq\f<α,2><k·180°＋90°,k∈Z則k＝2n<n∈Z>時(shí),eq\f<α,2>為第一象限角；k＝2n＋1<n∈Z>,eq\f<α,2>為第三象限角．故eq\f<α,2>為第一或第三象限角.

隨堂消化吸收SUITANGXIAOHUAXISHOU1．[2016·XX實(shí)驗(yàn)高一期中]下列敘述正確的是<>A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．鈍角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．不相等的角終邊一定不同答案B解析三角形的內(nèi)角是第一象限角、第二象限角或在y軸非負(fù)半軸上的角,故A錯(cuò)誤；鈍角是第二象限角,B正確；象限角不能比較大小,故C錯(cuò)誤；不相等的角終邊也可能相同,如40°和400°,故D錯(cuò)誤．2．[2016·XX棗莊模擬]若α是第四象限角,則180°＋α是<>A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案B解析因?yàn)棣僚c180°＋α的終邊關(guān)于點(diǎn)<0,0>對(duì)稱,所以角180°＋α的終邊在第二象限．3．如果將鐘表?yè)芸?0分鐘,則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)成的角度是________度,分針?biāo)D(zhuǎn)成的角度是________度．答案－5－60解析將鐘表?yè)芸?0分鐘,則時(shí)針按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了10×eq\f<360°,12×60>＝5°,所轉(zhuǎn)成的角度是－5°；分針按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了10×eq\f<360°,60>＝60°,所轉(zhuǎn)成的角度是－60°.4．若α為銳角,則－α＋k·360°<k∈Z>在第________象限．答案四解析由于0°<α<90°,所以－90°<－α<0°,所以－α是第四象限角,從而－α＋k·360°<k∈Z>在第四象限．5．[2016·XX高一檢測(cè)]寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式－360°≤α≤720°的元素α寫出來(lái)：<1>60°；<2>－21°.解第一步：利用終邊相同的角的集合公式寫出：<1>S＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}；<2>S＝{α|α＝－21°＋k·360°,k∈Z}．第二步：在第一步的基礎(chǔ)上,利用約束條件對(duì)其中的k值分別采用賦值法求出元素α；<1>－300°,60°,420°；<2>－21°,339°,699°.課后課時(shí)精練KEHOUKESHIJINGLIAN時(shí)間：25分鐘滿分：60分一、選擇題<每小題5分,共25分>1．已知α＝－130°,則α的終邊落在<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案C解析∵－130°＝－360°＋230°,而230°是第三象限角,∴α的終邊落在第三象限．2．已知角α的終邊落在直線y＝x上,則角α的集合S＝<>A．{α|α＝k·360°＋45°,k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋45°,k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋225°,k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋45°,k∈Z}答案D解析本題考查終邊在特殊直線上的角以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．由于角α的終邊落在直線y＝x上,故角α在0°～360°內(nèi)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為45°及225°,從而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°,k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°,k∈Z},故選D.3．若α是鈍角,則θ＝k·180°＋α,k∈Z是<>A．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角答案D解析當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),θ＝k·180°＋α,k∈Z是第二象限角,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),θ＝k·180°＋α,k∈Z是第四象限角．4．已知角α、β的終邊互為反向延長(zhǎng)線,則α－β的終邊在<>A．x軸的非負(fù)半軸上B．y軸的非負(fù)半軸上C．x軸的非正半軸上D．y軸的非正半軸上答案C解析由題意知β＋180°應(yīng)與α終邊相同,即α＝β＋180°＋k·360°<k∈Z>,∴α－β＝180°＋k·360°.故選C.5．已知角2α的終邊在x軸上方,那么α是<>A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案C解析由條件知k·360°<2α<k·360°＋180°,<k∈Z>,∴k·180°<α<k·180°＋90°<k∈Z>,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),α在第一象限,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),α在第三象限．二、填空題<每小題5分,共15分>6．[2016·XXXX一中期中]終邊在x軸上的角β的集合是________．答案{β|β＝180°·k,k∈Z}解析本題考查終邊相同的角的概念．終邊在x軸正半軸上的角的集合為{β|β＝360°·k,k∈Z},終邊在x軸負(fù)半軸上的角的集合為{β|β＝180°·<2k＋1>,k∈Z},所以終邊在x軸上的角β的集合為{β|β＝180°·k,k∈Z}．7．時(shí)鐘的時(shí)針走過(guò)了1小時(shí)20分鐘,則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為________．答案－480°解析時(shí)針走過(guò)了1小時(shí)20分鐘,則分針轉(zhuǎn)了eq\f<4,3>圈,又因順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為負(fù)角,∴分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為－eq\f<4,3>×360°＝－480°.8．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°,k∈Z},N＝{x|x＝k·45°＋90°,k∈Z},則M________N．<填"""">答案解析M＝{x|x＝k·90°＋45°,k∈Z}＝{x|x＝45°·<2k＋1>,k∈Z},N＝{x|x＝k·45°＋90°,k∈Z}＝{x|x＝45°·<k＋2>,k∈Z},∵k∈Z,∴k＋2∈Z,且2k＋1為奇數(shù),∴MN.三、解答題<每小題10分,共20分>9．如圖所示,試寫出終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合S<包括邊界>,并指出－950°12′是否是該集合中的角．解由題圖可知,終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合S＝{β|120°＋k·360°≤β≤250°＋k·360°,k∈Z}．∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′,且120°<129°48′<250°,∴－950°12′是該集合中的角．10．已知α為第二象限角,問(wèn)2α,eq\f<α,2>分別是第幾象限角？解∵α是第二象限角,∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°,k∈Z,∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°,k∈Z.∴2α是第三或第四象限角,或是終邊落在y軸的非正半軸上的角．同理45°＋eq\f<k,2>·360°<eq\f<α,2><90°＋eq\f<k,2>·360°.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),不妨令k＝2n,n∈Z,則45°＋n·360°<eq\f<α,2><90°＋n·360°,此時(shí),eq\f<α,2>為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k＝2n＋1,n∈Z,則225°＋n·360°<eq\f<α,2><270°＋n·360°,此時(shí),eq\f<α,2>為第三象限角．∴eq\f<α,2>為第一或第三象限角．?1.1.2弧度制課前自主學(xué)習(xí)KEQIANZIZHUXUEXI[基礎(chǔ)自學(xué)]一、弧度的概念單位制內(nèi)容角度制周角的eq\f<1,360>為1度角,記作1°；用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫角度制弧度制規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．以弧度為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下,1弧度記作1rad弧度數(shù)角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|＝eq\f<l,r><其中l(wèi)是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)的弧長(zhǎng),r是圓的半徑>,一般地,正角、負(fù)角和零角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)分別是正數(shù)、負(fù)數(shù)和零二、角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f<π,180>rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°≈57.30°一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f<π,6>eq\f<π,4>eq\f<π,3>eq\f<π,2>eq\f<2,3>πeq\f<3,4>πeq\f<5,6>ππ三、扇形弧長(zhǎng)及面積公式設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,α為其圓心角,則eq\o<\s\up7<度量單位>,\s\do5<>>類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長(zhǎng)l＝πr·eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<α,180>>>l＝r|α|扇形的面積S＝πr2eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<\f<α,360>>>S＝eq\f<1,2>r2|α|＝eq\f<1,2>rl[自我小測(cè)]1．判斷<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>"度"與"弧度"是相同的,都是用來(lái)度量角的單位．<><2>終邊落在x軸非正半軸上的角可表示為α＝k·360°＋π<k∈Z>．<><3>1rad的角和1°的角大小一樣．<><4>用圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比來(lái)度量圓心角是合理的．<>提示：<1>×<2>×<3>×<4>√2．做一做<1>半徑為2,圓心角為eq\f<π,3>的扇形的面積是<>A.eq\f<4π,3>B．πC.eq\f<2π,3>D.eq\f<π,3>答案C解析由扇形面積公式S＝eq\f<1,2>r2·|α|可得S＝eq\f<1,2>×4×eq\f<π,3>＝eq\f<2π,3>,故選C.<2>角度與弧度互化：①eq\f<7π,6>＝________；②－75°＝________.答案①210°②－eq\f<5π,12>課堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU1角度制與弧度制如何換算？提示：360°＝2πrad,180°＝πrad,1°＝eq\f<π,180>rad,1rad＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°≈57.30°.2扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算公式是什么？提示：l＝|α|·r,S＝eq\f<1,2>l·r＝eq\f<1,2>|α|·r2.題型一弧度制的概念例1下列命題中,假命題是<>A．"度"與"弧度"是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的eq\f<1,360>,一弧度的角是周角的eq\f<1,2π>C．1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位．D．不論是用角度制還是用弧度制度量角,它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)[解析]根據(jù)角度和弧度的定義,可知無(wú)論是角度制還是弧度制,角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān),而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān),所以D是假命題．選項(xiàng)A、B、C均為真命題．[答案]D"度"與"弧度"的區(qū)別和聯(lián)系<1>弧度制是以"弧度"為單位來(lái)度量角的單位制,角度制是以"度"為單位來(lái)度量角的單位制．<2>1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角<或這條弧>的大小,而1°的角是周角的eq\f<1,360>.<3>無(wú)論是以"弧度"還是以"度"為單位,角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的值．[跟蹤訓(xùn)練1]下列命題中,真命題是<>A．一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B．一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C．一弧度是一度的弧與一度的角之和D．一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小,它是角的一種度量單位答案D解析根據(jù)一弧度的定義：我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度的角．對(duì)照各選項(xiàng),可知D為真命題．故選D.題型二弧度和角度的換算例2將下列角度與弧度進(jìn)行互化．<1>20°；<2>－15°；<3>eq\f<7π,12>；<4>－eq\f<11,5>π.[解]<1>20°＝20×eq\f<π,180>＝eq\f<π,9>.<2>－15°＝－15×eq\f<π,180>＝－eq\f<π,12>.<3>eq\f<7,12>π＝eq\f<7,12>π×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°＝105°.<4>－eq\f<11,5>π＝－eq\f<11,5>π×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°＝－396°.角度制與弧度制互化的注意事項(xiàng)<1>用"弧度"為單位度量角時(shí),"弧度"二字或"rad"可以省略不寫．<2>用"弧度"為單位度量角時(shí),常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式,如無(wú)特別要求,不必把π寫成小數(shù)．<3>度化弧度時(shí),應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度．[跟蹤訓(xùn)練2]<1>－450°化成弧度是________．<2>eq\f<7,5>π化成角度是________．答案<1>－eq\f<5,2>π<2>252°解析<1>－450°＝－450×eq\f<π,180>＝－eq\f<5,2>π.<2>eq\f<7,5>π＝eq\f<7,5>π×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°＝252°.題型三用弧度表示角例3<1>把下列角化為2kπ＋α<0≤α<2π,k∈Z>的形式：①eq\f<16π,3>；②－315°.<2>用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合<不包括邊界,如圖所示>．[解]<1>①eq\f<16π,3>＝4π＋eq\f<4π,3>.∵0≤eq\f<4π,3><2π,∴eq\f<16π,3>＝4π＋eq\f<4π,3>.②－315°＝－315×eq\f<π,180>＝－eq\f<7π,4>＝－2π＋eq\f<π,4>.∵0≤eq\f<π,4><2π,∴－315°＝－2π＋eq\f<π,4>.<2>330°＝360°－30°＝2π－eq\f<π,6>,而60°＝eq\f<π,3>,它所表示的區(qū)域位于－eq\f<π,6>與eq\f<π,3>之間且跨越x軸的正半軸．所以eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<θ\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<2kπ－\f<π,6><θ<2kπ＋\f<π,3>,k∈Z>>>>.弧度制表示角的注意事項(xiàng)<1>用弧度表示區(qū)域角,實(shí)質(zhì)是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用,必要時(shí),需進(jìn)行角度與弧度的換算．注意單位要統(tǒng)一．可以先寫<－π,π>或<0,2π>內(nèi)的角,再加上2kπ,k∈Z.<2>終邊在同一直線上的角可以合并為{x|x＝α＋kπ,k∈Z}；終邊在相互垂直的兩直線上的角可以合并為eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝α＋k·\f<π,2>,k∈Z>>>>.[跟蹤訓(xùn)練3]<1>把－1480°寫成α＋2kπ<k∈Z>的形式,其中0≤α<2π；<2>若β∈[－4π,0],且β與<1>中α終邊相同,求β.解<1>∵－1480°＝－eq\f<1480π,180>＝－eq\f<74π,9>＝－10π＋eq\f<16π,9>,又0≤eq\f<16π,9><2π,∴－1480°＝eq\f<16π,9>－2×5π＝eq\f<16π,9>＋2×<－5>π.<2>由<1>可知α＝eq\f<16π,9>.∵β與α終邊相同,∴β＝2kπ＋eq\f<16π,9>,k∈Z.又∵β∈[－4π,0],令k＝－1,則β＝－eq\f<2π,9>.令k＝－2,則β＝－eq\f<20π,9>,∴β的值是－eq\f<2π,9>,－eq\f<20π,9>.題型四扇形的弧長(zhǎng)與面積例4扇形AOB的周長(zhǎng)為8cm.<1>若這個(gè)扇形的面積為3cm2,求圓心角的大??；<2>求該扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.[解]設(shè)這個(gè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,圓心角為α<α>0>．<1>由已知,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2R＋l＝8,,\f<1,2>lR＝3,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<R＝3,,l＝2.>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<R＝1,,l＝6.>>由|α|＝eq\f<l,R>可得：α＝eq\f<2,3>或α＝6.<2>扇形的面積S＝eq\f<1,2>lR＝eq\f<1,2><8－2R>R＝－<R－2>2＋4<0<R<4>,所以,當(dāng)且僅當(dāng)R＝2時(shí),S取得最大值4.這時(shí),l＝8－2R＝4,可求出：α＝eq\f<l,R>＝2.又∵0<2<π,∴|AB|＝2R·sineq\f<α,2>＝4sin1.[變式探究]將例4中扇形周長(zhǎng)改為6cm,面積改為2cm2,求圓心角的大?。庠O(shè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,圓心角為α<α>0>,則有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2R＋l＝6,\f<1,2>lR＝2>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<R＝1,l＝4>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<R＝2,l＝2>>,由|α|＝eq\f<l,R>得α＝4或α＝1.扇形周長(zhǎng)及面積的最值<1>當(dāng)扇形周長(zhǎng)一定時(shí),扇形的面積有最大值．其求法是把面積S轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的二次函數(shù),但要注意r的取值范圍．特別注意一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)必須滿足0<l<2πr.<2>當(dāng)扇形面積一定時(shí),扇形的周長(zhǎng)有最小值．其求法是把扇形周長(zhǎng)L轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的函數(shù),但要注意r的取值范圍．[跟蹤訓(xùn)練4]已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長(zhǎng)為6,求：<1>eq\o\ac<AB,\s\up15<︵>>的長(zhǎng)；<2>弓形AOB的面積．解<1>∵120°＝eq\f<120,180>π＝eq\f<2,3>π,∴l(xiāng)＝6×eq\f<2,3>π＝4π,∴eq\o\ac<AB,\s\up15<︵>>的長(zhǎng)為4π.<2>∵S扇形OAB＝eq\f<1,2>lr＝eq\f<1,2>×4π×6＝12π,如圖所示．又S△OAB＝eq\f<1,2>×AB×OD<D為AB中點(diǎn)>＝eq\f<1,2>×2×6cos30°×6×sin30°＝9eq\r<3>.∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r<3>.[規(guī)律小結(jié)]1.弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系<1>區(qū)別①單位不同．弧度制以"弧度"為度量單位,角度制以"度"為度量單位；②定義不同．<2>聯(lián)系不管以"弧度"還是以"度"為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無(wú)關(guān)的定值．2.角度制與弧度制換算時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題<1>弧度制與角度制的互化是一種比例關(guān)系的變形,具體變化時(shí),可牢記以下公式：eq\f<π,180>＝eq\f<弧度,角度>,只要將已知數(shù)值填入相應(yīng)的位置,解出未知的數(shù)值,再添上相應(yīng)的單位即可；<2>如無(wú)特別要求,不必把π寫成小數(shù)；<3>度化為弧度時(shí),應(yīng)先將分、秒化為度,再化為弧度；<4>同一個(gè)式子中角度和弧度不能混用．[走出誤區(qū)]易錯(cuò)點(diǎn)?角度制與弧度制的應(yīng)用誤區(qū)[典例]將－1485°化成2kπ＋α<0≤α<2π,k∈Z>的形式為________．[錯(cuò)解檔案]因?yàn)椋?485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋<－360°＋315°>＝－5×360°＋315°,所以－1485°化為2kπ＋α形式應(yīng)為－10π＋315°.[誤區(qū)警示]只考慮了將－1485°寫成了"2kπ"的組合形式,而忽視了對(duì)α的要求,忽視了角度和弧度的統(tǒng)一,這是初學(xué)者極易犯的一個(gè)錯(cuò)誤．[規(guī)范解答]由－1485°＝－5×360°＋315°,所以－1485°可以表示為－10π＋eq\f<7,4>π.矯正訓(xùn)練將eq\f<17π,4>化成k·360°＋α<0°≤α<360°,k∈Z>的形式為________．答案2·360°＋45°解析eq\f<17π,4>＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°,故eq\f<17π,4>＝2·360°＋45°.隨堂消化吸收SUITANGXIAOHUAXISHOU1．1920°轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為<>A.eq\f<16,3>B.eq\f<32,3>C.eq\f<16π,3>D.eq\f<32π,3>答案D解析∵1°＝eq\f<π,180>弧度,∴1920°＝1920×eq\f<π,180>＝eq\f<32,3>π.2．若α＝－3,則角α的終邊在<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案C解析∵－3≈－171.9°,∴α＝－3表示的角的終邊在第三象限．3．[2016·XX市高一月考]已知扇形的半徑為R,面積為R2,那么這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)是________．答案2解析由l＝|α|·R及S＝eq\f<1,2>lR,得S＝eq\f<1,2>|α|R2.∴|α|＝eq\f<2S,R2>＝eq\f<2R2,R2>＝2.4．用弧度制表示終邊落在第二象限的角的集合為________．答案eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<α\b\lc\|\rc\}<\a\vs4\al\co1<2kπ＋\f<π,2><α<2kπ＋π,k∈Z>>>>解析若角α的終邊落在第二象限,則2kπ＋eq\f<π,2><α<2kπ＋π,k∈Z.5．將下列各角轉(zhuǎn)化成2kπ＋α<k∈Z>,且0≤α<2π的形式,并指出它們是第幾象限角：<1>－1725°；<2>eq\f<64π,3>.解<1>∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋eq\f<5π,12>,∴－1725°角與角eq\f<5π,12>的終邊相同．又∵eq\f<5π,12>是第一象限角,∴－1725°是第一象限角．<2>∵eq\f<64π,3>＝20π＋eq\f<4π,3>,∴角eq\f<64π,3>與角eq\f<4π,3>的終邊相同．又∵eq\f<4π,3>是第三象限角,∴eq\f<64π,3>是第三象限角．,課后課時(shí)精練KEHOUKESHIJINGLIAN時(shí)間：25分鐘滿分：60分一、選擇題<每小題5分,共25分>1．－300°化為弧度是<>A．－eq\f<4π,3>B．－eq\f<5π,3>C．－eq\f<7π,4>D．－eq\f<7π,6>答案B解析∵1°＝eq\f<π,180>rad,∴－300°＝－eq\f<5π,3>rad.2.eq\f<8π,5>弧度化為角度是<>A．278°B．280°C．288°D．318°答案C解析∵1rad＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°,∴eq\f<8π,5>＝eq\f<8π,5>×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°＝288°.3．[2016·清華附中月考]若角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則α,β的關(guān)系一定是<>A．α＋β＝πB．α－β＝eq\f<π,2>C．α－β＝<2k＋1>π<k∈Z>D．α＋β＝<2k＋1>π<k∈Z>答案D解析本題考查關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)角之間的關(guān)系．角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則畫圖可知α＋β＝<2k＋1>π<k∈Z>,D選項(xiàng)正確；也可以用特殊值方法,例如取α＝eq\f<π,4>,β＝eq\f<3π,4>或α＝－eq\f<π,4>,β＝－eq\f<3π,4>,結(jié)合選項(xiàng)可知D正確．故選D.4．[2016·XX一中高一期末]已知扇形的圓心角的弧度數(shù)為2,扇形的弧長(zhǎng)為4,則扇形的面積為<>A．2B．4C．8D．16答案B解析由S＝eq\f<1,2>lR及|α|＝eq\f<l,R>,得S＝eq\f<1,2>eq\f<l2,|α|>＝eq\f<1,2>·eq\f<42,2>＝4.5．[2016·XX永嘉高一月考]集合eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<α\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<kπ＋\f<π,4>≤α≤kπ＋\f<π,2>,>>>>eq\b\lc\\rc\}<\a\vs4\al\co1<\b\lc\\rc\<\a\vs4\al\co1<\a\vs4\al<k∈Z>>>>>中的角所表示的范圍<陰影部分>是<>答案C解析當(dāng)k＝2m,m∈Z時(shí),2mπ＋eq\f<π,4>≤α≤2mπ＋eq\f<π,2>,m∈Z；當(dāng)k＝2m＋1,m∈Z時(shí),2mπ＋eq\f<5π,4>≤α≤2mπ＋eq\f<3π,2>,m∈Z,所以選C.二、填空題<每小題5分,共15分>6．角度制與弧度制間的互化：<1>1095°＝__________rad；<2>－eq\f<9,4>π＝__________.答案<1>eq\f<73,12>π<2>－405°解析<1>1095°＝1095×eq\f<π,180>＝eq\f<73π,12>.<2>－eq\f<9,4>π＝－eq\f<9,4>π×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°＝－405°.7．若圓的半徑為6cm,則15°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為________,扇形面積為________．<用π表示>答案eq\f<π,2>cmeq\f<3,2>πcm2解析15°＝15×eq\f<π,180>＝eq\f<π,12>,l＝|α|·r＝eq\f<π,12>×6＝eq\f<π,2>cm,S＝eq\f<1,2>l·r＝eq\f<1,2>×eq\f<π,2>×6＝eq\f<3,2>πcm2.8．圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍,而所對(duì)弧長(zhǎng)不變,則該弧所對(duì)圓心角是原來(lái)圓弧所對(duì)圓心角的________．答案eq\f<1,3>解析本題考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用．設(shè)原來(lái)圓的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,圓心角為α,則l＝αr,設(shè)將圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍后圓心角為α1,則α1＝eq\f<l,3r>＝eq\f<αr,3r>＝eq\f<α,3>,故eq\f<α1,α>＝eq\f<1,3>.三、解答題<每小題10分,共20分>9．已知α＝－800°.<1>把α改寫成β＋2kπ<k∈Z,0≤β<2π>的形式,并指出α是第幾象限角；<2>求角γ,使γ與角α的終邊相同,且γ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>.解<1>∵－800°＝－3×360°＋280°,280°＝eq\f<14,9>π,∴α＝－800°＝eq\f<14,9>π＋<－3>×2π.∵角α與eq\f<14π,9>終邊相同,∴角α是第四象限角．<2>∵與角α終邊相同的角可寫為2kπ＋eq\f<14π,9>,k∈Z的形式,而γ與α終邊相同,∴γ＝2kπ＋eq\f<14π,9>,k∈Z.又γ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>,∴－eq\f<π,2><2kπ＋eq\f<14π,9><eq\f<π,2>,k∈Z,解得k＝－1,∴γ＝－2π＋eq\f<14π,9>＝－eq\f<4π,9>.10．已知扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí),才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為α,半徑為Rcm,面積為Scm2,弧長(zhǎng)為lcm,則有l(wèi)＋2R＝20,∴l(xiāng)＝20－2R,∴S＝eq\f<1,2>lR＝eq\f<1,2><20－2R>R＝－R2＋10R＝－<R－5>2＋25.故當(dāng)半徑R＝5時(shí),扇形的面積有最大值25cm2.此時(shí)扇形的圓心角為α＝eq\f<l,R>＝eq\f<20－2×5,5>＝2.1.2任意角的三角函數(shù)?1.2.1任意角的三角函數(shù)第1課時(shí)任意角的三角函數(shù)的定義課前自主學(xué)習(xí)KEQIANZIZHUXUEXI[基礎(chǔ)自學(xué)]一、三角函數(shù)的定義1．單位圓中三角函數(shù)的定義設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P<x,y>,那么：①y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα＝y(tǒng)；②x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα＝x；③eq\f<y,x>叫做α的正切,記作tanα,即tanα＝eq\f<y,x><x≠0>．2．任意角的三角函數(shù)的定義直角坐標(biāo)系中任意大小的角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)<x,y>,它到原點(diǎn)的距離是r<r>0>,r＝eq\r<x2＋y2>,那么任意角的三角函數(shù)的定義：三角函數(shù)定義表示式定義域sinαeq\f<y,r>sinα＝eq\f<y,r>Rcosαeq\f<x,r>cosα＝eq\f<x,r>Rtanαeq\f<y,x>tanα＝eq\f<y,x>eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<α\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<α≠kπ＋\f<π,2>,k∈Z>>>>二、三角函數(shù)值的符號(hào)記憶口訣："一全正、二正弦、三正切、四余弦"．三、誘導(dǎo)公式<一>名稱符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言誘導(dǎo)公式<一>sin<2kπ＋α>＝sinα<k∈Z>cos<2kπ＋α>＝cosα<k∈Z>tan<2kπ＋α>＝tanα<k∈Z>終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等[自我小測(cè)]1．判一判<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>sinα,cosα,tanα中可以將"α"與"sin""cos""tan"分開．<><2>同一個(gè)三角函數(shù)值能找到無(wú)數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng)．<><3>sineq\f<25,3>π＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>＋8π>>＝sineq\f<π,3>＝eq\f<\r<3>,2>.<>提示：<1>×<2>√<3>√2．做一做<1>若sinα<0,且tanα<0,則角α是<>A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案D解析若sinα<0,則α為第三或第四象限角．若tanα<0,則α為第二或第四象限角,故α為第四象限角,選D.<2>計(jì)算：sin180°＋2cos270°的值為________．答案0解析sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.<3>tan390°的值為________．答案eq\f<\r<3>,3>解析tan390°＝tan<360°＋30°>＝tan30°＝eq\f<\r<3>,3>.課堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU1三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)有什么規(guī)律嗎？提示：由三角函數(shù)的定義知sinα＝eq\f<y,r>,cosα＝eq\f<x,r>,tanα＝eq\f<y,x><r>0>,可知角的三角函數(shù)值的符號(hào)是由角終邊上任一點(diǎn)P<x,y>的坐標(biāo)確定的,可簡(jiǎn)記為：一全正,二正弦,三正切,四余弦．2誘導(dǎo)公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π<或0°～360°>角的三角函數(shù)值．題型一求任意角的三角函數(shù)值例1[2015·XX五校聯(lián)考]已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P<－eq\r<3>,m>,且sinθ＝eq\f<\r<2>,4>m,求cosθ與tanθ的值．[解]由已知有eq\f<\r<2>,4>m＝eq\f<m,\r<3＋m2>>,得m＝0,或m＝±eq\r<5>.<1>當(dāng)m＝0時(shí),cosθ＝－1,tanθ＝0；<2>當(dāng)m＝eq\r<5>時(shí),cosθ＝－eq\f<\r<6>,4>,tanθ＝－eq\f<\r<15>,3>；<3>當(dāng)m＝－eq\r<5>時(shí),cosθ＝－eq\f<\r<6>,4>,tanθ＝eq\f<\r<15>,3>.[變式探究]將例1中的P點(diǎn)坐標(biāo)改為<eq\r<3>,m>再去求解．解∵eq\f<\r<2>,4>m＝eq\f<m,\r<m2＋3>>,∴m＝0或m＝±eq\r<5>,當(dāng)m＝0時(shí),cosθ＝1,tanθ＝0；當(dāng)m＝eq\r<5>時(shí),cosθ＝eq\f<\r<6>,4>,tanθ＝eq\f<\r<15>,3>；當(dāng)m＝－eq\r<5>時(shí),cosθ＝eq\f<\r<6>,4>,tanθ＝－eq\f<\r<15>,3>.利用三角函數(shù)的定義求值的策略<1>求一個(gè)角的三角函數(shù)值,需確定三個(gè)量：角的終邊上異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)及其到原點(diǎn)的距離．<2>若終邊在直線上時(shí),因?yàn)榻堑慕K邊是射線,應(yīng)分兩種情況處理．<3>若已知角,則需確定出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)．[跟蹤訓(xùn)練1]已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在直線y＝2x上,則2cos2θ－1＝<>A．－eq\f<4,5>B．－eq\f<3,5>C.eq\f<3,5>D.eq\f<4,5>答案B解析設(shè)P<t,2t><t≠0>為角θ終邊上任意一點(diǎn),則cosθ＝eq\f<t,\r<5>|t|>.當(dāng)t>0時(shí),cosθ＝eq\f<\r<5>,5>；當(dāng)t<0時(shí),cosθ＝－eq\f<\r<5>,5>.∴2cos2θ－1＝eq\f<2,5>－1＝－eq\f<3,5>.題型二三角函數(shù)值的符號(hào)例2<1>α是第四象限角,判斷sinα·tanα的符號(hào)；<2>若eq\f<sinα,|sinα|>＋eq\f<|cosα|,cosα>＝0,試判斷α所在象限．[解]<1>∵α是第四象限角,∴sinα<0,tanα<0,∴sinα·tanα>0.<2>由條件知,sinα與cosα異號(hào)．∴α是第二象限角或第四象限角．[變式探究]將例2<1>中α改為第三象限角,則sinα·tanα的符號(hào)如何？解∵α是第三象限角,∴sinα<0,tanα>0,∴sinα·tanα<0.熟記各象限函數(shù)值的符號(hào)準(zhǔn)確確定三角函數(shù)中角所在象限是基礎(chǔ),準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)并牢記記憶口訣"一全正,二正弦,三正切,四余弦"是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．[跟蹤訓(xùn)練2]<1>若sinα＝－2cosα,判斷sinα·tanα的符號(hào)；<2>判斷符號(hào)：sin3·cos4·taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<23π,4>>>.解<1>∵sinα＝－2cosα,∴sinα與cosα異號(hào)．∴α是第二或第四象限角．當(dāng)α是第二象限角時(shí),tanα<0,sinα>0,∴sinα·tanα<0.當(dāng)α是第四象限角時(shí),tanα<0,sinα<0,∴sinα·tanα>0.<2>∵eq\f<π,2><3<π,π<4<eq\f<3π,2>,∴sin3>0,cos4<0.∵－eq\f<23π,4>＝－6π＋eq\f<π,4>,∴taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<23π,4>>>>0.∴sin3·cos4·taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<23,4>π>><0.題型三誘導(dǎo)公式<一>的應(yīng)用例3計(jì)算下列各式的值：<1>sin<－1395°>cos1110°＋cos<－1020°>sin750°；<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,6>>>＋coseq\f<12π,5>·tan4π.[解]<1>原式＝sin<－4×360°＋45°>cos<3×360°＋30°>＋cos<－3×360°＋60°>sin<2×360°＋30°>＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f<\r<2>,2>×eq\f<\r<3>,2>＋eq\f<1,2>×eq\f<1,2>＝eq\f<\r<6>,4>＋eq\f<1,4>＝eq\f<1＋\r<6>,4>.<2>原式＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－2π＋\f<π,6>>>＋coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2π＋\f<2π,5>>>·tan<4π＋0>＝sineq\f<π,6>＋coseq\f<2π,5>×0＝eq\f<1,2>.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)<1>將已知角化為k·360°＋α<k為整數(shù),0°≤α<360°>或2kπ＋β<k為整數(shù),0≤β<2π>的形式．<2>將原三角函數(shù)值化為角α的同名三角函數(shù)值．<3>借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的．[跟蹤訓(xùn)練3]求值：<1>coseq\f<25π,3>＋taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<15,4>π>>；<2>sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解<1>原式＝cos<8π＋eq\f<π,3>>＋taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－4π＋\f<π,4>>>＝coseq\f<π,3>＋taneq\f<π,4>＝eq\f<1,2>＋1＝eq\f<3,2>.<2>原式＝sin<2×360°＋90°>＋tan<2×360°＋45°>＋tan<3×360°＋45°>＋cos<360°＋0°>＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.[規(guī)律小結(jié)]1.對(duì)三角函數(shù)定義的理解<1>三角函數(shù)也是一種函數(shù),它滿足函數(shù)的定義,可以看成是從一個(gè)角的集合<弧度制>到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng),并且對(duì)任意一個(gè)角,在比值集合中都有唯一確定的象與之對(duì)應(yīng)．三角函數(shù)的自變量是角α,比值是角α的函數(shù)．<2>三角函數(shù)是用比值來(lái)定義的,所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．如在求正切時(shí),若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x等于0,則tanα無(wú)意義．<3>三角函數(shù)值是比值,是一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P<x,y>在終邊上的位置無(wú)關(guān),只由角α的終邊位置確定．即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．2.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)<1>三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)的定義,由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)得出的．<2>對(duì)正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號(hào)可用下列口訣記憶："一全正,二正弦,三正切,四余弦",該口訣表示：第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值．3.誘導(dǎo)公式一的理解及其應(yīng)用<1>公式一的實(shí)質(zhì)是說(shuō)終邊相同的角的三角函數(shù)值相等．<2>公式一的結(jié)構(gòu)特征：①左、右為同一三角函數(shù)；②公式左邊的角為α＋k·2π,右邊的角為α.<3>公式一的作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π<或0°～360°>范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．[走出誤區(qū)]易錯(cuò)點(diǎn)?求三角函數(shù)定義域的誤區(qū)[典例]求滿足y＝eq\r<sinx·tanx>的x的取值范圍．[錯(cuò)解檔案]由題意知,只需要sinx·tanx≥0.即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx≥0,tanx≥0>>①或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx≤0,tanx≤0>>②對(duì)①可知x為第一象限角或終邊在x軸或y軸上的角．對(duì)②可知x為第四象限角或終邊在x軸或y軸上的角．因此x的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<2kπ－\f<π,2>>>>>≤x<2kπ或2kπ<x≤2kπ＋eq\f<π,2>或x＝eq\b\lc\\rc\}<\a\vs4\al\co1<\f<kπ,2>,k∈Z>>.[誤區(qū)警示]求y＝eq\r<sinx·tanx>的x取值范圍時(shí)沒(méi)有考慮tanx的條件,致使思考問(wèn)題不周全而出錯(cuò)．[規(guī)范解答]所求x應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx·tanx≥0,,x≠kπ＋\f<π,2>k∈Z,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx≥0,,tanx≥0,,x≠kπ＋\f<π,2>k∈Z,>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx≤0,,tanx≤0,,x≠kπ＋\f<π,2>k∈Z.>>根據(jù)x所在象限情況可判斷x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x2kπ－\f<π,2><x<2kπ或2kπ<x<2kπ＋\f<π,2>或x＝kπ,k∈Z>>.矯正訓(xùn)練求y＝eq\f<\r<cosx>,sinx>的x的取值范圍．解∵cosx≥0∴x為第一、四象限角或x軸非負(fù)半軸上的角或y軸上又∵sinx≠0∴x不能在x軸上∴x為第一或第四象限角或y軸上．x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x\b\lc\|\rc\<\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>>>>>＋2kπ≤x<2kπ或2kπ<x≤2kπ＋eq\b\lc\\rc\}<\a\vs4\al\co1<\f<π,2>,k∈Z>>隨堂消化吸收SUITANGXIAOHUAXISHOU1．已知角α終邊經(jīng)過(guò)Peq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,則cosα等于<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<\r<3>,2>C.eq\f<\r<3>,3>D．±eq\f<1,2>答案B解析r＝1,cosα＝eq\f<x,r>＝eq\f<\r<3>,2>.2．[2016·XX中學(xué)高一段考]已知cosθ·tanθ>0,那么角θ是<>A．第一、二象限角B．第二、三象限角C．第三、四象限角D．第一、四象限角答案A解析由cosθ·tanθ>0,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<cosθ>0,,tanθ>0,>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<cosθ<0,,tanθ<0.>>所以θ是第一、二象限角．3．在△ABC中,若sinAcosBtanC<0,則△ABC是<>A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．銳角或鈍角三角形答案C解析因?yàn)閟inA>0,所以cosB,tanC中一定有一個(gè)小于0,即B,C中有一個(gè)鈍角．4．填空：<填">""<"或"＝"><1>sineq\f<4,3>π__________0;<2>coseq\f<4,3>π__________0；<3>taneq\f<4,3>π__________0;<4>sin360°__________0.答案<1><<2><<3>><4>＝5．[2016·XX外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中]已知角α的終邊在第二象限,且與單位圓交于點(diǎn)Peq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<a,\f<3,5>>>,求出a,sinα,cosα,tanα的值．解由角α的終邊與單位圓相交,得eq\r<a2＋\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,5>>>2>＝1,即a＝±eq\f<4,5>,又角α在第二象限,所以a＝－eq\f<4,5>.∴sinα＝eq\f<3,5>,cosα＝－eq\f<4,5>,tanα＝－eq\f<3,4>.課后課時(shí)精練KEHOUKESHIJINGLIAN時(shí)間：25分鐘滿分：60分一、選擇題<每小題5分,共25分>1．[2016·XX市高一月考]sin420°＝<>A．－eq\f<\r<3>,2>B．－eq\f<1,2>C.eq\f<1,2>D.eq\f<\r<3>,2>答案D解析sin420°＝sin<360°＋60°>＝sin60°＝eq\f<\r<3>,2>.2．[2016·XXXX二中檢測(cè)]已知點(diǎn)Peq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<sin\f<3π,4>,cos\f<3π,4>>>落在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π>,則θ的值為<>A.eq\f<π,4>B.eq\f<3π,4>C.eq\f<5π,4>D.eq\f<7π,4>答案D解析本題主要考查三角函數(shù)的定義．由任意角的三角函數(shù)的定義,得tanθ＝eq\f<y,x>＝eq\f<cos\f<3π,4>,sin\f<3π,4>>＝eq\f<－\f<\r<2>,2>,\f<\r<2>,2>>＝－1.∵sineq\f<3π,4>>0,coseq\f<3π,4><0,∴點(diǎn)P在第四象限,∴θ＝eq\f<7π,4>.故選D.3．sin4·tan7的值<>A．大于0B．小于0C．等于0D．不大于0答案B解析∵4弧度角的終邊在第三象限,∴sin4<0,7弧度角的終邊在第一象限,∴tan7>0,∴sin4·tan7<0,故選B.4．點(diǎn)P<tan2014°,cos2014°>位于<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案D解析2014°＝6×360°－146°,∴tan2014°＝tan<－146°>>0,cos2014°＝cos<－146°><0,∴P在第四象限．5．[2016·威遠(yuǎn)縣高一檢測(cè)]已知tanx>0,且sinx＋cosx>0,那么角x是<>A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案A解析∵tanx>0,∴x在第一或第三象限．若x在第一象限,則sinx>0,cosx>0.∴sinx＋cosx>0.若x在第三象限,則sinx<0,cosx<0,與sinx＋cosx>0矛盾．故x只能在第一象限．二、填空題<每小題5分,共15分>6．5sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________.答案0解析原式＝5＋2＋3－10＝0.7．[2016·XX師大附中月考]已知角α終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為<5a,－12a><a>0>,則sinα＋2cos答案－eq\f<2,13>解析本題主要考查三角函數(shù)的定義．點(diǎn)<5a,－12a>到原點(diǎn)的距離為13a,∴sinα＝eq\f<－12a,13a>＝－eq\f<12,13>,cosα＝eq\f<5a,13a>＝eq\f<5,13>,∴sinα＋2cosα＝－eq\f<2,13>.8．函數(shù)y＝eq\f<|cosx|,cosx>＋eq\f<tanx,|tanx|>的值域是__________．答案{－2,0,2}解析要使函數(shù)y＝eq\f<|cosx|,cosx>＋eq\f<tanx,|tanx|>有意義,需eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x≠kπ＋\f<π,2>k∈Z,cosx≠0,tanx≠0>>,即角x的終邊不在坐標(biāo)軸上．當(dāng)x為第一象限角時(shí),y＝1＋1＝2；當(dāng)x為第二象限角時(shí),y＝－1－1＝－2；當(dāng)x為第三象限角時(shí),y＝－1＋1＝0；當(dāng)x為第四象限角時(shí),y＝1－1＝0.∴函數(shù)y＝eq\f<|cosx|,cosx>＋eq\f<tanx,|tanx|>的值域?yàn)閧－2,0,2}．三、解答題<每小題10分,共20分>9．已知角α的終邊在直線eq\r<3>x－y＝0上,求sinα,cosα,tanα的值．解解法一：設(shè)α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P<x,y>,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\r<3>x－y＝0,,x2＋y2＝1,>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝\f<1,2>,,y＝\f<\r<3>,2>,>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝－\f<1,2>,,y＝－\f<\r<3>,2>.>>當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,即α的終邊在第一象限時(shí),sinα＝eq\f<\r<3>,2>,cosα＝eq\f<1,2>,tanα＝eq\r<3>；當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,－\f<\r<3>,2>>>,即α的終邊在第三象限時(shí),sinα＝－eq\f<\r<3>,2>,cosα＝－eq\f<1,2>,tanα＝eq\r<3>.解法二：直線eq\r<3>x－y＝0,即y＝eq\r<3>x,當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí),在α的終邊上取點(diǎn)<1,eq\r<3>>,則sinα＝eq\f<\r<3>,2>,cosα＝eq\f<1,2>,tanα＝eq\r<3>；當(dāng)角α的終邊在第三象限時(shí),在α的終邊上取點(diǎn)<－1,－eq\r<3>>,則sinα＝－eq\f<\r<3>,2>,cosα＝－eq\f<1,2>,tanα＝eq\r<3>.10．已知eq\f<1,|sinα|>＝－eq\f<1,sinα>,且lg<cosα>有意義．<1>試判斷角α所在的象限；<2>若角α的終邊上一點(diǎn)是Meq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,5>,m>>,且|OM|＝1<O為坐標(biāo)原點(diǎn)>,求m的值及sinα的值．解<1>由eq\f<1,|sinα|>＝－eq\f<1,sinα>,可知sinα<0,由lg<cosα>有意義可知cosα>0,所以角α是第四象限角．<2>∵|OM|＝1,∴eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,5>>>2＋m2＝1,解得m＝±eq\f<4,5>.又α是第四象限角,故m<0,從而m＝－eq\f<4,5>.由正弦函數(shù)的定義可知sinα＝eq\f<y,r>＝eq\f<m,|OM|>＝eq\f<－\f<4,5>,1>＝－eq\f<4,5>.第2課時(shí)單位圓與三角函數(shù)線課前自主學(xué)習(xí)KEQIANZIZHUXUEXI[基礎(chǔ)自學(xué)]一、有向線段1．定義：帶有方向的線段．2．表示：用大寫字母表示起點(diǎn)、終點(diǎn),如有向線段OM,MP.二、三角函數(shù)線圖示續(xù)表正弦線如上圖,α終邊與單位圓交于P,過(guò)P作PM垂直x軸,有向線段MP即為正弦線余弦線如上圖,有向線段OM即為余弦線正切線如上圖,過(guò)<1,0>作x軸的垂線,交α的終邊或α終邊的反向延長(zhǎng)線于T,有向線段AT即為正切線特別地,當(dāng)角α的終邊落在x軸上時(shí),M與P重合,A與T重合,這時(shí)正弦線和正切線都變成一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角α的終邊落在y軸上時(shí),M與O重合,這時(shí)余弦線變成一個(gè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的切線與角α的終邊所在直線不會(huì)相交,這時(shí),正切線不存在．[自我小測(cè)]1．判一判<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值．<><2>三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．<><3>若角α的正弦線的長(zhǎng)度為1,則sinα＝1.<><4>若角α的余弦線的長(zhǎng)度為0,則此時(shí)角α的終邊在x軸上．<>提示：<1>×<2>√<3>×<4>×2．做一做<1>已知角α的正弦線是單位長(zhǎng)度的有向線段,那么角α的終邊在<>A．x軸上B．y軸上C．直線y＝x上D．直線y＝－x上答案B解析由正弦線的定義及角α的正弦線是單位長(zhǎng)度的有向線段,知角α的終邊在y軸上．<2>角eq\f<π,7>和角eq\f<8π,7>有相同的<>A．正弦線B．余弦線C．正切線D．不能確定答案C解析由正切線的定義可知eq\f<π,7>與eq\f<8,7>π有相同的正切線．<3>如果eq\f<π,4><α<eq\f<π,2>,那么sinα,tanα,cosα按從小到大的順序排列為________．答案cosα<sinα<tanα解析如圖所示,在單位圓中分別作出α的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT,很容易地觀察出OM<MP<AT,即cosα<sinα<tanα.課堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU1作三角函數(shù)應(yīng)當(dāng)注意哪些問(wèn)題？提示：<1>位置：三條有向線段中有兩條在單位圓內(nèi),一條在單位圓外．<2>方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向切線與α的終邊<或其延長(zhǎng)線>的交點(diǎn)．<3>正負(fù)：三條有向線段中與x軸或y軸同向的為正值,與x軸或y軸反向的為負(fù)值．<4>書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前,終點(diǎn)字母在后．2如何利用三角函數(shù)線解正、余弦型不等式？提示：對(duì)于sinx≥b,cosx≥a<sinx≤b,cosx≤a>,求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c(diǎn),只需作直線y＝b或x＝a與單位圓相交,連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置,此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍．題型一作三角函數(shù)線例1作出eq\f<3π,4>的正弦線、余弦線和正切線．[解]在直角坐標(biāo)系中作單位圓,如圖所示,以O(shè)x軸為始邊作eq\f<3,4>π角,角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,作PM⊥Ox軸,垂足為M,由單位圓與Ox軸正方向的交點(diǎn)A作Ox軸的垂線與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn),則sineq\f<3,4>π＝MP,coseq\f<3,4>π＝OM,taneq\f<3,4>π＝AT,即eq\f<3,4>π的正弦線為MP,余弦線為OM,正切線為AT.[變式探究]將例1中的eq\f<3π,4>變?yōu)閑q\f<5,4>π,作出三個(gè)三角函數(shù)線．解sineq\f<5,4>π＝MP,coseq\f<5,4>π＝OM,taneq\f<5,4>π＝AT.三角函數(shù)線的畫法<1>作正弦線、余弦線時(shí),首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過(guò)此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得正弦線和余弦線．<2>作正切線時(shí),應(yīng)從A<1,0>點(diǎn)引x軸的垂線,交α的終邊<α為第一或第四象限角>或α終邊的反向延長(zhǎng)線<α為第二或第三象限角>于點(diǎn)T,即可得到正切線AT.[跟蹤訓(xùn)練1]在單位圓中畫出滿足cosα＝eq\f<1,2>的角的終邊．解如下圖作直線x＝eq\f<1,2>交單位圓于M、N,則OM、ON為角α的終邊．題型二利用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：<1>sineq\f<2π,3>與sineq\f<4π,5>；<2>taneq\f<2π,3>與taneq\f<4π,5>；<3>coseq\f<2π,3>與coseq\f<4π,5>.[解]如圖,畫出角eq\f<2π,3>與eq\f<4π,5>的正弦線、余弦線、正切線,由圖形觀察可得：|M1P1|>|M2P2|,|AT1|>|AT2|,|OM1|<|OM2|,結(jié)合有向線段的方向,我們可得M1P1>M2P2,AT1<AT2,OM1>OM2,又∵sineq\f<2π,3>＝M1P1,sineq\f<4π,5>＝M2P2,taneq\f<2π,3>＝AT1,taneq\f<4π,5>＝AT2,coseq\f<2π,3>＝OM1,coseq\f<4π,5>＝OM2,∴<1>sineq\f<2π,3>>sineq\f<4π,5>；<2>taneq\f<2π,3><taneq\f<4π,5>；<3>coseq\f<2π,3>>coseq\f<4π,5>.三角函數(shù)線比較大小的注意點(diǎn)<1>三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn),從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù),其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值．<2>比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小,不僅要看其長(zhǎng)度,還要看其方向．[跟蹤訓(xùn)練2]比較sin1155°與sin<－1654°>的大?。鈙in1155°＝sin<3×360°＋75°>＝sin75°,sin<－1654°>＝sin<－5×360°＋146°>＝sin146°,在單位圓中,分別作出75°和146°的正弦線M1P1,M2P2<如右圖>．∵M(jìn)1P1>M2P2,∴sin1155°>sin<－1654°>．題型三利用三角函數(shù)線解不等式例3求下列函數(shù)的定義域：<1>y＝eq\r<2