全等三角形中輔助線的添加

./全等三角形中輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見(jiàn)輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二．知識(shí)要點(diǎn)：1、添加輔助線的方法和語(yǔ)言表述〔1作線段：連接……；〔2作平行線：過(guò)點(diǎn)……作……∥……；〔3作垂線〔作高：過(guò)點(diǎn)……作……⊥……,垂足為……；〔4作中線：取……中點(diǎn)……,連接……；〔5延長(zhǎng)并截取線段：延長(zhǎng)……使……等于……；〔6截取等長(zhǎng)線段：在……上截取……,使……等于……；〔7作角平分線：作……平分……；作角……等于已知角……；〔8作一個(gè)角等于已知角：作角……等于……。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用常用的輔助線的添加方法：倍長(zhǎng)中線〔或類(lèi)中線法：若遇到三角形的中線或類(lèi)中線〔與中點(diǎn)有關(guān)的線段,通?？紤]倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線,構(gòu)造全等三角形。截長(zhǎng)補(bǔ)短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí),通常考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短法,構(gòu)造全等三角形。①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條；②補(bǔ)短：將一條較短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段,然后證明新線段等于較長(zhǎng)線段；或延長(zhǎng)一條較短線段等于較長(zhǎng)線段,然后證明延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段。一線三等角問(wèn)題〔"K"字圖、弦圖、三垂圖：兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊恰好是一個(gè)等腰直角三角形的直角邊。角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對(duì)稱軸利用"軸對(duì)稱性"構(gòu)造全等三角形。角含半角、等腰三角形的〔繞頂點(diǎn)、繞斜邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)重合法：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等。構(gòu)造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形<用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造>和等邊三角形的特殊三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。三、基本模型：〔1△ABC中AD是BC邊中線方式1：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長(zhǎng),作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E,連接BE方式3：延長(zhǎng)MD到N,使DN=MD,連接CD〔2由△ABE≌△BCD導(dǎo)出由△ABE≌△BCD導(dǎo)出由△ABE≌△BCD導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD〔3角分線,分兩邊,對(duì)稱全等要記全角分線+垂線,等腰三角形必呈現(xiàn)〔三線合一〔4①旋轉(zhuǎn)：方法：延長(zhǎng)其中一個(gè)補(bǔ)角的線段〔延長(zhǎng)CD到E,使ED=BM,連AE或延長(zhǎng)CB到F,使FB=DN,連AF結(jié)論：①M(fèi)N=BM+DN②③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM②翻折：思路:分別將△ABM和△ADN以AM和AN為對(duì)稱軸翻折,但一定要證明M、P、N三點(diǎn)共線.〔∠B+∠D=且AB=AD〔5手拉手模型①△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：〔1△ABF≌△AEC；〔2∠B0E=∠BAE=60°〔"八字型"模型證明；〔3OA平分∠EOF拓展：條件：△ABC和△CDE均為等邊三角形結(jié)論：〔1、AD=BE〔2、∠ACB=∠AOB〔3、△PCQ為等邊三角形〔4、PQ∥AE〔5、AP=BQ〔6、CO平分∠AOE〔7、OA=OB+OC〔8、OE=OC+OD〔〔7,〔8需構(gòu)造等邊三角形證明②△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：〔1、BE=CD〔2BE⊥CD③ABEF和ACHD均為正方形結(jié)論：〔1、BD⊥CF〔2、BD=CF變形一：ABEF和ACHD均為正方形,AS⊥BC交FD于T,求證：①T為FD的中點(diǎn).②方法一：方法二：方法三：變形二：ABEF和ACHD均為正方形,M為FD的中點(diǎn),求證：AN⊥BC④當(dāng)以AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí),總有：∠1=∠2=.四、典型例題：考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)中線〔或類(lèi)中線法：核心母題已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_________.練習(xí)：1、如圖,△ABC中,E、F分別在AB、AC上,DE⊥DF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.如圖,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分∠BAE.如圖,CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線,且∠ACB=∠ABC,求證：CD=2CE?？键c(diǎn)二：截長(zhǎng)補(bǔ)短法：核心母題如圖,AD∥BC,EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證：AB=AD+BC．練習(xí)：1、在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求證：AB+BP=BQ+AQ。ABCDEO2、如圖,在中,ABCDEO3、如圖,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一點(diǎn),且∠ABD=60°,∠ACD=60°求證：BD+DC=AB4、已知：如圖在△ABC中,AB=AC,D為△ABC外一點(diǎn),∠ABD=60°,∠ADB=90°－∠BDC,求證：AB=BD＋DC?？键c(diǎn)三：一線三等角問(wèn)題〔"K"字圖核心母題已知：如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC邊上一點(diǎn),∠ADE=45°,AD=DE,求證：BD=EC.練習(xí)：1、已知：如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EF⊥ED．求證：AE平分∠BAD．2、兩個(gè)全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置,E,A,C三點(diǎn)在一條直線上,連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連接ME,MC．試判斷△EMC的形狀,并說(shuō)明理由．3、如圖所示,AE⊥AB,BC⊥CD且AB=AE,BC=CD,F、A、G、C、H在同一直線上,如按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)及符號(hào),則圖中實(shí)線所圍成的圖形面積是？考點(diǎn)四：角平分線、中垂線法核心母題1、在中,,是的平分線．是上任意一點(diǎn)．求證：．2、已知等腰直角三角形ABC,BC是斜邊．∠B的角平分線交AC于D,過(guò)C作CE與BD垂直且交BD延長(zhǎng)線于E,求證：BD=2CE．如圖,△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D,F為垂足,DE⊥AB于E,且AB＞AC,求證：BE-AC=AE考點(diǎn)五：角含半角、等腰三角形的〔繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)重合法核心母題如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),∠EAF=45°,求證：EF=BE+DF.練習(xí)1、如圖所示,在五邊形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°求證：AD平分∠CDE.2、如圖,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五邊形ABCDE的面積．3、如圖,