數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)與圖像性質(zhì)

數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)與圖像性質(zhì)匯報(bào)人：XX2024-01-27XXREPORTING目錄二次函數(shù)基本概念二次函數(shù)圖像性質(zhì)二次函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)二次函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系典型例題解析與思路拓展PART01二次函數(shù)基本概念REPORTINGXX二次函數(shù)定義形如$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$aneq0$）的函數(shù)稱(chēng)為二次函數(shù)。二次函數(shù)的一般形式$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$是常數(shù)，且$aneq0$。二次函數(shù)的頂點(diǎn)式$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是函數(shù)的頂點(diǎn)。定義與表達(dá)式$a$的作用決定拋物線的開(kāi)口方向和寬窄。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。$|a|$越大，拋物線越窄；$|a|$越小，拋物線越寬。$b$的作用與$a$共同決定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸。對(duì)稱(chēng)軸為$x=-frac{2a}$。$c$的作用決定拋物線與$y$軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)$c>0$時(shí)，交點(diǎn)在$y$軸正半軸；當(dāng)$c<0$時(shí)，交點(diǎn)在$y$軸負(fù)半軸；當(dāng)$c=0$時(shí)，交點(diǎn)為原點(diǎn)。系數(shù)與圖像關(guān)系判別式的意義當(dāng)$Delta>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)$Delta<0$時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，拋物線與$x$軸無(wú)交點(diǎn)。當(dāng)$Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（即一個(gè)重根），拋物線與$x$軸有一個(gè)交點(diǎn)。判別式定義：對(duì)于二次方程$ax^2+bx+c=0$，其判別式為$Delta=b^2-4ac$。判別式及其意義PART02二次函數(shù)圖像性質(zhì)REPORTINGXX當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a})$，其中$a,b,c$分別為二次函數(shù)的系數(shù)。頂點(diǎn)在拋物線上，且為拋物線的最值點(diǎn)。頂點(diǎn)位置開(kāi)口方向與頂點(diǎn)位置對(duì)于一般形式的二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，其對(duì)稱(chēng)軸為直線$x=-frac{2a}$。對(duì)稱(chēng)軸是拋物線的一條重要性質(zhì)，拋物線上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在拋物線上。對(duì)稱(chēng)軸對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的二次函數(shù)$y=a(x-h)^2+k$，其對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)$(h,k)$。對(duì)稱(chēng)中心也是拋物線的最值點(diǎn)，且拋物線上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在拋物線上。對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心與$x$軸交點(diǎn)當(dāng)$Delta=b^2-4ac>0$時(shí)，拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，無(wú)交點(diǎn)。交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)解二次方程$ax^2+bx+c=0$得到。與$y$軸交點(diǎn)拋物線與$y$軸的交點(diǎn)為點(diǎn)$(0,c)$，其中$c$為二次函數(shù)中的常數(shù)項(xiàng)。無(wú)論拋物線開(kāi)口方向如何，其與$y$軸的交點(diǎn)始終在$y$軸上。與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況PART03二次函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)REPORTINGXX010203導(dǎo)數(shù)法通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性。若二次函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。判別式法對(duì)于形如f(x)=ax^2+bx+c的二次函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x<-b/2a時(shí)單調(diào)遞減，在x>-b/2a時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在x<-b/2a時(shí)單調(diào)遞增，在x>-b/2a時(shí)單調(diào)遞減。圖像法通過(guò)觀察二次函數(shù)的圖像來(lái)判斷其單調(diào)性。當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增；當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè)單調(diào)遞減。單調(diào)性判斷方法配方法將二次函數(shù)通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，從而直接得出最值。公式法利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)直接求出最值。判別式法通過(guò)判斷判別式的正負(fù)來(lái)確定二次函數(shù)是否有最值，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值。最值問(wèn)題求解技巧判別式法通過(guò)計(jì)算判別式的值來(lái)判斷二次方程是否有實(shí)根，從而確定函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。圖像法通過(guò)觀察二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。中間值定理利用中間值定理判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)。區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷PART04二次函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系REPORTINGXX與一元二次方程關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程緊密相關(guān)，一元二次方程的解即為二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。通過(guò)分析二次函數(shù)的圖像，可以直觀地理解一元二次方程的解的個(gè)數(shù)和性質(zhì)。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與一元二次方程的根的和與積有直接關(guān)系，可用于求解相關(guān)問(wèn)題。與不等式關(guān)系及應(yīng)用01二次函數(shù)與不等式有密切聯(lián)系，通過(guò)二次函數(shù)的圖像可以解一元二次不等式。02利用二次函數(shù)的單調(diào)性，可以確定不等式的解集范圍。通過(guò)分析二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以解決與不等式相關(guān)的最值問(wèn)題。03二次函數(shù)在平面幾何中有廣泛應(yīng)用，如求解距離、面積等問(wèn)題。通過(guò)建立二次函數(shù)模型，可以解決與圓、橢圓等平面圖形相關(guān)的問(wèn)題。利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以研究平面圖形的對(duì)稱(chēng)性和變換性質(zhì)。在平面幾何中應(yīng)用舉例PART05典型例題解析與思路拓展REPORTINGXX求函數(shù)$f(x)=x^2-2x-3$的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸。例題1通過(guò)配方將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，從而直接讀出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸方程。思路分析$f(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-4)$，對(duì)稱(chēng)軸為$x=1$。解題過(guò)程典型例題選講及思路分析例題2已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(0,1)$和$(1,0)$，且對(duì)稱(chēng)軸為$x=frac{1}{2}$，求$a,b,c$的值。思路分析根據(jù)已知條件列出方程組，解方程組求得$a,b,c$的值。解題過(guò)程由題意得$left{begin{array}{l}c=1a+b+c=0-frac{2a}=frac{1}{2}end{array}right.$，解得$left{begin{array}{l}a=1b=-1c=0end{array}right.$。典型例題選講及思路分析變式1思路分析解題過(guò)程變式訓(xùn)練提高思維能力求函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$[0,3]$上的值域。先求出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出值域。函數(shù)$f(x)=x^2-2x$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-1)$，對(duì)稱(chēng)軸為$x=1$。在區(qū)間$[0,3]$上，函數(shù)在$[0,1]$上單調(diào)遞減，在$[1,3]$上單調(diào)遞增。因此，函數(shù)的最小值為$-1$，最大值為$f(3)=3$，所以值域?yàn)?[-1,3]$。變式2已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$的圖像與$x$軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且$f(0)=1$，求$a+b+c$的取值范圍。思路分析根據(jù)已知條件列出不等式組，解不等式組求得$a+b+c$的取值范圍。解題過(guò)程由題意得$left{begin{array}{l}Delta=b^2-4ac>0a>0c=1end{array}right.$，即$left{begin{array}{l}b^2-4a>0a>0a+b+1>a+bend{array}right.$。解得$a+b+c>1$。變式訓(xùn)練提高思維能力二次函數(shù)的圖像性質(zhì)包括開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸