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文檔簡(jiǎn)介
2022年中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力高考數(shù)學(xué)診斷性試卷(文科)(3月
份)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(5分)已知A={-1,0,1,3,5},B={x|x(x-4)<0},則4nB=()
A.{0,1}B.{-1,I,3}C.{0,1,3}D.{1,3}
2.(5分)命題“VxeR,的否定是()
A.VxeR,7<0B.VxGR,fWO
C.3xo6R,xo2<OD.3xoGR,xo2^O
3.(5分)函數(shù)/(x)=sin2x+Wcos2r的最小正周期和最大值分別為()
A.ir和2B.TT和1+火C.2TT和2D.如和1+8
x+y<3
4.(5分)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y-xN1,則z=2x+)'的最大值為()
,%>0
A.1B.3C.4D.6
X,
5.(5分)已知小尸2為橢圓「:工+)2=1的左、右焦點(diǎn),M為「上的點(diǎn),則博下憶
面積的最大值為()
A.V3B.2C.2V3D.4
6.(5分)科學(xué)家以里氏震級(jí)來(lái)度量地震的強(qiáng)度,設(shè)/為地震時(shí)所釋放出的能量,則里氏震
級(jí)r可定義為=加+3.2.若/=1.2X1()4,則相應(yīng)的震級(jí)為()(己知:k2=0.3010,
3=0.4771)
A.5.8B.5.9C.6.0D.6.1
7.(5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()
A.20TCB.247rC.28nD.32TT
——ABADAC—
8.(5分)已知4B=DC=(1,V3),且-+t=,則14cl=()
\AB\\AD\\AC\
A.2B.2V2C.2V3D.4
9.(5分)在復(fù)平面X。),內(nèi),復(fù)數(shù)zi,Z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,Z2,給出下列四個(gè)式子:
①Z12=|zi『;
②|Z1?Z2|=|Z1|?|Z2|;
③OZJ=|OZ」|;
④應(yīng)1?應(yīng)2|=應(yīng)11?應(yīng)J
其中恒成立的個(gè)數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
10.(5分)若無(wú)窮等差數(shù)列{“”}的首項(xiàng)mVO,公差d>0,{“”}的前〃項(xiàng)和為S”則以下結(jié)
論中一定正確的是()
A.S單調(diào)遞增B.S單調(diào)遞減C.S”有最小值D.S”有最大值
11.(5分)已知直線“、b、/和平面a、p,aua,ftcp,aAp=/,且a_L0.對(duì)于以下命題,
下列判斷正確的是()
①若a、。異面,則。、匕至少有一個(gè)與/相交;
②若“、6垂直,則“、6至少有一個(gè)與/垂直.
A.①是真命題,②是假命題B.①是假命題,②是真命題
C.①是假命題,②是假命題D.①是真命題,②是真命題
12.(5分)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足:/(x)+g(x)=2,.若
存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式3礦(x)-a)(g(x)-a)WO在區(qū)間[1,2]上恒成
立,則正整數(shù)n的最小值為()
A.1B.2C.3D.4
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(5分)已知一組數(shù)據(jù)a,1,3,7的中位數(shù)為4,則該組數(shù)據(jù)的方差為.
14.(5分)學(xué)號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九位同學(xué)參加甲、乙兩項(xiàng)公益活動(dòng),
其中甲組四人,乙組五人,則1號(hào)同學(xué)和9號(hào)同學(xué)恰好分在同一組的概率為.
15.(5分)已知拋物線「:”2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡斜率為1的直線/與拋物線「相
交于A、B兩點(diǎn),若|A儀=3,\BF]=5,則|AB|=.
16.(5分)已知函數(shù)+\x+a\+b.若函數(shù)/(x)在(-8,o)上存在兩個(gè)不相等
的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.
三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步臻.
17.(12分)已知數(shù)列{板}的前"項(xiàng)和為S”。2=4,且對(duì)任意"6N*,都有S”+1-2S”=2.
(1)求數(shù)列{曲}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)歷尸言,求數(shù)列{為}的前”項(xiàng)和乙.
18.(12分)“雙減”實(shí)施后學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間增加了,某校調(diào)查了某年級(jí)200名學(xué)生每
周的自主學(xué)習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),并制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其時(shí)間的范圍
是[7,12],樣本數(shù)據(jù)分組為[7,8),[8,9),[9,10),[10.11),[11,12].根據(jù)直方圖,
計(jì)算下列問(wèn)題.
(1)求。的值及自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[9,10)內(nèi)的學(xué)生人數(shù);
(2)從這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,記所抽取學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[8,11)內(nèi)為事件
A,所抽取學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[10,12]內(nèi)為事件8,判斷事件4和8是否互相獨(dú)立,并
說(shuō)明理由.
19.(12分)在三棱錐O-ABC中,AD1CD,ADVBC,ACA.BC,AD=CD,AC=BC=2.
(1)求三棱錐£>-A8C的體積;
(2)求異面直線AC與8。所成角的大小.
D
……k__._XC
B
x2y2
20.(12分)已知雙曲線r:-7-77=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4(7,0)、
a2b2
A2(L0),離心率為2,過(guò)點(diǎn)尸(2,0)斜率不為0的直線/與「交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求雙曲線「的漸近線方程;
k
(2)記直線AiP、A2Q的斜率分別為%,幻,求證:U為定值.
左2
21.(12分)已知函數(shù)/(x)—lnx+a.
(1)若曲線),=/(x)在(1,/(D)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意(0,+8),都有"一。可(》)(e為自然對(duì)數(shù)的底),求證:aWl.
22.(10分)已知函數(shù)/(X)=|2x-4|+|/+a|(xGR).
(1)若a=l,求證:f(x)24;
(2)若對(duì)于任意尤41,2],都有/(x)W4,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.
2022年中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力高考數(shù)學(xué)診斷性試卷(文科)(3月
份)
參考答案與試題解析
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(5分)已知A={-1,0,1,3,5},B=[x\x(x-4)<0},則AGB=()
A.{0,1}B.{-1,1,3}C.{0,1,3}D.{1,3}
【解答】解:???A={-1,0,1,3,5),
B={x\x(x-4)<0}={x|0<x<4},
???AG8={1,3}.
故選:D.
2.(5分)命題uVxGR,x22?!钡姆穸ㄊ?)
A.V.rER,/〈OB.VAGR,
C.3xoGR,XO2<OD.R,x()22。
【解答】解:根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題可知:命題,成R,/20”的否定是FXOWR,
xo2<O",
故選:C.
3.(5分)函數(shù)/G)=sin2x+gcos2無(wú)的最小正周期和最大值分別為()
A.IT和2B.it和1+國(guó)C.2n和2D.2n和1+百
【解答】解:f(x)=sin2x+V3cos2x=2sin⑵+5)的最小正周期T=ii,最大值為2.
故選:A.
%+y<3
4.(5分)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y—1,則z=2x+y的最大值為()
%>0
A.1B.3C.4D.6
【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:
由z=2x+y得y=-2x+z,
平移直線y=-2x+z,由圖象知當(dāng)直線y=-2x+z,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線y=-2x+z的截距
最大,此時(shí)z最大,
<?::得仁3即AO,
此時(shí)z=2x+y=2+2=4,
即z的最大值為4,
故選:C.
5.(5分)已知尸1、尸2為橢圓「:一+)2=1的左、右焦點(diǎn),M為「上的點(diǎn),則尸2
4
面積的最大值為()
A.V3B.2C.2V3D.4
%2
【解答】解:橢圓「:—+y2=l,
可得a=2,b=l,c=V3,
-1-1
可得△F1MF2的面積的最大值為S=X2V3X1=V3,
故選:A.
6.(5分)科學(xué)家以里氏震級(jí)來(lái)度量地震的強(qiáng)度,設(shè)/為地震時(shí)所釋放出的能量,則里氏震
級(jí)r可定義為片當(dāng)g/+3.2.若/=1.2X104,則相應(yīng)的震級(jí)為()(已知:/g2=0.3010,
/g3=0.477D
A.5.8B.5.9C.6.0D.6.1
【解答】解:當(dāng)/=1.2X1()4時(shí),
廠=|/g/+3.2=|/g(1.2X104)+3.2
=^lg(12X103)+3.2
2
1(2/g2+/g3+3)+3.2
2
(0.6020+0.4771+3)+3.2
=2.6694+3.2心5.9;
故選:B.
7.(5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()
B.24nC.28TTD.32Tt
【解答】解:由三視圖知,空間幾何體是一個(gè)組合體,
上面是一個(gè)圓錐,圓錐的底面直徑是4,圓錐的高是2百,
...在軸截面中圓錐的母線長(zhǎng)是“I不彳=4,
...圓錐的側(cè)面積是irX2X4=8n,
下面是一個(gè)圓柱,圓柱的底面直徑是4,圓柱的高是4,
二圓柱表現(xiàn)出來(lái)的表面積是nX22+2nX2X4=2(hr
...空間組合體的表面積是28TT,
故選:C.
TTT
——ABADAC—
8.(5分)己知4B=DC=(1,V3),且一'h+->=rr-,則|AC|=()
\AB\\AD\\AC\
A.2B.2V2C.2V3D.4
【解答】解:如圖示:
":AB=辰=(1,V3),
四邊形A8C。是平行四邊形,
ABADAC
又r-+r-=
\AB\\AD\\AC\
:.ZDAB=\20°,且四邊形ABC。是菱形,
...△A8C是等邊三角形,
:.\AC\^\AB\=y/T+3=2,
9.(5分)在復(fù)平面xOy內(nèi),復(fù)數(shù)zi,Z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi,Z2,給出下列四個(gè)式子:
①Z12=|zi『;
②|ZI?Z2|=|ZI|TZ2|;
TT
③ozJ=iozJi;
④|。口?。521=1。?1|?|。/1?
其中恒成立的個(gè)數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,(a,b,c,d£R),
則Zi=(a,b),Z2(c,d),OZ】=(a,b),0Z2=(c,d),
對(duì)于①z/=〃2-g-labi,|zi|2:=tz2+/72,故①不正確;
對(duì)于②zi?z2=(ac-bd)+(bc+ad)i,則|zi?z2『=(ac-)2+(bc+ad)2=t/2c2+tz26f2+/?2c2+/?2J2,
|z2|2=c2+t/2,則|ZI|2?|Z2『=Ca2+h2)(J+/)=?2c2+d!2J2+Z?2c2+/?2t/2,則|zi?z2|=|zi|,|z2|,
故②正確;
22
對(duì)于③OZ/=|OZ1|=a+/?=|。2|2,故③正確;
22222
對(duì)于④0/?!?=ac+bd,^]\OZ^OZ2\=y/^ac+bd),\OZ^\OZy\=Va+6?Vc+d豐
Q(ac+bd)2,故④錯(cuò)誤.
故選:B.
10.(5分)若無(wú)窮等差數(shù)列{的}的首項(xiàng)ai<0,公差d>0,{“”}的前”項(xiàng)和為S”則以下結(jié)
論中一定正確的是()
A.S”單調(diào)遞增B.S,單調(diào)遞減C.S有最小值D.%有最大值
【解答】解:S"=〃m+M:2/=號(hào)〃2+@—?jiǎng)?wù)”,
>0,;.s”有最小值.
故選:c.
11.(5分)已知直線a、b、/和平面a、0,aua,bu0,aC0=/,且&_1_d對(duì)于以下命題,
下列判斷正確的是()
①若4、。異面,則4、8至少有一個(gè)與/相交;
②若4、b垂直,則4、人至少有一個(gè)與/垂直.
A.①是真命題,②是假命題B.①是假命題,②是真命題
C.①是假命題,②是假命題D.①是真命題,②是真命題
【解答】解:對(duì)于①,若a,b都不與交線相交,
則只有一種可能,即“,人均平行于交線,
.,.若a、b異面,則a、6至少有一個(gè)與/相交,故①正確;
對(duì)于②,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得:
若“,b垂直,則aJ_0,或6_1_0(,故a、6至少有一個(gè)與/垂直,
???若。、b垂直,則人人至少有一個(gè)與/垂直,故②正確.
故選:D.
12.(5分)己知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足:/(x)+g(x)=2七若
存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式(W(x)-a)(g(x)-a)W0在區(qū)間[1,2]上恒成
立,則正整數(shù)”的最小值為()
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:由題設(shè),/(-x)+g(-x)—f(x)-g(x)—2'x,又/(x)+g(x)=
2X,
聯(lián)立可得/(x)=2廠】+2一=1,g(x)=2廠1-2一廠1,
又f(x)2*1=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,
即/(x)在(-8,0)上遞減,在(0,+8)上遞增,
517
所以,在[1,2]±/(%)e[-,—],
315
而g(x)=2廠1-2*1在[1,2]上遞增,故g(x)&[-,—],
48
若則”三公弟且〃為正整數(shù),只需“22即可.
lg(x)<a84
若則=且N為正整數(shù),不成立;
lg(x)>a84
綜上,正整數(shù)〃的最小值為2.
故選:B.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(5分)已知一組數(shù)據(jù)a,1,3,7的中位數(shù)為4,則該組數(shù)據(jù)的方差為5.
【解答】解:由數(shù)據(jù)小1,3,7的中位數(shù)為4,則a>3,
3+7
若a》7,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5,不符合題意,
所以3<a<7,
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為等=4,解得〃=5,
1+3+5+7
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為---------=4,
4
故這組數(shù)據(jù)的方差為s2=iX[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
故答案為:5.
14.(5分)學(xué)號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九位同學(xué)參加甲、乙兩項(xiàng)公益活動(dòng),
4
其中甲組四人,乙組五人,則1號(hào)同學(xué)和9號(hào)同學(xué)恰好分在同一組的概率為一
【解答】解:1號(hào)同學(xué)和9號(hào)同學(xué)恰好分在同一組的選法為:C打仔+C弘的=56,
甲組四人,乙組五人的分法共有以=126種,
則1號(hào)同學(xué)和9號(hào)同學(xué)恰好分在同一組的概率=黑=不
4
故答案為:--
15.(5分)已知拋物線「:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡斜率為1的直線/與拋物線「相
交于A、B兩點(diǎn),若|AM=3,\BF]^5,則依8|=」夜_.
【解答】解:作A4',89分別垂直于準(zhǔn)線與B'煎,由拋物線的性質(zhì)可得14rl=3用,
過(guò)A作于D點(diǎn),則|3£>|=由砌-|AA|=5-3=2,直線AB的斜率為1,則|AB|=
近\BD\=2近,,
故答案為:2位.
16.(5分)已知函數(shù)F(x)=1+\x+a\+h.若函數(shù)/(x)在(-8,0)上存在兩個(gè)不相等
的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(1,+8).
【解答】解:若/(x)=[+\x+a\+b在(-8,0)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
即以+3=-1一〃在(-8,0)上存在2個(gè)不同的交點(diǎn),
(1)當(dāng)。<0時(shí),如圖1,|x+a|=一匕僅有1個(gè)交點(diǎn),不滿足題意;
(2)當(dāng)“>0且-a在點(diǎn)尸左側(cè)時(shí),如圖2,僅有1個(gè)交點(diǎn),不滿足題意;
(3)當(dāng)“>0且一9一〃在x=-a處的切線斜左》1時(shí),如圖3,僅有一個(gè)交點(diǎn),
令g(x)=—g'(x)=+,所以當(dāng)x=-1時(shí),g'(-1)=1,即-心-1,
求得aWl,不滿足題意;
(4)當(dāng)“>0且一:一6在x=-a處的切線斜率上<1時(shí),如圖4,方程即可能存在2個(gè)
交點(diǎn),滿足題意,且由(3)知g'(-1)=1,此時(shí)-a<-1,BPa>\;
綜上可得a的取值范圍為(1,+8).
(1)(2)
故答案為:(1,+8).
三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步臻.
17.(12分)已知數(shù)列{祈}的前〃項(xiàng)和為S,42=4,且對(duì)任意"6N*,都有S"+i-2Sa=2.
(1)求數(shù)列{反}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)力尸會(huì)求數(shù)列出"}的前〃項(xiàng)和刀八
【解答】解:(1)因?yàn)?2-251=2,所以“2-m=2,
因?yàn)椤?=4,所以41=2,
當(dāng)"22時(shí),S〃-2S〃-1=2,S〃+i-2S〃=2,
兩式相減得,?!?1=2劭,
因?yàn)閍i=2a\,
所以對(duì)任意都有的+i=2a〃,
即數(shù)列{板}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,
所以Qn=2,?2€N*).
(2)由題可得由=去,
??/九=芯+京+…7p
zz乙
2〃=1+2+7+…+券
兩式相減得,Tn=1+^+-^2+■?■一云,
1」
所以一關(guān)=2—筍,(n€N*).
18.(12分)“雙減”實(shí)施后學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間增加了,某校調(diào)查了某年級(jí)200名學(xué)生每
周的自主學(xué)習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),并制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其時(shí)間的范圍
是[7,12],樣本數(shù)據(jù)分組為[7,8),[8,9),[9,10),fl0.ll),[11,12].根據(jù)直方圖,
計(jì)算下列問(wèn)題.
(1)求a的值及自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[9,10)內(nèi)的學(xué)生人數(shù);
(2)從這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,記所抽取學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[8,11)內(nèi)為事件
A,所抽取學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[10,12]內(nèi)為事件B,判斷事件4和8是否互相獨(dú)立,并
【解答】解:⑴因?yàn)榻M距為1,所以0.4+a+0.15+0.1+0.1=l,得。=0.25,
在[9,10)的頻率為0.25,所以在[9,10)內(nèi)的人數(shù)為0.25X200=50人;
(2)在區(qū)間[8,11)內(nèi)的頻率為0.15+0.25+0.4=0.8,所以P(A)=0.8,
在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻率為04+0.1=0.5,所以尸(8)=0.5,
在區(qū)間[10,11)內(nèi)的頻率為0.4,所以P(A8)=0.4,
因?yàn)镻(A)P(B)=P(AB),所以事件A與B互相獨(dú)立.
19.(12分)在三棱錐£>-ABC中,AD1CD,ADA.BC,AC±BC,AD=CD,AC=BC=2.
(1)求三棱錐。-4BC的體積;
(2)求異面直線AC與8。所成角的大小.
【解答】解:(1)因?yàn)锳C_LBC,AD±BC,ADC\AC=A,ADcffiADC,ACc?ADC.
所以8C_L面AOC.
所以三棱錐D-ABC的體積U=|x5CxS“ACD-
因?yàn)锳Q_LC£),AD=CD,AC=2,所以4。=CD=0
得V巖XBCX3X4OXCO=/X2X3X&X&=|.
即三棱錐D-ABC的體積為|.
(2)取AC中點(diǎn)H,因?yàn)锳Q=CZ),所以O(shè)H_LAC,由(1)知,BC1DH.
因?yàn)?CC4C=C,BCcffiABC,ACc?ABC.
所以力H_L底面ABC,
如圖,作BE平行且等于AC,
所以AC8E是平行四邊形,
NOBE(或其補(bǔ)角)是異面直線8。和AC所成的角,
因?yàn)锽C_LAC,所以AE_L4C,因?yàn)锳H=1,AE=2,
所以EH=VAE2+AH2=V22+l2=V5,同理BH=V5.
因?yàn)镈HLEH,DHLBH,DH=\,所以DE=DB=遍.
在△OE8中,DE=DB=V6,BE=2,
=22/-2=
_/+/一浸底+2“一乃=
所以COSNDBEn
2xBDxBE2x76x2-6,
V6
即異面直線AC與BD所成角的余弦值為一.
6
X2V2
20.(12分)已知雙曲線一a-標(biāo)=->0,Q0)的左、右頂點(diǎn)分別為4(-1,。)、
A2(I,0),離心率為2,過(guò)點(diǎn)尸(2,0)斜率不為0的直線/與「交于P、。兩點(diǎn).
(1)求雙曲線「的漸近線方程;
(2)記直線4P、A2。的斜率分別為心,幻,求證:詈為定值.
叱2
【解答】解:(1)設(shè)雙曲線「的半焦距為c,由題意可知。=1,e=:=2,廿=C2-/=3,
在雙曲線「的方程為,一[=1;
(2)證明:當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(2,3)和(2,-3),
當(dāng)A1=1時(shí),k2—-3,當(dāng)%i=-l時(shí),ki=3,此時(shí)好=—工,
k23
當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)直線/的方程為y=k(x-2),P(xi,),i),Q(X2,”),
將直線/代入雙曲線方程得々-3)/-4島+4必+3=0,
4必4必+3
所以Xl+X2=,X\X2=,20,
必一3k—3
=+_2k_
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