2018年春高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2習(xí)題匯總含答案

單元測評(一)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(A卷)

(時間：90分鐘滿分：120分)

第I卷(選擇題，共50分)

一、選擇題：本大題共10小題，共50分.

1.下列各式正確的是()

A.(sin。)'=cos。(。為常數(shù))

B.(cos%)'=sinr

C.(sinx)'=cos%

D.(/5)，=-*6

解析：由導(dǎo)數(shù)公式知選項(xiàng)A中(sin。)'=0:選項(xiàng)B中(cosX)'=—

siax;選項(xiàng)D中(%ry=-5%-6.只有c正確.

答案：C

2.曲線丫=南在點(diǎn)(一1,—1)處的切線方程為()

A.y~~2x+1B.y=2x1

C.y=.2x—3D.y=.2x—2

第折??/(%+2)~x(%+2)，_2

斛析.—(x+2)2-(x+2)2，

,,2、

yk=-i=(_]+2)2=2,

二.切線方程為：y+l=2(x+l),即y=2x+l.

答案：A

3.已知對任意實(shí)數(shù)%,有八一%)=—/(%),g(—%)=g(%).且%>0時,

f(x)>0,g'(x)>0,則％<0時()

A.f'(%)>0,g'U)>0B.f(x)〉0,g'(x)<0

c.f(%)<o,g'a)〉oD.fa)<o,g'a)<o

解析：1%)為奇函數(shù)且%>0時單調(diào)遞增，所以％<0時單調(diào)遞增，

/'(%)>0;g(x)為偶函數(shù)且x>0時單調(diào)遞增，所以x<Q時單調(diào)遞減，

屋(%)<0.

答案：B

4.函數(shù)八%)=如+0￥2+3%—9,已知<%)在％=—3處取得極值，則

。=()

A.2B.3C.4D.5

解析：/"(%)=3好+2。％+3,

?./(―3)=0.

.,.3X(-3)2+2aX(-3)+3=0,：.a=5.

答案：D

5.對任意的x￡R,函數(shù)式幻二如+^^+7"不存在極值點(diǎn)的充要

條件是()

A.0WaW21B.。=0或。=7

C.。<0或a>21D.。=0或。=21

解析：/(%)=3_x2+2a%+7a,當(dāng)/=4層-84aW0,即0WaW21

時，/'(%)10恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn).

答案：A

6.如圖是函數(shù))=/")的導(dǎo)函數(shù)y=f(%)的圖象，則下列結(jié)論正確

的是()

A.在區(qū)間(一2,1)內(nèi)八%)是增函數(shù)

B.在區(qū)間(1,3)內(nèi)/U)是減函數(shù)

C.在區(qū)間(4,5)內(nèi)火X)是增函數(shù)

D.在％=2時，火%)取極小值

解析：由圖象可知，當(dāng)x￡(4,5)時，/(%)〉0,

.7危)在(4,5)內(nèi)為增函數(shù).

答案：C

7.若函數(shù)/(%)=—第3+3/+9%+。在區(qū)間［—2,—1］上的最大值為

2,則它在該區(qū)間上的最小值為()

A.-5B.7

C.10D.-19

解析：'?y'=-3/+6%+9=-3(%+1)(尤―3),

二.函數(shù)在［-2,—1］內(nèi)單調(diào)遞減，

最大值為八-2)=2+。=2.

.*.<2=0,最小值為八一l)=a—5=—5.

答案：A

8.曲線y=f-1與X軸圍成圖形的面積等于()

A-3B1

4

C.1D.g

解析：函數(shù)y=%2—1與％軸的交點(diǎn)為(一1,0),(1,0),且函數(shù)圖象

關(guān)于y軸對稱，故所求面積為

5=2f1(1—X2)6?X=2^x—IA=2x|=^.

Jo

答案：D

\2,xe[O,1],

9.設(shè)f(x)=<l則0f(x)dx等于()

『，x￡(l,e],Jo

A-3

「67

C5D6

解析：儼f(X)dx=f1x26Zx+『一dx

X

JoJoJi

=1x316+Znx|f=g.

答案：A

10.若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且歲'(%),則當(dāng)a>匕時，下列不

等式成立的是()

A.e伙a)>e貿(mào)力B.心艮叱叭扮

C.e伏份〉e伙a)D.嗎⑼〉當(dāng)⑷

解析：?譚卜="})

加(%)—加)]

單調(diào)遞減，又Q>。，

e

.電)〈的)

,?e"

：.eaf(h)>ebfia).

答案：D

第II卷(非選擇題，共70分)

二'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11.如果函數(shù)八%)=%3-6灰+36在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在與入軸平行的

切線，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

解析：存在與％軸平行的切線，即/'(%)=3%2-6b=0有解.

%*2(n

又,.”￡(()』)，：.b=^^\0,27

12.函數(shù)y=x3+or2+b%+屋在X=1處有極值10,則。=.

解析：=3必+2奴+〃，

1+。+人+。2=10,<7=-3,a=4,

.3+2。+方=0,b=—\\.

時，y'=3(—6x+3=3(%—1)220,函數(shù)無極值,

故。=4,b=—\\.

答案：4

13.如果圓柱的軸截面周長為定值4,則圓柱體積的最大值為

解析：設(shè)圓柱的高為心底面半徑為H,根據(jù)條件4R+2/z=4,得

h=2-2R,0<R<l.

：.V=nR2h=兀尺2Q-2R)=2兀&-2兀2,

2(21

由V'=4兀/?一6兀相=0得R=?且當(dāng)R￡[0,g]時，函數(shù)V遞增;

|,11時，函數(shù)V遞減，

28

故R=g時，V取最大值，嚴(yán)

Q

答案：句兀

14.一動點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸運(yùn)動，其速度。⑺=2一《速度的

正方向與％軸的正方向一致)，則t=3時，動點(diǎn)P移動的路程為

解析：由O⑺=2—，20得0W/W2,

.?"=3時，點(diǎn)P移動的路程為

'5

223

--

022

答案：|

三'解答題：本大題共4小題，滿分50分.

14

15.(12分)已知曲線丫=空3+1.

(1)求曲線在x=2處的切線方程；

(2)求曲線過點(diǎn)(2,4)的切線方程.

解：(l)-y'=X2,

在點(diǎn)P(2,4)處的切線斜率k=y'|X=2=4.

又x=2時y=4,

二.在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程：4x-y-4=0.4分

14(

(2)設(shè)曲線y=gx3+Q與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A〔xo,

則切線斜率k=y'k=x0=x8,

切線方程為y—］；x8+?=x8(x—xo),

24

即y=x&x—wx8+q.8分

?.?點(diǎn)P(2,4)在切線上,

xj-3x8+4=。，

(Xo+l)(xo—2)2=0,解得xo=-1,Xo=2.

故所求的切線方程為y=x+2或y=4x—4,即4x—y—4=0或x

-y+2=0.12分

16.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=a^+3+b(a>0).

dC

(1)求f(x)在［0,+8)內(nèi)的最小值;

3

(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=］x,求a,b的

值.

解：(l)f'(x)=aex一熹，

當(dāng)f'(x)>0,即x>一/〃a時，f(x)在(一/〃a,+8)上遞增；

當(dāng)f'(x)<0,即x<—/〃a時，f(x)在(一8,一/〃a)上遞減.

①當(dāng)0<a<l時，一/〃a>0,f(x)在(0,—/〃a)上遞減，在(一Ina,+°°)

上遞增，從而f(x)在［0,+8)內(nèi)的最小值為f(—/a)=2+b;

②當(dāng)a》l時，一方aWO,f(x)在［0,+8)上遞增，從而f(x)在［0,

+8)內(nèi)的最小值為f(o)=a+J+b.6分

3

131

(2)依題意f'(2)=ae2—^2=2，解得a^2=2或ae?=—/(舍去).

211

所以a=x，代入原函數(shù)可得2+1+b=3,即b=,

21

故a=u，b=］12分

4

17.(12分)若函數(shù)f(x)=ax?+2x-g貶x在x=l處取得極值.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.

4

解：(l)f'(x)=2ax+2一冥，

21

由f'(l)=2a+g=0,得a=一§.4分

14

(2)f(x)=—2x2+2x—^/HX(X>0).

f'(x)=—1x+24—2(x—l)(x—2)

3x3x

由f'(x)=0,得x=l或x=2.8分

①當(dāng)f'(x)〉。時l<x<2;

②當(dāng)f'(x)<0時0<x<l或x>2.

當(dāng)x變化時f'(x),f(x)的變化情況如下:

X(0,1)1(1,2)2(2,+8)

f'(X)—0+0—

584

f(x)X/3-3加2X

3

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(2,+8).

函數(shù)的極小值為f(l)=5|,極大值為f(2)=R|-^42.12分

18.(14分)已知兩個函數(shù)f(x)=7x?—28x—c,g(x)=2x3+4x2—40x.

(1)若對任意x￡[—3,3],都有f(x)Wg(x)成立，求實(shí)數(shù)c的取值范

圍；

(2)若對任意xi￡[-3,3],X2&L3,3],都有f(xi)Wg(X2)成立，求

實(shí)數(shù)C的取值范圍.

解：⑴?.?f(x)Wg(x)恒成立，

...C三(—2x3+3x2+12x)mar.

令F(x)=-2x3+3x?+12x,xG[—3,3],

???F'(x)=-6x2+6x+12,x￡[-3,3],

令F'(x)=0得x=—1或x=2.

.,.當(dāng)x￡[-l,2],f'(x)20,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x￡[-3,-1)或x￡(2,3],f'(x)<0,

f(x)單調(diào)遞減，4分

又?.?F(2)=20,F(—3)=45,

.,.F(x),?at=F(-3)=45,.\c245.7分

(2)Vf(xi)=7(xi-2)2-28-c,xiG[-3,3],

.,.f(xi)max=f(-3)=147-c,

g(x)=2x3+4x2—40x,

g'(x)=6x2+8x—40.

Vxe[-3,3],

...當(dāng)*￡[—3,2]時，g'(x)W0,g(x)單調(diào)遞減;

x￡(2,3)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

.?.x2e[-3,3]0t,g(x2)??>!=g(2)=-48.10分

又?「f(Xi)Wg(X2)對任意XI,X21L3,3]都成立,

.?.147—cW-48,即c2195,

即實(shí)數(shù)c的取值范圍為[195,+8).14分

模塊綜合測評（二）選修2-2（B卷）

（時間：90分鐘滿分：120分）

第I卷（選擇題，共50分）

一'選擇題：本大題共10小題，共50分.

1.觀察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=1。2,

根據(jù)上述規(guī)律，13+23+33+43+53+63=（）

A.192B.202

C.212D.222

解析：歸納得13+23+33+43+53+63=(1+2+-+6)2=212.

答案：C

(3—i)

2.復(fù)數(shù)幣2=()

A.-3—4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

"3-il8~6i

解析:

2i=-3-4i.

答案：A

3.函數(shù)y=(sinx2)3的導(dǎo)數(shù)是()

A.y'=S^siru2-sin?!：2

B.y'=3(sirir2)2

C.y'=3(siar2)2cos^2

D.y'=6sinx2cos^2

解析：y'=[(sinx2)3]'=3(sinx2)2-(siiu2)'=3(sinx2)2-cosx2-2A：=

3X2siiir2-cosjc2-^-siiu：2=3A：-sirLr2-sin2A：2,故選A.

答案：A

4.設(shè)函數(shù)./U）的導(dǎo)函數(shù)為了'（%）,且犬%）=f+2%/（1）.則/（0）

等于（）

A.0B.-4

C.-2D.2

解析：因?yàn)槿ぃ?必+2不/⑴，所以/（尤）=21+鏟（1）,f（0）

=2f'（1）.因?yàn)?（l）=2+2/'（1）,所以，（1）=一2,故，（0）=一

4.

答案：B

5.觀察下列各等式：工+8=2,孔+￡=2,/二+占

5-43-42-40—47—41—4

If）—2

=2,77匕+—^=2,依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等

式為（）

A3+紇J=2

n-4（8一九）一4

“+1J〃+D+5一

?（〃+1）―4（〃+1）—4

-n,〃+4

C------+------------=2

n-4（〃+4）-4

n+1,〃+5

D------+-------=?

（〃+1）-4（n+5）-4

答案：A

6.已知函數(shù)y=4'（%）的圖象如圖所示，其中/'（%）是函數(shù)凡r）的

導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=/（x）的圖象大致是圖中的（）

yK

-1/O1\x

解析：由y=4'(%)的圖象可得當(dāng)％V—l時，/(%)>0,所以當(dāng)工

〈一1時ZU)為增函數(shù)；當(dāng)一IVxVO時，/U)<0,所以兀r)在(-1,0)

上為減函數(shù)；當(dāng)0<xVl時，/(x)V0,所以?x)在(0,1)上為減函數(shù)；

當(dāng)％>1時，/'(%)>0,所以八%)在(1,+8)上為增函數(shù)，所以選擇C

答案：C

Inr

7.若/U)=-7,OVqVOVe,則有()

A./(?)>?B./(a)=/S)

c.火。)</S)D.A?)?>1

1—lux

解析：fU)=—在(0,e)上，fW>0,

.?.凡x)在(0,e)上為增函數(shù).

???/)〈型).

答案：C

8.函數(shù)八%的圖象如圖，則函數(shù)》:加十多?%

+］的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)

A.(—8,—2]

D4，+8

C.[-2,3]

解析：由題圖可知4=0.不妨取。=1,

,//(JC)=x3+bx1+ex,:.f(x)=3A2+2bx~\-c.

由圖可知/(-2)=0,f(3)=0,

1.12—4h+c=0,27+6b+c=0,

.,.y=%2—4%—6,y'=2%一疝

9

當(dāng)%>R時，V>0,

...y=X2—a%—6的單調(diào)遞增區(qū)間為g,+8)故選D.

答案：D

9.已知函數(shù)火%)=T—p%2—/的圖象與％軸相切于點(diǎn)(1,0),則八%)

的()

4

A.極大值為萬，極小值為0

4

B.極大值為0,極小值為一方

C.極小值為一言極大值為。

D.極小值為0,極大值為泊

(1)=0,

解析：由題設(shè)條件知憶、A

3-2p—<7=0,P=2,

所以，所以，

1—p-q=0.[Q=~1.

所以犬%)=_?—2]2+%,進(jìn)而可求得人1)是極小值，是極大值.

答案：A

10.設(shè)函數(shù)抬尸挈“瞥旦2+tan。，其中時0,制，則導(dǎo)

數(shù)/(1)的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[小,小]

C.他,2]D.[6，2]

解析：,:f(%)=sin。—十小cosQx,f(1)=sin。+巾cos。=

2sin"+gJ,

,：8G0,1I，苧.

sin^+^je乎,1.

.,.2sin^+^G[V2,2].

答案：D

第II卷（非選擇題，共70分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11.設(shè)式z）=;，且zi=l+5i,Z2=-3+2i,則-zi—Z2）的值是

角星析：Vzl-z2=（l+5i）-（-3+2i）=4+3i,

/.zl—z2=4-3i.

VXz）=7,AX4-3i）=4-3i=4+3i.

答案：4+3i

12.設(shè)函數(shù)在％=0處取得極值，且曲線y=

?r）在點(diǎn)（1,7（I））處的切線垂直于直線％+2y+l=0,則a+b的值為

解析：函數(shù)y二江+云+攵伏>0）在x=0處取得極值，得％=0是導(dǎo)

函數(shù)2QX+Z?=0的解，則b=0,曲線y=?r）在點(diǎn)（1,犬1））處的切線垂

直于直線％+2y+l=0,得2a+b=2,所以a=l,a+b=l.

答案：1

13.由曲線y=（x—2>+1,橫坐標(biāo)軸及直線％=3,%=5圍成的圖

形的面積等于.

解析：S=J5[(x-2)2+1]dx

=J5(x2—4x+5)Jx

=仔-2x2+5x)q=孝.

答案：y

14.觀察下列等式：

1=113=1

1+2=313+23=9

1+2+3=6「+23+33=36

1+2+3+4=1013+23+33+43=100

1+2+3+4+5=1513+23+33+43+53=225

可以推測：l3+23+33H-----Fn3=.(n￡N*,用含有〃的

代數(shù)式表示)

解析：觀察對比左右數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)右邊是左邊的平方，

序(〃+1)2

所以l3+23+33H-----F/=(1+2H-----Fn)2=------------

姣安?2(?+1)2

答案：一4一

三'解答題：本大題共4小題，滿分50分.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

15.(12分)設(shè)函數(shù)?￥)=—￥+f+(瓶2—其中根〉0.

(1)當(dāng)"2=1時，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,人1))處的切線的斜率；

(2)求函數(shù)式幻的單調(diào)區(qū)間與極值.

解：⑴當(dāng)m=l時，火%)=一科+/,

f'(%)=一始+2%,2分

故/⑴=1.

所以曲線y=?x)在點(diǎn)(1,火1))處的切線的斜率為1.4分

(2)f(JC)=-x2+2x+m2—1.

令/'(%)=0,解得％=1或%=1+/九6分

因?yàn)閙>0,所以1+加>1—九

當(dāng)％變化時，/(%),犬%)的變化情況如下表：

X(-00,1-m)1-77?(1-m,1+m)1+m(1+m,+oo)

/(-V)—0+0—

/(%)極小值/極大值

所以?x)在(一8,1—m),(1+m,+8)內(nèi)是減函數(shù)，在(1一九1

+團(tuán))內(nèi)是增函數(shù).10分

2

函數(shù)兀x)在x=\—m處取得極小值11一機(jī))，且m)=-1??+

2_1

m3,

函數(shù)八%)在％=1+m處取得極大值1yU+M，且

21

/(I+相)=]??+相2—112分

16.(12分)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形,

—>—>—>

AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),A尸=(一1,2,-1).

(1)求證：用，底面A3CQ；

(2)求四棱錐P-ABCD的體積；

(3)對于向量。=(為，y\,Z1),?=(%2，V2，Z2),c=(%3，)3，Z3),定

義一種運(yùn)算:

(aXb>c=%iy2Z3+%2y3Z1+%3ylz2—^1^3221%2ylz3—x3y2Zi.

―>—>—>

試計算(A3XA0/P的絕對值的值；說明其與四棱錐P-ABCD體

—>—>—>

積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(A8XAQ)?AP的絕對值的幾何意

義.

—>—>

角翠：(iy：APAB=-2-24-4=0,AAPXAB.

—>—>

又,：APAD=-4+44-0=0,

/.AP-LAD.2分

'：AB.A0是底面4BCD上的兩條相交直線，

.?.APJ■底面ABCD.4分

—>—>

(2)設(shè)A3與4。的夾角為0,則

—>—>

ABAQ8:2___3_

——A/4+1+16-A/16+4^/105,

|Afi|-|AD|

6分

—―->

V,lABHAQ卜sin9|AP|

+4+1=16.8分

—>—>—>

(3)|(AfiXAD)AP\=|-4-32-4-8|=48,它是四棱錐P-ABCD

體積的3倍.10分

猜測：|(4BXAD).AP|在幾何上可表示以A3、AD.AP為棱的平行

六面體的體積(或以A3、AD.AP為棱的直四棱柱的體積).12分

17.(12分)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油

量y(升)關(guān)于行駛速度％(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為>=高而

3

已知甲、乙兩地相距千米.

-do6U%+8(0<xW120).100

(1)當(dāng)汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油

多少升？

(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最

少為多少升？

解：(1)當(dāng)x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了端=2.5小時，要

耗油而^義3一磊*40+8卜2.5=17.5(升).即當(dāng)汽車以40千米/

時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.4分

(2)當(dāng)速度為％千米/時，汽車從甲地到乙地行駛了項(xiàng)小時，設(shè)耗

油量為//&)升，依題意得：

'㈤=[12800(/一研+8)呼=12801+等一果?！?2°),7

分

,.x800%3-803

h。尸荷640%2(0<%720).8%

令//'(%)=0,得％=80.

當(dāng)龍￡(0,80)時,h'(x)<0,一%)是減函數(shù);

當(dāng).￡(80,120)時,h'(x)>0,〃(%)是增函數(shù).10分

...當(dāng)x=80時，/?(%)取到極小值//(80)=11.25.

?.?/?(%)在(0,120]上只有一個極值，

，它是最小值.

即當(dāng)汽車以80千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最

少，最少為11.25升.12分

18.(14分)已知函數(shù)八%)=ln(x2+l),8(%)=]2)]+%

⑴若危)的一個極值點(diǎn)到直線/：2g+y+a+5=0的距離為1,

求a的值；

(2)求方程式%)=g(%)的根的個數(shù).

2Y

解：(1)由/'(x)=]=。,得％=0,1分

故/(%)僅有一個極小值點(diǎn)M(0,0),2分

根據(jù)題意得：

,|5+。|?

―1.

/.a=-2或a=—8.4分

(2)令A(yù)(x)=J(x)~g(x)=InCx2+1)一金1一。，

,2x2x「1,1

2=2+

h(x)=?+r+(^-I)I^+T(-^-i)2r

當(dāng)丁￡(0,l)U(l,+8)時,h'(%)20,

當(dāng)工￡(—8,-1)U(-1,O)時，h'(x)V0.

因此，一%)在(-8,-1),(一1,0)上時，以無)單調(diào)遞減,

在(0,1),(1,+8)上時，力(幻單調(diào)遞增.8分

又力(X)為偶函數(shù)，當(dāng).—時,一%)的極小值為〃(0)=1—a.

當(dāng)x-*一1一時，%(%)-*—8,當(dāng)X-*—廣時，//(%)-*4-,

當(dāng)％f—8時，當(dāng)Xf+8時，//(%)f+8.10分

故f(x)=g(x)的根的情況為：

當(dāng)1一。＞0時，即aVl時，原方程有2個根;

當(dāng)1-4=0時，即a=l時，原方程有3個根.

當(dāng)1一。＜0時，即a＞l時，原方程有4個根.

14分

模塊綜合測評（一）選修2-2（A卷）

（時間：90分鐘滿分：120分）

第I卷（選擇題，共50分）

一'選擇題：本大題共10小題，共50分.

1.下面三段話可組成“三段論”，則“小前提”是（）

①因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)產(chǎn)出（41）是增函數(shù)；②所以y=2"是增函數(shù)；③

而y=2'是指數(shù)函數(shù).

A.①B.②

C.①②D.③

答案：D

2.函數(shù)＜%）=%2在區(qū)間［―1,3］上的平均變化率是（）

A.4B.2

三加

J4

前用用心〃、一,?力8

解析：因?yàn)榘?）_/,../工一3—（-1）

答案：B

3.下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①（也丫=；%；②⑷），=a2lnx；③

（xy1

（sin2%）‘=cos2x；④不討’=百］.其中正確的有（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

11

21-2

解析：（也）'=（%）'=］%,①正確；（優(yōu)）‘=axlna,②錯誤;

’x、%+1-%___］

（sin2x）'=2cos2%,③錯誤;（葉1）2=（葉］產(chǎn)④錯誤.

答案：B

D

IY

解析：由y'=w+cosx與x>0時，y=a+sinx>0可知原函數(shù)圖

象大致為c.

答案：c

5.設(shè)/U）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且?x）滿足：“當(dāng)

成立時，總可推出加1+1)>/+1)2成立”.那么，下列命題總成立的

是()

A.若成立，則式9)W81成立

B.若夫2)W4成立，則<1)>1成立

C.若人3)>9成立，則當(dāng)時一，均有<女)>%2成立

D.若人3)>16成立，則當(dāng)攵13時一，均有八%)>公成立

答案：D

6.設(shè)x=3+4i,則復(fù)數(shù)2=%一|川一(1一。在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：,.?x=3+4i,kl=-\/32+42=5,

.*.z=3+4i-5-(l-i)=(3-5-1)+(4+l)i=-3+5i.

...復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，故應(yīng)選B.

答案：B

7.設(shè)函數(shù)?%)=(/—1F下列結(jié)論中正確的是()

A.%=1是函數(shù)犬%)的極小值點(diǎn)，x=0是極大值點(diǎn)

B.%=1及％=0均是?x)的極大值點(diǎn)

C.%=1是函數(shù)?r)的極小值點(diǎn)，函數(shù)八%)無極大值

D.函數(shù)?x)無極值

解析：/(%)=2(如一1>3%2,令/(%)=0,解得：%=0或%=1,判

斷單調(diào)性可知選C.

答案：C

8.定義A*bB*C,D*C,0*3分別對應(yīng)如圖中的圖形

①

那么如下圖中的圖形,

⑶

(4)

可以表示A*。，A*C的分別是()

A.(1),⑵B.(2),⑶

C.(2),⑷D.(1),⑷

答案：C

9.積分J-ada2_x2dx=()

,1,10

A/a，3.1兀a，

C.^a2D.2^-a2

I'L

解析：定積分J-aN定一x2dx表示的是關(guān)于半個圓的面積，圓心為

原點(diǎn)，半徑為a,因此答案為民

答案：B

10.fo(x)=cosx,fl(x)=fo(x),f2(x)=f'l(x),???,fn+l(x)=f/n(x),

n￡N,則上007(%)為()

A.sinxB.—sinx

C.co&xD.—COSA：

解析：因?yàn)?sinx)'=COSJC,(cosX)'=—sinr,故先求

1/!(%)=-sinx,〃(%)=-cos%,73(jc)=sinx,

j4(x)=cosx,

4是周期，則/2007(x)=/3(x)=sinx.

答案：A

第II卷(非選擇題，共70分)

二'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11.對于平面幾何中的命題“夾在兩平行線之間的平行線段相

等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題___________.

解析：平行線類比為平行面.

答案：夾在兩平行平面間的平行線段相等

12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線C：^=^-10^+3±,

且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)尸處的切線的斜率為2,則點(diǎn)尸的

坐標(biāo)為.

解析：=3^-10.

設(shè)切點(diǎn)尸（X0,>0）

（M）V0,y0>0）,則點(diǎn)P處切線斜率％=3需—10=2,

/.%0=—2（x0<0）.

.?.P（一2,15）.

答案：（—2,15）

13.由直線％=；，%=2,曲線產(chǎn);及％軸所圍圖形的面積為

2

f1.21

S=一=\nx1=ln2-In--=21n2.

解析：Ji2%X±22乙

答案：2ln2

14.已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(x)W0,若/(x)g(x)

V/U)g'(%)，且?x)=a'?g(%)3>0且a*D及黑+：(_?)=墨則a

的值為___________

解析:儡_/（%應(yīng)（%）一凡加'（%）

—這㈤產(chǎn)

又?.了a）g（］）v危）g，（%）,

_/(%)g(%)-/(%)<?'(%)

<0.

[g⑼2

為減函數(shù).

?g(Dg(_l)-3，

??ClIQ3.

解得〃=；.

答案：

三、解答題：本大題共4小題，滿分50分.

15.(12分)設(shè)復(fù)數(shù)z=口坦)；；：(1二^),若z2+az+b=l+i,求實(shí)

數(shù)a,6的值.

(l+i)2+3(l—i)2i+3(l—i)3—i(3—i)(2—i)

斛:z-2+i-2+i-2+i-(2+i)(2-i)-b4

分

#z=l-i代入z2+az+b=1+i,

得(1—i>+q(1—i)+b=1+i,

即(a+h)—(a+2)i=l+i,8分

a+b—1,

所以V,

一(。+2)=1.

a=-3,

所以12分

h=4.

16.（12分）觀察下表:

1,

2,3,

4,5,6,7,

8,9,10,11,12,13,14,15.

問：

(1)此表第n行的第一個數(shù)與最后一個數(shù)分別是多少？

(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？

(3)2012是第幾行的第幾個數(shù)？

解：⑴此表n行的第1個數(shù)為2"」，第n行共有2"「個數(shù)，依次

構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列.4分

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此表第n行的最后一個數(shù)是2"-1+(2"-1

-1)義1=2"—1.6分

(2)由等差數(shù)列的求和公式，此表第〃行的各個數(shù)之和為

pi+(2"”X2"1=22"-2+22”-3一2〃-2或2〃一1義2”-1+

更兇—X]=22〃一2+22」2。

8分

(3)設(shè)2012在此數(shù)表的第〃行.

則2"-iW2012W2”—1,可得八=11.

故2012在此數(shù)表的第11行.10分

設(shè)2012是此數(shù)表的第11行的第m個數(shù),而第11行的第1個數(shù)

為2Q

因此，2012是第11行的第989個數(shù).12分

2

17.(12分)已知函數(shù)危)=%-—+l—alnx,a>0.

(1)討論人%)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。=3,求火%)在區(qū)間［1,e2］上的值域,其中e=2.71828…是

自然對數(shù)的底數(shù).

解：(1次x)的定義域是(0,+oo),

a_x2一辦+2

導(dǎo)函數(shù)

(%)=1+ax~x2

2分

設(shè)g(%)=/—公+2,二次方程g(%)=0的判別式/=層—8.

①當(dāng)/V0即0V&V2&時，對一切％>0都有/(%)>0.

此時/U)是(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)/分

②當(dāng)/=0即a=2啦時，僅對％=/有/(%)=0,對其余的x>0

都有/(%)>0.

此時?x)也是(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù).

6分

③當(dāng)zl>0即。>2啦時，方程g(%)=0有兩個不同的實(shí)根，

Q—、/〃一80+、/。2—8

xl=-----2-------，*2=-----2-------，0<xl<x2.

X匕)X(%],%)X(%,,+8)

(0,12

/(%)+0—0+

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

/(%)極大極小

Z

此時人x)在|o,"—上單調(diào)遞增,在

立寺三1,。+產(chǎn)可上單調(diào)遞減,在

+8］上單調(diào)遞增.9分

(2)當(dāng)。=3時，方程g(%)=0有兩個不同的實(shí)根％1=1,d=2.

由⑴知,在(1,e2)內(nèi)，當(dāng)％=2時加)取得極值，/1)=0,7(2)=2

—31n2,

/(e2)=e2—2e~2—5.

因?yàn)?(2)V/U)<Ae2),

所以?x)在區(qū)間［1,e?］上的值域?yàn)椋?—31n2,e?—2e5］.12分

18.(14分)設(shè)函數(shù)兀t)=Irix—

(1)當(dāng)。時，求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令7?(%)=/a)+5a_r2+Zzx+m(0V%W3),其圖象上任意一點(diǎn)P(xo,

泗)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)。=0,力=一1時，方程段)=如在區(qū)間［1,eT內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)

解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：(1)依題意知，/(%)的定義域?yàn)?0,+8).

1分

當(dāng)Q=6=；時，/(%)=lru：_*一；%,

1_11-(%+2)(%-1)

/^~x~2x~2~2x，

令/(%)=0,解得％=1或x=-2(舍去).

3分

當(dāng)OV%V1時，f(%)>0,

當(dāng)%>1時，f(%)VO,

所以7U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).5分

,a

(2)F(^)=lrLr+-,%￡(0,3］,

%0—ci1

則有攵=尸'(%0)=一/一W］在(0,3］上恒成立.7分

所以a2(一；x3+x0)max,

當(dāng)x0=l時，一；看+乂)取得最大值;.9分

所以。2；.10分

(3)當(dāng)a=0,b=—l時，Xx)=lnx+x,

由/(%)=如，得lnx+%=wu,

Iny

又%>o,.?.m=1+—.11分

X

要使方程_/U)=/nx在區(qū)間［1,e2］上有唯一實(shí)數(shù)解.

Inr

只需m=l+——有唯一實(shí)數(shù)解，

X

.,lax,1-lax

令g(x)=l+^7(x>。)，，g(%)=—，

由g'(x)>0,得0V%Ve.

g'(x)<0,得x>e,

.?.g(%)在區(qū)間［1,e］上是增函數(shù)，在區(qū)間［e,e2］上是減函數(shù).

Ine221

g(l)=l,g(e2)=l+—r=H--2,^(e)=l+-

13分

1,?

.,."2=1+一或分

e1W/T?V1+e”.14

單元測評（二）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（B卷）

（時間：90分鐘滿分：120分）

第I卷（選擇題，共50分）

一'選擇題：本大題共10小題，共50分.

1.函數(shù)"r）在％=1處的導(dǎo)數(shù)為1,則

1—x）—/（1+%）

lim------守——2的值為（）

x-0

3

A.3B.—2

C3D.一§

答案：D

2.函數(shù)段）=a嚴(yán)（1一%）”在區(qū)間［0,1］上的圖象如圖所示,則加，n

的值可能是（）

A.m=l,n=lB.m=\,n=2

C.m=2,n=lD.m=3,n=\

答案：B

3.曲線＞=1級+1在點(diǎn)（0,2）處的切線與直線y=0和y=%圍成的

三角形面積為（）

2

C.gD.1

答案：A

4.求曲線y=d與y=%所圍成圖形的面積，其中正確的是()

A.S=p(x2—x)<7xB.S=f'(x—x2)<ix

C.S=「(y2—y)dxD.S=「(y—5)dy

JoJ0

解析：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),(1,1),故積分上限是1,下

限是0,由于在［0,1］上，x^x2,故函數(shù)y=x2與y=x所圍成圖形的面

積S=

P(X—X2)6?X.

Jo

答案：B

5.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d成等比數(shù)列，且函數(shù)y=/〃(x+2)—x,當(dāng)

x=b時取到極大值c,則ad等于()

A.-1B.0

C.1D.2

解析:y'=-75—1,令y'=0得x=—1,當(dāng)一2<x<一1時,y'>0,

A.I乙

當(dāng)x>—1時，y'<0,/.b=—1,C=/H(—1+2)—(—1)=1,/.ad=bc

=—1,故選A.

答案：A

6.下列圖象中，有一個是函數(shù)f(x)=；x3+ax2+(a2—l)x+l(a￡R,

aNO)的導(dǎo)數(shù)/(%)的圖象，則|一1)的值為()

ox

⑴