微積分 第七版 課件 3.1 微分中值定理

第三章導數(shù)的應用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達法則第三節(jié)函數(shù)曲線的切線第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值第五節(jié)函數(shù)的最值第六節(jié)函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點第七節(jié)幾何與經(jīng)濟方面函數(shù)的優(yōu)化1本章思維導圖【引導案例】經(jīng)濟進貨批量模型經(jīng)濟進貨批量是指能夠使一定時期存貨的相關總成本達到最低點的進貨數(shù)量，因此存在一個最佳的進貨批量，使成本總和保持最低水平。其基本模型的假設條件是企業(yè)不允許缺貨，則不存在缺貨成本，故：存貨相關總成本=相關進貨費用+相關存儲成本

=年進貨次數(shù)×每次進貨成本+年平均庫存量×單位存貨年儲存成本

若某企業(yè)為了實現(xiàn)產(chǎn)品經(jīng)濟進貨批量，在假定企業(yè)不允許缺貨的前提下，設A為存貨全年總的進貨數(shù)量，B為一次進貨費用，C為單位存貨一年的變動儲存成本，Q為每次進貨批量，全年平均的存貨占用量為Q/2。根據(jù)上述經(jīng)濟進貨批量模型，請計算出經(jīng)濟進貨批量的進貨量。第一節(jié)

微分中值定理本節(jié)學習目標010203能通過微分中值定理理特殊化與一般化的數(shù)學思想方法理解拉格朗日定理及推論了解羅爾定理一、微分中值定理微分中值定理是導數(shù)應用的理論基礎,包括羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理,核心是拉格朗日定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且兩個端點函數(shù)值相等即f(a)=f(b),這時會有什么結果?61.羅爾定理引入考察函數(shù)曲線y=f(x),連結函數(shù)曲線y=f(x)的兩個端點A,B得到弦AB,如圖7由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),從而函數(shù)曲線y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上不斷開由于函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,從而函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在切線且切線不垂直于x軸容易看出:在曲線y=f(x)上至少能找到一點M,使得點M處的切線平行于弦AB,這意味著它們的斜率相等8又由于端點函數(shù)值f(a)=f(b),從而函數(shù)曲線y=f(x)兩個端點A,B的高度相等，即弦AB平行于x軸,說明弦AB的斜率等于零于是函數(shù)曲線y=f(x)上點M處的切線斜率等于零,即函數(shù)f(x)在點M橫坐標ξ處的一階導數(shù)值等于零,于是有下面的定理92.羅爾定理定理3.1(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且端點函數(shù)值f(a)=f(b),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f'(ξ)=0

(a<ξ<b)羅爾定理只是論證了點ξ的存在性,至于ξ值等于多少,須解未知量為ξ的代數(shù)方程式f'(ξ)=010考察函數(shù)曲線y=f(x),連結函數(shù)曲線y=f(x)的兩個端點A,B得到弦AB,如圖在羅爾定理中,若去掉端點函數(shù)值f(a)=f(b)這個條件,會有什么結果?113.拉格朗日定理容易看出:在函數(shù)曲線y=f(x)上至少能找到一點M,使得點M處的切線平行于弦AB這意味著它們的斜率相等.又由于弦AB的斜率等于

12即函數(shù)f(x)在點M橫坐標ξ處的一階導數(shù)值

或者f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)可以應用羅爾定理證明下面的定理.13定理3.2(拉格朗日定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

或者f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)

(a<ξ<b)

144.拉格朗日定理有兩個重要推論:推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上的一階導數(shù)f'(x)恒等于零,則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上恒等于一個常數(shù),即f(x)=c0

(c0為常數(shù))15推論2如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上的一階導數(shù)f'(x)與g'(x)恒相等,則函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I上不一定相等,但至多相差一個常數(shù),即f(x)=g(x)+c0

(c