2019年高考全國1卷文數(shù)試題（試卷版+詳解版）

2019年全國1卷文數(shù)試題

試題版

解析版

2019年全國卷I高考文科數(shù)學試題

1.設(shè)Z=；~3i則|z卜

1+21

A.2B.>/3C.V2D.1

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則Bnq,A=

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知a=log20.2,/?==().2°‘，則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是叵口

2

(避二1七0.618,稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

2

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是叵。.若某人滿足上述兩個黃

2

金分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

sinr+r

5.函數(shù)4角=------r在［―兀，兀］的圖像大致為

COSX4-X

y八

1-

6.某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,…，1000,從這

些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗.若46號學生被抽到，則下

面4名學生中被抽到的是

A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生

7.tan255°=

A.-2--y3B.-2+y/3C.2—y/3D.2+>/3

8.已知非零向量a,b滿足同=2且(a-b)±h,則a與b的夾角為

]

9.如圖是求2+的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

2+-

2

%

輸出//

B.A—2H—D.A=l+—

A2A

10.雙曲線C：斗一斗=l(Q>01>0)的一條漸近線的傾斜角為130。，則。的離心率

A.2sin40B.2cos40°

sin50°cos50°

11.△ZBC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c9已知asinZ-Z?sinB=4csinGcos4=

12.已知橢圓。的焦點為耳(一1,0),g(1,0),過F2的直線與。交于Z,B兩點.若

\AF2\^2\F2B\,\AB\=\BF,\,則。的方程為

?222222

A.二+>2=]B.二+工=1C.工+上=1D.工+工=1

2324354

13.曲線y=3(/+x)e'在點(0,0)處的切線方程為.

3

14.記S〃為等比數(shù)列｛劣｝的前八項和.若4=1,S3=-,則S4=.

15.函數(shù)/(x)=sin(2x+j")-3cosx的最小值為.

16.已知,P為平面力BC外一點,尸02,點尸到兩邊力GBC的

距離均為G，那么尸到平面月的距離為.

17.(12分)

某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場

的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?

」爐_n(ad-bcY

巾：K一?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（丘k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（12分）

記S〃為等差數(shù)列｛aj的前A項和，已知S)=-a5.

(1)若&3=4,求值“｝的通項公式;

(2)若團>0,求使得a”的A的取值范圍.

19.(12分)

如圖，直四棱柱ZBCZ?-4BIG2的底面是菱形，44產(chǎn)4,AB=2,/歷LO=60°,

E,M,TV分別是8GBB、,4。的中點.

(1)證明：MV//平面GOE；

(2)求點。到平面G。后的距離.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=2sinx—Acosx-x,f(x)為/(力的導數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若衣€[0,兀]時，/(x)>ax,求a的取值范圍.

21.(12分)

已知點4,3關(guān)于坐標原點。對稱，|43|=4,0M過點力，3且與直線A2=0相

切?

(1)若/在直線A片。上，求?！钡陌霃?；

(2)是否存在定點P,使得當/運動時，|川4|一|為定值？并說明理由.

(二)選考題：共1。分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

,1-尸

在直角坐標系X。中，曲線。的參數(shù)方程為〈7"為參數(shù))，以坐標原點。

卜=訶4r

為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

2x7cos61+V3/?sin^+11=0.

(1)求。和/的直角坐標方程；

(2)求。上的點到/距離的最小值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明:

(1)-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(?+bf+(b+c)3+(c+a)3>24.

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

14T

13.y=3x15.-416.y/2

8

17.解:

(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為二=0.8,因此男顧客對該商

場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8.

30

女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為—=0.6,因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率

的估計值為0.6.

100x(40x20-30x10)2

(2)K2?4.762.

50x50x70x30~

由于4.762>3.841,故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

18.解：

(1)設(shè)｛%｝的公差為d.

由5g=-a5得％+4d=0.

由勿=4得4+2d=4.

于是q=8,d=—2.

因此｛??｝的通項公式為a“=10—2〃.

n(n—9)d

(2)由(1)得q=-4d,故a“=(〃_5)d,S,=:，

由4>0知d<。，故S”..a.等價于/-11〃+10,,0,解得14刀410.

所以n的取值范圍是｛〃|掇女10,/IGN｝.

19.解：

(1)連結(jié)gC,ME.因為"，E分別為的中點，所以VE〃4C,且

加七=340.又因為防40的中點，所以ND=g40.

由題設(shè)知DC,可得4c幺A。，故ME&ND,因此四邊形MVDE為平行

四邊形，MN〃ED.又平面CQE,所以MN/I平面C〔DE.

(2)過。作G項勺垂線，垂足為H

由已知可得?！阓L3C,DE1C,C,所以平面GCE,椒DELCH.

從而au平面GOE,故CH的長即為cgij平面GOE的距離，

由已知可得。E=l,GO4,所以GE=J萬，故C"=*7.

從而點平面CQE的距離為此Z.

20.解：

(1)設(shè)g(x)=/'(x),貝ijg(x)=cosx+xsinx—l,g'(x)=xcosx.

jr(TTiJr

當xe(0,5)時，g'(x)>0;當兀時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,^)單調(diào)遞

增，在兀]單調(diào)遞減.

又g(0)=0,g>0,g(7t)=-2,故g(x)在(0,71)存在唯一零點.

所以f'(x)在(0,兀)存在唯一零點.

(2)由題設(shè)知/(兀)..即,/(兀)=0,可得a<0.

由(1)知，/'(X)在(0,兀)只有一個零點，設(shè)為玉)，且當xe(0,x°)時，/V)>0；

當xe(用，兀)時，小)<0,所以f(x)在(0,%)單調(diào)遞增,在(知兀)單調(diào)遞減.

又了(又=0,/(兀)=0,所以，當x€[0,兀]時,/(%)..0.

又當a,,0,xe[0,7t]時，ax<0,故/(x)..at.

因此，a的取值范圍是(一叫0].

21.解：(1)因為過點A,8,所以圓心“在的垂直平分線上.由已知/在直線x+y=0

上，且A,B關(guān)于坐標原點。對稱，所以〃在直線y=x上，故可設(shè)M(a,a).

因為。M與直線x+2=0相切，所以0M的半徑為r=|a+2|.

由已知得|AO|=2,又碗_1_而，故可得2/+4=(“+2)=解得。=0或。工.

故OM的半徑r=2或r=6.

(2)存在定點P(l,0),使得為定值.

理由如下:

設(shè)M(x,y),由已知得QM的半徑為r=|x+2],|AO|=2.

由于萬，故可得/+:/+4=。+2)2,化簡得”的軌跡方程為丁=4%.

因為曲線C：V=4x是以點P(l,0)為焦點，以直線x=—1為準線的拋物線，所以

\MP\=x+l.

因為|M4HMn=r—|MF|=x+2—(x+l)=l,所以存在滿足條件的定點尸.

1-2(、22\24產(chǎn)

22.解：(1)因為一1＜?；~?＜1,且4~r+-——77=1,所以C的直角

1+產(chǎn)⑴U+切(1+巧2

坐標方程為/+。=l(xW-1).

4

I的直角坐標方程為2x+Gy+11=().

x=cosa,

（2）由（1）可設(shè)。勺參數(shù)方程為＜..（。為參數(shù)，一兀＜。＜兀）.

y=2s\na

,1|2cosa+2Ana+ll|4cos（a-￡|+ll

。上的點到/的距離為'----------7=-------------'=————.

V7萬

2兀

當a=一系時,4cos(a-1+11取得最小值7,故。上的點到/距離的最小值為V7.

3

23.解：(1)cr+b~>2ah,b2+c2>2hc,c2+a2>2ac,又abc=',故有

,22、，,ah+hc+ca111

a2+1)-+c?Ncib+be+ca----------------=—I----1—.

abcabc

所以'+'+,</+萬2+。2

abc

(2)因為。，瓦。為正數(shù)且。歷=1,故有

3

(a+份3+s+c>+(c+4>3^(a+b)\b+c)\a+c)

=3(a+b)(b+c)(a+c)

>3x(2\[ab)x(2\[bc)x(2\fac)

=24.

所以(Q+b)'+(〃+c)'+(c+Q)，224.

2019全國一卷高考文科數(shù)學試題解析

5.設(shè)2=君，則|z|=()

A.2

B.73

C.V2

D.l

c

3-i(3-0(1-201-7/

因為z=-------=------------------=---

“1+2，(l+2z)(l-205

所以忖=+(-令2-41

7.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5),3={2,3,6,7},則8口的4=()

A.{156}

B.{1,7}

C.{657}

D.{1,6,7)

C

U={123,4,5,6,7},A={2,345},則QA={1,6,7},又?:8={236,7},則

BnCuA={6,7},故選C.

3.已知a=log?0.2,bl,C=0.2°3,則()

A..a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.b<c<a

B

由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：a=bg202<0；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：8=202>1,

0<C=0.2°3<1,于是可得到：a<c<b.

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是苴二1

2

（走匚土0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的

2

頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是吏二1■.若某人滿足上述兩個黃金分割比

2

例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

B

方法一:

設(shè)頭頂處為點A,咽喉處為點6,脖子下端處為點C,肚臍處為點。，腿根處為點￡,足

底處為尸，BD=t,且二1=4，

2

zipAn

根據(jù)題意可知五3=幾，故AB=At;又AD=AB+8。=(4+1)1,石〒=4,故

DF=^

2

t,將4=吏二1■。0.618代入可得/Z24.24J

所以身高h=AD+DF=('十°

A2

根據(jù)腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm可得AB<AC,DF>EF;

即力<26,-r>105,將，=或二1x0.618代入可得40<r<42

42

所以169.6<〃<178.08,故選B.

方法二：

由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度26cm

可估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是

正二1（正二la0.618稱為黃金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約為42cm;將

22

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為68cm，頭頂至

肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是避工可計算出肚臍至足底的長度約為110;將頭

2

頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為178cm,與答案175cm更為接

近，故選B.

cinx+x

11.函數(shù)/（幻=2------^在［-乃,4］的圖像大致為（）

COSX+X"

sin(-x)-xsinx+xJ、

--------7=-/W,

cos(-x)+(-x)2

COSX+廠

元）為奇函數(shù)，排除A.

.7171

sin—I—?

22.4+21

又2>°,排除C,

cos^+H7T~

2l2j

sin7r-^-717t

f（兀）>°,排除B,故選D.

C0S〃+（7T）-\+7T~

6.某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,3,…,1000,從這些新生

中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學

生中被抽到的是().

A.8號學生

B.200號學生

C.616號學生

D.815號學生

C

從1000名學生中抽取100名，每10人抽一個，46號學生被抽到，則抽取的號數(shù)就為

10〃+6(0V〃V99,〃eN),可得出616號學生被抽到.

12.tan255°=()

A.-2-V3

B.-2+V3

C.2-V3

D.2+G

D

因為tan2550=tan(l80°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=jqn45?！?fan…4()。

1-tan450-tan30°

化簡可得tan255。=2+6

17.已知非零向量a,B滿足|5|=2|B|,且則。與B的夾角為（）

AA.—冗

6

71

B.一

3

2萬

C.—

3

D.2

6

B

:|2|=2出|,且—3-B）3=0,有a/—|B『=0,設(shè)。與分的夾角為。,

則有12HBicos6—|B|2=0,即2出「cos。一行『=0,出「(2cos6—1)=0,???出依0,

式J[

：.cos6>=-,6=§，故五與B的夾角為1,選B.

]

（1）右圖是求2+'的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）

2+-

2

2+A

“C1

B.A=2+一

A

“，1

C.A=1-I--

2A

1

D.A=

1+2A

A

把選項代入模擬運行很容易得出結(jié)論

選項A代入運算可得2+—，，滿足條件,

2+-

2

仁2+1

選項B代入運算可得°q1,不符合條件,

，十一

2

選項C代入運算可得A=；，不符合條件，

選項D代入運算可得A=1+!,不符合條件.

4

x2v2

10.雙曲線C：j—彳=1(。>()/>())的一條漸近線的傾斜角為130。，則。的離心率為

a~b~

A.2sin40°

B.2cos40°

sin50°

1

D.---------

cos50°

D

bhsin50°

根據(jù)題意可知一一=tan130°,所以一=tan50°=———

cos50°

2

1!sin50°cos250°+sin250°

離心率e-+cos250°

cos250°cos250°cos50°

(1)AABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知asinA—Z?sin6=4csinC,

cosA=-1,則2=()

由正弦定理可得到：asinA-bsmB=4csinC=>a2-b2=4c2,EPa2=4c2+b2>

又由余弦定理可得到：cosA上《二《?=—',于是可得到2=6

2hc4c

(1)已知橢圓C的焦點坐標為耳(-1,0),6(1,0),過F?的直線與c交于A,B兩點,

若

|你|=2內(nèi)卸，|陰=|班|,則C的方程為()

2

X-2.

(1)—+V=1

2

爐+九1

⑵

32

⑶

43

22

(4)x+2L-1

54

B

由閭=2住同，|43|=忸制，設(shè)內(nèi)叫=x,則閭=2%，忸耳|=3x,根據(jù)橢圓的定

義怩同+忸6=|A閭+|明|=勿,所以|斯|=2x,因此點A即為橢圓的下頂點，因為

QI91

\AF2\=2\F2B\,c=l所以點8坐標為(5，；),將坐標代入橢圓方程得彳+廠1,解得

/=3,〃=2,故答案選B.

x

13.曲線y=3(/+X)e在點(0,0)處的切線方程為L

y=3x

=3(2x+l)e'+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)ex,

結(jié)合導數(shù)的幾何意義曲線在點(0,0)處的切線方程的斜率k=3,

切線方程為.y=3x.

3

(1)記S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若q=l,S3=-,則S4=

5

8

,。3

%=1,S3-ay+a2+a3--

設(shè)等比數(shù)列公比為4

3

q+qq+qq2=-

1

q=----

2

所以§4=：

O

37r

15.函數(shù)/(尤)=sin(2x+弓-)-3cosx的最小值為.

-4

3兀

/(x)=sin(2x+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+l,

因為COSX￡[-1,1],知當COSX=1時/(x)取最小值,

3乃

貝!If(x)=sin(2x+Q-)-3cosx的最小值為-4.

16.已知/4。8=9()°,P為平面A8C外一點，PC=2,點P到NACB兩邊AC,8C的

距離均為6，那么P到平面ABC的距離為

如圖，過P點做平面ABC的垂線段，垂足為。，則P。的長度即為所求，再做

PE±CB,PF±CA,由線面的垂直判定及性質(zhì)定理可得出OE_LC8,O尸_LC4,在

RMCF中,由PC=2,PF=百，可得出CF=1,同理在&APCE中可得出CE=1,

結(jié)合ZACB=90°,OE±CB,OFrCA可得出OE=OF=\,OC=0,

PO=^PC--oc-=V2

17.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了5()名男顧客和5()名女顧客，每位顧客對該商場的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(/>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

404

⑴男顧客的的滿意概率為P=而=g

303

女顧客的的滿意概率為P=—=-

(2)有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

404

(2)男顧客的的滿意概率為尸=而=《

303

女顧客的的滿意概率為2=石=g.

2

2100(40x20-10x30)

⑵K4.762

(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)

4.762>3.841有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

18.記S“為等差數(shù)列｛凡｝的前?項和，已知S9=-a,；

(1)若4=4,求｛凡｝的通項公式；

(2)若6>0,求使得S.>凡的n的取值范圍.

(1)an=-2n+10

(2)｛n|l<n<10,HGA^｝

(1)由S9=結(jié)合1=9(4；。9)=9%可得％=0,聯(lián)立生=4得1=,所以

an=a3+(〃-3)d=-2n+10

n(n—9)d

(2)由S9=-%可得4=-4d,故a“=(〃-5)d,Sn=——-——.

由4>0知d<0,故S”泊等價于“2—1山+10?0,解得1W〃W1O,

所以〃的取值范圍是{n|l<n<10,ne%}

23.如圖直四棱柱的底面是菱形，AA,=4,AB=2,ZBAD=60,

E,M,N分別是6C,8旦,4。的中點.

(1)證明：MN//平面CQE

(2)求點C到平面GOE的距離.

見解析

(1)連結(jié)AG，BQ1相交于點G,再過點M作MH//&E交融a于點H,再連結(jié)G”，

NG.

1?1七,”,7^分別是3。,84,4。的中點.

于是可得到NG//C.D,GH//DE,

于是得到平面NGHM//平面GOE,

由"Nu平面NGHM,于是得到MN//平面GOE

(2)<E為BC中點,ABC。為菱形且NBA。=60

：.DE±BC,又???ABC。—44G2為直四棱柱，

—CIE,又???A6=2,A41=4,

:.DE=6，GE=后,設(shè)點C到平面GOE的距離為力

=

由^C-CtDEVG-DCE得

—x—x^3xV17x/?=—x—xlxV3x4

3232

解得h*歷

所以點C到平面C,DE的距離為'舊

(1)已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx—x,/'(x)是/(x)的導數(shù).

(1)證明：/'(X)在區(qū)間(0,外存在唯一零點；

(2)若xe[0,?]時，f{x}>ax,求。的取值范圍.

略

(1)由題意得f\x)=2cosx-[cosx+x(-sinx)]-1=cosx+xsinx-l

令g(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx

jr

當無€(0,耳]時，g'(X)>0,g(X)單調(diào)遞增，

■JT

當xw(一,乃)時，g(x)<o,g(x)單調(diào)遞減，

2

二.g(x)的最大值為g(])=[■-1,又g(萬)=一2,g(0)=。

??.g⑸%)<0,即尸⑺?尸碎)<0,

??./'(X)在區(qū)間(。,乃)存在唯一零點.

(2)令/(x)=f(x)-ax=2sinx—xcosx-x-4ir,

/.Fr(x)=cosx+xsinx-l一。,

jr

由(1)知/'(x)在(0,萬)上先增后減，存在加€(耳,乃)，使得/'(利)=。，且/'(0)=0,

/(^)=|-1>0,/⑸=一2,

F'(x)在(0,萬)上先增后減，F(xiàn)XO)=-a,F(y)=^-l-a,F\n}=-1-a,

JT

當尸(一)WO時,F(x)在(0,乃)上小于0,尸(幻單調(diào)遞減，

2

又尸(0)=0,則尸(x)〈尸(0)=0不合題意，

當尸'(2)>0時，即萬■—?！?―1時，

若F(0)20,F(^)<0,/(x)在(0,加)上單調(diào)遞增，在(m,乃)上單調(diào)遞減,

F(0)>0

解得a〈O,

尸⑺NO

F,(0)=-a>0

解得一2WaW0,故一2WaW0,

F'(7r)=-2-a<0

若尸(0)20,F'⑺NO,/(x)在(0,不)上單調(diào)遞增，且尸(0)=0,

Fr(0)=-a>0

故只需解得aW—2;

F'M=-2-a>Q

yr

若尸'(0)W0,F'(7V)<O,尸(x)在(0,,)上單調(diào)遞增，且E(0)=0,

7T

故存在xe(0,1)時，F(xiàn)U)<F(0)=0,不合題意,

2

綜上所述，。的取值范圍為(F,。］.

21.已知點48關(guān)于坐標原點。對稱，|/3|=4,eM過點4,8且與直線x+2=0

相切.

(1)若A在直線x+y=0上，求eM的半徑；

(2)是否存在定點P,使得當A運動時，|M4|一為定值？并說明理由.

(1)2或6;

(2)見解析.

(1)M過點AB,.?.圓心在AB的中垂線上即直線y=x上，沒圓的方程為

(x-。了+㈠―。尸=產(chǎn)，又同即=4,根據(jù)AO+MO?=，得4+2/=產(chǎn)

?reM與直線x+2=0相切，.?.|。+2|=廣，聯(lián)解方程得a=0,r=2或a=4,r=6.

(2)設(shè)"的坐標為(x,y),根據(jù)條件^^+跳入/=卜+中即4+爐+/2=1+邛

化簡得V=4x,即M的軌跡是以(L0)為焦點，以x=-1為準線的拋物線，所以存在定

點尸(1,0),?|M4|-|MP|=(x+2)-(x+l)=l.

\-t2

22.在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為〈7?為參數(shù)).以坐標原點。為極

4r

點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

2/7cos6+G/?sin6+11=0.

(1)求C和/的直角坐標方程；

(2)求C上的點到/距離的最小值.

略

I_/222y

⑴曲線C：由題意得x=L==-l+/即x+l=:^,然后代入即

1+/21+/1+產(chǎn)2(%+1)

2

可得至(］匕=1

4

而直線/：將x=Qcos8,y=psin。代入即可得到2x+百y+11=0

(2)將曲線C化成參數(shù)方程形式為［：_：：：；(°為參數(shù)

則|2cos6+2百sind+川|4sin(6?+^)+ll

77=布

,rr3"

所以當夕+"=＜時，最小值為"

62

2019全國一卷高考文科數(shù)學試題解析

6.設(shè)z=：^，貝U|z|=()

A.2

B.73

C.V2

D.l

C

3-i(3-z)(l-2z)l-7z

因為z=-----=-------------=-----

々1+2/(l+2z)(l-2z)5

所以|z|=Jg)2+(_1)2=y/2

8.已知集合。={12,3,4,5,6,7},A={2,34,5},B={2,3,6,7},則8rle(；A=()

A.{1,6}

B.{1,7}

C.{6,7}

D.{1,6,7)

C

U={123,4,5,6,7},A={2,34,5},則"={1,6,7},又?:8={23,6,7},則

8nC</A={6,7},故選c.

3.已知a=log20.2,匕=2°2,C=0.203,則（）

K.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<h

D.b<c<a

B

由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：?=log20.2<0；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：。=2°2>1,

0<c=0.2°3<1,于是可得到：a<c<b.

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是必二1■

2

（立二0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的

2

頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是近I.若某人滿足上述兩個黃金分割比

2

例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

B

方法一：

設(shè)頭頂處為點A,咽喉處為點脖子下端處為點C,肚臍處為點。，腿根處為點足

底處為E,BD=t,且二1=4，

2

AgAn

根據(jù)題意可知——■=%,故AB=At;又AD=AB-\-fi￡)=(Z+l)f,——=A,故

BDDF

所以身高h=AD+DF=(A+1)-t,將2=吏二^“0.618代入可得/z=4.24r.

A2

根據(jù)腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm可得AB<AC,DF>EF;

即才<26,將幾=避二1x0.618代入可得40<，<42

22

所以169.6<〃<178.08,故選B.

方法二：

由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度26cm

可估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是

二1（立二1。0.618稱為黃金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約為42cm;將

22

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為68cm,頭頂至

肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是叵口可計算出肚臍至足底的長度約為110;將頭

2

頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為178cm,與答案175cm更為接

近，故選B.

sinx+x

12.函數(shù)/（%）=-------^在［-肛4］的圖像大致為（）

COSX+X

D

°sin(-x)-x

???/(-x)=--------_L——sinx+x

2=~fM,

cos(-x)+(-x)^cosx+x**

???/(x)為奇函數(shù)，排除A.

排除C,

sin7十)71八

“乃)=排除B,故選D.

cos?+(?)一

6.某學校為了解1(XX)名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為L2,3,…,1000,從這些新生

中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取10()名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學

生中被抽到的是().

A.8號學生

B.200號學生

C.616號學生

D.815號學生

C

從1000名學生中抽取100名，每10人抽一個，46號學生被抽到，則抽取的號數(shù)就為

10〃+6(0<〃V99,〃eN),可得出616號學生被抽到.

13.tan255°=()

A.-2-V3

B.-2+V3

C.2-V3

D.2+G

D

mn45。-i-tnn4()。

因為tan255°=tan(l80°+75。)=tan75°=tan(45°+30°)=十皿山

1-tan450-tan30°

化簡可得tan255。=2+百

18.已知非零向量5，B滿足|,|=2出|,且3-彼），入則萬與5的夾角為（）

71

A.—

6

71

B.—

3

-2萬

C.—

3

5乃

D.—

6

B

---\a\=2\b\,且(。一分)，5,(2-分石=0,有。/一出『=0,設(shè)五與B的夾角為

則有I項?|B|cose—|B『=0,即2出12cos6HBi2=0,（2cos。-1）=0,：快0,

jrTT

cos0=~,e=F、故5與B的夾角為h，選B.

(2)右圖是求2+」了的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入(

）

1

A.A

2+A

B.A=2+—

A

C.“A=.11-I--

2A

1

D.A=

1+2A

A

把選項代入模擬運行很容易得出結(jié)論

A=—

選項A代入運算可得2+-滿足條件,

2+-

2

____

選項B代入運算可得。工1,不符合條件,

/十——

2

選項C代入運算可得A=1，不符合條件，

2

選項D代入運算可得A=1+!,不符合條件.

4

22

10.雙曲線C：三一上=1(0>0/>0)的一條漸近線的傾斜角為130。，則C的離心率為

a~b

()

A.2sin40°

B.2cos40°

C.---

sin50°

D.―--

cos50°

根據(jù)題意可知—2=tan130。，所以2=tan50°

aacos50°

22

1+*sin250Okos50°+sin50°1二1

離心率eL2_I

1cos50°Vcos250°cos250°cos50°

(2)AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為4,Z?,c,已知6rsinA—hsinB=4csinC,

cosA=-2，則2=()

4c

(5)6

(6)5

(7)4

(8)3

A

由正弦定理可得到:tzsinA-/?sin5=4csinC=>?2-b~=4c2,EPa2=4c2+b2,

又由余弦定理可得到：cosA='+c?2」,于是可得到2=6

2bc4

(2)已知橢圓C的焦點坐標為片(7,0),工(1,0),過工的直線與C交于A,B兩點,

若

|A閭=2優(yōu).，|A3|=|町則。的方程為()

J)

⑸

2-

22