備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第二章函數(shù)第5講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第5講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）.對數(shù)的運算2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全國卷ⅠT8該講命題熱點為對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的判斷及應(yīng)用，常與指數(shù)函數(shù)綜合考查，且難度有上升趨勢.在2025年備考過程中要熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式；學(xué)會構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性比較大?。蛔⒁鈱瘮?shù)圖象的應(yīng)用，注意區(qū)分對數(shù)函數(shù)圖象和指數(shù)函數(shù)圖象.對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用2019浙江T6對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2021新高考卷ⅡT7；2021全國卷乙T12；2020全國卷ⅠT12；2020全國卷ⅡT11；2020全國卷ⅢT12；2019全國卷ⅠT31.對數(shù)與對數(shù)運算（1）對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作①x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的②底數(shù)，N叫做③真數(shù).以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作④lgN；以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作⑤lnN.（2）對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)及換底公式性質(zhì)loga1＝⑥0，logaa＝⑦1，alogaN＝⑧N（N＞0），其中a＞0運算性質(zhì)如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）loga（M·N）＝⑨logaM＋logaN；（2）logaMN＝⑩logaM－logaN（3）logaMn＝?nlogaM，logaan＝?n（n∈R）.換底公式logab＝?logcblogca（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；推論：（1）logab·logba＝?1；（2）logambn＝nmlogab；（3）logab·logbc·logcd＝log2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝logax（a＞1）y＝logax（0＜a＜1）圖象性質(zhì)定義域：?（0，＋∞）.值域：?R.圖象過定點?（1，0），即恒有l(wèi)oga1＝0.當(dāng)x＞1時，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時，y＜0.當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞0.在（0，＋∞）上單調(diào)遞?增.在（0，＋∞）上單調(diào)遞?減.規(guī)律總結(jié)1.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過定點（1，0），且過點（a，1），（1a－1），函數(shù)圖象只在第一、四象限.2.如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸增大.注意當(dāng)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時，需分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論.3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線?y＝x對稱（如圖所示）.反函數(shù)的定義域、值域分別是原函數(shù)的值域、定義域，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性、奇偶性.1.[全國卷Ⅰ]設(shè)alog34＝2，則4－a＝（B）A.116 B.19 C.18 解析解法一因為alog34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝1解法二因為alog34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以42.[多選]以下說法正確的是（CD）A.若MN＞0，則loga（MN）＝logaM＋logaNB.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函數(shù)C.函數(shù)y＝ln1+x1－x與y＝ln（1＋x）－ln（D.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）的圖象過定點（1，0）且過點（a，1）,（1a－1），函數(shù)圖象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若loga34＜1（a＞0，且a≠1），則實數(shù)a的取值范圍是（0，34）∪（1，＋∞5.設(shè)loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為12.6.[2023北京高考]已知函數(shù)f（x）＝4x＋log2x，則f（12）＝1解析因為f（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412＋log212＝2＋log22－1＝2研透高考明確方向命題點1對數(shù)的運算例1（1）[2022天津高考]化簡（2log43＋log83）（log32＋log92）的值為（B）A.1 B.2 C.4 D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2log223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝（C）A.25 B.5 C.259 D.解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log方法技巧對數(shù)運算的一般思路（1）轉(zhuǎn)化：①利用ab＝N?b＝logaN（a＞0且a≠1）對題目條件進行轉(zhuǎn)化；②利用換底公式化為同底數(shù)的對數(shù)運算.（2）利用恒等式：loga1＝0，logaa＝1，logaaN＝N，aloga（3）拆分：將真數(shù)化為積、商或底數(shù)的指數(shù)冪形式，正用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡.（4）合并：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)的運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對數(shù)的真數(shù)的積、商、冪的運算.訓(xùn)練1（1）[2024江蘇省如皋市教學(xué)質(zhì)量調(diào)研]我們知道，任何一個正實數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）.當(dāng)n＞0時，N是n＋1位數(shù)，則41000是（C）位數(shù).（lg2≈0.3010）A.601 B.602 C.603 D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位數(shù).故選C.（2）[2024山東泰安第二中學(xué)模擬]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝命題點2對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2（1）[浙江高考]在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝1ax，y＝loga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的圖象可能是（A BC D解析若0＜a＜1，則函數(shù)y＝1ax是增函數(shù)，y＝loga（x＋12）是減函數(shù)且其圖象過點（12，0），結(jié)合選項可知，選項D可能成立；若a＞1，則y＝1ax是減函數(shù)，而y＝loga（x＋12）是增函數(shù)且其圖象過點（（2）已知當(dāng)0＜x≤14時，有x＜logax，則實數(shù)a的取值范圍為（116，1解析若x＜logax在x∈（0，14]時成立，則0＜a＜1，且y＝x的圖象在y＝logax圖象的下方，作出y＝x，y＝logax的圖象如圖所示.由圖象知14＜loga14，所以0<a<1，a12＞14，解得1方法技巧與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題的求解策略1.對于圖象的識別，一般通過觀察圖象的變化趨勢、利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點（與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等）排除不符合要求的選項.2.對于對數(shù)型函數(shù)的圖象，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.訓(xùn)練2（1）[多選/2024遼寧省部分學(xué)校模擬]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），則函數(shù)y＝loga（－x）與y＝bx的圖象可能是（AB）解析因為ax＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，當(dāng)a＞1時，0＜b＜1，函數(shù)y＝bx在R上單調(diào)遞減，且過點（0，1），因為y＝logax與y＝loga（－x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故y＝loga（－x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減且過點（－1，0），故A當(dāng)0＜a＜1時，b＞1，函數(shù)y＝bx在R上單調(diào)遞增，且過點（0，1），y＝loga（－x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增且過點（－1，0），故B符合題意.故選AB.（2）[2024安徽省皖江名校聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝｜log3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，設(shè)a，b，c，d是四個互不相同的實數(shù)，且滿足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），則｜a｜＋｜b解析作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，易知f（x）圖象關(guān)于y軸對稱.設(shè)f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直線y＝m，則由圖象得0＜b＜1＜a，則由題意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，則｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范圍是（4，＋∞）命題點3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較大小例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，則（CA.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.（2）[2024天津市薊州區(qū)第一中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），則a，b，c的大小關(guān)系為（AA.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函數(shù)，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b方法技巧比較對數(shù)值大小的常用方法1.底數(shù)相同時，比較真數(shù)的大?。徽鏀?shù)相同時，利用換底公式轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的形式，再比較大小，也可以借助對數(shù)函數(shù)的圖象比較大小.2.當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時，常借助0，1或題干中出現(xiàn)的有理數(shù)等中間量比較大小，也可以通過作差或者作商比較大小.角度2解對數(shù)方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝log2｜x｜＋x2，則不等式f（lnx）＋f（－lnx）＜2的解集為（D）A.（1e，1） B.（1e，C.（1，e） D.（1e，1）∪（1，e解析由題可知函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），∴l(xiāng)nx≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，∴由f（lnx）＋f（－lnx）＜2可得2f（lnx）＜2，即f（lnx）＜1.當(dāng)x＞0時，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是單調(diào)遞增的，∴f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f（1）＝1，∴｜lnx｜＜1且lnx≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集為（1e，1）∪（1，e）.（2）[2024江蘇省淮安市五校聯(lián)考]已知x＝4log6x－9log6x，y＝9loA.5+12 B.C.5＋1 D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，則x＝6m，y＝4n.由x＝4log6x－9log6x，y＝9log4y＋6log4y可得6m進而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m與（32）n均為方程t由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t因為（32）m＞0，（32）n＞所以（32）m＝（32）n＝由于函數(shù)y＝（32）x為增函數(shù)，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32方法技巧1.（1）logaf（x）＝b?f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.（2）logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解簡單對數(shù)不等式，先統(tǒng)一底數(shù)，化為形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解.角度3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5（1）[全國卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（D）A.是偶函數(shù)，且在（12，＋∞B.是奇函數(shù)，且在（－12，1C.是偶函數(shù)，且在（－∞，－12D.是奇函數(shù)，且在（－∞，－12解析由2x+1≠0，2x－1≠0，得函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，－1＋∞），其關(guān)于原點對稱，因為f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，排除A，C.當(dāng)x∈（－12，12）時，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，排除B.當(dāng)x∈（－∞，－12）時，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（（2）[全國卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則（B）A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2 D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因為y＝2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，y＝log2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故選B.方法技巧對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題的求解策略（1）對于y＝logaf（x）型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y＝logaf（x）的單調(diào)性與函數(shù)u＝f（x）（f（x）＞0）的單調(diào)性在a＞1時相同，在0＜a＜1時相反.（2）研究y＝f（logax）型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f（t）的單調(diào)性即可.注意