備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值

第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大（小）值的關(guān)系.導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用該講一直是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).基本考法為求極值、最值，已知函數(shù)極值、最值求參數(shù)值（或范圍），難度中等；綜合考法為通過研究函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移等問題，更突出應(yīng)用，難度偏大.預(yù)計(jì)2025年高考命題常規(guī)，在復(fù)習(xí)備考時(shí)，要會(huì)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過研究新構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解決問題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2023新高考卷ⅡT11；2023新高考卷ⅡT22；2023全國卷乙T21；2022全國卷乙T16；2021全國卷乙T10；2021全國卷乙T20；2019全國卷ⅠT20利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值2022新高考卷ⅠT22；2022全國卷乙T11；2022全國卷甲T6；2021新高考卷ⅠT15；2019全國卷ⅢT201.函數(shù)的極值條件f'（x0）＝0x0附近的左側(cè)f'（x）＞0，右側(cè)f'（x）＜0x0附近的左側(cè)f'（x）①＜0，右側(cè)f'（x）②＞0圖象極值f（x0）為極大值③f（x0）為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為④極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為⑤極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為⑥極值.易錯(cuò)警示（1）極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f（x）在x＝x1時(shí)取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f（x1）.（2）極大值與極小值的大小沒有必然關(guān)系，極小值可能比極大值大.（3）有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).（4）導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如，f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點(diǎn).2.函數(shù)的最大（?。┲等绻趨^(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.辨析比較函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系極值最值區(qū)別（1）極值是個(gè)“局部”概念，只能在定義域內(nèi)部取得；（2）在指定區(qū)間上極值可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)都沒有.（1）最值是個(gè)“整體”概念，可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得；（2）最值（最大值或最小值）最多有一個(gè).聯(lián)系（1）極值有可能成為最值，最值只要不在區(qū)間端點(diǎn)處必定是極值；（2）在區(qū)間[a，b]上圖象是一條連續(xù)曲線的函數(shù)f（x）若有唯一的極值，則這個(gè)極值就是最值.1.[易錯(cuò)題]下列說法正確的是（C）A.函數(shù)的極大值比極小值大B.函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的C.函數(shù)的最大值不一定是極大值，極大值也不一定是最大值D.f'（x0）＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)y＝f（x）的極值點(diǎn)的充分不必要條件解析對(duì)于A，由極大值與極小值的概念可知，函數(shù)的極大值不一定比極小值大；對(duì)于B，函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)如果有最大值，則最大值是唯一的，但極大值不一定；對(duì)于C，由極大值與最大值的概念可知C正確；對(duì)于D，在函數(shù)的極值點(diǎn)處f'（x0）＝0，但是使f'（x0）＝0成立的x0未必是極值點(diǎn)，如當(dāng)x0為定義域的左右端點(diǎn)時(shí)f'（x0）可以等于0，但此時(shí)x0不是極值點(diǎn).2.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（D）A.?x∈R，f（x）≤f（x0） B.－x0是y＝f（－x）的極小值點(diǎn)C.－x0是y＝－f（x）的極小值點(diǎn) D.－x0是y＝－f（－x）的極小值點(diǎn)解析極值是函數(shù)的一種局部性質(zhì)，因此不能確定在整個(gè)定義域上f（x0）是否最大，故A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與y＝f（－x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－x0是y＝f（－x）的極大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與y＝－f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，所以x0是y＝－f（x）的極小值點(diǎn)，而－x0是否為y＝－f（x）的極小值點(diǎn)不確定，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與y＝－f（－x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以－x0是y＝－f（－x）的極小值點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.3.[2024遼寧省部分學(xué)校聯(lián)考]函數(shù)f（x）＝（－2x＋4）ex在區(qū)間[1，＋∞）上的最大值為2e.解析f'（x）＝（－2x＋2）ex，當(dāng)x∈[1，＋∞）時(shí)，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（1）＝2e.4.若函數(shù)f（x）＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，－6）∪（6，＋∞）.解析由已知，得f'（x）＝3x2－2ax＋2.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有極值，所以f'（x）＝0有變號(hào)零點(diǎn)，所以Δ＝4a2－24＞0，解得a＞6或a＜－6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－∞，－6）∪（6，＋∞）.研透高考明確方向命題點(diǎn)1導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用例1（1）[浙江高考]函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是（D） A B C D解析根據(jù)題意，已知導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，且每個(gè)交點(diǎn)的兩邊導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)相反，因此函數(shù)f（x）在這些零點(diǎn)處取得極值，根據(jù)f（x）有兩個(gè)極小值和一個(gè)極大值可排除A，C；記導(dǎo)函數(shù)f'（x）的零點(diǎn)從左到右分別為x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上f'（x）＜0，在（x1，x2）上f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（－∞，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增，由x2＞0排除B.故選D.（2）[多選/2024陜西省漢中市聯(lián)考]設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y＝f'（x）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（BC）A.函數(shù)一定有三個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)一定有三個(gè)極值點(diǎn)C.函數(shù)有最小值D.函數(shù)圖象一定經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)解析易知函數(shù)f（x）在（－∞，0），（1，2）上單調(diào)遞減，在（0，1），（2，＋∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）一定有三個(gè)極值點(diǎn)0，1，2，B正確；函數(shù)f（x）有最小值，為f（0），f（2）中的較小者，C正確；函數(shù)f（x）的圖象可能都在x軸上方，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是0，A錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）的圖象不一定過原點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選BC.方法技巧根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值的方法（1）由y＝f'（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f（x）的可能極值點(diǎn).（2）由y＝f'（x）的圖象可以看出y＝f'（x）的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求得極值（點(diǎn)）.注意要看清楚所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象.訓(xùn)練1[多選]已知函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（AB）A.f（a）＜f（b）＜f（c）B.f（e）＜f（d）＜f（c）C.x＝c時(shí)，f（x）取得最大值D.x＝d時(shí)，f（x）取得最小值解析由f'（x）的圖象可知，當(dāng)x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（c，e）時(shí)，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上單調(diào)遞增，在（c，e）上單調(diào)遞減.對(duì)于A，因?yàn)閍＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正確；對(duì)于B，因?yàn)閏＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正確；對(duì)于C，由單調(diào)性知f（c）為極大值，當(dāng)x＞e時(shí)，可能存在f（x0）＞f（c），C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由單調(diào)性知f（e）＜f（d），D錯(cuò)誤.命題點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值角度1求函數(shù)的極值例2[全國卷Ⅱ]若x＝－2是函數(shù)f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的極值點(diǎn)，則f（x）的極小值為（A）A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析因?yàn)閒（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f'（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.因?yàn)閤＝－2是函數(shù)f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的極值點(diǎn)，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，將x＝－2代入解得a＝－1，所以f'（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f'（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上單調(diào)遞增，在（－2，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極小值，且f（x）極小值＝f（1）＝－1，故選A.方法技巧求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f'（x）；（2）求方程f'（x）＝0的根；（3）判斷f'（x）在方程f'（x）＝0的根附近的左右兩側(cè)的符號(hào)；（4）求出極值.角度2已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)例3（1）[多選/2023新高考卷Ⅱ]若函數(shù)f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0）既有極大值也有極小值，則（A.bc＞0 B.ab＞0C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0），所以函數(shù)f（x＋∞），f'（x）＝ax2－bx－2cx3，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）既有極大值也有極小值，所以關(guān)于x的方程ax2－bx－2c＝0有兩個(gè)不等的正實(shí)根x1，x2，則Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，即b2+8ac>0（2）[開放題/2023北京市第五十五中學(xué)4月調(diào)研]已知函數(shù)f（x）＝（x－a）（x－3）2（a∈R），當(dāng)x＝3時(shí)，f（x）有極大值.寫出符合上述要求的一個(gè)a的值：4（答案不唯一，滿足a＞3即可）.解析由題意得，f'（x）＝（x－3）2＋（x－a）×2（x－3）＝（x－3）（x－3＋2x－2a）＝（x－3）（3x－2a－3），令f'（x）＝0，解得x＝3或x＝2a當(dāng)2a+33＞3，即a＞3時(shí)，f（x）在（－∞，3）上單調(diào)遞增，在（3，2a+33）上單調(diào)遞減，所以f（x所以a＞3，a可取4，故答案為4（答案不唯一，滿足a＞3即可）.方法技巧已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)列式根據(jù)極值以及極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0列方程（組），利用待定系數(shù)法求解.驗(yàn)證因?yàn)閒'（x0）＝0不是x0為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.注意若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）上存在極值點(diǎn)，則y＝f（x）在（a，b）上不是單調(diào)函數(shù)，即函數(shù)y＝f'（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn).訓(xùn)練2（1）[多選]曲線f（x）＝a（x＋1）ex在點(diǎn)（－1，f（－1））處的切線方程為y＝1ex＋b，則下列說法正確的是（ACA.a＝1，b＝1e B.f（x）的極大值為C.f（x）的極小值為－1e2 D.f（解析依題意，f'（x）＝aex＋a（x＋1）ex＝（ax＋2a）ex，f'（－1）＝ae－1＝1e，解得a＝1，所以f（x）＝（x＋1）ex，f'（x）＝（x＋2）ex.又f（－1）＝0，所以1e×（－1）＋b＝0，所以b＝1e，故A正確.令f'（x）＝0，解得x＝－2，當(dāng)x∈（－∞，－2）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（－∞，－2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（－2，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（－2，＋∞）上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f即f（－2）＝－1e2，f（x）的極大值不存在，故B，D錯(cuò)誤，C正確.（2）已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝4，b＝－11.解析f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由題意，得f'(1）=0，f（1）=10，即2a＋b+3=0，a2＋a＋b+1=10，解得a=4，b＝－11或a＝－3，b=3.當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，f'（x）＝3x2－3，b＝3時(shí)，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2，在x＝1附近的左右兩側(cè)，恒有f'（x）＞0，不變號(hào)，此時(shí)函數(shù)f（x）在x＝1處無極值.綜上，a＝4，b＝－11.命題點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值角度1求函數(shù)的最值例4[2022全國卷乙]函數(shù)f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1在區(qū)間[0，2π]的最小值、最大值分別為（D）A.－π2，π2 B.－3C.－π2，π2＋2 D.－3π2解析由f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1，x∈[0，2π]，得f'（x）＝－sinx＋sinx＋（x＋1）cosx＝（x＋1）cosx.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去）或x＝π2或x＝3因?yàn)閒（π2）＝cosπ2＋（π2＋1）sinπ2＋1＝2＋π2，f（3π2）＝cos3π2＋（3π2＋1）sin3π2＋1＝－3π2，又f（0）＝cos0＋（0＋1）sin0＋1＝2，f（2π所以f（x）max＝f（π2）＝2＋π2，f（x）min＝f（3π2）＝－方法技巧求函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值的方法（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增（遞減），則f（a）為最?。ù螅┲?，f（b）為最大（?。┲担唬?）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在（a，b）內(nèi)的極值，再與f（a），f（b）比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.角度2已知函數(shù)的最值求參數(shù)例5[全國卷Ⅲ]已知函數(shù)f（x）＝2x3－ax2＋b.（1）討論f（x）的單調(diào)性.（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.解析（1）對(duì)f（x）＝2x3－ax2＋b求導(dǎo)，得f'（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝a3若a＞0，則當(dāng)x∈（－∞，0）∪（a3，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（0，a3）時(shí)，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，0）和（a3，＋∞）上單調(diào)遞增，在（0，若a＝0，則f（x）在R上單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)x∈（－∞，a3）∪（0，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（a3，0）時(shí)，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，a3）和（0，＋∞）上單調(diào)遞增，在（a3（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.（i）當(dāng)a＜0時(shí)，由（1）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）＝b，最大值為f（1）＝2－a＋b，所以b＝－1，2－a＋b＝1，則a＝0，b＝－1，與a＜0矛盾，所以a＜0不存在.（ii）當(dāng)a＝0時(shí)，由（1）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以由f（0）＝－1，f（1）＝1得a＝0，b＝－1.（iii）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由（1）知，f（x）在（0，a3）上單調(diào)遞減，在（a3，1）上單調(diào)遞增，所以f（x）在[0，1]上的最小值為f（a3）＝－a327＋b＝－1，最大值為f（f（1）＝2－a＋b.若－a327