2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第一章 第三講　全稱量詞與存在量詞 學(xué)案

第三講全稱量詞與存在量詞

?雙基自測(cè)SHl

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞,

用符號(hào)“上表示.

⑵存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在

量詞，用符號(hào)表示.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)X,有P(X)成立存在M中的一個(gè)xo,使P(Xo)成立

簡(jiǎn)記VX∈M,〃(X).mxodM,HxO)

否定3xo^M,MXo)RXRM,〃(X)

歸納拓展

1.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

2.對(duì)省略了全稱量詞的命題否定時(shí)，要對(duì)原命題先加上全稱量詞再對(duì)其否

定.

3.命題〃和狒”的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷

此命題的否定的真假.

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“或“X”)

(1)至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為無(wú)是全稱量詞命題.(義)

(2)命題“正方形都是矩形”的否定是存在一個(gè)正方形，這個(gè)正方形不是矩

形.(J)

(3)若命題p：Vx∈R,占＜0，則*R,4?(X)

(4)若命題p：D”，?∈R,方程0x2+b=0恰有一解，則㈱p：3a,b^R,

方程加+Z?=0無(wú)解.（X）

題組二走進(jìn)教材

2.（必修1P3∣練習(xí)Tl改編）命題''Vx∈R,x2+x+l>0w的否定是3x∈R,

f+x+iWO.

3.（必修IP3I習(xí)題T3改編）下列命題中的假命題是（C）

A.3x∈R,Igx=IB.3x∈R,SinX=O

C.Vx∈R,√>0D.?X∈R,2Λ>0

［解析］當(dāng)X=IO時(shí)，Ig10=1,則A為真命題；當(dāng)X=O時(shí)，SinO=O,則B

為真命題；當(dāng)x≤0時(shí),x3W0,則C為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，Vx∈R,2'>0,

則D為真命題.故選C.

4.泌修IP32T6改編）已知命題p：Vx∈R,SinX20,則下列說(shuō)法正確的是

（A）

A.p的否定是存在量詞命題，且是真命題

B.〃的否定是全稱量詞命題，且是假命題

C.P的否定是全稱量詞命題，且是真命題

D.〃的否定是存在量詞命題，且是假命題

［解析］命題p：VXeR,sinXN0,該命題為假命題.〃的否定是存在量詞

命題，且是真命題.故選A.

題組三走向高考

5.（2016?浙江）命題"Tx∈R,3∕7∈N*,使得〃2/”的否定形式是（D）

A.Vx∈R,3∕ι∈N*,使得〃

B.?Λ∈R,VX∈N*,使得

C.3Λ∈R,≡∏∈N?使得〃<x2

D.3%∈R,?∕7∈N%使得〃<r2

［解析］根據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知，選D.

考點(diǎn)一含有一個(gè)量詞的命題的否定——自主練透

例1（1）（2022.青島模擬）設(shè)命題p：所有正方形都是平行四邊形,則^〃為（C）

A.所有正方形都不是平行四邊形

B.有的平行四邊形不是正方形

C.有的正方形不是平行四邊形

D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形

(2)(2023?武漢模擬)命題''Vx∈[0,+∞),Λ3+X20”的否定是(C)

A.Vx∈(-∞,O),x3+x<0

B.VΛ∈(—8,0),%3+X20

i

C.3x∈[O,+∞)tx+x<0

D.≡x∈[0,+∞),√+x≥0

(3)已知命題p：u3x∈R,ev-Λ-1≤0",則睇P為(C)

A.≡x∈R,ex-χ-1≥0

B.≡Λ∈R,e?-?-1>0

C.?Λ∈R,er-χ-l>0

D.VχGR,ex-χ~1≥0

[解析](1)“所有”改為“存在”(或“有的”)，“都是”改為“不都

是“(或"不是")，即為有的正方形不是平行四邊形.

(2)含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，所以，命題“V

x∈[0,+∞),x3+x2(Γ'的否定是''mx∈[O,+∞),x3+x<0w,故選C.

(3)根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定關(guān)系，可得〃為"Vx∈R,

e'—x—1>0”，故選C.

名用點(diǎn)彼MINGSHIDIANBO

否定全稱量詞命題和存在量詞命題時(shí)，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存

在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直

接否定結(jié)論.

考點(diǎn)二全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷——師生共研

例2(1)(多選題)(2022.德州模擬)下列四個(gè)命題中為真命題的是(BD)

A.3x∈(0,+°°),

B.3X∈(0,1),IOgy>1OgP

23

X

C.?Λ∈(0,+∞),自I>logιx

D.Vx∈fθ,I?

<1Og產(chǎn)

（2）以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是（B）

A.銳角三角形有一個(gè)內(nèi)角是鈍角

B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)九，使x2≤0

C.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)

D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)X,使：>2

［解析］（1）對(duì)于A,當(dāng)x∈（0,+8）時(shí)，總有（，>（；）成立，故A是假命題；

對(duì)于B,當(dāng)X=百時(shí)，有I=IOgg=IOg<>logg；成立，故B是真命題；對(duì)于C,當(dāng)

0<x<；時(shí)，IOg尹>1〉（，，故C是假命題；對(duì)于D,VXe（0,∣）,?<l<log∣Λ,

故D是真命題.

（2）A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；B中當(dāng)X=O時(shí)，x2

=0,滿足VWO,所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因?yàn)?+（一6）

=0不是無(wú)理數(shù)，所以C是假命題；D中對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)X,都有:<0,不滿

足：>2,所以D是假命題.

名獐A撥MINGSHIDIANBO

判斷全稱量詞命題”V九∈M,p（xY,是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)

元素?zé)o，證明Pa）成立；要判斷存在量詞命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到

一個(gè)X=X（）,使PQ））成立即可.

〔變式訓(xùn)練1〕

（1）（多選題）已知下列命題，其中是真命題的是（CD）

A.Vx≡R>—x2<0

B.3Λ∈Q,Λ2=5

C.3x∈R,x2—x—1=O

D.若p：Vχ∈N,x221,則㈱p：3x∈N,x2<l

(2)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)7U)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是

(C)

A.Vx∈R,Λ~x)≠f(x)

B.?x∈R,fi-χ)≠~f(x)

C.3x≡R,我—X)≠∕(x)

D.3x∈R,八一x)≠-^fix)

［解析］(I)A中，當(dāng)X=O時(shí)，-N=O,故A是假命題；B中，X2=5,X=±√^,

玷是無(wú)理數(shù)，故B是假命題；C中，當(dāng)X=喈時(shí)，X2-X-I=O;D中，全稱

量詞命題的否定是存在量詞命題，故C,D是真命題.

(2)：定義域?yàn)镽的函數(shù)式處不是偶函數(shù)，二Vx∈R,1一x)=?r)為假命題，

3%∈R,_/(—x)壬/(x)為真命題.

考點(diǎn)三由命題的真假求參數(shù)的取值范圍——師生共研

例3已知命題p：VχGR,x2—a20；命題q：3%∈R,x2+20r+2-α=0.

若命題p,q都是真命題，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為(-8,—2］.

［解析］由命題P為真，得αW0,由命題q為真，得/=4/-4(2—α)20,

即α≤-2或α21,所以0W-2.

名獐A撥MINGSHIDIANBO

已知命題的真假，可根據(jù)每個(gè)命題的真假利用結(jié)合的運(yùn)算求解參數(shù)的取值范

圍.

〔變式訓(xùn)練2〕

⑴已知命題p：3x>0,x+a~?=Q,若P為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是(D)

A.{a?a<1}B.{α∣α≤1}

C.{a?a>?}D.{4∣α21}

(2)能說(shuō)明命題"Vx∈R且x≠0,x+^2”是假命題的X的值可以是一1(任

意負(fù)數(shù))(寫出一個(gè)即可).

[解析](D；p為假命題，p為真命題，即VX>0,尤+a—1W0,即VX〉0,

x≠l-a,Λl-α≤O,則心1,二實(shí)數(shù)α的取值范圍是{α∣α21}.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，x+?2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x<0時(shí)，x+∕w-2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)取等號(hào)，.?.x的取值為負(fù)數(shù)即可，例如X=-L

臾破雙變量”存在性或任意性”問(wèn)題

邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá).解決雙變

量“存在性或任意性”問(wèn)題關(guān)鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價(jià)

轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系)，目的在于培養(yǎng)

學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

2

例4已知√(x)=ln(x+l),g(x)=Q]一機(jī)，若對(duì)于Vxι∈[0,3],3χ2∈[l,2],

使得加π)2g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A)

,

-I+8

A.?

c??+8)D?(―8,?

［解析］當(dāng)X∈［0,3］時(shí)，./(x)min=ΛO)=O,

當(dāng)XG［1,2］時(shí)，g(x)min=g(2)=；—〃2,

由"x)min2g(x)min得。導(dǎo)彳一〃2,所以相巳不

［引申1］把本例中"3X2∈［1,2Γ,改為:“V尤2∈［1,2］”,其他條件不變,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是加馬.

［解析］當(dāng)X∈［0,3］時(shí)，∕U)min=ΛO)=O,

當(dāng)X∈［l,2］時(shí)，g(x)max=g(l)=T-"Z，

由Xx)min2g(x)max得0差一〃?，所以"?2,

[引申2]把本例中，VM∈[0,3]改為mxι∈[O,引其他條件不變，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是/n^?-In10.

［解析］當(dāng)x∈［0,3］時(shí)，7U)max=Λ3)=ln10,

當(dāng)X∈［l,2］時(shí)，g(x)min=g(2)=(-Μ，

由/(?max2g(x)min得1∏IoNa一加，

所以〃22［一In10.

［引申3］把本例中,?xι∈［0,3］,mX2∈引,2］改為m*ι∈［0,3］,Vχ2∈［l,2］,

其他條件不變，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是機(jī)2,一InlO.