2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第四章 第一講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 學(xué)案

第四章三角函數(shù)、解三角形

第一講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

知識梳理

知識點一角的有關(guān)概念

(1)從旋轉(zhuǎn)的角度看，角可分為正角、.負角和一零角.

(2)從終邊位置來看，角可分為.象限角，與軸線角.

(3)若α與α是終邊相同的角，則夕用α表示為6=2E+α,Z∈Z.

知識點二弧度制及弧長、扇形面積公式

(1)1弧度的角

長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

(2)角α的弧度數(shù)

如果半徑為r的圓的圓心角ɑ所對弧的長為I,那么角α的弧度數(shù)的絕對值

是IaI=L?

(3)角度與弧度的換算

Φlo=?ad；②Irad=(罩L

(4)弧長、扇形面積的公式

設(shè)扇形的弧長為/,圓心角大小為α(rad),半徑為r，則I=IaIr,扇形的

面積為5=37=告成戶.

知識點三任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(X,y),那么Sina

(2)三角函數(shù)的符號

三角函數(shù)在各象限的符號一定要熟記口訣：一全正、二正弦.、三正

切、_四余弦?.

(3)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點

都在龍軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是點(L0).如圖中有向線

段MP,OM,AT分別叫做角α的金逑_，.余弦線和一正切線.

歸納拓展

1.終邊相同的角與對稱性拓展

(l)β,α終邊相同仁力=α+2E,A∈Z.

(2)或，α終邊關(guān)于X軸對稱臺尸=—α+2E,Z∈Z.

(3)或，α終邊關(guān)于y軸對稱0夕=兀-α+2E,攵∈Z.

(4)或，α終邊關(guān)于原點對稱臺夕=兀+α+2E,Z∈Z.

2.終邊相同的角不一定相等，相等角的終邊一定相同，在書寫與角ɑ終邊

相同的角時，單位必須一致.

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)小于90。的角是銳角.(X)

(2)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等?(X)

⑶若Sina>0,則α終邊落在第一、二象限.(X)

JT

(4)角6(=%兀+］(^^2)是第一象限角.(×)

JlJl

(5)若sina=sin,,則α=1.(X)

［解析］根據(jù)任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是錯誤的.sina>0,α也可落在y

軸正半軸上，故(3)也不對.

題組二走進教材

2.(必修1P.T3改編)一2024。的角的終邊所在的象限是(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］-2024。=-6X360。+136。，-2024。和136。的終邊相同，所以一2

024。的終邊在第二象限.

9Ti

3.(必修1P∣76T5改編)下列與Z的終邊相同的角的表達式中正確的是(C)

9

A.2H+450(?∈Z)B.匕360。+甲I(ZeZ)

5兀

C.??360o-315o(?∈Z)D.E+R∈Z)

［解析］由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，應(yīng)為

JT

4÷2?π或A?360°+45°(Z∈Z).

4.(必修1P182T4改編)若角θ滿足tanθ>0,sinθ<0,則角θ所在的象限是(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］由tanGO知，。是一、三象限角，由sinO<O知，。是三、四象限

角或終邊在y軸非正半軸上，故。是第三象限角.

5.(必修1P□6T11改編)一鐘表的秒針長12cm,經(jīng)過25s,秒針的端點所走

的路線長為(C)

A.20cmB.14cm

C.10πcmD.8兀Crn

［解析］秒針的端點旋轉(zhuǎn)所形成的扇形的圓心角的弧度數(shù)為副2兀=蕓因

5TT

此，秒針的端點所走的路線長為χ^X12=10兀(Cm).故選C.

題組三走向高考

6.(2020?課標II,2)若α為第四象限角,則(D)

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2α>0D.sin2α<0

TT

［解析］解法1：?O.是第四象限角，—2~^~2?π<ot<2?π,kGZ,—π+

4kπ<2a<4kτι,kGZ,：?角2a的終邊在第三、四象限或y軸非正半軸上，「.sin2a<0,

CoS2a可正、可負、可零.故選D.

解法2：sin2a=2sinacosa<0.

7.(2019.浙江，14)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與X軸的非負半軸

4

=

重合，它的終邊過點P(—|，一,),-5

[解析]由角α的終邊過點K一§得Sina=一之,所以sin(α+τι)=-Sin

4

5-

?互動探究

考點一角的基本概念——自主練透

例1⑴若角。的終邊與牛的終邊相同，則在區(qū)間。2兀)內(nèi)終邊與冬的終邊相同

(3)若角α的頂點為坐標原點，始邊在龍軸的非負半軸上，終邊在直線y=√5

X上，則角α的取值集合是(C)

A.IG(a=2kπ-j,Z∈z]

B.∣ot∣α=2^π÷^,?∈Z∣

[Jl]

C.]aa=E+q,?≡Zj

f兀]

DAaa=?π-?,ZeZj

(4)(多選題)已知角a的終邊在第二象限，則卷的終邊必在第幾象限(Ae)

A.-B.二

C.三D.四

[解析](1)：^=^y÷2?π(?∈Z),Z).

依題意，0＜萬+左?！?兀，Λ∈Z,

311

解得一］WN^y,Z∈Z.

.?.k=0,?,即在區(qū)間［0,2兀)內(nèi)終邊與自同的角為與，竿

JTTr

(2)當(dāng)攵=2〃(〃eZ)時，2〃兀WaW2〃Ti+a(〃eZ)，此時a的終邊和OWaWa的

JT

終邊重合，當(dāng)％=2〃+1(〃WZ)時，2〃兀+?！?〈2〃兀+兀+a(〃￡Z),此時α的終邊

Tr

和兀Wαr≤ττ+a的終邊重合.

(3)因為直線y=√lr的傾斜角是會所以終邊落在直線y=√5無上的角的取值

集合為｛aα=E+$Z∈z｝,故選C.

(4)由角α的終邊在第二象限，

Tr

所以/+Z?2兀Va＜兀+/?2兀，keZ,

所以^+了2兀〈于｝+］。兀，k∈Z,

兀aTi

當(dāng)k=2m,m^Lr時，1+〃2?2兀＜/＜/+/7?2兀，m￡Z,

所以］終邊在第一象限；

當(dāng)％=2m+1,AneZ時,牛+zn?2πv?V:+zn?2π,m∈Z,

所以卷終邊在第三象限，綜上，今的終邊在第一或三象限.故選A、C.

［引申］(1)本例題(4)中，若把第二象限改為第三象限，則結(jié)果如何？

［答案］垓的終邊在第二或第四象限.

(2)在本例題(4)中，條件不變，W的終邊所在的位置是在第一、二或四象限

(3)在本例(4)中，條件不變，則π-a是第二_象限角，2a終邊的位置是_

第三或第四象限或V軸負半軸上.

名幃點撥MINGSHIDIANBO

1.迅速進行角度和弧度的互化，準確判斷角所在的象限是學(xué)習(xí)三角函數(shù)知

識必備的基本功，若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化成

2E+α(0Wα<2兀)∕∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷，這里要特別

注意是π的偶數(shù)倍，而不是兀的整數(shù)倍.

2.終邊相同角的表達式的應(yīng)用

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角

的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)Ml∈Z)賦值來求得所需

角.

3.確定%∈N*)的終邊位置的方法

(1)討論法：

①用終邊相同角的形式表示出角ɑ的范圍.

②寫出?的范圍.

③根據(jù)上的可能取值討論確定彳的終邊所在位置.

K

(2)等分象限角的方法：已知角α是第加(加=1,2,3,4)象限角，求上是第幾象限

K

角.

①等分：將每個象限分成左等份.

②標注：從X軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環(huán)標上1,2,3,4,直至回

到X軸正半軸.

③選答：出現(xiàn)數(shù)字機的區(qū)域，即為彳所在的象限.

K

如?f判斷象限問題可采用等分象限法.

考點二扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用——師生共研

例2已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長為/.

(1)若夕=60。，R=10cm,求扇形的弧長/；

TT

(2)若a=§,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積；

(3)若扇形的周長是20cm,當(dāng)扇形的圓心角ɑ為多少弧度時，這個扇形的面

積最大？

πTT1OTr

［解析］(l)a=60o=2，∕=10×2=-^-(cm).

2冗

(2)設(shè)弓形面積為S號.由題知/=竽cm.

S弓=S而影一S二角形=；X午X2-gx22XSinW=信一小)en?

(3)由已知得，l+2R=20,

所以S=3∕R=f(2O—2H)H=IOR-R2=-(Λ-5)2+25.

所以當(dāng)R=5時，S取得最大值25c∏Λ

此時/=10,a=2.

名幃A披MINGSHIDIANBO

弧長和扇形面積的計算方法

(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.但要

注意圓心角的單位是弧度.

(2)從扇形面積出發(fā)，在瓠度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次

函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值.

(3)記住下列公式：①∕=αR;②S=界；③S=TaR2.其中R是扇形的半徑，/

是弧長，α(0<α<2τr)為圓心角，S是扇形面積.

〔變式訓(xùn)練1〕

(1)(多選題)(2023?青島質(zhì)檢)已知扇形的周長是6,面積是2,下列選項可能

正確的是(ABC)

A.圓的半徑為2

B.圓的半徑為1

C.圓心角的弧度數(shù)是1

D.圓心角的弧度數(shù)是2

⑵(2022?莆田模擬)《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動，刻畫的是一名

強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近

似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長約為［米，整個肩寬約為今

4O

米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數(shù)

據(jù)：√2≈1.414,√3^1.73)(B)

A.1.612米B.1.768米

C.1.868米D.2.045米

［解析］(1)設(shè)扇形半徑為「，圓心角弧度數(shù)為公

2r+αr=6,

r=2,

則由題意得《解得或＜

Ia=4?=1,

可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.

(2)由題意得，“弓”所在的弧長為

5π-

8兀

，其所對的圓心角α=(=5-2一

-

K4

二兩手之間的距離d=y∣R2+R2=√2×1,25≈1.768.

考點三三角函數(shù)的定義——多維探究

角度1定義的直接應(yīng)用

例3已知角a的終邊經(jīng)過點P(~x,—6),且cosa=—/,

1JSlIl(ΛIdIl(A

2

3?

［解析］因為角α的終邊經(jīng)過點P(—x,—6),且COSa=一看,

5

所以cosa=

13,

解得X=I或無=—去舍去),

所以4一1，一6),

12

所以sinα=一百，

Sinα12

所以

tana=cosa5^,

則」一+——=——+?=—-

'sinɑ?tana12^r123'

角度2三角函數(shù)值符號的應(yīng)用

例4(1)(多選題)下列各選項中正確的是(AB)

A.sin300o<0B.cos(-305o)>0

C.tan(一專兀)>0D.sin10>0

COSOC

(2)若sinatana<0,且；??-<0,則角是(C)

IanCka

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］(1)300°=360°—60°,則300。是第四象限角,故sin300。<0,-305°

???

=—360°+55°,則一305。是第一象限角，故cos(-305o)>0,而一8兀+于

所以一事是第二象限角，故tan(一喇<0,因為3兀<10<:，所以10是第三象

限角，故SinIO<0.故選AB.

(2)由SinatanaVO可知Sina,tana異號，則α為第二或第三象限角.由J

Iana

<0可知COSa,tanα異號，則α為第三或第四象限角.綜上可知，α為第三象限

角.故選C.

名幃點撥MINGSHIDIANBO

定義法求三角函數(shù)值的兩種情況

(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可先求出點P到原點的距離∣OP∣=r,然

后利用三角函數(shù)的定義求解.

(2)已知角α的終邊所在的直線方程，可先設(shè)出終邊上一點的坐標，求出此

點到原點的距離r,再利用三角函數(shù)的定義求解，應(yīng)注意分情況討論.

〔變式訓(xùn)練2〕

(1)(多選題X角度2)在平面直角坐標系xθy中，角X的頂點為原點。，以X

軸非負半軸為始邊，終邊經(jīng)過點P(l,m)(〃z<0),則下列各式的值恒大于0的是

(AB)

ASinaC.

At-a-n--a-B.CoSa-Sma

C.sinαcosaD.Sina+tanα

⑵(角度1)已知角a的終邊與單位圓的交點為K^^T,則Sinα?tana等于

(C)

A.TB?±坐

C3r3

C.—2D.±2

解析］⑴由題意知.選項；選項

fsinα<O,COSa>0,tanα<OA,~Ld~ne>x.0B,

cos?—sina>0；選項C,SinaCOSa<0；選項D,Sina+cos1的符合不確定.故

選AB.

(2)解法1：因為點P(一/))在單位圓上，

所以(一02+y2=ι,解得

當(dāng)y=半時，Sina=乎，tana=-y∣3,

、3

所以sina?tana=-

當(dāng)y=一半時，Sina=—乎，tana=y∣3,

3

所以sina?tana=—?.

,3

綜上知，sin?tana=~^.

解法2：因為點從一y）在單位圓上，所以COSa=一；,又因為sin%+cos2α

3

.…，3.sinasin2a43

所以

=1,sinα=τ4>s?n(z?tanα=sm?--c-o-s--a-="cos^a=—T?=-2?

-2

■后l?截杼

?素養(yǎng)提升HljlANGTΛNSUYANGTlSH

利用三角的教線解三角不等式

例5⑴不等式sinx2乎的解集為

IWl2?π+βWXW2kτι~?~^,keLr

(2)不等式COS九2的解集為

|x2?π-γ≤尤忘2&兀+?,^∈Z∣.

［解析］（1）過點（0,由作平行于X軸的直線，交單位圓于點p［；,坐）,

Tr2冗?/?

則以O(shè)P、OP2為終邊的角分別為］+2依、w+2E∕∈Z）,其正弦值為￥，

終邊落在陰影部分的角的正弦值不小于坐，/.sinx2乎的解集為

Ix2?π÷2≤Λ≤2?π+?,?∈Z∣.

⑵過點（一g,0）作垂直