2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)14 不等式選講解答題30題含答案

2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資

料專題14不等式選講解答題30題

1.(2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(五)理科數(shù)學(xué)試題(全國卷))已知函

數(shù)/(x)=∣2X-W+∣x+l∣,g(x)=2-∣x+l∣.

⑴當(dāng)α=2時(shí)畫出函數(shù)“x)的圖象，并求出其值域；

(2)若f(x)Ng(X)恒成立，求。的取值范圍.

2.(陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題)己知函數(shù)

/(x)=∣X+Λ-2∣+∣X+3∣.

(1)當(dāng)α=()時(shí)，求不等式f(x)≥9的解集；

⑵若/(x)>2,求。的取值范圍.

3.(陜西省渭南市富平縣2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

F(X)=IX+1∣+∣x-2∣的最小值為

(1)求不等式/(X)≤5的解集；

(2)若α,6都是正數(shù)且必=〃?，求20+6的最小值.

4.(江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(文)試題)已知“，b均

為正數(shù)，且/+2/=6,證明：

(l)α+2?≤3√2;

5.(河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題)已知/(x)=|2x+2|+|x-3].

⑴求不等式/(x)45的解集；

⑵若f(x)的最小值為機(jī)，正實(shí)數(shù)。，b,C滿足α+Z>+c=m,求證：

1119

----+----+----≥——.

a+bb+ca+c2m

6.(河南省洛平許濟(jì)聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題)

已知函數(shù)/(χ)=k+ι∣+2∣χτ∣.

⑴求不等式/(x)<8的解集；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=y(X)TXT的最小值為且正實(shí)數(shù)α,b,C滿足α+6+c=τn,求證:

7.(河南省部分名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測理科數(shù)學(xué)試題)已

知函數(shù)/(x)=∣XT卜2∣x+4

(1)當(dāng)a=g時(shí)，求不等式Ax)，，。的解集：

⑵當(dāng)/..-l時(shí)，若函數(shù)g(x)=gx+〃的圖象恒在/(x)圖象的上方，證明：2b-3a>2.

8.(河南省洛陽市第八高級(jí)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)己知

函數(shù)/(%)=lx-α∣+l%+4∣.

⑴當(dāng)α=2時(shí)，求不等式F(x)≥8的解集；

⑵若/(x)>2α+l恒成立，求α的取值范圍.

9.(青海省西寧市大通回族土族自治縣2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)

(文)試題)已知函數(shù)/(x)=∣2x+α∣+∣2x-2b∣3>0,2>0).

(1)若4=2,b=2,求不等式/(x)>8的解集；

(2)若F(X)的最小值為1,求丁二+1的最小值.

10.(2023屆甘肅省高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷(四))已知函數(shù)/(x)=∣2x-α∣+∣2x+3∣,

g(x)=∣xT∣+2.

(1)解不等式Ig(X)I<5.

(2)若對(duì)任意x∣eR,都有七€七使得fQ)=g(W)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

11.(甘肅省蘭州市第五十七中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)(文科)試題)已

知函數(shù)/(?)=I2x+11,g(x)=|XI+a

(1)當(dāng)α=0時(shí)，解不等式AX)≥g(x);

(2)若存在XeR,使得f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

12.(安徽省江淮名校2022屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣2x-∕n2∣+∣2x+l-2∕n∣.

⑴當(dāng)機(jī)=3時(shí)，求不等式/(x)??10的解集；

(2)若/(x).?4恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

13.(河南省商開大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期考試文科數(shù)學(xué)試題)設(shè)函數(shù)

/(x)=∣X-α∣+∣X+6J+l∣.

⑴當(dāng)α=0時(shí)?求不等式/(x)<2∣H+l的解集；

(2)若關(guān)于X的不等式/(x)<2有解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

14.(山西省太原市第五中學(xué)2022屆高三下學(xué)期二模文科數(shù)學(xué)試題)(1)解不等式

|x—2∣÷∣x-1|..7；

6b2

(2)若正實(shí)數(shù)滿足α+b=l,求」—+4的最小值.

?+la+l

15.(山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題)己知函數(shù)

/(x)=∣x+2∣-w?m∈R,且/(x)<0的解集為［-3,T］.

(1)求m的值；

⑵設(shè)a,b,C為正數(shù)，且α+6+c=m,求J3o+1+J3A>+1+J3c+1的最大值.

16.(山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)=∣2x-α∣-α∣x-2∣.

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，求不等式/(x)<8的解集；

⑵當(dāng)XWL2］時(shí)，"x)≥0,求。的取值范圍.

17.(內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)已知

f^x)-?x-n^x+?x-^x-ιn)

(1)當(dāng)加=2時(shí)，求不等式〃x)≥0的解集；

⑵若xw(ro,2)時(shí)，/(x)<0,求優(yōu)的取值范圍.

18.(內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)文科試題)已知

函數(shù)/(x)=∣x+α∣+∣x-2∣,其中。為實(shí)常數(shù).

(1)若函數(shù)AM的最小值為3,求“的值；

(2)若當(dāng)xe［l,2］時(shí)，不等式f(X)≤∣X-4上恒成立，求”的取值范圍.

19.(內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量普查調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)

已知m>0,函數(shù)/(x)=2∣x-l∣T2x+時(shí)的最大值為4,

(1)求實(shí)數(shù)〃7的值；

(2)若實(shí)數(shù)α,b,C滿足α-2?+c="?,求/+從十。2的最小值.

20.(寧夏石嘴山市第三中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期未考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)/

(X)=2∣x+1∣+∣x—3|.

⑴求不等式/G)>10的解集；

⑵若函數(shù)g(x)=∕(x)+k-3］的最小值為M,正數(shù)a,b9C滿足o+b+c=M,證明

21.(河南省名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期2月大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷)已知函數(shù)

/(x)=∣x+l∣.

⑴求不等式/(x)≥5-∣x-2∣的解集；

1Q

(2)記y=∕(x)+∣xT∣的最小值為如若α>0,〃>(),2a+b-m=0,證明：一+,≥9.

22.(新疆部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考(全國乙卷)數(shù)學(xué)(理)試題)己

知函數(shù)/(x)=bɑ-2∣T%-2∣(q∈R).

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求不等式f(x)>2的解集；

(2)若存在Xe[2,4],使得/(x)≤0,求α的取值范圍.

23.(江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣x-3∣+l.

⑴求不等式/(x)<8—∣x+2∣的解集；

(2)若對(duì)任意的x>0,關(guān)于X的不等式/(x)≥以恒成立，求。的取值范圍.

24.(江西省贛州市2023屆高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)

/(x)=2IX+l∣+∣x+2∣的最小值為m.

(1)求加的值；

(2)設(shè)α,b,c為正數(shù)，且α+6+c?=m,求證：￡l±≤+fl±eI+L1fl>2.

cba

25.(2020屆廣西柳州市高三畢業(yè)班4月模擬(三模)文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣x-l∣+∣x+l∣.

(1)求不等式/(x)<3的解集；

(2)若二次函數(shù)y=-d-2x+m與函數(shù)y=∕(x)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃?的取值

范圍.

26.(廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試(一模)數(shù)學(xué)(文)試題)

已知函數(shù)/(x)=>Jx2-2ax+a2+?x-2a+↑?,a≡R,

⑴當(dāng)a=3時(shí),求F(X)的最小值;

⑵若對(duì)V∕ne(0,6),BreR,,不等式f(x)>加厄二赤恒成立，求”的取值范圍.

27.(貴州省貴陽市普通中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末監(jiān)測考試數(shù)學(xué)(文)試題)已知

α>O,?>O,函數(shù)f(x)=∣2x+α∣+∣2x-川+1的最小值為3.

(1)求α+/?的值；

(2)求證：?+log3∣-+?|>4-?.

八42b)

28.(貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級(jí)診斷性考試(一)數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣α-x∣+∣x+2∣.

⑴當(dāng)4=1付，求不等式/(x)≤4的解集；

(2)若f(x)>-2。恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

29.(貴州省銅仁市2023屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)不等式

∣2x+l∣+∣2x-1K4的解集為MM為∈M.

⑴求證：?ɑ-?fe<J；

236

⑵試比較W-切與|2-如的大小，并說明理由.

30.(廣西柳州市、梧州市2023屆高中畢業(yè)班2月大聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣2Λ+l∣+∣αr-l∣.

(1)當(dāng)“=2時(shí)，求不等式/(x)≥3的解集；

(2)若α>0時(shí)，存在x∈R,使得/(x)?+l成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

專題14不等式選講解答題30題

1.(2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(五)理科數(shù)學(xué)試題(全國卷))已知函數(shù)

/(x)=∣2x-α∣+∣x+l∣,g(x)=2TX+”.

(1)當(dāng)a=2時(shí)畫出函數(shù)/(x)的圖象，并求出其值域：

(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求”的取值范圍.

【答案】(1)圖象見解析，[2,+8)

(2)(-∞,-4]U[0,+∞)

【分析】(1)將函數(shù)寫出分段函數(shù)形式，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出值域；

(2)化簡得至α∣+∣2x+2∣≥2,利用絕對(duì)值三角不等式，求出∣2x-a∣+∣2x+2∣≥∣α+2∣,

從而得到∣4+2∣≥2,求出“的取值范圍.

Sx÷1,X<—1

【詳解】(1)當(dāng)α=2時(shí)，/(x)=∣2x-2∣+∣x+l∣=--x+3,-l≤x≤l,

3x-l,x>1

由圖可知函數(shù)在(一,1)單調(diào)遞減，在(l,+∞)單調(diào)遞增，/(l)=-l+3=2,所以函數(shù)值域?yàn)?/p>

[2,+∞).

(2)/(x)2g(x)恒成立，|2犬_4+卜+1怛2_卜+1|即∣2x-α∣+∣2x+2∣22恒成立，

∣?∣>?∣2x-<7∣+∣2x+2∣>∣(2Λ-α)-(2x+2)∣=∣α+2∣,

因?yàn)楱Oα+2∣N2,所以α+2≥2或4+2≤-2,

所以a的取值范圍為(―,T]U[(),+8)

2.(陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)"x)=k+α-2k∣x+3∣.

⑴當(dāng)α=0時(shí)，求不等式/(x)N9的解集；

⑵若/(x)>2,求α的取值范圍.

【答案】⑴(-8,-5M4,+8)

⑵(YO,3)57,+∞)

【分析】⑴利用絕對(duì)值的兒何意義將"x)=∣x+a-2∣+∣x+3∣表示成分段函數(shù)形式，即可解

不等式；

(2)利用絕對(duì)值不等式得∣x+α-2∣+∣x+3∣≥∣ɑ-5∣,進(jìn)而可求。的取值范圍.

[詳解】(1)因?yàn)棣?0,所以/(x)=k-2k∣x+3∣.

當(dāng)xN2時(shí)，/(x)=2x+l,不等式/(x)29轉(zhuǎn)化為2x+l≥9,解得χ≥4.

當(dāng)-3<x<2時(shí)，/(x)=5,不等式F(X)≥9轉(zhuǎn)化為5≥9,無解.

當(dāng)x≤-3時(shí)，"χ)=-2x-ι,不等式/(χ)≥9,

轉(zhuǎn)化為一2A1—1≥9,解得X≤—5.

綜上所述，不等式/(x)>9的解集為(-∞,-5]u[4,+∞).

(2)因?yàn)?x)>2,所以/(x)min>2.

又∣x+α-2∣+∣x+3月a-5∣,所以∣4-5∣>2,

解得4>7或α<3.

故”的取值范圍為(《,3)u(7,E).

3.(陜西省渭南市富平縣2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

f(x)=∣x+l∣+∣x-2]的最小值為m.

(1)求不等式fCO≤5的解集;

(2)若α,。都是正數(shù)且必="，求2α+∕>的最小值.

【答案】(l){x∣-2≤x≤3}

(2)2√6

【分析】(1)利用零點(diǎn)分段法分類討論，分別求出不等式的解，即可得解；

(2)利用絕對(duì)值三角不等式求出/(x)的最小值，再利用基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】(1)解：/(x)Hx+l∣+∣x-2∣,

.Jx≥2∫-l<x<2∫x≤-l

"∣2x-l≤5flλ[3≤5或[-2X+145，

解得：2≤x≤3或-l<x<2或-2≤x≤T,

不等式”x)≤5的解集為為∣-2≤x≤3}.

(2)解:?∕WHX÷1∣+∣X-2∣..J(X+1)-(X-2)∣=3,

當(dāng)且僅當(dāng)-啜k2時(shí),/3取得最小值,且最小值為3,則加=3；

即4〃=3,又。>0、?>0,

所以2a+b≥2聲=2#,當(dāng)且僅當(dāng)2α=b,即α=亞、6="時(shí)取等號(hào)，

2

即為+6的最小值為2卡.

4.(江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(文)試題)已知“，b均為

正數(shù)，且/+2ft2=6,證明：

(Da+2?≤3√2;

(2)l+^>?.

ab2

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)證明過程見詳解

【分析】(1)由柯西不等式的一般形式證明即可;

(2)結(jié)合0)可得力"壺,再利用基本不等式證明即可?

【詳解】(1)由柯西不等式有

(?2+2?2)(12+12+12)=(Λ2+b1+?2)(l2+l2+l2)≥(α+?+fe)2=(a+2b)2,

a+2b<3y∕2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=啦時(shí)，取等號(hào).

s,

⑵?.?0<α÷2?<3√2,??-7??

又fl+S(α+2b)=5+之+W≥9,：.-+->9=Ia

?ab)ababa+2b

當(dāng)且僅當(dāng)次=當(dāng)，即α=6=啦時(shí)取等號(hào)，.?.！+W≥W√L

abab2

5.(河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題)已知/(x)=∣2x+2∣+∣x-3∣.

⑴求不等式“x)45的解集；

ILIIO

⑵若/(x)的最小值為m，正實(shí)數(shù)〃"，C滿足α+Hc=m,求證：-T+/一+'一≥三.

a+bb+Ca+c2m

【答案】(I){x-g≤x4θ}

(2)證明見解析

【分析】(1)將/U)的解析式寫出分段函數(shù)的形式，解不等式即可.

(2)先求/(χ)的最小值，方法1：運(yùn)用多個(gè)絕對(duì)值之和最小值求法，方法2：運(yùn)用函數(shù)單調(diào)

性；再運(yùn)用"1”的代換與基本不等式可證得結(jié)果.

~λx-2+3-X,x≤-1

［詳解］(1)/(x)=∣2x+2∣+∣x-3∣=<2x+2+3-x,-l<x<3

2x÷2+x-3,x≥3

—3x+1,?≤—1

即：f(?)=<^+5,-1<x<3

3x-l,x>3

44

①當(dāng)x≤-1時(shí)，—3x+l≤5=>x≥—-,解得-Q≤X≤-1；

②當(dāng)一l<x<3時(shí)，x+5≤5=x≤(),WW-1<%≤O;

③當(dāng)x23時(shí)，3x-l≤5=>x≤2,無解，

綜上：不等式的解集為卜-!≤χ≤o}.

(2)方法1：/(x)=2∣x+l∣÷∣x-3∣=∣x+l∣+∣x-3∣+∣x+l∣≥∣x+l-x+3∣+0=4,

當(dāng)且僅當(dāng)尸一1時(shí)等號(hào)成立.所以∕*)min=4,所以加=4,即4+h+c=m=4.

方法2由(1)知，，㈤在(-,f上單調(diào)遞減,在法L3)上單調(diào)遞增,在法+∞)上單調(diào)遞

增，

所以F(X)min=/(-1)=4,所以機(jī)=4,即α+b+c=∕π=4.

111Irz,λ?zλlf111A

a+bb+cc+a8LV7V7Vj?a+bb+cc+a)

3?(b+ca+bb+cc+aa+hc+a?

=-÷-----+----+----+----+----+----

88vα+?h+cc+ah+cc+aa+hJ

、3I/CIb+ca+b??b+cc+aCIa+bc+〃)9

88(?a+hb+cVc+ab+c?c+aa+bJ8

4

當(dāng)且僅當(dāng)。+h=b+c=c+α,即。=8=c=ι時(shí)，等號(hào)成立.

6.(河南省洛平許濟(jì)聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題)已知

函數(shù)/(x)TX+l∣+2IXT∣?

(1)求不等式/(x)<8的解集；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(X)TX-II的最小值為m,且正實(shí)數(shù)m6,c滿足α+Hc=m,求證：

/b2c2C

—+——+—>2.

bca

【答案】⑴卜科

(2)證明見詳解

【分析】(1)分段討論去絕對(duì)值即可求解；(2)利用絕對(duì)值不等式可求得帆=2,再利用

基本不等式即可證明.

3x-l,x≥1

【詳解】(I)由題意可得：/(x)=∣x+l∣+2∣x-l∣=<3-x,-l<x<l,

—3x+1,?≤—1

當(dāng)x±l時(shí)，則/(x)=3x-lv8,解得2≤x<3;

當(dāng)一IVXVI時(shí)，則/(x)=3-x<8,解得一lvx<l;

7

當(dāng)x≤T時(shí)，貝∣J∕(x)=_3x+l<8,MW--<x≤-l;

綜上所述：不等式f(x)<8的解集為

(2)Vg(x)=/(x)-∣x-l∣=∣x+l∣+∣x-l∣>2,當(dāng)且僅當(dāng)x∈[T,l]時(shí)等號(hào)成立,

，函數(shù)g(x)的最小值為利=2,則α+6+c=2,

又?.F+[≥2Jbf=2a，當(dāng)且僅當(dāng)6=今，即α=b時(shí)等號(hào)成立；

c+-≥2jc×-=2b,當(dāng)且僅當(dāng)C=5，即。=C時(shí)等號(hào)成立；

C?cC

a+-≥2A^-=2c當(dāng)且僅當(dāng)a=C,即。=C時(shí)等號(hào)成立；

上式相加可得:QH------≥2a+2h+2c,當(dāng)且僅當(dāng)α=Z?=C時(shí)等號(hào)成立,

"+Si=.

hca

7.(河南省部分名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測理科數(shù)學(xué)試題)已知函

數(shù)〃力=卜-1卜2卜+4

(1)當(dāng)“=不時(shí)，求不等式〃x)，，。的解集；

⑵當(dāng)α..-l時(shí)，若函數(shù)g(x)=∕x+〃的圖象恒在f(x)圖象的上方，證明：2b-3a>2.

【答案】⑴{H%,-2或x..0}

(2)證明見解析

【分析】(1)分類討論X的范圍得到了(x)的解析式，然后列不等式求解即可；

(2)根據(jù)的單調(diào)性得到/(x)nm=l+”,然后根據(jù)函數(shù)g(x)=gx+。的圖象恒在〃x)圖

象的上方得至“8(-4)=—：。+匕>1+4,即可證明2b-3a>2.

C1

x+2,%?—

2

【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，f(x)=∣x-1|-2x+；=<-3x,-g≤x≤l,

—X—2,X>1

所以當(dāng)X<-；時(shí)，x+2<0,解得XM—2；

當(dāng)」Vx≤l時(shí)，-3x≤O,解得O≤x≤l;

2

當(dāng)x>l時(shí)，-x-2≤0,解得%>1.

綜上，不等式”x)≤0的解集為{Nx≤-2或x≥O}.

x+2a+↑,x<-a

(2)證明：當(dāng)α≥T時(shí)，/(x)=∣x-l∣-2∣jc+α∣=--3x-2a+?,-a<x<l,

一X—2。-1,X≥1

所以當(dāng)X=-“時(shí)，”x)取得最大值，且/(x)a=l+”.

要使函數(shù)g(x)=gx+。的圖象恒在“X)圖象的上方，由數(shù)形結(jié)合可知，必須滿足

g^-a)=-^a+b>?+a,即2b-3α>2,原不等式得證.

8.(河南省洛陽市第八高級(jí)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

f(x)=↑x-a?+?x+4?.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/(x)≥8的解集；

(2)若/(x)>2α+l恒成立，求α的取值范圍.

【答案】(1){Rx≤-5或x≥3}

(2)(-∞,3)

【分析】(1)把a(bǔ)=2代入，將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，然后分別列出不等式求解即可得

到結(jié)果；

(2)利用絕對(duì)值三角不等式可得/(x)N∣α+4∣,再由∕*)>2α+1轉(zhuǎn)化為∣α+4∣>2α+l,解出

即可.

—2.x—2,X<—4

【詳解】(1)當(dāng)α=2時(shí),/(x)=∣x-2∣+∣x+4∣≈-6,-4≤x≤2

2x+2,x>2

XC-4Jγ≤x≤2x>2

??.f(x)≥8等價(jià)于-2x-2≥8或∣628或

2x÷2≥8

解得％≤-5或x33,

不等式/(x)≥8的解集為{Rx≤-5或x≥3};

(2)由絕對(duì)值三角不等式可得/(x)=∣x-?∣+∣x+4∣≥∣ɑ+4∣,

，若/(x)>2α+l恒成立，則/(x)min>2α+l,即∣α+4∣>2a+l,

.，.〃+4>2a+l?ka+4<-Iu—1,解得α<3,

???。的取值范圍為(^0,3).

9.(青海省西寧市大通回族土族自治縣2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)(文)

試題)己知函數(shù)/(x)=∣2x+o∣+∣2x-2"(">0,b>0).

(1)若α=2,b=2,求不等式/(x)>8的解集；

(2)若/O)的最小值為1,求一二+L的最小值.

2a+b3b

【答案】(1)[8,—IMl,+00)

(2)2

【分析】(1)采用分類討論，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式，可得答案；

(2)利用絕對(duì)值三角不等式可得α+2?=l,將丁二+1變形，結(jié)合基本不等式即可求得

其最小值.

【詳解】(1)依題意，當(dāng)〃=2,。=2時(shí)，Wf(?)=|2x+21+12x—41,

則/(x)>8,gp∣2x+2∣÷∣2x-4∣>8,所以∣x+l|+|九一2>4,

33

當(dāng)x≤-l時(shí)，一。+1)—。-2)〉4,解得工<一?所以

22

當(dāng)-I<xv2時(shí)，x+l-(x-2)>4,無解;

當(dāng)x≥2時(shí)，x+l+x-2>4,解得x>∣?,即尤>g,

故不等式/(X)>8的解集為卜8,-1)(|,+8∣.

(2)依題意,/(x)=∣2x+α∣+∣2x-2Z>?(2x÷a)-(2x-2fe)∣=α÷2?=l,

當(dāng)且僅當(dāng)2x+a)(2x-2b)≤O時(shí)取等號(hào),

,—+?j[(267+?)+3?]

所以

2a+h3b2{2a+h3b

1U3b2α+?A1f_.Γ~3b2a+b、=；(2+2)=2,

2{2a+b3b)2(?2a+b3b)

當(dāng)且僅當(dāng)搐=誓,即"I'時(shí)等號(hào)成立,

1

所以+2的最小值為2.

2a+h

10.(2023屆甘肅省高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷(四))己知函數(shù)/(x)=∣2x-d+∣2x+3∣,

g(χ)=k-1∣+2?

(1)解不等式Ig(X)I<5.

(2)若對(duì)任意占eR,都有々6R，使得/(xj=g(w)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(-2,4)(2)或4≤-5.

【分析】(1)利用IlX-II+2∣<5,轉(zhuǎn)化為-7<∣x-1∣V3,然后求解不等式即可.

(2)利用條件說明{y∣y=∕(x)}=3y=g(x)},通過函數(shù)的最值，列出不等式求解即可.

【詳解】(1)由卜-1∣+2∣<5,得—5<|x—l∣+2v5,

?*1-7<Jx-1|<3,

得不等式的解為-2<x<4.

故解集為：(-2,4)

(2)因?yàn)槿我庥馿R,都有XzeR,使得∕Q)=gG)成立，

所以{y∣y=F(X)}g{y∣y=g(χ)},

X/(%)=12x-α∣+∣2x+3∣>∣(2x-?)-(2x+3)|=∣α+3∣,

g(x)=∣x-l∣+2≥2,所以∣α+3∣≥2,

解得4≥T或α≤-5,

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為α≥T或α≤-5.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的恒成立，絕對(duì)值不等式的解法，考查分析問題解決問題的能力以及

轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

11.(甘肅省蘭州市第五十七中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)(文科)試題)已知函

數(shù)F(X)=I2x+l∣,g(x)=∣x∣+α

(1)當(dāng)a=0時(shí)，解不等式F(X)≥g(x);

(2)若存在xeR,使得/(x)4g(x)成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

【答案】⑴(-8,-l]U-；，+00)；(2)-J，+”).

【分析】(I)用平方法去絕對(duì)值將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，即可求解.

(2)將.f(x)4g(x)轉(zhuǎn)化為“≥∣2x+l∣Tx∣,∕z(x)=∣2x+lI-IX|,即證"≥∕∕(x)mil,即可.將

函數(shù)∕Z(X)N2Λ+1∣-∣X∣轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)各段的單調(diào)性即可求得MX)的最小值.

【詳解】(1)當(dāng)α=0時(shí)，由/(x)≥g(x)得∣2x+l∣≥W,

兩邊平方整理得3f+4x+l≥0,解得x≤T或x≥-g

???原不等式的解集為，-1]。-p+∞

1

-x-?1,x<——

2

(2)由f(x)Vg(x)得α≥∣2x+l∣-∣x∣,令∕z(x)=∣2x+lI-IX|,即Λ(x)=V3x+1,—<x<0

2

x+l,x>0

當(dāng)XebOO,-g時(shí)，MX)=-X-I單調(diào)遞減，MX)

當(dāng)Xe-；,0)時(shí)，MX)=3x+l單調(diào)遞增，MX)2/(-；)=-；

當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),∕ι(x)=x+l單調(diào)遞增,Λ(x)≥A(O)=I

故∕7(x)min=八(一;)=-g，

故可得到所求實(shí)數(shù)。的范圍為-g,+s)?

12.(安徽省江淮名校2022屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(X)=∣2X-∕M2∣+∣2X+1-2∕M∣.

(1)當(dāng)機(jī)=3時(shí)，求不等式/(x)??10的解集；

(2)若/(x)?.4恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴{H蒼,1或χ??6}

⑵(一8,T]U[3,+8)

【分析】(1)當(dāng)〃2=3時(shí)，寫出函數(shù)的解析式/(X),再分類討論分別求出不等式的解集，

即可得解；

(2)依題意可得〃X)min??4,利用絕對(duì)值的三角不等式求出/(X)InM，即可得到關(guān)于〃，的一

元二次不等式，解得即可；

14—4x,x一

t92

59

【詳解】(1)解：當(dāng)，〃=3時(shí)，/(x)=∣2x-9∣+∣2x-5∣=-4zl,-<x<,

22τ

4x—14,X...—

2

當(dāng)x≤∣時(shí)，令14-4x≥10,解得x≤l.

當(dāng)IVXV2時(shí)，不等式/(x"10無解?

9

當(dāng)x≥—時(shí)，^4x-14>10,解得x≥6.

2

因此，不等式/(x)≥10的解集為{x∣x≤l或xN6}.

(2)解：因?yàn)?(x)?.4恒成立，所以/(x)m“-4.

因?yàn)閒(x)=∣2x-”,∣+∣2x+l-2∕H∣..^2Λ,-∕n2)-(2x+l—2m)∣=∣∕M2-2∕M+1∣=(∕∕Z-I)2

當(dāng)且僅當(dāng)2m-l≤x≤*時(shí)取等號(hào),

所以(Ml-I)2..4,解得加.3或犯，-1.

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一雙-IM3,+8).

13.(河南省商開大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期考試文科數(shù)學(xué)試題)設(shè)函數(shù)

/(x)=∣X-Λ∣+∣X+t7+l∣.

⑴當(dāng)α=0時(shí)，求不等式/(x)<2∣X+l的解集；

(2)若關(guān)于X的不等式“χ)<2有解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴(y,0)

【分析】(1)分x<T,-1≤Λ<O,x≥0三種情況求絕對(duì)值不等式的解集；

(2)利用絕對(duì)值的三角不等式求出了(x%ιι,求解/(x)<2有解，即"x)min<2,解不等式

即可求出答案.

【詳解】(1)當(dāng)α=0時(shí)，不等式/(x)=W+∣x+k2W+l,即|x+l|—W<1?

當(dāng)工<—1時(shí)，—X—1+x<1,可得X<—1：

當(dāng)一l≤xvθ時(shí)，x+l+x<l,可得一l<xvθ;

當(dāng)XNO時(shí)，x+l-x<l,無解.

綜上，當(dāng)α=0時(shí)，不等式/(x)<2∣x∣+l的解集為(y,0).

(2)H?∕(x)=∣x-α∣+∣x+fl+l∣≥∣(x-a)-(?+a+l)∣=∣2a+l∣,??∣χ?(Λ-α)(x+α+l)≤O

時(shí)等號(hào)成立.若關(guān)于X的不等式〃6<2有解，則"A‰<2,即∣2α+[<2,所以實(shí)數(shù)”的

取值范圍是1.

14.(山西省太原市第五中學(xué)2022屆高三下學(xué)期二模文科數(shù)學(xué)試題)(1)解不等式

∣x-2∣÷∣x-1∣..7；

(2)若正實(shí)數(shù)滿足α+b=l,求上+互的最小值.

?÷1a÷l

【答案】⑴(-∞,-2]u[5,+w);(2)?

【分析】(1)分x≤l,l<x<2,x22解對(duì)應(yīng)不等式，再取并集即可；

2∕2ι/2入2、

(2)由￡+—-=-(α+l+?+l)?-+--結(jié)合基本不等式即可求解.

b+1a+?33+1a+?J

【詳解】(1)當(dāng)x≤l時(shí)，2—工+1—^^7,解得工4—2,則太《—2；當(dāng)l<x<2時(shí)，2-x+x-l=1,

顯然無解；

當(dāng)x≥2時(shí)，x-2+x-l≥7,解得x25,則xN5；綜上：%<-2?Kx≥5；

(a1b2}(6t+l)??2(?+l)

(2)÷—-=-(a+i+b+l)----+------=-a1+h2+

?+la+↑3v71〃+1)3∕?+1α+1

怦空.今目=犯+〃+2叫=施+力三,

a+b=?

當(dāng)且僅當(dāng)/(α+l)b2(b+?}<即。=匕=I時(shí)等號(hào)成立，故金+￡的最小值為:

---------^?=-------2b+↑a+?3

、/?+1〃+1

15.(山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣x+2∣-w,∕n∈R,且/(x)<0的解集為[-3,-1].

⑴求/n的值；

(2)設(shè)4,b,C為正數(shù)，且α+Zj+c=∕n,求J3α+1+J36+1+J3c+1的最大值.

【答案】(1),"=1

(2)3√2

【分析】(D由幾何意義解絕對(duì)值不等式

(2)由柯西不等式求解

(1)

由/(x)≤0,得k+2∣≤"?,

f∕n≥O

所以[-m-2<x≤m-2、

又/(x)≤O的解集為[―3,-1],

f—ιτι—2=—3

所以C,，解得，"=1

[〃[一2=-1

(2)

由(1)知a+λ>+c=1,

由柯西不等式得

(?a+1+Λ∕3Z>÷I+>j3c+1j^≤((?/?tz+1)^+('J3b+1)+(J3c+1)J?(l~+r+l-)

所以(J3α+1+√3?+l+√3c+l)2≤3(3(α+6+c)+3)=18，

所以√3α+l+√3fe+l+√3c+l≤3近，

當(dāng)且僅當(dāng)J3α+1=138+1=J3c+1,即a=6=c=g時(shí)等號(hào)成立，

所以J3α+l+j3"l+j3c+l的最大值為3√∑

16.(山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)=∣2x-d-a∣x-2∣

⑴當(dāng)。=一1時(shí)，求不等式/(x)v8的解集；

⑵當(dāng)x∈[l,2]時(shí)，/(χ)≥0,求。的取值范圍.

【答案】(I)(T3)

⑵(-8，1]

【分析】⑴分別在χ≤jq<χ<2和x≥2的情況下，去掉絕對(duì)值符號(hào)后，解不等式

即可；

(2)將不等式化為∣2x-α∣≥α(2τ);分別在2x-α≥0和2x-a<()時(shí)，根據(jù)恒成立的思想

可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

(1)

當(dāng)〃=_］時(shí)，?(?)—∣2x÷1∣÷∣x-2∣；

I77

當(dāng)x≤—時(shí)，f(x)——2x—1+2-X——3x+1<8,解得：x≥—，.0.—<x≤—；

2`,332

當(dāng)-5<x<2時(shí)，/(x)=2x+l+2-x=x+3V8,解得：x<5f.?--<x<2;

當(dāng)JT≥2時(shí)，/(x)=2x+l÷x-2=3x-l<8,解得：x<3,.,.2≤x<3;

綜上所述：不等式"x)<8的解集為卜：3).

(2)

當(dāng)x∈[l,2]時(shí)，f^x)=?lx-c^-a(2-x)=?lx-c^-2a-?-ax≥0,即?lx-c^≥a[2-x)；

①當(dāng)2x-a≥0時(shí)，2x-a≥a(2-x),即(α+2)x—3α≥。恒成立；

2-?！?

.JQ+2-3α≥O,解得：α≤l;

一。+4≥0

②當(dāng)2x—α<0時(shí)，a-2x≥a[2-x),即(α-2)x—α≥O恒成立；

α>4

.?.<4-2-α≥0,不等式組解集為0；

2(a-2)-a≥0

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為(F,1].

17.(內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)已知

/(x)=∣x-∏7∣x+∣x-4∣(x-∕n)

(1)當(dāng)帆=2時(shí)，求不等式"x)≥0的解集；

⑵若xc(fo,2)時(shí)，/(Λ)<0,求m的取值范圍.

【答案】⑴[2,÷W)

⑵[2,同

【分析】(1)根據(jù)加=2,將原不等式化為∣x-2∣x+∣x-4∣(x-2)≥0,分別討論x<2,

2≤x<4,x≥4三種情況，即可求出結(jié)果；

(2)分別討論m≥2和〃?<2兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】⑴解:當(dāng)m=2時(shí),/(x)=∣x-2∣x+∣x-4∣(x-2),

原不等式可化為∣x-2∣x+∣x-41(X-2)≥0;

當(dāng)x<2時(shí)，原不等式可化為(2—x)x+(4—x)(x-2)20,即2(x-2)2≤0,解得x=2,此時(shí)解

集為0;

當(dāng)2≤x<4時(shí)，原不等式可化為(x-2)x+(4τ)(x-2)≥0,解得χ≥2,此時(shí)解集為［2,4)；

當(dāng)X“時(shí)，原不等式可化為(x-2)x+(x-4)(x-2)≥0,即2(X-2)2≥O,顯然成立；此時(shí)解集

為［4,+∞)；

綜上，原不等式的解集為［2,+8);

(2)解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閄∈(-8,2),所以由/(X)<0可得X)X+(4-X)(XT")<0,

即2(x-%)(x-2)>0,顯然恒成立，所以,w≥2滿足題意;

4(x-ιh),m≤x<2

當(dāng)機(jī)<2時(shí)，/(x)=

2(x-/7/)(2-x?x<m

因?yàn)椤▃≤x<2時(shí)，/(X)<O顯然不能成立，所以m<2不滿足題意;

綜上，〃?的取值范圍是［2,”).

18.(內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)文科試題)已知函數(shù)

f(x)=?x+a?+?x-2?,其中。為實(shí)常數(shù).

(I)若函數(shù)J。)的最小值為3,求。的值；

(2)若當(dāng)x∈［l,2］時(shí)，不等式/(x)≤∣x-4∣恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)。的值為1或5(2)”的取值范圍是［-3,0］.

【詳解】試題分析：⑴因?yàn)?(x)=∣x+α∣+∣x-2∣≥∣(x+α)-(x-2)Ho+2∣,則/(x)mhl=∣α+2∣;

令∣4+2∣=3,即可求得。的值；(2)當(dāng)xe［l,2］時(shí)，由/(x)4∣x-4∣,得∣x+α∣≤2,即

~~2一a≤X≤2-ci.

據(jù)題意，口,2]=[-2-α,2-0,解不等式組得。的取值范圍是[-3,0].

試題解析:(1)因?yàn)閒(x)=k+4+∣x-2∣≥∣(x+α)-(x-2)Hα+2∣,

當(dāng)且僅當(dāng)(x+α)(x-2)≤0時(shí)取等號(hào)，則/(x)m=∣α+2∣.

令∣α+2∣=3,則α=l或α=-5*

(2)當(dāng)x∈[l,2]時(shí)，f(x)=?x+a?+2-x,∣x-4∣=4-x.

由F(X)≤∣x-4∣,得∣x+a∣+2-X≤4-x,g∣J∣x+a∣≤2,即一2-α≤x≤2-α.

2-α≥2

據(jù)題意,U'-α,2T則｛_2一一，即一3≤α<°?

所以。的取值范圍是［-3,0］.

考點(diǎn)：1、絕對(duì)值不等式；2、最值問題.

19.(內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量普查調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)已知

論0,函數(shù)/(x)=2IX-IIT2x+川的最大值為4,

(1)求實(shí)數(shù)，〃的值；

(2)若實(shí)數(shù)”,/2,C滿足α-2h+c=m,求/+k+c?的最小值

*【答案】(l)m=2

【分析】(1)利用絕對(duì)值三角不等式，可得/(x)mκ=m+2,結(jié)合函數(shù).f(x)的最大值為4,

即可求實(shí)數(shù)成的值；

(2)根據(jù)柯西不等式得：(/+〃+/)[12+(-2)2+1[40一26+蛾，即可求/+從+°2的

最小值.

【詳解】(1)/(%)=2∣x-l∣-∣2x+∕n∣=∣2x-2∣-∣2x÷An∣≤∣(2x-2)-(2x+∕n)∣=∣m+2∣

V∕n>O,/./(x)≤∣m+2∣=m+2,當(dāng)(2x-2)(2x+∕%)≥0時(shí)取等號(hào)，

?/(x)maχ=rn+2,又/(x)的最大值為4,'m+2=4,即m=2.

(2)根據(jù)柯西不等式得：(〃+〃+c2)[[2+(_2)2+i[“a-26+c)2,

?2

,.βa-2b+c=m=2，.*.CΓ÷/?2+c2≥-

3

當(dāng)且僅當(dāng)卜《苛,即"4b=gc1時(shí)等號(hào)成立.

/+從+。2的最小值為^.

20.(寧夏石嘴山市第三中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期未考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)/(x)

=2pc+l∣+∣χ-3∣.

(1)求不等式f(x)>10的解集：

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+∣x-3]的最小值為M,正數(shù)a,h,C滿足α+b+c=Λf,證明

cab

【答案】(1)(-°o,-3)u(?^?,+oo

(2)證明見解析

【分析】(1)分段討論去絕對(duì)值即可求解；

(2)利用絕對(duì)值不等式可求得M=8,再利用基本不等式即可證明.

【詳解】(1)當(dāng)x≤-1時(shí)，由/(x)=-3x+1>10,解得χ<-3,此時(shí)X<-3；

當(dāng)一ICX<3時(shí)，由/(x)=x+5>10,解得x>5,此時(shí)xw0；

當(dāng)x23時(shí)，由/(x)=3x-l>10,解得x>，，此時(shí)x>g?.

綜上所述，不等式/(x)>10的解集為

(2)證明：因?yàn)間(x)="x)+∣x-3∣=∣2x+2∣+∣2x-6∣≥∣(2x+2)-(2x-6)∣=8,

所以M=8,所以α+O+c=8.

Q

當(dāng)且僅當(dāng)a=。=。=]時(shí)，等號(hào)成立，

所以—+c^+f-+α+^-+?^≥2(α+?+c)=16,

故《+工+U》8.

cab

21.(河南省名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期2月大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷)已知函數(shù)

/(x)=∣x+l∣.

⑴求不等式〃x)≥5-∣x-2∣的解集；

1O

(2)記y=∕(x)+∣x-l∣的最小值為〃?，若α>0,b>0,2a+b-m=Q,證明：一+丁29.

ab

【答案】(I)(T2][3,w);

(2)證明見解析.

【分析】⑴分類討論去絕對(duì)值符號(hào)解不等式即可；

(2)根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出m則由24+6=加得，+J=pL+J)(2α+b)?,,然后利用基本

ab?abJm

不等式即可求其最小值.

【詳解】(1)/(x)25-∣x-2∣即為k+l∣+k-2∣≥5,

-2,x÷1,X<-1,

記g(x)=∣x+l∣+∣x-2∣=,3,-1≤x≤2,

2x-l,x>2,

???不等式∣%+l∣+∣x-2∣25的解轉(zhuǎn)化為:

—2x÷1≥5,x<-2,