2022-2023學年山東省新泰市高一下學期期中考試數學試題【含答案】

2022-2023學年山東省新泰市高一下學期期中考試數學試題

一、單選題

1.在“8C中，BC=15,AC=10,A=30°,貝IJCOS8=()

?√6r√6r2√2n2√2

3333

【答案】D

【分析】利用正弦定理求出SinB,再利用平方關系即可得解.

【詳解】解：在A∕8C中，BC=15AC=?0,/=30°,

中斗，BCAC

因為而

sinB

io4_i

所以?AAC-sinA

sinD=------

BC15^3

因為ZC<3C,所以8<工=30。,

所以cosB=JI-Sin°8=?五.

3

故選：D.

2.下列復數是z=-i的共枕復數的是()

3

A.zB.izC.z+iD.z-i

【答案】A

【分析】分別計算出四個選項，從而判斷出z=-i的共輒復數.

【詳解】因為z'=(-i)'=i,iz=l,z+i=0,z-i=-2i>

所以i是Z的共加復數.

故選：A

3.已知兩個單位向量［，［的夾角為45。，且滿足則實數4的值是

A.1B.√2C.?D.2

3

【答案】B

【詳解】試題分析：因為單位向量最瑟的夾角為45.，所以.W=lxlχt=q,又因為

—.—.—._?,.,__,2J?f—

e∣_1_(2,—eJ,所以e∣■(2e2—e∣)=2e∣?C?—e∣---—^―Λ—1=0,Λ=Λ∕2?故選B.

【解析】1、向量垂直的性質；2、平面向量數量積公式.

4.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4,點E為AB中點，若加J_AC，貝IJl尻I=()

D_________C

AEa

A.IB.2√3C.3D.2√2

【答案】B

【詳解】如圖建立平面直角坐標系，?∣AD∣=a,

則A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),

所以D區(qū)=(2,-a),AC=(4,a),

因為詼_LR,所以5S?Xζ=0,

2

所以8-a=0解得a=2Λ∕Σ，

所以∣X5∣=2√∑,所以比∣=J22+(2√Σy=2√J.選B.

5.已知將函數/(x)=sin(2x+e)(θw?)的圖象向左平移夕個單位長度后.得到函數g(x)的圖象.若

g(x)是偶函數廁/(?)=

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】A

【解析】先由題意寫出g(x)=sin(2x+3夕)，根據g(x)是偶函數求出。，即可得出結果.

【詳解】由題意可得：g(x)=sin(2x+3p),

因為g(x)是偶函數，所以3夕=1+版■(丘Z),即9=[+”(％∈Z),

263

又0<φ<三,所以0<f+竺<：,解得-]<%<1,所以左=0,故0=g;

263226

所以/圖=sin(2x>H?

故選A

【點睛】本題主要考查三角函數的圖像變換與三角函數的性質，熟記性質即可，屬于?？碱}型.

6.已知函數/(x)=COS(2x-g)-2Sin(X+:卜OS(X+^)xeR),現(xiàn)給出下列四個結論，其中正確

的是（）

A.函數/（x）的最小正周期為2;T

B.函數/（x）的最大值為2

τrτr

C.函數/（X）在-2二上單調遞增

_66_

D.將函數/（x）的圖象向右平移專個單位長度；所得圖象對應的解析式為g（x）=sin2x

【答案】C

【分析】首先利用三角恒等變換化簡函數，再根據函數的性質依次判斷選項

【詳解】對于A和B,

/（x）=COS（2x-?）-2sin（x+今）cos（x+習

（~乃）.上）1??/?--）也?、1、.（~π

V3JI2J2222\6

所以/（X）的最小正周期為年=萬，/（X）的最大值為1，故A錯誤，B錯誤，

一.、,，乃乃IlC冗兀冗

對于C,當x∈時，2x--e,

66J6L26

因為V=Sinx在∣^-g,m］上單調遞增，所以函數/（X）在廣上單調遞增，故C正確；

_2oJ|_66_

對于D,將函數/（x）的圖像向右平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為

故D不正確,

故選：C

7.為了測量河對岸兩點C。間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點48處分別測得/aIC=IO5。，

NBAD=60o,NABC=45o,NABD=60°則C,。間的距離為（）

A.√2B.2C.4√2D.4

【答案】B

【分析】在^ABC和AABD中應用正弦定理求得BC與BD,然后在ABCD中應用余弦定理求得CQ.

RrADBC2

【詳解】在ΛΛBC中’SinNC=sinZJC5'即SinlO5。=Sin（180°-105°-45°）'

SC=4sinl05o=4sin75o,

和4∕8D中，ZDAB=ZDBA=60°,4/8Z）是等邊三角形，BD=AB=2,

在ABCD中，ZDBC=I5°,

所以

CD2=BC2+BD1-2BC-BDcosZBDC

=16sin2750+4-2×4sin750×4×cosl50=16sin2750+4-2×4sin750×2×sin750=4,

CD=I.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查解三角形的應用，解題關鍵是根據條件確定正弦定理或者余弦定理

計算，及計算的順序.本題如果在A/C。中應用余弦定理求CO可能更方便一些.

8.已知Δ∕18C外接圓半徑為1,圓心為O,若2萬+1豆+就=0，則A48C面積的最大值為（）

r-

A.2B.-3C.√2D.1

【答案】D

【解析】根據向量的線性運算,可判斷出忸。為圓的直徑.結合勾股定理及不等式即可求得面積的最大

值.

【詳解】根據向量的減法運算,化簡2次+方+就=e可得

2萬+礪一次+反一宓=0,則0耳+反=0

即。為忸q的中點.

又因為O為MBC外接圓圓心,該外接圓的半徑為1.所以?BC?=2

由圓的性質可知，ZSAC=90°

設AS=α,∕C=6

則ɑ?+"=4

由不等式性質可知4=/+〃≥2αb,

則M≤2,當且僅當°=b=近時取等號

所以=?2=1

即ZUBC面積的最大值為1

故選:D

【點睛】本題考查了向量的線性運算,不等式性質的應用,屬于基礎題.

二、多選題

9.設向量￡=(1,-1)]=(2,0),則()

A.∣α-?∣=∣ɑ∣B.(α-?)∕∕α

C.(a-b)LaD.Z在往上的投影向量為(1,0)

【答案】ACD

【分析】根據平面向量的運算法則，向量與向量垂直、平行的坐標表示，平面向量數量積的兒何意

義判斷.

【詳解】α-?=(-l,-l).∣α-δ∣=λ∕2,∣α∣=√2,A對.

(a-?)?α=(-l,-l)?(l,-1)=-1+1=0,所以B錯，C對.

向量a=。,-1)在向量6=(2,0)上的投影為：MXC°s<9>=忖X麗=下「=1,投影向量為

胃Xg=IX^?=α°).所以D對.

故答案為：ACD.

10.若四棱柱/8CD-44G。的底面和側面都是矩形，則四棱柱/8CO-44GA一定是()

A.平行六面體B.長方體C.正四棱柱D.正方體

【答案】AB

【分析】根據已知四棱柱的性質，即可得出答案.

【詳解】根據四棱柱的側面都是矩形，可知該四棱柱為直四棱柱，

然后根據四棱柱的底面是矩形，可知該四棱柱為長方體.

故選：AB.

11.在A∕8C中，AB=BAC=I,B=g則角A的可能取值為()

O

【答案】AD

【分析】由余弦定理得NC2=5C2+8∕-2BC?A4?COS5,解得BC=I或8C=2,分別討論即可.

【詳解】由余弦定理，^AC2=BC2+BA2-2BC-BAcosS-

BPl=5C2+3-2SC×^^×?,解得BC=I或8C=2.

π

當BC=I時，此時C為等腰三角形，BC=AC,所以4=8=z；

6

TT

當5C=2時，AB2+AC2=BC2,此時。8C為直角三角形，所以/=彳.

2

故選：AD

【點睛】本題考查余弦定理解三角形，考查學生分類討論思想，數學運算能力，是一道容易題.

12.下列四個選項中哪些是正確的()

A.若COS(80。+々)=；,貝IJSin(10。-&)=；

B.√1-2sin20°cos20o=sin20o-cos20o

C.在任意斜三角形中tanAtanBtanC=tan+tanS+tanC

D.在三角形中4=6COSC+ccos8

【答案】ACD

【分析】根據誘導公式可判斷A,由同角三角函數的基本關系及誘導公式，余弦函數的單調性判斷

B,由兩角和的正切公式變形即可判斷C,由余弦定理可化簡判斷D.

【詳解】對于A,CoS(80。+α)=cos190。-(IOc■-α)]=Si?10。一@W,A正確；

對于B,√l-2sin20ocos202=J(Sin200-cos20o)=]sin20o-cos20∣,

vsin200=cos70c<cos20°，.?.√l-2sin20ocos200=COS20'-Sin200，B錯誤；

對于C,在任意斜三角形中，tanJ=-tan(S+C)=-tang+tan^,

整理得tanτ4(l-tanβtanC)=-(ta∏β+tanC),

即tanAtan5tanC=tan4+tan8+tanC,C正確；

對,于D,在三角形中，bcosC+ccosB=b?a——?C\"——=^-→=a,D正確.

2ab2ac2a

故選：ACD.

三、填空題

13.已知向量值=(Sina,2)與向量5=(COSa,1)互相平行，則tan2α的值為

【答案】.4

【分析】根據向量平行可得Sina-2cosa=0,可得tanα=2,利用正切的二倍角公式即可求解.

【詳解】因為向量M=(Sina,2)與向量5=(COSa,1)互相平行

所以Sina-2cosa=O,

解得tana=2，

2tana_44

所以tan2a=

ITan2a1-43

4

故填一§.

【點睛】本題主要考查了向量平行的充要條件，向量的坐標運算，正切的二倍角公式，屬于中檔題.

14.如圖，已知C水平放置的直觀圖(斜二測畫法)為"'B'C',其中OW=OB=OC'=1,則

該三角形的面積為

【答案】2

【分析】根據斜二測畫法確定原圖形，再求其面積.

【詳解】由斜二測畫法可得原圖形為：

,,

其中8C=6'C'=2,AO=2AO=2fAOlBC,

所以A∕8C的面積S=Jχ8Cχ∕O=2.

2

故答案為：2.

15.如圖，在“8C中，點。在邊ZC上，3CD=2AD,2?43D是等邊三角形，且面積為石，則

BC=

B

4

【分析】求出50=2,CD=-,再利用余弦定理求解.

【詳解】解：因為△48。是等邊三角形，且面積為6,所以LNLPXYI=TL解得/。=2,所以

22

4

BD=I,因為3CQ=24O,所以。。=一，

3

r

IT)π

由題得NBDC=%——=—,

33

在4BCD中，由余弦定理得BC2=CD1+BD--2CD×BDxcos-,

3

即BC?=1+4-2χ！χ2χj-11,解得BC=Wq.

93?2J3

故答案為：瀏?

3

16.在28C中，4B=AC,點、P為線段AC上的動點，忸。=4,則βp.βc的取值范圍是.

【答案】[8,16]

【分析】設/P8c=e,利用數量積的定義可得而.而與。的關系，從而可求其取值范圍.

【詳解】如圖，過P作PEj.8C,垂足為E,取BC的中點為尸，連接/F,設4PBC=。,

則而林=4網COs

因為點尸為線段AC上的動點且MBI=?AC?,

故網CoSO=WEI且2=g忸牛忸司44,

故8≤而次≤16，

故答案為：[8,16].

四、解答題

17.已知，B為兩個非零向量，且同=2,W=1,(G+B)1B.

(1)求1與B的夾角；

(2)求物-2可.

【答案】⑴與；

(2)2√13.

【分析】(1)根據向量垂直的數量積表示，平面向量數量積的運算法及向量夾角的公式即得;

(2)根據平面向量的運算法則結合條件即得.

【詳解】(DV∣a∣=2,∣?∣=l,(a+?)1?,

(1+5)石=0,即萬石+鏟=2xlXCOS(Z區(qū))+1=O>

cosG，B)=-；,又句，

.?.gW=耳，即1與B的夾角條

3?

(2)V∣35-2fc∣2=9α2-12α?+4?2=9×^-12×(-l)44=2,

.?.∣3α-2?∣=2√I3.

18.已知Z為復數，z+2i和均為實數，其中i是虛數單位.

2-1

(1)求復數Z和|z|；

(2)若復數Zl=彳-2加+(加2-2加-5)i在第四象限，求W的取值范圍.

【答案】（1）z=4-2i,則∣z∣=2遙；（2）-?<m<2

【分析】（1）設z=α+biQ6eA）,依據題設建立方程求出α=4,b=-2nz=4-2i,再求其模；（2）

4—2m>O

先求出z∣=4-2m+（∕-4）i,再根據題意建立不等式組/-4<。求解即可:

【詳解】(1)設z=α+歷(α,9∈H),則z+2i=α+(b+2)i,

由z+2i為實數，得b+2=0,貝IJb=-2,

,Za-2i(tz-2i)(2+i)2α+2a-4....na-4C,

由n=。=H萬萬=Mrl為sl頭數‘Z得了=°,貝rl此=4,

Λz=4-2i,貝IJlZI=26；

(2)由Zl=i"-2m+(m)-2??—5)i=4—2機+("--2m-3)i在第四象限,

4—2w>0

得/-2，〃-3<。,解得―，

故機的取值范圍為T<根<2.

19.在&44C中，角4,B,。所對的邊分別為eb,c,且a:6:c=2:3:4.

⑴求CoSC；

⑵求Sinl2。+高.

【答案】（1）-；

力3√5+7

--------

16

【分析】（1）由題意不妨假設α=2∕=3,c=4,由余弦定理即可求得答案;

(2)由⑴可得COSC的值，繼而求得SinC，利用二倍角公式以及和角公式，求得答案.

【詳解】（1）由題意。：6:。=2:3:4,不妨設α=2,b=3,c=4,

貝IJCoSC=且也±27￡

Iah2×2×34

(2)由(1)可知CoSC=-!,C∈(0,π),故SinC=巫

44

17

所以Sin2C=2sinCcosC=2×?=-------,cos2C=2cos27C-1=2(—)92-1=—,

44848

故Sinl2C+—TtTt√15√37?3√5+7

=sin2Ccos—+cos2Csin—=-------------X----------------×—=---------------------

I666828216

20.如圖，在平行四邊形/8CQ中，已知NB4D=60。，I布卜3,I而|=2,JE=-BC,CF=-CD.

23

F

D/C

(1)若EF=mAB十幾AD，求〃?，〃的值和向量麗的模長；

(2)求呼和式夾角的余弦值.

【答案】(1)"=一］,〃=?，|而|=6；(2)

32II38

【分析】(1)利用向量運算求得而，由此求得也〃，進而求得I而I

(2)利用向量夾角計算公式，計算得麗和就夾角的余弦值.

［詳解］⑴EF=AF-AE=AD+DF-（AB+BE）

—?1—（—>1—Λ2—?1—?

=AD+-AB-?AB+—AD=——AB+—AD,

3I2J32

21

所以加=一7，〃=二.

32

∣fF∣=-?+?=J（_|荏色可

22

=（?-?.JB+?=^4-∣-×3×2×cos60°+1=6.

（2）AC=AB+AD

2

ΛABAAB-AC+-AD-6-l×3×2×→2

=362=--------j=S----------J=

43-4AB^+2AB-^AD+'AD√3×j9+2×3×2×-+4

.19

二F「3二3炳.

√3×√I9√5738

【點睛】用基底表示向量后，求向量?；蛘邐A角就可以利用公式直接計算了.

21.已知函數/&)=28$。'<。5(?！?］卜€(wěn)凡0>0).的最小正周期為萬

(1)求。的值和/(x)單調遞增區(qū)間；

π

(2)當Xe0,-時，求函數/(χ)的值域.

【答案】⑴0=1,單調遞增區(qū)間為E+JkeZ)

⑵

2

【分析】(1)根據三角恒等變換化簡函數/(X)解析式，再根據正弦型三角函數的周期性與單調性得

答案即可；

(2)根據正弦型函數的性質求解值域即可.

【詳解】(1)???∕(x)=2COSGX'COSGx+走si∏3x]=co4ωx-h]~3sin69xcos69;

=?cos+—sin2ωx-U=siι?2ωx[J