（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講　數(shù)列的概念與簡單表示法》理（含解析） 蘇教版

A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1．已知數(shù)列，1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，eq\r(2n－1)，…，則3eq\r(5)是它的第________項．解析3eq\r(5)＝eq\r(45)＝eq\r(2×23－1).答案232．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正三角形(如圖所示)．則第七個三角形數(shù)是________．解析觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項與它的前一項多的點(diǎn)數(shù)正好是本身的序號，所以根據(jù)這個規(guī)律計算即可．根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案283．(2011·四川卷改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________.解析a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.答案3×444．(2011·四川綿陽二診)在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是________．解析根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f(29,2)n))＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋3＋eq\f(841,8)，∴n＝7時，an取得最大值，最大項a7的值為108.答案1085．在函數(shù)f(x)＝eq\r(x)中，令x＝1,2,3，…，得到一個數(shù)列，則這個數(shù)列的前5項是________．答案1,eq\r(2)，eq\r(3)，2,eq\r(5)6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________.解析由an＋1－an＝n＋1可得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…a3－a2＝3，a2－a1＝2，以上n－1個式子左右兩邊分別相加得，an－a1＝2＋3＋…＋n，∴an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(nn＋1,2)＋1.答案eq\f(nn＋1,2)＋17．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k的值為________．解析∵Sn＝n2－9n，∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8適合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.答案8二、解答題(每小題15分，共45分)8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值．解(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數(shù)列中有兩項是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.(2)∵an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4).又n∈N*，∴n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.9．(★)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和滿足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項公式．解由a1＝S1＝eq\f(1,6)(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1,6)(an＋1＋1)(an＋1＋2)－eq\f(1,6)(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故{an}的通項為an＝3n－1.【點(diǎn)評】解決已知數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系，求通項an的問題，步驟主要有：第一步：令n＝1，由Sn＝fan求出a1；第二步：令n≥2，構(gòu)造an＝Sn－Sn－1，用an代換Sn－Sn－1或用Sn－Sn－1代換an，這要結(jié)合題目的特點(diǎn)，由遞推關(guān)系求通項；第三步：驗(yàn)證當(dāng)n＝1時的結(jié)論是否適合當(dāng)n≥2時的結(jié)論.如果適合，則統(tǒng)一“合寫”；如果不適合，則應(yīng)分段表示；第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論.10．已知數(shù)列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．解(1)∵an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)，∵a＝－7，∴an＝1＋eq\f(1,2n－9).結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,2x－9)的單調(diào)性．可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.(2)an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)＝1＋eq\f(\f(1,2),n－\f(2－a,2)).∵對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的單調(diào)性，∴5＜eq\f(2－a,2)＜6，∴－10＜a＜－8.B級綜合創(chuàng)新備選(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．(2011·廣東惠州二模)已知整數(shù)按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……則第60個數(shù)對是________．解析按規(guī)律分組第一組(1,1)第二組(1,2)，(2,1)第三組(1,3)，(2,2)，(3,1)則前10組共有eq\f(10×11,2)＝55個有序?qū)崝?shù)對．第60項應(yīng)在第11組中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)…，(11,1)因此第60個數(shù)對為(5,7)．答案(5,7)2．在數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋2，若對所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，則k＞－(2n＋1)對所有的n∈N*都成立，而當(dāng)n＝1時，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.答案(－3，＋∞)3．(2011·合肥三檢)在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)(n≥2)，則a16＝________.解析由題可知a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)4．已知{an}的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________.解析由已知條件可得Sn＋1＝2n＋1.∴Sn＝2n＋1－1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1時不適合an，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2nn≥2.))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1,2nn≥2))5．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2009＝________；a2014＝________.解析依題意，得a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.∴應(yīng)填1,0.答案1,06．(2012·泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值為________．解析觀察數(shù)列中項的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項開始每一項都是其前兩項的和．答案21二、解答題(每小題15分，共30分)7．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.解由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝22，a5－a4＝23，…an－an－1＝2n－2(n≥2)，將以上各式左右兩端分別相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，所以an＝2n－1(n≥2)，又因?yàn)閍1＝1適合上式，故an＝2n－1(n≥1)．8．(2011·廣州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n＋1an,2)，且a1＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)令bn＝lnan，是否存在k(k≥2，且k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由．解(1)法一當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋1an,2)－eq\f(nan－1,2)，即eq\f(an,n)＝eq\f(an－1,n－1)(n≥2)．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項為eq\f(a1,1)＝1的常數(shù)數(shù)列，所以eq\f(an,n)＝1，即an＝n(n∈N*)．法二同上，得(n－1)an＝nan－1.同理，得nan＋1＝(n＋1)an，所以2nan＝n(an－1＋an＋1)，即2an＝an－1＋an＋1，所以{an}成等差數(shù)列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)．法三同上，得eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n－1)(n≥2)，所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n－1)·eq\f(n－1,n－2)·…·eq\f(3,2)·eq\f(2,1)·1＝n，當(dāng)n＝1時a1＝1，也滿足an＝n，所以an＝n(n∈N*)．(2)假設(shè)存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝beq\o\al(2,k＋1).因?yàn)閎n＝lnan＝lnn，所以bkbk＋2＝lnk·ln(k＋2)＜e