結構位移和剛度-軸向拉壓桿計算（建筑力學）

單元六校核結構位移和剛度單元教學目標知識

1.熟知拉(壓)桿件的變形及胡克定律的基本概念。

2.精熟梁的撓曲線方程計算方法技能

3.能夠正確掌握靜定結構在荷載作用下的位移計算方法；

4.能夠利用圖乘法計算結構位移。

素質

5.養(yǎng)成良好的職業(yè)品德和崗位素養(yǎng)6.養(yǎng)成嚴謹好學習慣。學習條件分析1.起點分析：具備桿件強度計算的基礎知識，能夠準確掌握結構位移和剛度計算的基本概念。2.學習重點：

能夠正確計算梁的變形和剛度；正確計算靜定結構在荷載作用下的位移；

能夠利用圖乘法計算結構位移。

3.難點分析：靜定結構在荷載作用下的位移計算、圖乘法原理的應用。主要內容拉(壓)桿件的變形及胡克定律梁的撓曲線方程靜定結構在荷載作用下的位移計算圖乘法靜定結構由于支座移動引起的位移計算本節(jié)主要內容變形與線應變胡克定律拉（壓）桿的變形計算任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律1.縱向變形

設桿的原長為l，變形后的長度為l1，則桿沿長度方向的變形為

Δl=l1－lΔl稱為桿的縱向變形。在拉伸的情況下(圖a)，l1＞l，Δl＞0；在壓縮的情況下(圖b)，l1＜l，Δl＜0。(a)(b)一、變形與線應變任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律

縱向變形Δl只反映桿在縱向的總變形量，它與桿的原長有關。為了進一步描述桿的變形程度，根據(jù)中軸線應變的概念，在桿的各部分都均勻伸長的情況下，縱向變形Δl與原長l的比值稱為縱向線應變，用

表示，即

可知，當桿拉伸時

＞0，稱為拉應變；當桿壓縮時

＜0，稱為壓應變。

是一個量綱為1的量。任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律2.胡克定律

大量試驗表明，當桿件變形在彈性范圍內時，桿的縱向變形Δl與桿的軸力FN、桿長l成正比，與橫截面面積A成反比，即

引進比例常數(shù)E，則有

上式也稱為胡克定律。式中E稱為材料的彈性模量，它與材料的性能有關，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個指標；EA稱為桿的拉壓剛度，因而它代表了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力。

任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律因、故

可改寫為

＝E

上式也稱為胡克定律。它表明材料在彈性范圍內應力與應變的物理關系。

任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律3.橫向變形

設圖a所示拉桿原橫向尺寸為d，變形后縮小為d1、，則其橫向變形為

Δd=d1－d相應的橫向線應變?yōu)?a)(b)

桿件受拉時(圖a)，Δd＜0，

＜0；受壓時(圖b)，Δd＞0，

＞0。任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律

大量試驗表明，當桿件變形在彈性范圍內時，其橫向線應變

與縱向線應變

之比的絕對值為一常數(shù)，即

稱為泊松比或橫向變形因數(shù)。它是一個量綱為1的量，其值隨材料而異，可由試驗測定?？紤]到

與

的符號恒相反，上式也可寫為

=－

任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律彈性模量E和泊松比

是材料固有的兩個彈性常數(shù)。下表1給出了一些常用材料的E、

的約值，以供參考。

表1常用材料的E和

的約值任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律三、拉（壓）桿的變形計算1.畫軸力圖求各段軸力27kN62kNBACDA1A2lll例1變截面直桿受力如圖，已知A1=500mm2,A2=300mm2,l=0.1m,E=200GPa,試計算桿件變形。

解：FAB=-35kNFBC=27kNFCD=27kNFNx-35kN27kN任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律三、拉（壓）桿的變形計算27kN62kNBACDA1A2lll2.計算變形例1

變截面直桿受力如圖，已知A1=500mm2,A2=300mm2,l=0.1m,E=200GPa,試計算桿件變形。

FNx-35kN27kN任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律

例2一木方柱（如圖）受軸向荷載作用，橫截面邊長a＝200mm，材料的彈性模量E＝10GPa，桿的自重不計。試求各段柱的縱向線應變及柱的總變形。任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律

解：由于上下兩段柱的軸力不等，故兩段柱的變形要分別計算。各段柱的軸力為

FNAB＝－100kN，F(xiàn)NBC＝－260kN任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律各段柱的縱向線應變?yōu)?/p>

全柱的總變形為兩段柱的變形之和，即△l=△lAB+△lBC=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm

任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律例3

圖示螺栓接頭，螺栓內徑d1=10.1mm,擰緊后測得長度為l=80mm內的伸長量△l=0.4mm，E=200GPa,試求螺栓擰緊后橫截面的正應力及螺栓對鋼板的預緊力。

解：1.求螺栓的線應變3.由應力公式求螺栓的預緊力

2.由虎克定律求螺栓截面的應力

σ=E·

=(200×103×5×10-4)=100MPaF=σ·A

本課節(jié)小節(jié)一、變形與線應變

絕對變形

l=l1-

l

線應變=

橫向應變

′=

橫向變形系數(shù)（泊松比），

′=-

二、胡克定律

胡克定律的兩種表達式

=E抗拉（壓）剛度EA，在彈性范圍內，應力與應變成比三、拉（壓）桿的變形計算任務1軸向拉壓桿的變形及胡克定律試計算圖示超靜定剛架約束反力，并繪制內力圖。80kN240240ABC6BCAX1=166X2=1ABC圖圖MP圖試計算圖示超靜定剛架約束反力，并繪制內力圖。（4）求基本未知量①彎矩圖彎矩圖如圖。18102ABC3636M圖（kN·m）（5）作內力圖試計算圖示超靜定剛架約束反力，并繪制內力圖。試用力法計算圖示超靜定剛架的內力，并繪出彎矩圖

b）基本體系CABa）原結構lqEIEIlCABqX2解：1.建立基本體系2.建立力法典型方程。去掉B處的兩個多余約束，得基本體系b)

X1試用力法計算圖示超靜定剛架的內力，并繪出彎矩圖

Cc）MP圖ABCABd）圖CABe