初中數(shù)學(xué)解題錯誤分析及對策-以一元二次方程為例

初中數(shù)學(xué)解題錯誤分析及對策——以一元二次方程為例目錄TOC\o"1-2"\h\u9448摘要 初中數(shù)學(xué)解題錯誤分析及對策——以一元二次方程為例摘要：一元二次方程是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點內(nèi)容,其在初中代數(shù)中的地位也至關(guān)重要.正確解題是解決數(shù)學(xué)問題的有效手段,在解題過程中發(fā)生錯誤是不可避免的,學(xué)習(xí)過程本來就是從無知到有知,從自知不多、不詳?shù)匠浞掷斫狻⒄莆盏倪^程.教學(xué)中如何對一元二次方程的題目解題錯誤引導(dǎo)學(xué)生糾正錯誤,不僅對教師是教學(xué)能力提升的過程,對學(xué)生更是對知識內(nèi)容查漏補缺,加深理解的過程.論文通過查閱相關(guān)資料,利用分析、歸納、舉例等方法,闡述了初中生在一元二次方程解題常見錯誤類型,并分析其原因,提出相關(guān)策略.關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；一元二次方程；錯誤原因；解題錯誤類型引言眾所周知,一元二次方程是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點內(nèi)容,其在初中代數(shù)中的地位也至關(guān)重要,且一元二次方程與一元二次不等式、一元二次函數(shù)關(guān)系密切,形成知識結(jié)構(gòu)閉環(huán)系統(tǒng),在各類考試中考點出題頻率極高.一元二次方程在人類生產(chǎn)生活中,已經(jīng)滲透到了方方面面,甚至在人類文明發(fā)展中,同樣發(fā)揮著關(guān)鍵的作用,在外太空探測、外星人的文明,甚至在人類登月等重要的現(xiàn)代活動中都扮演著舉足輕重的作用.最初開始研究一元二次方程用途大約始于公元前三千年,那時開始在古文明的生產(chǎn)中應(yīng)用,一元二次方程,此后,應(yīng)用研究涉及到更多的領(lǐng)域,形如天文、地理、農(nóng)業(yè)、灌溉、人文、寫作等方面,并且取得了偉大碩果.用一個變量的二次方程求解微分方程（后來稱為二階常系數(shù)方程）的發(fā)現(xiàn)也具有重要意義,原因在于一個變量的二次方程求解微分方程具有廣泛性,并且可以解釋為原始微分方程的解存在增大、減小或不變的可能,這個結(jié)論對于現(xiàn)代工程設(shè)計及應(yīng)用尤為重要,結(jié)構(gòu)工程師總是想方設(shè)法設(shè)計安全的結(jié)構(gòu)及合理的機械設(shè)計.在這些設(shè)計里,小擾動的快速增長將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)故障（稱為不穩(wěn)定性）.未來,函數(shù)的發(fā)展必將給人們的工作、生活和教育帶來長足而深遠的影響,特別是一元二次方程,無論是從生活上還是教育上都做得非常出色.1一元二次方程的基本內(nèi)涵1.1一元二次方程的概念等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)（一元）,并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2（二次）的方程叫做一元二次方程[1].經(jīng)過整理可化為一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)其中,ax2叫做一元二次方程的二次項,a是一元二次方程二次項的系數(shù);bx叫做一元二次方程的一次項,b是一元二次方程一次項的系數(shù);c教材中列舉了兩道應(yīng)用題,一是關(guān)于計算切去面積的問題,二是關(guān)于排球邀請賽的問題.兩題的解法都是通過先列出方程,接著經(jīng)過整理及化簡,最后類比一元一次方程的形式,找出兩者間的相同點與不同點,從而一元二次方程的概念及形式就伴隨而來.1.2一元二次方程的解法由于數(shù)學(xué)解題思路不同,對同一道數(shù)學(xué)題的解法也有多種解法,形成一題多解.在課堂教學(xué)中采用多方案教學(xué),有助于鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識,提高學(xué)生的解題技巧與技能;有助于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性;有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的邏輯思維能力;據(jù)統(tǒng)計分析,在初中階段解一元二次方程常用的方法有四種:=1\*GB3①直接開平方法;=2\*GB3②配方法;=3\*GB3③公式法;=4\*GB3④因式分解法.下面將通過實例闡述一元二次方程的四種解法.1.2.1直接開平方法該方法通過直接對等式兩邊求開平方實現(xiàn)方程求解,這種方法多用于缺少一次項的一元二次方程的求解,形如解方程a(x?k)2=b(a≠0,把(x?k)看作一個整體,就可轉(zhuǎn)化為.開平方得.所以.比如,解方程:x2-9=x2解得x=±配方法該方法是利用恒等變形方法把解析式子變換成某些項配成一個或幾個多項式的冪的形式.比如,解方程:8x原方程可整理為:x2配方得(x+1.5)2即可求解.用配方法解方程3x3x系數(shù)化為1得.方程等式的兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方得.方程等式的左邊可化為.因為實數(shù)的平方不會是負數(shù),所以x取任何實數(shù)時,(x?1)例1運用配方法解x2解:x2把等式左邊的常數(shù)項移到等式的右邊,得x2等式的兩邊同時加16（即）,得x2等式的左邊寫成完全平方形式,得(x?4)直接開平方,得x?4=±15解之得x=4±15.x1檢驗:把x1(4顯然,左邊＝右邊,所以x1同理,把x2所以x2=4?15例2運用配方法解3x2解:3x2移項,得3x2二項式系數(shù)化為1,得x2配方,得（x+1因為實數(shù)的平方不會是負數(shù),所以x取任何實數(shù)時,(x?1)2例3運用配方法解2x2解:2x2移項,得2x2二項式系數(shù)化為1,得x2配方,得x2(x+1)由此可得x1歸納以上得:（1）如果一元二次方程的二次項系數(shù)為1,可以直接運用配方法求解;（2）如果一元二次方程的二次項系數(shù)不為1,可以先把二次項系數(shù)化為1,再利用配方法求解;通常情況下,如果一元二次方程通過配方法轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p的形式,那么就有:=1\*GB3①當(dāng)p＞0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,即:x1=?=2\*GB3②當(dāng)p=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根,即:x1=3\*GB3③當(dāng)p＜0時,因為對任意實數(shù)x,都有x+n2≥0,所以方程沒有實數(shù)根.1.2.3公式法公式法基于因式分解與整式乘法的邏輯關(guān)系,直接把各項系數(shù)代入求根公式求解.任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0a≠0,運用圖1一元二次方程求根公式推導(dǎo)流程圖因為a≠0,所以4a2＞0,但式子（1）,顯然,則;方程有兩個不相等的實數(shù)根,即;（2）b2?4ac=0,顯然;（3）,顯然,則,而x取任何實數(shù)都不能使,故該方程無實數(shù)根.一般地,式子b2?4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（2）我們把公式（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)例4用公式法解5x2解:5x2移項,得5x2分析:a=5,b=即:,公式法的一般步驟是:（1）化一元二次方程為一般式:ax2（2）確定判別式△=b（3）當(dāng)△＞0時,方程ax2根,實數(shù)根可以寫為形式;（4）當(dāng)△=0時,方程ax2（5）當(dāng)△＜0時,方程ax21.2.4因式分解法對方程2x2?11x=0進行分析,這方程等式的右邊為零,等式的左邊可以提取公因數(shù),則得x(2x?11)=0,顯然,該方程等式的左邊是兩個一次因式的乘積,等式的右邊為零;兩個因式的積等于0,則這兩個因式至少有一個等于0,所以x=0,或2x?11=0,所以該方程有兩個根,即:x可以發(fā)現(xiàn),上述解法中2x2?11x=0得出x對分解因式進行歸納:=1\*GB3①方程等式的左邊是多項式;=2\*GB3②以乘積的形式表示因式分解的結(jié)果;=3\*GB3③每個因式都是整式,且每個因式的次數(shù)都應(yīng)低于原多項式的次數(shù);=4\*GB3④分解因式必須分解到使每個多項式因式不能再分解為止[2].十字相乘法是一種結(jié)合了數(shù)形結(jié)合思想的求解方法,概括一下便是將一元二次方程的二次項和常數(shù)項進行分解,交叉相乘后,把所得到的兩個整式進行相加,如果正好等于一次項則證明分解成功,相關(guān)公式:.（3）.（4）例52x2針對這個方程,可以使用十字相乘法來計算,例如,先將二項式分解為2x和x,再將常數(shù)項15分解為-3和-5,并將這兩組數(shù)呈現(xiàn)如下:x-32x圖2十字相乘法分析圖再將這兩組數(shù)交叉相乘;2x與-3相乘,x與-5相乘,便是?6x與?5x,再將這兩項相加,便得到了?11x,那么這個分解是成功的(如果相乘相加后得到的結(jié)果不是?11x,還需要對二次項和常數(shù)項重新分解,反復(fù)嘗試直到找出正確的分解法,對不熟練的學(xué)生相對費時間),因此可以將該方程變形如下:所得的兩個根分別是3和2.5,再將這兩個根代入方程中,經(jīng)過驗算所求得的解無誤,因此,十字相乘法運用成功;事實上,十字相乘法也不過是因式分解法的另一種特殊形式,然而在計算的過程中較之因式分解法更為艱澀一些,因為,不為0,這便給十字相乘帶來了一定的難度,那些對十字相乘法不甚熟悉的同學(xué)建議慎用該方法.2數(shù)學(xué)解題錯誤原因綜述數(shù)學(xué)解題易錯并非偶然,而是存在一定的根源,特別是對于一些出錯頻率較高的題目,體現(xiàn)出在該知識點的教學(xué)上與教學(xué)目標存在較大差距.主要歸結(jié)為兩個方面:一是學(xué)生對知識點的理解不全面、不深入,導(dǎo)致解題出錯;二是教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中備課不全面、不系統(tǒng),導(dǎo)致達不到知識點的教學(xué)效果要求.下面,結(jié)合相關(guān)的參考文獻,我們探究學(xué)生在一元二次方程解題過程中常出現(xiàn)的解題錯誤類型及原因.2.1初中數(shù)學(xué)解題錯誤研究戴再平和羅增儒在對數(shù)學(xué)理論及解題研究中提出,學(xué)生的數(shù)學(xué)解題錯誤可分成四類:=1\*GB3①知識性錯誤,是指學(xué)生因為數(shù)學(xué)知識的缺乏造成的解題錯誤;=2\*GB3②策略性錯誤,是指學(xué)生因為解題策略選擇不當(dāng)造成的解題錯誤;=3\*GB3③心理性錯誤,是指學(xué)生因為存在某種心理障礙造成的解題錯誤;=4\*GB3④邏輯性錯誤,是指學(xué)生因為違背了解題的邏輯思維的形式或是推理論證不符合邏輯規(guī)則而造成的解題錯誤[3-4].朱藝峰在學(xué)位論文研究中,把學(xué)生各種數(shù)學(xué)錯誤產(chǎn)生歸納為以下四點:=1\*GB3①知識水平差異導(dǎo)致的錯誤;=2\*GB3②不良學(xué)習(xí)習(xí)慣導(dǎo)致的錯誤;=3\*GB3③心理因素導(dǎo)致的錯誤;=4\*GB3④教學(xué)方法不當(dāng)導(dǎo)致的錯誤[5].徐蘭在對初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的原因分析與對策研究中,把學(xué)生各種數(shù)學(xué)錯誤產(chǎn)生歸納為以下五類:=1\*GB3①數(shù)學(xué)概念不清;=2\*GB3②審題不仔細;=3\*GB3③沒有良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣;=4\*GB3④書法不規(guī)范;=5\*GB3⑤不能有效的檢驗[6].朱若愚在初中學(xué)生常見數(shù)學(xué)錯誤的類型及錯誤原因分析中,把學(xué)生各種數(shù)學(xué)錯誤原因歸納為以下六大類:=1\*GB3①概念性錯誤;=2\*GB3②審題錯誤;=3\*GB3③運算錯誤;=4\*GB3④心理因素;=5\*GB3⑤邏輯性錯誤;=6\*GB3⑥思維因素[7].在劉軍、孔春花、薛彬、劉耀魁、翟潔瑩等人的研究中,都初中歸納出學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)解題錯誤的主要原因來自兩個方面:一是小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾;二是初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾[8-12].唐小娟在初中數(shù)學(xué)解題錯誤原因分析及其對策研究中,分析學(xué)生各種數(shù)學(xué)錯誤產(chǎn)生原因是:=1\*GB3①知識學(xué)習(xí)上存在偏差;=2\*GB3②固定思維解題;=3\*GB3③分析題目存在偏差;=4\*GB3④其他知識影響[13].2.2有關(guān)初中一元二次方程的研究現(xiàn)狀《數(shù)學(xué)》九年級上冊教材（人民教育出版社,2013版）這樣給一元二次方程下定義:等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)（一元）,并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2（二次）的方程叫做一元二次方程.經(jīng)綜述總結(jié)出,對一元二次方程的研究主要有以下這兩個方面:教學(xué)研究和錯題研究.初中數(shù)學(xué)解題中談及到的錯誤研究,但是研究并不深入,更沒有對一元二次方程教學(xué)中學(xué)生解題錯誤的專題研究,有且只有一些零散涉及到用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程錯題的研究.陳沫在“一元二次方程”常見錯誤及分析中,將學(xué)生常見錯誤分為四類:=1\*GB3①忽略二次方程有實根的條件而導(dǎo)致錯誤;=2\*GB3②由于不等式及三角等知識的缺失,使解的范圍擴大或縮小;=3\*GB3③將方程進行恒等變形時不考慮特殊情況,導(dǎo)致增減根的出現(xiàn);=4\*GB3④對方程與其他數(shù)學(xué)知識（如:數(shù)與代）的聯(lián)系缺漏而導(dǎo)致錯誤[14].歐陽虹在研究初中代數(shù)解題錯誤分析及對策——有關(guān)一元二次方程的問題中,認為學(xué)生解題錯誤原因:=1\*GB3①審題不清;=2\*GB3②概念不清;=3\*GB3③求易心理,忽視隱含條件;=4\*GB3④對定理、公式、法則的錯誤認識;=5\*GB3⑤思維定勢的影響,套用相近的知識;=6\*GB3⑥情緒焦慮而造成的失誤[15].王安文在對一元二次方程中典型錯誤分析中指出,導(dǎo)致一元二次方程解題錯誤主要原因是:=1\*GB3①忽視重根;=2\*GB3②忽視負的平方根;=3\*GB3③沒有正確理解系數(shù)含有參數(shù)的一元二次方程的解法;=4\*GB3④在應(yīng)用判別式時,沒有考慮二次項系數(shù)不為零;=5\*GB3⑤沒有必要考慮判別式;=6\*GB3⑥忽略了判別式;=7\*GB3⑦沒有考慮兩根之積的性質(zhì);=8\*GB3⑧沒有正確理解兩根之差;=9\*GB3⑨沒有討論二次系數(shù)是正還是負;=10\*GB3⑩混淆了條件的必要性和充分性[16].3一元二次方程解題錯誤類型分析曾有文獻指出:錯誤在數(shù)學(xué)中和正確答案一樣重要,錯誤幫助了數(shù)學(xué)的發(fā)展,錯誤幫助我們了解數(shù)學(xué)的來龍去脈,錯誤可作為診斷工具,讓我們能了解學(xué)生心里可能的想法,錯誤并非漫無目的地發(fā)生,而是有其理由.學(xué)生的思維方式以及學(xué)習(xí)能力等方面?zhèn)€體性差異較大,造成學(xué)生在解題中常出現(xiàn)不可避免的錯誤類型,在研究一元二次方程解題錯誤類型時,有必要對錯誤進行系統(tǒng)而全面的分析,讓學(xué)生了解自身存在的不完善,及時轉(zhuǎn)變解題的思維方式、方法,正確采取解題策略,以提高解題正確率.根據(jù)在教學(xué)實踐中對初中學(xué)生解一元二次方程常見錯誤分析,可歸納為七種錯誤類型:一是概念性錯誤;二是審題錯誤;三是新舊知識干擾;四是運算錯誤;五是心理因素;六是邏輯思維性錯誤;七是方法和策略錯誤.3.1概念性錯誤正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提.如果學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和基本的數(shù)學(xué)事實理解不夠準確和全面,概念適用范圍把握不清,類似概念區(qū)別不清等原因,會導(dǎo)致在運用概念時,出現(xiàn)概念性錯誤.例6下列哪項屬于一元二次方程（）.Ａ.2(x2?2)?11x=2x2C.;D.;分析:大家很容易選擇A選項,看到A選項直接選擇,做題只看表面,沒有養(yǎng)成化簡之后再判斷的習(xí)慣;有少部分同學(xué)會選擇B選項,這就體現(xiàn)同學(xué)們對方程的概念沒掌握好,忽視了是方程的重要的條件（等式）;對于C選項,很多同學(xué)先把這一項排除掉,因為大家容易把當(dāng)成字母,所以認為等式的左邊不是整式方程;D選項中分母含有字母,不是整式;C選項二項式的系數(shù)雖然是形如分式的形式,但不是字母,而是一個常數(shù);對于D選項,很多同學(xué)也會選擇這一項,在一些情況下,他們經(jīng)常分不清字母和常數(shù),所以在這一項大家容易把a看做常數(shù),他們認為等式兩邊都是整式,所以在這一項大家容易把a當(dāng)做常數(shù),不具體的數(shù)值,我們一般用字母來表示,故應(yīng)選C.例7下列哪項屬于一元二次方程（）.A.;B.;C.;D.;分析:對于A選項,很多同學(xué)認為y是一次項的系數(shù),其實y也是一個未知數(shù),所以該函數(shù)有兩個未知數(shù),所以該方程不是一元;對于B選項,這是不等式,而不是等式;對于C選項,主要考一元二次方程的一般形式,大部分同學(xué)都會選擇這一項,同學(xué)們忽視了二次項系數(shù)不能為0,對一元二次方程的一般形式理解得不夠深入,故應(yīng)選D.例8下列方程中,哪項屬于一元二次方程的一般形式（）.A.;B.;C.;D.;分析:對于A選項,等式兩邊都有5,同學(xué)們喜歡從表面做題,覺得左邊的5和右邊的5直接取消,右邊就是0了,所以容易認為該方程是一元二次方程的一般形式;對于B選項,選這一項的同學(xué)比較多,因為大家的第一直覺該方程一般形式就是這樣的,和課本一樣,但大家沒有考慮到是屬于哪種的方程？這里少了a≠0,如果a=0,那該方程就不是一元二次方程了;例9關(guān)于方程5x2A.二次項的系數(shù)為5,一次項的系數(shù)為11,常數(shù)項為5;B.二次項的系數(shù)為5,一次項的系數(shù)為-11,常數(shù)項為-5;C.二次項的系數(shù)為3,一次項的系數(shù)為-11,常數(shù)項為-1;D.二次項的系數(shù)為3,一次項的系數(shù)為11,常數(shù)項為-1;分析:這一題主要考大家是否會把一元二次方程化成一般形式:（a≠0),還考大家是否掌握一元二方程各項系數(shù)的符號;對于A選項,沒有先整理成一般形式,而且沒有考慮各項系數(shù)的符號;對于B選項,沒有養(yǎng)成先整理成一般形式,再找出各項的系數(shù);對于D選項,忽略一次項系數(shù)的符號,故應(yīng)選C.例10關(guān)于x的一元二次方程,則m=.分析:這一題80%的同學(xué)會算出m=±2,同學(xué)們沒有代回原方程驗證的習(xí)慣,只注意到一元二次方程的未知數(shù)的最高次數(shù)為2,忽略了一元二次方程的二次項系數(shù)不為0;這一題應(yīng)該分兩種討論:=1\*GB3①當(dāng)m=2時,把m=2代入原方程得,該方程是關(guān)于x的一元二次方程,所以m可以等于2;=2\*GB3②當(dāng)m=?2時,把m=?2代入原方程得5x=?4,該方程是關(guān)于x一元一次方程,而不是關(guān)于x的一元二次方程,所以,故.3.2審題錯誤在教學(xué)過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生做好審題,因為審題是做好數(shù)學(xué)題目的第一步.在學(xué)生進行解題過程中,容易忽視審題的重要性,比如急于求成,擔(dān)心考試時間不夠,馬虎審題,導(dǎo)致題目的條件與要求不理解,最終導(dǎo)致解題錯誤.例11已知一元二次方程的兩個根分別是x1=5,xA.;B.;C.;D.;分析:學(xué)生在做此題時,由于審題粗心大意,就會誤認為是分解因式,因而誤選C選項者居多,正確的答案應(yīng)為D選項.例12n為什么數(shù)值時,方程是關(guān)于x的一次方程?錯解:因為是關(guān)于x的一次方程;所以.解得n1學(xué)生們解題的錯誤是他們只認為二次項系數(shù)為零,而忽略了一元一次方程的定義.正確解法是解之得:n=3.3新舊知識干擾隨著中學(xué)知識的深入學(xué)習(xí),學(xué)生知識的積累也越積越多,學(xué)習(xí)知識本身也會前后相互干擾,這種干擾的出現(xiàn)使學(xué)生在解決問題上犯了錯誤.例13找出的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項;錯解:對進行移項得,所以的二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為3、6、1;顯然,這是受到小學(xué)和七年級內(nèi)容的影響,關(guān)于移項的知識學(xué)不好以及沒掌握好理數(shù)的減法相關(guān)內(nèi)容.正解:先對進行移項得3x2?6x?1=0（注意移項時,從等式的一邊移到等式的另一邊,符號要改變;在等式的同一邊移項,符號不變）,所以3.4運算錯誤數(shù)學(xué)能力的提升,很大程度上體現(xiàn)在運算能力水平的提高.在學(xué)生當(dāng)中仍然存在重思維能力輕運算能力的思想,更沒有形成學(xué)生系統(tǒng)的培養(yǎng)運算能力的專門訓(xùn)練,學(xué)生基本運算技能差而造成解題錯誤.例14解x2錯解:等式兩邊同時除以x,得:x=所以,方程的解是:x=1.分析:學(xué)生在解題過程中的思考是不全面的,方程x2=x與x=1并不等價,或者說,在方程兩邊同時除以x的前提條件是,正解:.因式分解,得x(所以,方程的解得x1例15解(2x+8原解:因為(2x+8所以2x+8且3x?9=0解之得x=?4且x=3正解:因為(2x+8所以2x+8或3x?9=0解之得x1分析:學(xué)生容易在最后寫結(jié)論的時候忽略“且”與“或”的不同,造成結(jié)果表達錯誤.3.5心理因素心理性錯誤是指學(xué)生在解題時,解題錯誤因為心理某些原因引起的,主要表現(xiàn)為由于缺乏一些非智力因素導(dǎo)致的疏忽錯誤.例16已知方程(m?3)x（1）求m的值;（2）寫出其方程;（3）求該方程的解.錯解:（1）因為所求方程是關(guān)于x的一元二次方程;所以m?1=2得.（2）由（1）得其方程為.①或?6x2+（3）解①式得.由②得△=201所以正解:由題意可知,所求方程是關(guān)于x的一元二次方程,所以m?1=且.得.所以原方程為.所以分析:學(xué)生看到這樣的題,從表面看似很復(fù)雜,符號又多,特別看到絕對值符號就焦慮了,而且問的問題又多,做這題心里著急,不踏實而導(dǎo)致解題錯誤.3.6邏輯思維性錯誤邏輯思維性錯誤主要指學(xué)生在解題過程中由于違反邏輯思維的規(guī)則而引起的錯誤.在學(xué)生進行數(shù)學(xué)解題過程中,大部分學(xué)生專注于公式的選擇和數(shù)學(xué)概念、定理、計算的正確性等方面,在解題過程中較少注意到邏輯思維關(guān)系.特別是在解方程、證明等類型題目中,題型的作答要求具有轉(zhuǎn)化、推理等過程,這就必須滿足一定的邏輯思維關(guān)系,而這種由于邏輯思維性的失誤往往容易導(dǎo)致解題的“致命性錯誤”.例17關(guān)于方程2(x2A.二次項的系數(shù)為2,一次項的系數(shù)為12,常數(shù)項為-4;B.二次項的系數(shù)為6,一次項的系數(shù)為-12,常數(shù)項為-5;C.二次項的系數(shù)為-4,一次項的系數(shù)為-12,常數(shù)項為-1;D.二次項的系數(shù)為-4,一次項的系數(shù)為12,常數(shù)項為1;分析:這一題大部分的同學(xué)會選擇B選擇,學(xué)生在解題時沒有養(yǎng)成按步驟來解的習(xí)慣,初中學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題目的過程中,沒有經(jīng)過邏輯推理,單憑表面現(xiàn)象做出草率的判斷導(dǎo)致錯誤發(fā)生.例18若方程的兩個根均大于1,求k的取值范圍.解錯:不妨設(shè)方程的兩根為x1、x2,即所以.產(chǎn)生錯誤原因是由,;即可得:,但反過來就不一定成立了.如x1=?4,x2=8,有,但;錯在把必要條件當(dāng)充分條件來用,事實上,,,則有,所以有△≥0解之得.3.7方法、策略錯誤方法和策略錯誤是指在用于解題的方法和策略不合適,或者存在不合理的情況.解題方法不對或是解題策略運用不合理,容易對題目誤解.例19關(guān)于x的方程,當(dāng)n為何值時,方程有實數(shù)根？錯解:因為方程方程有實數(shù)根;所以.解得:.所以方程有實數(shù)根.正解:因為方程方程有實數(shù)根;當(dāng)時,即.原方程化為.此時方程有且只有一個實數(shù)根,即.當(dāng)時,即.原方程為一元二次方程,其中.即.且n≠4時,方程有兩個實根.分析:方程具有實根,則有兩種情況:有兩個實根或一個實根.=1\*GB3①當(dāng)方程為一元二次方程時,方程有兩個實根;=2\*GB3②當(dāng)方程是一元一次方程時,有一個實根.從以上分析可以得出,最后,必須對未知數(shù)的最高次系數(shù)進行分類和討論,確定方程的精確解.綜合以上所述,方程有實數(shù)根的條件是且n≠4.4減少一元二次方程解題錯誤的策略從以上分析得出,學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的主要原因關(guān)系有兩方面,一方面與學(xué)生在解題過程中對概念、審題以及方法和策略等方面的不掌握有直接關(guān)系,另一方面在教學(xué)過程中也與教師的教學(xué)方法有著重要的關(guān)系.初中教師在教學(xué)準和在教學(xué)過程中,應(yīng)該認真研究和分析如何避免學(xué)生解題錯誤.4.1重視一元二次方程相關(guān)概念的教學(xué)4.1.1抓要點,加強概念的教學(xué)狠抓概念教學(xué).數(shù)學(xué)概念的理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也決定了學(xué)生能否順利正確的解題,由于學(xué)生對概念理解不夠深入,只是表面上的認識,導(dǎo)致在解題過程中對題目的認識不夠,所以,初中教師在加強概念的教學(xué)的同時,積極引導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的形成過程,以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認識.一元二次方程要滿足三個基本要素:“一元”、“二次”、“整式”.在概念教學(xué)中隱含的一個重要的前提條件:先經(jīng)過去分母、去括號、合并同類項等一系列化簡以及整理后,再結(jié)合三個基本要求判別一元二次方程,這也是我們判斷是否為一元二次方程的根本依據(jù).4.1.2抓類比,對鄰近的概念要善于類比善于開展類比教學(xué).類比是對相近或相似的概念進行比較與區(qū)分,從而找出概念之間的異同點,提煉為知識點并用數(shù)學(xué)符號把概念表達出來.通過開展類比教學(xué),逐步引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念形成的過程,以加深學(xué)生對概念的理解.例如,在學(xué)習(xí)“一元二次方程”時,學(xué)生會聯(lián)想到前面學(xué)的“一元一次方程”,這時學(xué)生會討論得非常激烈,這時候教師先不著急講解,而是先留一定的時間讓學(xué)生從“一元二次方程”與“一元一次方程”找出相同點和不同點,接著讓學(xué)生試著根據(jù)一元一次方程的概念給一元二次方程出概念,最后老師再作補充.4.1.3抓深化,數(shù)學(xué)概念在運用中鞏固深化加強數(shù)學(xué)概念在運用中鞏固深化,并遵從重視理解、復(fù)習(xí)、應(yīng)用“三結(jié)合”原則.教師在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時,不僅要教學(xué)生如何從具體到抽象形成概念的過程,還要讓學(xué)生在實際解題中理解概念以及運用概念.一是盡量利用多種類型的題目講解,以加強數(shù)學(xué)概念的鞏固;二是采用“概念復(fù)述”的方式開展數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí),讓學(xué)生從數(shù)學(xué)語言層面牢記概念;三是采用“做練習(xí)”的形式進行復(fù)習(xí),讓學(xué)生從做題層面牢記概念;四是結(jié)合生活例子進行概念教學(xué)時,從學(xué)生感興趣的生活例子人手,讓學(xué)生在看得見、摸得著的學(xué)習(xí)情境中領(lǐng)悟數(shù)學(xué).4.2加強對定理、公式、法則的理解學(xué)好數(shù)學(xué)的法則并不是死記硬背,更多的是對定理、公式、法則的理解,深刻理解其內(nèi)涵與實質(zhì),找出與之前相關(guān)內(nèi)容的關(guān)系,從而達到能靈活運用的目的.所以,教師在進行定理、公式、法則的教學(xué)時,一定要引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上識記,而不是單純的死記硬背,這樣不僅使學(xué)生記得長久,還能提高解題能力.教師在講一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)時,要說明這一般形式的作用,所以,詳細分析其一般形式是有必要的,特別注意一點就是:ax2+bx+c=0(a≠0)中的一元二次方程的求根公式比較長,很多人不容易理解,有些學(xué)生只適應(yīng)用配方法求解,因此,在推導(dǎo)解一元二次方程的求根公式教學(xué)中,教師應(yīng)該多強調(diào)解一元二次方程公式法的來龍去脈.4.3提高學(xué)生的審題能力“善于解題的人,用一半的時間來理解問題,而用另一半時間完成解題”[17].從這句話我們知道,審題在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮著舉足輕重的作用.無論題目簡單還是困難,解題是否正確與是否認真審題緊密相連.教師在引導(dǎo)學(xué)生審題時也必須講究技巧,而不是讓學(xué)生一字不漏的讀題目,要善于抓住題干中的關(guān)鍵詞,讀懂這些關(guān)鍵詞隱藏著一些重要條件以及結(jié)論.如果在審題時學(xué)會提取題目中重要的關(guān)鍵詞,將是提高解題正確率的重要途徑.4.4提高學(xué)生的運算能力數(shù)學(xué)運算能力要在運算速度和運算正確率上下功夫,同時也要重視解題方法的有效選擇.一元二次方程的解法靈活多樣,在解題的過程中,如果不選擇最佳的解題方法,解題過程就比較復(fù)雜.現(xiàn)在很多學(xué)生特別害怕運算很長的題目,這跟學(xué)生的運算能力有關(guān),教師在進行計算題教學(xué)時,應(yīng)該把角色留給學(xué)生,應(yīng)該認真分析學(xué)生運算的思路,了解學(xué)生出現(xiàn)運算錯誤的原因,這樣教師更有針對性地提高學(xué)生的運算能力.如果讓學(xué)生求解關(guān)于x的一元二次方程,教師要引導(dǎo)學(xué)生對解出的x進行檢驗.即把解出來的x代入原方程,如果等式的左邊等于等式的右邊,則解出的x是正確的,相反,如果等式的左邊不等于等式的右邊,則解出的x是錯誤的.4.5提高學(xué)生的心理素質(zhì)能力初中生解題錯誤與心理因素有很大的關(guān)系,所以生難免會出現(xiàn)心理焦慮等心理,教師要想方設(shè)法消除學(xué)生這種心理焦慮.可以通過以下方式進行:第一要“了解學(xué)生”,準確把握學(xué)生的心理活動以及學(xué)生解題時的心理影響因素,準確的找出學(xué)生解題的“癥結(jié)”,結(jié)合“癥結(jié)”,教師要做到耐心的心理輔導(dǎo);第二是要“消除顧慮,促膝談心”,通過師生談心的方式找出解題錯誤的“癥結(jié)”,從而達到克服心理障礙的目的;第三是要“激勵表揚,寬容缺點”,教師在課堂上善于鼓勵和表揚學(xué)生,鼓勵與表揚能增強學(xué)生的自信,提高學(xué)生解題的正確率.4.6提高學(xué)生解題的邏輯思維能力作為一位初中數(shù)學(xué)教師,我們不能滿堂灌、滿堂練、滿堂看,而是教師在教學(xué)中起到一個引導(dǎo)的作用,讓學(xué)生處于主體作用,共同探討,以提高學(xué)生解題的邏輯思維能力,從中體驗問題解決的成功與失敗,從而提升思考的能力,最后對數(shù)學(xué)產(chǎn)生樂趣.提高求解一元二次方程的正確率,僅靠感覺、知覺以及表象是不夠的,更重要的是借助于活躍的思維才能完成.在現(xiàn)實生活中,我們經(jīng)常聽到數(shù)學(xué)的邏輯思維應(yīng)該得到全方位的培養(yǎng),從而提高學(xué)生解題的思維邏輯能力,這就要求教師在教學(xué)中想方設(shè)法設(shè)置問題情境,讓學(xué)生在問題情境中感知數(shù)學(xué)的其中奧妙,并通過及時的引導(dǎo),讓學(xué)生參與到教師創(chuàng)設(shè)思維情境中,在達到提高學(xué)生解題的邏輯思維能力的同時,減少學(xué)生解題錯誤.4.7培養(yǎng)學(xué)生解題方法的能力學(xué)生是否能夠快速而且準確的解題,很大程度上取決于學(xué)生對解題方法的選擇.教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識地培訓(xùn)學(xué)生的心理品質(zhì),同時重視思維方式與解題技巧能力的培養(yǎng),從而綜合提高學(xué)生的解題能力與水平.4.8加強分析學(xué)生解題出錯的原因初中學(xué)生的心理期變動較大,易受社會各種不良風(fēng)氣的影響,在解題時難免出現(xiàn)不同的錯誤,教師在教學(xué)中應(yīng)該加強分析學(xué)生解題出錯的原因.學(xué)生解題錯誤在所難免,即使解題方法正確,也有可能出現(xiàn)運算錯誤等,原因有很多,即便解同一道題目,學(xué)生出現(xiàn)錯誤原因也有可能不同,教師在講解時,可以進行角色轉(zhuǎn)換,結(jié)合解題錯誤原因,可以先讓學(xué)生講述解題的思路,教師應(yīng)該認真聆聽學(xué)生的解題思路,同時可以評估班上學(xué)生對該題目的理解程度.綜合各種情況,引導(dǎo)學(xué)生把錯誤認識得更全面,避免只讓學(xué)生知道正確答案,以后出現(xiàn)類似的題目可能會導(dǎo)致學(xué)生重復(fù)解錯.4.9通過課堂糾正學(xué)生的解題錯誤在課堂上,教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生解題錯誤類型有針對性地選擇教學(xué)策略,并及時糾正學(xué)生的錯誤,避免學(xué)生把錯誤的思路長期存留在日常解題中,難于改掉.波利亞說過“如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂,那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了”[18].學(xué)生的錯誤應(yīng)該嘗試讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),自己主動去分析.在初中時期,學(xué)生的學(xué)習(xí)科目比較多,特別到了初三,又是面臨中考的復(fù)習(xí)考試,學(xué)生每天會有很多作業(yè)以及練習(xí),教師沒時間把所有的題目都進行詳細講解,因此,教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生要學(xué)會自主的進行錯誤分析和改正的習(xí)慣,把一些容易解