新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊空間幾何體外接球問題10種題型總結 同步講義

34、空間幾何體外接球問題10種題型總結

【題型目錄】

題型一：長方體正方體外接球（體對角線即為外接球的直徑，（2R^=a2+b2+c2）

題型二：能在正方體（長方體）內還原的立方體，即長方體切割體的外接球（體對角線即為

外接球的直徑，（2R）2="2+〃+。2）

<z,λ2

題型三：圓柱的外接球（收=U+r2,其中「為底面圓的半徑，〃為圓柱的高）

（∣Λ2

題型四：直棱柱的外接球IR?=]]）+產(chǎn)，其中r為底面外接圓的半徑，∕ι為棱柱的高）

題型五：側棱垂直于底面的棱錐的外接球（R?=（%]+/，其中/■為底面外接圓的半徑，

PA為棱錐垂直于底面的棱）

題型六：圓錐的外接球

題型七：棱臺圓臺的外接球

題型八：正棱錐的外接球

題型九：側面垂直于底面外接球（找球心，球心在每個面中垂線的交點處）

題型十：多面體外接球（找球心，球心在每個面中垂線的交點處）

【典型例題】

題型一：長方體正方體外接球（體對角線即為外接球的直徑，（2R）2=a2+b2+C2）

【例1】若一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為1,則這個球的表面積是（）

A.BKB.—C.3πD.12π

24

【答案】C

【分析】先求得球的半徑，進而求得球的表面積.

【詳解】正方體的體對角線長為白，所以球的直徑2R=√J,R=3,

2

所以球的表面積為4πR?=3幾

【例2】已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這個球

的體積為（）

9πI—

A.--B.3v3τcC.97tD.27π

2

【答案】A

【分析】先求得正方體的邊長，然后求得球的半徑，進而求得球的體積.

【詳解】設正方體的邊長為",4>0,則6/=18,α=√J,

正方體的對角線長為后向B=3,

3

所以球的直徑2R=3,半徑R=—,

2

所以球的體積為史x1-T=—.

3⑴2

【題型專練】

1.長方體的過一個頂點的三條棱長分別是2,4,4,則該長方體外接球的表面積為（）

A.9冗B.18乃C.36萬D.48?

【答案】C

【分析】根據(jù)長方體外接球直徑2R=JY+廿+￠2,可求出半徑尺再由球體表面積公式

S=4πR2,即可求出結果.

【詳解】長方體外接球直徑2R=√77P77=質不壽=6nH=3,所以該長方體外接

球的表面積5=4乃川=4萬.32=36萬

2.已知球內接正方體的表面積為S,那么球體積等于.

【答案】叵"

24

【分析】由正方體表面積求出正方體棱長，再根據(jù)球直徑等于內接正方體體對角線，得球的

半徑，代入球的體積公式.

【詳解】因為正方體表面積為S,所以正方體棱長為〃=運,

6

又因為球的直徑等于其內接正方體體對角線，所以球直徑2R=√Jx運=叵,

62

球半徑R=哈體積V=E=等小

題型二：能在正方體（長方體）內還原的立方體，即長方體切割體的外接球（體對角線即為

外接球的直徑，（ZR）?=/+/+。2）

圖1墻角體圖1鱉麝圖3挖墻角體圖4對角線相等的四面體

圖1側面（側棱）兩兩垂直,

圖2所有面均為直角三角形，（線面垂直+線線垂直）；

圖3俯視圖是一矩形，AC為虛線，主視圖和左視圖為直角三角形，

圖4若是長方體則為對棱相等的四面體，若是正方體則是正四面體（所有棱長均相等）

圖4中（長方體）

1122

AD=BCa+b=BC=aI___________

A8=CO}</+="=/+6+￠2=+/nR產(chǎn)+6+/,

22g22V8

AC=BDc+a=AB~=y

匕V-BCQ=cιbc--abc×4=-abc.

63

【例1】若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為6,則其外接球的表面積是

【答案】9π

【分析】根據(jù)題意可得三棱錐的三條側棱兩兩垂直，因此以三條側棱為長、寬、高構造正方

體如圖所示，該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，利用長方體的對角線長公式算出球的

直徑，再根據(jù)球的表面積公式加以計算，可得答案.

【詳解】解：設三棱錐A-BcD中，面ABC、面AB。、面ACC兩兩互相垂直，

AB=AC=A。=G

則AB、AC,兩兩互相垂直，以A8、AD.AC為長、寬、高，構造正方體如圖所示,

可得該正方體的外接球就是三棱俳CD的外接球，

設球半徑為R，可得正方體的對角線長等于球直徑2R，

3

即2H=3,解得H=—,

2

3

外接球的表面積是S=4π∕?2=4π×（-）2=9π.

【例2】已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,_ABC是邊長為2

的正三角形，E,F分別是A4,AB的中點，NCEF=90。,則球。的體積為（）

A.-7δπB.6πC.24πD.8>∕βπ

【答案】A

［分析］先證得PB?平面PAC,再求得PA=PB=PC=0,從而得P-ABC為正方體一部

分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.

【詳解】設B4=PB=PC=2x,E,產(chǎn)分別為R4,AB中點`EF〃PB,且EF=gPB=x,

AfiC為邊長為2的等邊;角形，.?.b=√L

又NCEF=90°，.?,CE=y∣^,AE=^PA=x,

在中，由余弦定理COSZEAC='+"卜口,

2×2×x

作PQj_AC于O,,PA=PC,..。為AC中點，

..PA=PB=PC=6，

乂ΛB=BC=AC=2,PB,PC兩兩垂直，

即三棱錐P-ABC是以R4,PB,PC為棱的正方體的一部分；

所以球。的直徑27?=12+2+2=指,解得R=。，

則球。的體積VZ=—ττR''=—π×=?Jbπ

338

【例3】表面積為86的正四面體的外接球的表面積為()

A.4百兀B.12；TC.8;IrD.4y∕bπ

【答案】B

【分析】根據(jù)表面積求得正四面體的棱長，再結合正方體的外接球半徑的求解，即可求得結

果.

【詳解】設正四面體的棱長為a,則根據(jù)題意可得：立∕X4=8∕,解得〃=2式：

該正四面體的外接球與棱長為2的正方體的外接球的半徑相等，

又正方體的外接球半徑為C,故該正四面體外接球的表面枳S=4π×(√3)2=12萬.

【例4】設A,BCD是半徑為2的球面上的四個不同點，且滿足AB?AC=0,AC?AO=0，

ADAB=O,用岳、S?、S3分別表示qABC、ACD,z?48f＞的面積，則S∣+S2+S3的最大

值是______.

【答案】8

【分析】擴展成為長方體，根據(jù)球為長方體的外接球，利用基本不等式即可求解.

【詳解】設A8=α,AC=A,AZ)=c,

因為AB,AC,A。兩兩垂直，擴展為長方體，

所以該長方體的體對角線為球的直徑，

所以<?+層+c2=4R2=16.

SMBC+s?ACD+SAABD=^(^+"+be),

因為/+〃N2ab,a2+c2>2ac,b2+c2>2bc,

所以L("+αc+bc)≤'(q2+h2+c2)=8,

22

當且僅當α=6=c=勺叵時取得等號，

3

【例5】我國古典數(shù)學著作《九章算術》中記載，四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉

膈?現(xiàn)有一個“鱉腌“，A4J_底面ABC,AClBC,且Λ4=3,BC=2,AC=幣,則該四面

體的外接球的表面積為.

【答案】16π

【分析】根據(jù)題意將三棱錐尸-ΛBC還原到長方體中，如圖所示，求出長方體的體對角線的

長，即可得外接球的直徑，從而可求出其表面積.

【詳解】解：將三棱錐P-ABC還原到長方體中，如圖所示

則長方體的外接球的半徑為

2R=PAi+AC2+BC2=√9+3+4=4

故H=2

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4成2=16π，

【例6】如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、

踢的含義，"鞠''最早系皮革外包、內實米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球

的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入

第一批國家級非物質文化遺產(chǎn)名錄.若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四

個點4,B,C,。滿足AB=Co=√ilcm,BD=AC=2&m,AD=BC=5cm,則該“鞠”

的表面積為.

【答案】29萬

【分析】根據(jù)給定條件，四面體ABCD可作為長方體的四個頂點，再利用長方體求出“鞠”

的直徑即可計算作答.

【詳解】在四面體ABCO中，因A8=C￡>=√I5cm,BD=AC=2√5cm.AD=BC=5cm,

則點A,B,C,。是某長方體的四個頂點，如圖，

'a2+b2=25

令此長方體的長、寬、高分別為αS,c,則有，從+，2=13,即有^+加+￠2=29,

c2+a2=20

令該長方體的外接球的半徑為R,因此(2R)2=Y+/+'?=29,

該''鞠”的表面積為S=4TR2=29萬.

【題型專練】

L四面體ABCD的每個頂點都在球O的球面上，AB,AC,AD兩兩垂直,且A8=√LAC=2,

AD=3,則球。的表面積為.

【答案】16π.

【分析】根據(jù)題意將四面體補成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線的長等于四面體

ABCZ)外接球的直徑的長，從而可求出球的半徑，進而可求出其表面積.

【詳解】根據(jù)題意將四面體ABCQ補成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線的長等于四

面體ABCD外接球的直徑的長，

設外接球的半徑為R，

因為AB=√J,AC=2,AD=3,

所以(ZR)?=AS?+AC?+AT)?=3+4+9=16,

所以A?=4，

所以球。的表面積為4%R2=16∕r,

故答案為：16%

2.據(jù)《九章算術》中記載，“陽馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個“陽

馬"，PA±J^W?ABCD,底面A8CZ)是矩形，且Λ4=5,Afi=4,BC=3,則這個，陽馬”的外

接球表面積為()

A.5πB.200πC.50πD.100π

【答案】C

【分析】把四棱錐尸-43CD補成一個長方體，如圖，長方體的對角線就是其外接球也是四

棱錐P-ABC。的外接球直徑，由長方體性質求得球半彳仝后可得表面積.

【詳解】把四棱錐尸-ABCD補成一個長方體，如圖，長方體的對角線就是其外接球也是四

棱錐P-ABCD的外接球直徑，

設球半徑為R,則(2R)2=PA2+AB2+BC2=50,

球表面積為S=4τtR2=50π.

3.正四面體S-ABC內接于一個半徑為R的球，則該正四面體的棱長與這個球的半徑的比值

為（）

A.漁B.BC.述D.√3

433

【答案】C

【分析】設正四面體的樓長為24,由正四面體幾何性質得出。與外接球半徑R的關系式，即

可求比值

【詳解】設正四面體的棱長為24,正四面體的外接球心為O,MBC的內心為則SMJ.平

面A8C,由AMU平面ABC,則SMjLAM,

由AE=√Ja,AM=∣AE=^y^,SM=√AS2-AM2=,貝IJ

4.在四面體ABC。中，已知點E,尸分別為棱AB,CZ）中點，且所J_A8,EFlCD,若

AB=CD=2,EF=2,則該四面體外接球半徑為.

【答案】√2

【分析】根據(jù)四面體的對棱性質，結合長方體面對角線的性質，即可將四面體的外接球問題

轉化為長方體外接球問題，即可得半徑.

【詳解】解：根據(jù)長方體的面對角線特點，由對棱ΛB=8=2,且對棱中點￡,尸分別滿足

EFYAB,EFICD,

則可構造長方體使得四面體ABCD的頂點與長方體的頂點重合，由長方體的外接球即為四面

體的外接球

如下圖所示：

設長方體的長、寬、高分別為α∕,c

則?2÷c2=AB2=4,a=EF=2

所以外接球的半徑R==3運=",即四面體ABC。的外接球半徑為最.

22

5.在半徑為R的球面上有A,B,C,。四點，且直線AB,AC,A。兩兩垂直，若

ΔABC,ΛACD,aAZM的面積之和為6,則此球體積的最小值為.

【答案】4鬲

【分析】本題相當于求三棱錐的外接球體積的最小值.先把三棱錐補形成一個長方體，可得外

接球的直徑為長方體的體對角線，分析已知條件，再借助基本不等式求出半徑的最小值，最

后可求出球的體積最小值.

【詳解】因為線段AB,AC,AQ兩兩垂直，所以三棱錐可以補全為一個長方體，線段

A8,AC,AD分別為長方體的長、寬、高，則半徑為R的球即為長方體的外接球.

22

令AB=X,AC=y,Az)=z,所以有(2R)2=AB2+AC2+AZ)2=λ+∕+z

又因為Z?ABC,4ACDA4D8的面積之和為6,所以

S.=-ABAC+-ADAC+-ABAD=-xyz+-yz+-xz=6,即

ΛABoC+S.ΛACZΠ√+SΛDLfDR2222*ryJ2

xy+yz+xz=?2.

X2+y2≥2xy

由基本不等式有，＞,2+z?≥2yz,所以(2Ry=X2÷y2÷z2≥xy+yz+xz=12,當且僅當

X2+z2≥2xz

χ=y=Z=2時等號成立，此時凡而=6,嗑”4向.

6.已知三棱錐A-BCO中，AB_L面BCDNBCD=9。,AB=BC=2,CD=近,則三

棱錐的外接球的體積為.

【答案】加兀

3

【分析】根據(jù)三棱錐的頂點是長方體的頂點即可求解.

由題可知,該三棱錐在長方體中，且三棱錐的四個頂點為長方體的四個頂點,

所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，

由圖可知長方體的長寬高分別為α=2*=應,c=2,

所以體對角線長4=y]a2+b2+c2=VlO,

-f√lθY5√10

所以外接球的體積等于=弋一無.

7.四面體A-BCD中，AB=CD=5,AC=BD=4,AD=BC=而,則四面體4-BCO

外接球的表面積為.

【答案】50π

【分析】把四面體A-BCo補成一個長方體，長方體的對角線就是其外接球的直徑，由此可

求得外接球半徑，從而得表面積.

【詳解】由題意可采用割補法，考慮到四面體A-BC。的四個面為全等的三角形，所以可在

其每個面補上一個以5,后,屈為三邊的三角形作為底面，且分別以mb,C為長、側棱兩

兩垂直的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為α,b,C的長方體，

2222

并且“2+∕72=25,a+c=34,b+c=41,

設球半徑為R,則有(2R)2="2+∕+C2=50,

.?.4R2=5O,

球的表面積為S=4π∕?2=50π.

題型三：圓柱的外接球(R2=(9)+Γ,其中r為底面圓的半徑，〃為圓柱的高)

【例1】已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱

的體積為

C3兀C冗C兀

A.兀B.—C.一D.一

424

【答案】B

【詳解】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：AC=1,AB=∣,

結合勾股定理，底面半徑r=/_?=#,

由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是V=兀,刀=πχ（￥]Xi=；兀，故選B.

【題型專練】

L阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，他一生最為滿意

的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球，，定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊

（即球與圓柱形容器的底面和側面都相切），在該圖形中，球的體積是圓柱體積的;，并且球

的表面積也是圓柱表面積的（，則該圓柱的體積與它的外接球的體積之比為.

【答案】逑

8

【分析】設圓柱的底面半徑為。，由題意可知圓柱的高為2”,再根據(jù)圓柱的底面與外接球的

關系，可利用勾股定理即可求出圓柱外接球半徑R=JL,由兩幾何體的體積公式求出各自

的體積，由此即可求出比值.

【詳解】設圓柱的底面半徑為“，則圓柱的內切球的半徑為圓柱的高為20,.?.圓柱的

體積為K="xα2χ2a=2τ/,乂圓柱的外接球球心為上下底面圓心連線的中點，二圓柱的外

接球半徑R=JT7/=缶，???圓柱的外接球體積為匕=?∣τ（j%y=華萬〃，故

M二手

+r2,其中，為底面外接圓的半徑，〃為棱柱的高）

【例1】設直三棱柱ABC-AgG的所有頂點都在一個表面積是40兀的球面上，且

AB=AC=AAt,ZBAC=?20,則該直三棱柱的體積是（）

A.4√6B.亞C.2√6D.偵

33

【答案】A

【分析】先設出棱長，表示出球半徑，利用球的表面積求出棱長，然后利用柱體的體積公式

可求體積.

【詳解】設48=AC=A?=2，〃.因為∕A4C=120,所以NAC8=30.

由正弦定理得Tr=2r（r是二ABC外接圓的半徑），r=2m.

sιn30

又球心到平面ABC的距離等于側棱長AA的一半，所以球的半徑為?、漂?加=布,n.所以

球的表面積為4π（gπι）=40兀，解得zn=√∑.

i

因此該直三棱柱的體積是SABc?AAi=gX4〃5?-?X2m=2yf3m=4??

【例2】在直三棱柱ABC-ABlG中，AB=2,AC=2√3,BC=2?,AAI=4,則該直三

棱柱的外接球的表面積為.

【答案】52π

【分析】求得外接球的半徑，從而求得外接球的表面積.

【詳解】設三角形ABC的外接圓半徑為「，

設直三棱柱的外接球的半徑為R,

cos/BAC=生上W=-且，則N84C為鈍角，貝IJSinN84C=

2×2×2√33

?_276_.

r-r-κ∣2r——正--6,r—3

所以√6，

T

所以R2=32+（gj=i3,

所以外接球的表面積是4πR2=52π.

【例3】若一個底面邊長為述，側棱長為卡的正六棱柱的所有定點都在一個球的面上，則

2

此球的體積是.

【答案】4島

【分析】計算出正六棱柱的外接圓直徑，進而可求得外接球的半徑，利用球體體積公式即可

計算出正六棱柱的外接球的體積.

【詳解】如下圖所示：

圓柱002的底面圓直徑為2廠，母線長為/?.則。O?的中點。到圓柱底面圓上每點的距離都相

等，則。為圓柱。外接球的球心，設球。的半徑為&,則2R=J(2r『+《,

可作出正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F,的外接圓,

可將正六棱柱ABCDEF-AMClDlE儲放在圓柱。0?中,如下圖所示:

連接QAI、olB1,則NA04=60,且。0=。4,則ao∣44為等邊三角形,

則圓。1的半徑為r=0∣A=AlBI=,

正六棱柱ABCDEF-AB1C1D1E1/-的側棱長為h=娓,

設正六棱柱ABSEF-A"GDE耳的外接球的半徑為R,則2R=√(2r)2+A2=2√3,

所以，R=B因此，正六棱柱的外接球體積為丫=￥/?3=：晝(有)3=4岳

故答案為：4用兀.

【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方

體或長方體中去求解；

②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距掰也是半徑，列關系求解即可.

【題型專練】

1.如圖，在直三棱柱ABC-A8∣G中，AB≈BC=AA,=2,ZABC=90°,則此直三棱柱的外

接球的體積是.

【答案】4√3Λ-

【分析】根據(jù)給定條件把直三棱柱補形成正方體，利用它們有相同的外接球，求出正方體的

體對角線長即可得解.

【詳解】直二棱柱ABC-AgG共點于B的三條棱8片,BA,BC兩兩垂直，AB=BC=AAt=2,

則以B綜BA,BC為相鄰三條棱可作正方體，該正方體與直三棱柱ABC-AqG有相同的外接

球，

外接球的直徑2R即為正方體體對角線長J2?2,+2。=2小，即R=6,

44LL

此球的體積為V=]"R'=耳萬-36=4&,

2.若三棱柱ABC-ABg的底面是以AB為斜邊的直角三角形，AAJ平面ASC,AB=2人,

M=4,則三棱錐A-ABC的外接球的表面積為.

【答案】24π

【分析】利用勾股定理求得外接球的半徑，從而求得外接球的表面積.

【詳解】三棱錐A-ABC的外接球即直三棱柱ABC-ABG的外接球,

直角三角形的外心在斜邊的中點,

所以外接球的半徑R=√6.

所以外接球的表面積為4πR2=24π.

3.已知直三棱柱ABC-44G中，BBi=BC=2,ZBAC=^,則該三棱柱外接球的體積為

6

【答案】史墾

3

【分析】先利用正弦定理求地面的外接圓半徑，然后利用勾股定理求外接球的半徑，最后求

得體積.

【詳解】棱柱底面ABC的外接圓直徑.^?^,所以該三棱推外接球的半徑

Asin——

6

i?=√5.所以該三棱柱外接球的體積為V=g〃N=竺咨

R=

4.已知在直三棱柱43C-48∣C∣中，AB=AA1=1,BC=2,ABlBC,則點A到平面48?

的距離為;若三棱錐A-ABe的頂點都在同一個球面上，則該球體積為.

【答案】@√6π

2

【分析】利用等體積法=匕MMC,,結合題干數(shù)據(jù)可求解點A到平面ABC的距離，將直

三棱柱ABC-Λ,β,C,補全為以84BC,BBt為三相鄰棱的長方體，可知長方體的外接球即為直

三棱柱ABC-A4G的外接球，即為三棱錐A-Afii6的外接球，求解即可.

【詳解】0

由題意，點AI到平面ABC的距離可以看作三棱錐A-A&G的高，不妨記為d，

由于直三棱柱ABC-AtBlCl,故AAL平面4片&，

故以A∕?GSMG；創(chuàng)；創(chuàng)2=（，

22

AC1=QAM+AC；=R,AB1=√2,BlCt=2,即AC；=AB+B1C1,ZAfi1Cl=90,

故以-MG=§"x=丁*5*2*應=匕-ABIq=?］，解得d=?

將直三棱柱ABC-A瓦G補全為以明，BC,5與為三相鄰棱的長方體，可知長方體的外接球即

為直三棱柱ABC-AB1C1的外接球，即為三棱錐A-ABe的外接球，

故外接球的半徑R=JBA2+B^咨=",體積V=9W=倔r.

223

題型五：側棱垂直于底面的棱錐的外接球（R2=（W）+/,其中r為底面外接圓的半徑，

PA為棱錐垂直于底面的棱）

【例1】已知A,B,C,。在球。的表面上，ABC為等邊三角形且其面積為也，AD，平

4

面ABCAD=21則球。的表面積為（）

A.兀B.2πC.4πD.8π

【答案】D

【分析】由正弦定理可得AABC外接圓的半徑，作圖利用勾股定理可得四面體。-A8C的外

因為.ABC為等邊..角形且其面積為,α2sin60=—=處,

244

所以ASC的邊長為√L設ΛBC外接圓的半徑為，

由正弦定理可得2r=及一=2,r=l,取底面中心為O∣,即。A=I

sin60

???AD_L平面ABC,AD=2t

過O∣作?O〃A。，且取OQ=gAO,

則。即是四面體。-ABC外接球的球心，半徑R=OA,

2222

在RtaOQA中，OA=O1O+QA=+1=2,則R=OA=√∑,

所以球O的表面積為4π2=8π.

【例2】已知在三棱錐P-ABC中，∕?=4,BC=2√6,PB=PC=3,PA_L平面P8C,則三

棱錐產(chǎn)一ABC的外接球的表面積是（）

A.40πB.43πC.45πD.48π

【答案】B

【分析】利用空間點、線、面的位置關系，根據(jù)三棱錐的特點計算其外接球的半徑.

【詳解】在等腰PBC中，易知COSNPBC=亞,所以SinNPBC=@,

33

13

PBC的外接圓的半徑為r=-X-------------=|技

2SinZPBC

所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R=

所以其表面積為4兀R2=4n［號J=43π.

【例3】三棱錐P-ABC中，PAj■平面ABC,ABC為直角三角形，ABlBC,AB=BC=I,

Z?=2,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.2πB.3πC.4πD.6兀

【答案】D

【分析】根據(jù)線段垂直關系，將三棱錐置于長方體中，根據(jù)各棱長可求得其外接球的半徑,

即可求得其外接球的表面積.

【詳解】由于三棱錐P-ΛBC中，24,平面ABC,ABJ.BC,AB=BC=I,PA=2

故將該三棱錐置于一個長方體中，如下圖所示：

則體對角線PC即為外接球的直徑，

所以2R=∣PC∣=+AB-+BC2=√22+l2+l2=√6,

故三棱錐P-ABC的外接球表面積為5=4πR2=6萬.

【題型專練】

1.如圖，在四棱錐P-ΛBC3中，PO_L平面ABeABDC,ADJ.AB,DC=2,AD=AB=i,

直線PA與平面45C。成45。角.設四面體PBC。外接球的圓心為0,則球的體積為

【分析】先證明出△尸C。和AP8C均為直角三角形，得到。點位置，可求得外接球的半徑,

可求其體積.

【詳解】在底面ABCo上，ABHDC,ADLAB,DC=2,AD=AB=I,

所以/AO8=NABO=45L',所以BD=>∕1+1=，

在△8CQ上，BD=?J2,DC=2,ZCDB=45°,

由余弦定理可得：

BC=√Cf>2+BD2-2CD-BDcos450=0.

所以CO?=3Z)2+C82,所以/CBZ)=90°.

所以BDlCB.

又因為尸。_L平面A8CZ),所以/5D"LBC

又PDCBD=D,PDU面P8D,BDU面PBD

所以BC_1面心￡),所以8C_LPB.

則4PCD和4尸BC均為直角三角形，當。點為PC中點時，OP=OD=OB=OC,

此時0為四面體PBCD的外接球的球心.

：直線∕?與平面ABC。成45。角.尸D_L平面A8CD,

則ZPAD=45°,：.PD=AD=1,

又PC=JCD,+PD'=區(qū),

2.在三棱錐A-8CZ）中，平面AoC,BD=2,AB=2應,AC=BC=2垃,則三棱

錐A-BCD的外接球的體積為.

【答案】4√3π

【分析】首先根據(jù)題意易證80_LAD,BDkCD,再根據(jù)勾股逆定理得到ADL8,從而

得到三棱錐A-BCD的外接球半徑R=6，即可得到答案.

【詳解】如圖所示：

B

因為801平面A3C,A。U平面AoC,Cz）U平面AOC,

所以BD_LAO,BDYCD.

因為8D=2,Aβ=2√2,所以AD=他同二?=2,

因為80=2,BC=2y∕2,所以CD=42及Y-2?=2,

在AADC中，AD=2,CD=I,AC=2√2,

^SiAD2+CD2=AC2,即AO_L8.

因為在三棱錐A—BCD中，Q/平面ADC,ADrCD,

所以三棱錐A-BCD的外接球半徑R=，2」2-t2[=6,

2

故三.棱錐A—BCD的外接球的體積為g兀（石『=4√3π.

3.已知A,B,C,。是同一球面上的四個點，其中ABC是正三角形，AD，平面ABC,

Ar）=2,AB=3,則該球的表面積為.

【答案】16π

【分析】根據(jù)外接球的性質可得&ABC的外接圓直徑，AO與外接球直徑構成勾股定理，進

而求得外接球直徑，進而求得表面積即可.

AB=3=2^yj

【詳解】由題意，ABC的外接圓直徑sin60l'B,FIABC的外接圓直徑，AD

~2

與外接球直徑構成勾股定理，所以外接球直徑。滿足O?^d2+AD2=16.

故外接球表面積5=πD2=16π.

D

B

4.我國古典數(shù)學著作《九章算術》中記載，四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌?現(xiàn)

有一個“鱉濡”，R4，底面ABC,AeIBC,且Λ4=3,BC=2,AC=耳,則該四面體的

外接球的表面積為.

【答案】16π

【分析】根據(jù)題意將三棱錐尸-ΛBC還原到長方體中，如圖所示，求出長方體的體對角線的

長，即可得外接球的直徑，從而可求出其表面積.

【詳解】解：將二棱錐P-ABC還原到長方體中，如圖所示

則長方體的外接球的半徑為

2R=>]PA1+AC2+BC2=√9+3+4=4

故R=2

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4兀4=16兀，

題型六：圓錐的外接球

【例1】一個圓錐母線長為G,側面積3缶，則這個圓錐的外接球體積為.

【答案】4&

【分析】由圓錐的側面積得出圓錐的底面半徑，設出球的半徑，根據(jù)題意得出關系式求出球

的半徑，進而得出球的體積.

【詳解】解：設圓錐的底面半徑為，

因為圓錐母線長為卡,側面積3"r,所以6r=3而，解得r=g，

所以，圓錐的高〃=√L

設球半徑為R,球心為0,其過圓錐的軸截面如圖所示,

由題意可得,(h-R)2+r2=R2,g∣J(√3-/?)2+3=/?2,解得R=曲,

4L

所以，v=-mV=4岳.

3

3

【例2】已知圓錐的底面半徑為/?,高為3R,它的內接圓柱的底面半徑為:R,該圓柱的全

4

面積為（）

983

A.ITTR2B.—τcR^C.-κR^D.—兀R-

432

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何特點，求得圓柱的高，再求全面積即可.

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

3

AB,故可得AB=1R,

獲4

(4J16164

【題型專練】

1.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為:，兩個圓錐的

高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3πB.4πC.9πD.124

【答案】B

【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐

的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結果.

【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點。，

設圓錐4。和圓錐3。的高之比為3:1,即Ar)=38。,

所以，BD-1,AD=3,

CDYAB,則NcAJD+ZACO=NBCD+ZACD=90，所以，/CAD=NBCD,

又因為NAQC=/BOC,所以，∕?ACD^ΛCBD,

grADCD-------

所以，~CD=~BD,'CD=NlADBD=6r,

因此，這兩個圓徘的體積之和為*xα>2?(AO+8Q)=*x3x4=4τr.

題型七：棱臺圓臺的外接球

【例1】已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3萬和4√J,其頂點都在同一球面上,

則該球的表面積為()

A.100πB.128πC.144πD.192π

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小R,再根據(jù)球心距，圓面半徑,

以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑彳，4,所以24=總-,2々=也6即

sin60sin60

4=3,弓=4,設球心到上下底面的距離分別為4,球的半徑為R,所以4=JR2-9,

4=JR-6,故|4-刈=1或4+4=1,即∣√Λ2-9-√Λ2-16∣=1或廬^+痛丁=?,

解得代=25符合題意，所以球的表面積為S=4πX=ιoθπ.

【例2】已知一圓臺高為7,下底面半徑長4,此圓臺外接球的表面積為Io0萬，則此圓臺的

體積為（）

A.84〃B.86τrC.TCD.冗

33

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉體的特點得到圓臺的外接球的球心為圓臺軸截面外接圓的圓心，然后結合

題意得到AB=7,OC=5,AC=4,利用勾股定理得到BD=3,最后利用圓臺的體積公式

如圖為圓臺及其外接球的軸截面，。為外接球球心，A,8為等腰梯形的下底和上底的中點，

所以Aβ=7,ABlAC,

因為外接球的表面積為100萬，所以外接球的半徑為OC=5,圓臺下底面半徑為4,所以AC=4,

Ao=乒不=3,則OB=4,BD=√5r≡4r=3-即圓臺上底面半徑為3,所以圓臺的體積

為1χ7x（zrχ32+Λ?χ42+?∣π×32×π×42j=~~~~

【題型專練】

1.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形的棱臺稱為“芻童已知側棱都相等的四

棱錐P-45C3底面為矩形，且43=3,BC=幣,高為2,用一個與底面平行的平面截該四

棱錐，截得一個高為1的芻童，該芻童的頂點都在同一球面上，則該球體的表面積為（）.

A.16兀B.18πC.20πD.25π

【答案】C

【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半徑，進而求得球的表面積.

【詳解】如圖1,設棱臺為ABCo-ABCQ,

如圖2,該樓臺外接球的球心為0,半徑為R,上底面中心為0∣,卜底面中心為O?,

，Ct

圖I圖2

則由題意。。2=1,AO2=2,Aq=1,OA-OAx=R,

當。在QQ卜方時，設。。2=6，

則在/。。2中，有：R2=h2+4(1).

22

在，Λi00∣中，有：Λ=(∕J+1)+1(2),

聯(lián)立⑴、(2)得∕ι=l,Rf,

所以芻童外接球的表面積為20π.

同理，當。在。G中間時，設。。=〃，

2

則有心=肥+1,^=(i-ft)+4,解得〃=2,不滿足題意，舍去.

綜上所述：當芻童外接球的表面積為20兀.

2.在正四棱臺48CO-AMGR中，AlBl=2AB=4,AA=2,則該棱臺外接球的半徑為()

A.2拉B.3C.√10D.3√2

【答案】C

【分析】［解法Il設所求外接球球心為。，則。在上下底面中心的連線GG上，利用勾股定理

可求得GG-設OG=m,在Rt∠?OCG和RLOaG中，利用勾股定理可構造方程組求得方，

即可得解.

［解法2J同解法1,求得直角梯形CGaG的各邊，利用圖形的特殊性，作出Cel的中垂線，

?GG1的延長線交點即為球心,由此進行計算即可.

【詳解】［解法I］由題意知：四邊形ABC2A/CR均為正方形，G,G∣為上下底面的中心，

設正四棱臺的外接球球心為O,外接球半徑為R,則OW直線GG∣；

ABl=2AB=4,.?,4c=2√J,A1C1=442,又⑨=2,

m2+2=R2（_2/?

設。G=%∈p）,近],則/廠、2.解得：「7（舍）；

L」（y∣2-mj+S=R2[∕?2=10

ιn~+2=R-_2?×^^

設OG=m>-Ji,則｛/f-λ2