2023高考數(shù)學復習-立體幾何空間距離與截面100題

2023高考數(shù)學一一立體幾何空間距離與截面100題

目錄

1.高中立體幾何知識點總結(jié)...........................................................................1

1.1.平面..........................................................................................1

1.2.不等式........................................................................................3

1.3.集合..........................................................................................4

1.4.口訣...........................................................................................5

1.5.三角函數(shù)......................................................................................6

1.6.立體形狀......................................................................................6

1.7.距離、面積、體積..............................................................................7

1.8.平行與垂直....................................................................................8

1.9.平面、直線....................................................................................9

1.10.口訣........................................................................................9

2.任務一：空間中的距離問題1-60題..................................................................19

2.1.單選題......................................................................................19

2.2.多選題......................................................................................48

2.3.填空題......................................................................................63

2.4.解答題......................................................................................72

3.任務二：幾何體截面問題1-40題....................................................................91

3.1.單選題......................................................................................91

3.2.多選題.....................................................................................119

3.3.填空題......................................................................................136

3.4.解答題......................................................................................141

1.高中立體幾何知識點總結(jié)

總結(jié)是指對某一階段的工作、學習或思想中的經(jīng)驗或情況加以總結(jié)和概括的書面材料，它可以

幫助我們總結(jié)以往思想，發(fā)揚成績，因此，讓我們寫一份總結(jié)吧。但是卻發(fā)現(xiàn)不知道該寫些什么，

下面是小編為大家整理的高中立體幾何知識點總結(jié)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋

友。

1.1.平面

通常用一個平行四邊形來表示。

平面常用希臘字母a、8、Y…或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相

第1頁共148頁

對頂點字母表示，如平面AC。

在立體幾何中，大寫字母A,B,C,…表示點，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線

和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關系，例如：

a)A∈l一點A在直線1上;A□一點A不在平面ɑ內(nèi)；

b)lα一直線1在平面ɑ內(nèi)；

c)aɑ一直線a不在平面ɑ內(nèi)；

d)l∩m=A一直線1與直線m相交于A點；

e)ɑ∩I=A一平面ɑ與直線1交于A點；

?ɑ∩β=1—平面ɑ與平面β相交于直線Io

平面的基本性質(zhì)

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)；

公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線；

公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。

根據(jù)上面的公理，可得以下推論，

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

拓展閱讀：高中數(shù)學立體幾何解題技巧

L平行、垂直位置關系的論證的策略：

(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

(2)利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一。

(3)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮。

2.空間角的計算方法與技巧：

主要步驟：一作、二證、三算;若用向量，那就是一證、二算。

(1)兩條異面直線所成的角①平移法：②補形法：③向量法：

(2)直線和平面所成的角

①作出直線和平面所成的角，關鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計算，或用向量計算。

②用公式計算。

(3)二面角

①平面角的作法：⑴定義法;(ii)三垂線定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

第2頁共148頁

②平面角的計算法：

⑴找到平面角，然后在三角形中計算(解三角形)或用向量計算;(ii)射影面積法;(iii)向量夾角公式。

3.空間距離的計算方法與技巧：

(I)求點到直線的距離：經(jīng)常應用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關的三角形中求解,

也可以借助于面積相等求出點到直線的距離。

(2)求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長。在不能直接作出公

垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解(這種情況高考不做要求

(3)求點到平面的距離：一般找出(或作出)過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)

過該點作出平面的垂線，進而計算;也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離;有時直接利用已知點求

距離比較困難時，我們可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點上

去求“點到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點到平面的距離

來求解。

1.2.不等式

L不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數(shù)學符號連接兩個數(shù)或代數(shù)式以

表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，叫做不等式.

2.比較兩個實數(shù)的大小

兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的，

有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.

另夕卜，若b>0,則有

概括為：作差法，作商法，中間量法等.

3.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性:a>b?;

(2)傳遞性：a>b,b>c?;

(3)可加性：a>b7a+cb+c,a>b,c>d7a+cb+d;

(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?;

(5)可乘方：a>b>07(n∈N,n≥2);

(6)可開方：a>b>07(n∈N,n22).

復習指導

1.“一個技巧”作差法變形的技巧：作差法中變形是關鍵，常進行因式分解或配方.

第3頁共148頁

2.“一種方法”待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時，先用已知的代數(shù)式表示目標式，再利用多項式

相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標式的范圍.

3.“兩條常用性質(zhì)”

(1)倒數(shù)性質(zhì)：①a>b,ab>0?〈;②a<0

③a>b>O,O;④0

(2)若a>b>O,m>0,則

①真分數(shù)的性質(zhì)：<;>[b-m>0);

②假分數(shù)的性質(zhì)：>;<(b-m>0).

1.3.集合

必修1：集合，函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)，基函數(shù)，對數(shù)函數(shù))

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。

必修4：基本初等函數(shù)(三角函數(shù)卜平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上所有的知識點是所有高中生必須掌握的，而且要懂得運用。

選修課程分為4個系列：

系列1：2個模塊

選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

選修1-2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)、框圖

系列2:3個模塊

選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何

選修2-2：導數(shù)及其應用、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)

選修2-3：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例

選修4-1：幾何證明選講

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

選修4-5：不等式選講

2.重難點及其考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)

難點：函數(shù)，圓錐曲線

高考相關考點：

第4頁共148頁

L集合與邏輯：集合的邏輯與運算（一般出現(xiàn)在高考卷的第一道選擇題）、簡易邏輯、充要條件

2.函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)

函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用

3.數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求通項、求和

4.三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和差倍半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的

圖像及其性質(zhì)、應用

5.平面向量:初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用

6.不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式（經(jīng)常出現(xiàn)

在大題的選做題里）、不等式的應用

7.直線與圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系

8.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的

應用

9,直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

10.排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

IL概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

12.導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用

13.復數(shù)：復數(shù)的概念與運算

1.4.口訣

點在線面用屬于,線在面內(nèi)用包含。四個公理是基礎，推證演算巧周旋。

空間之中兩條線,平行相交和異面。線線平行同方向，等角定理進空間。

判定線和面平行,面中找條平行線。已知線與面平行，過線作面找交線。

要證面和面平行,面中找出兩交線，線面平行若成立，面面平行不用看。

已知面與面平行,線面平行是必然;若與三面都相交，則得兩條平行線。

判定線和面垂直,線垂面中兩交線。兩線垂直同一面，相互平行共伸展。

兩面垂直同一線,一面平行另一面。要讓面與面垂直，面過另面一垂線。

面面垂直成直角,線面垂直記心間。

一面四線定射影,找出斜射一垂線,線線垂直得巧證，三垂定理風采顯。

空間距離和夾角，平行轉(zhuǎn)化在平面,一找二證三構造，三角形中求答案。

引進向量新工具，計算證明開新篇?？臻g建系求坐標，向量運算更簡便。

知識創(chuàng)新無止境，學問思辨勇攀登。

第5頁共148頁

多面體和旋轉(zhuǎn)體，上述內(nèi)容的延續(xù)。扮演載體新角色，位置關系全在里。

算面積來求體積，基本公式是依據(jù)。規(guī)則形體用公式，非規(guī)形體靠化歸。

展開分割好辦法，化難為易新天地。

1.5.三角函數(shù)

三角函數(shù)。注意歸一公式、誘導公式的正確性

數(shù)列題。1.證明一個數(shù)列是等差（等比）數(shù)列時，最后下結(jié)論時要寫上以誰為首項，誰為公差（公

比）的等差（等比）數(shù)列;2.最后一問證明不等式成立時，如果一端是常數(shù)，另一端是含有n的式子時，

一般考慮用放縮法;如果兩端都是含n的式子，一般考慮數(shù)學歸納法（用數(shù)學歸納法時，當n=k+l時,

一定利用上n=k時的假設，否則不正確。利用上假設后，如何把當前的式子轉(zhuǎn)化到目標式子，一般

進行適當?shù)姆趴s，這一點是有難度的。簡潔的方法是，用當前的式子減去目標式子，看符號，得到

目標式子，下結(jié)論時一定寫上綜上：由①②得證;3.證明不等式時，有時構造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性

很簡單

立體幾何題L證明線面位置關系，一般不需要去建系，更簡單2求異面直線所成的角、線面角、

二面角、存在性問題、幾何體的高、表面積、體積等問題時，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值（范

圍）與所求角的余弦值（范圍）的關系。

概率問題。1.搞清隨機試驗包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的個數(shù);2.搞清是什么

概率模型，套用哪個公式;3.記準均值、方差、標準差公式;4.求概率時，正難則反（根據(jù)

pl+p2+...+pn=l）;5,注意計數(shù)時利用列舉、樹圖等基本方法;6.注意放回抽樣，不放回抽樣；

1.6.立體形狀

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構特征

⑴棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等；

平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

第6頁共148頁

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面

距離與高的比的平方。

(3)棱臺:

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

⑷圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩

形。

(5)圓錐:

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺:

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。

(7)球體:

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右卜俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與X軸平行的線段仍然與X平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

1.7.距離、面積、體積

第7頁共148頁

1.空間的距離問題

主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、

平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離（在會求距離問題之前，需要明確其位置關系，

詳見空間點、直線、平面的位置關系）.求距離的一般方法和步驟是：一作出表示距離的線段；二

證明它就是所要求的距離；三計算其值.此外，我們還常用體積法求點到平面的距離.

2,面積和體積

柱、錐、臺、球及其簡單組合體等內(nèi)容是立體幾何的基礎，也是研究空間問題的基本載體，是

高考考查的重要方面，在學習中應注意這些幾何體的概念、性質(zhì)以及對面積、體積公式的理解和運

用。

3.三視圖

幾何體的三視圖和直觀圖是認知幾何體的基本內(nèi)容，在高考中，對這兩個知識點的考查集中在

兩個方面，一是考查三視圖與直觀圖的基本知識和基本的視圖能力，二是根據(jù)三視圖與直觀圖進行

簡單的計算，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。

1.8.平行與垂直

1.有關平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復

遇到的，而且是以各種各樣的問題（包括論證、計算角、與距離等）中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾

何的總復習中，首先應從解決平行與垂直的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的

內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律--充分利用線線平行（垂直）、

線面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。

2,判定兩個平面平行的.方法：

（1）根據(jù)定義-證明兩平面沒有公共點；

（2）判定定理-證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面；

（3）證明兩平面同垂直于一條直線。

3.兩個平面平行的主要性質(zhì)：

⑴由定義知：兩平行平面沒有公共點。

⑵由定義推得：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

⑶兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那

么它們的交線平行。

⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

第8頁共148頁

⑹經(jīng)過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。

以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為性質(zhì)定理，但在解題過程中均可直接作為性質(zhì)

定理引用。

1.9.平面、直線

L平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

能夠用斜二測法作圖。

2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；

會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。

3.直線與平面

①位置關系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。

②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。

③直線與平面垂直的證明方法有哪些？

④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是

⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理.三垂線定理及其逆定理主要用于證

明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.

4.平面與平面

(1)位置關系：平行、相交，(垂直是相交的一種特殊情況)

(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。

(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理,

可以證明線面垂直。

(4)兩平面間的距離問題點到面的距離問題

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；

②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。

③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法

1.10.口訣

1、過兩點有且只有一條直線

2、兩點之間線段最短

3、同角或等角的補角相等

4、同角或等角的余角相等

第9頁共148頁

5、過一點有旦只有一條直線和已知直線垂直

6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7、平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9、同位角相等，兩直線平行

10、內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12、兩直線平行，同位角相等

13、兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15、定理三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18、推論1直角三角形的兩個銳角互余

19、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21、全等三角形的對應邊、對應角相等

22、邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23、角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24、推論(AAS)有兩角和其中一一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25、邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26、斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27、定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28、定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30、等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31、推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33、推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角

對等邊)

第10頁共148頁

35、推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36、推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39、定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40、逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42、定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43、定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44、定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸

上

45、逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線

對稱

46、勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊C的平方，即a"+b八2="2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、C有關系22+卜2="2,那么這個三角形是

直角三角形

48、定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49、四邊形的外角和等于360°

50、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

51、推論任意多邊的外角和等于360°

52、平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

54、推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55、平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56、平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57、平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58、平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59、平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60、矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61、矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62、矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63、矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

第11頁共148頁

64、菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65、菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66、菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(aXb)÷2

67、菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68、菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69、正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70、正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對

角

71、定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72、定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73、逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關

于這一點對稱

74、等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75、等腰梯形的兩條對角線相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77、對角線相等的梯形是等腰梯形

78、平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截

得的線段也相等

79、推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80、推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81、三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82、梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=(a+b)÷2S=LXh

83、⑴比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc;如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性質(zhì)如果a∕b=c∕d,那么(a±b)∕b=(c±d]∕d

85、(3)等比性質(zhì)如果a∕b=c∕d=…=m∕n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)∕(b+d+…+n)=a∕b

86、平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87、推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例

88、定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線

平行于三角形的第三邊

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三

邊對應成比例

第12頁共148頁

90、定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角

形相似

91、相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似(ASA)

92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

94、判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)

95、定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對

應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96、性質(zhì)定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97、性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98、性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101、圓是定點的距離等于定長的點的集合

102、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104、同圓或等圓的半徑相等

105、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109、定理不在同一直線上的三個點確定一條直線

110、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111、推論1

①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112、推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113＞圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相

等

第13頁共148頁

115、推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等

那么它們所對應的其余各組量都相等

116、定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117、推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118、推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑

119、推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120、定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121、①直線L和C)O相交d<r

②直線L和。O相切d=r

③直線L和OO相離d>r

122、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124、推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125、推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126、切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩

條切線的夾角

127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129、推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130、相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131、推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132、切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的

比例中項

133、推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135、①兩圓外離d>R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r[R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r[R>r)

136、定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137、定理把圓分成n(n23):

第14頁共148頁

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138、定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139＞正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)X180°/n

140、定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141^正n邊形的面積Sn=Pnrn/2

P表示正n邊形的周長

142、正三角形面積J3a∕4

a表示邊長

143、如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角,由于這些角的和應為360°,因此kX(n-2)180o

∕n=360o化為(n-2)(k-2)=4

144、弧長計算公式：L=n□R∕180

145、扇形面積公式：S扇形=nΠR∕360=LR∕2

146、內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

圖形認識初步

1、(1)幾何圖形：我們把從實物中抽象出的各種圖形稱為幾何圖形。

①立體圖形：有些幾何圖形(如長方形，正方體，圓柱，圓錐，球等)的各部分都不在同一平面內(nèi)，

它們是立體圖形。

②平面圖形：有些幾何圖形(如線段，角，三角形，長方形，圓等)的各部分都在同一平面內(nèi)，它

們是平面圖形

(2)從不同方向看物體

①從正面看，可以分清物體的長度和高度

③從左面看，可以分清物體的高度和寬度

④從上面看，可以分清物體的長度和寬度

2、體、面、線，點

體：幾何體也簡稱體

面：包圍著體的是面

線：面和面相交的地方是線

點：線和線相交的地方是點

點動成線，線動成面，面動成體

注：(1)一般柱體都可以由底面的平面圖形沿棱平移得到

第15頁共148頁

(2)一般來說，有曲面的幾何體，都可以由某一平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)得到

3、直線，射線，線段

(1)直線的基本性質(zhì)(直線公理)

經(jīng)過兩點有一條直線，并且只要一條直線，簡稱為2點確定一條直線

(2)表示方法

用一個小寫字母表示，如直線L線段a

用大寫字母表示如，線段AB,射線OA

(3)點與直線的位置關系

點在直線上---X---------

A點直線外---P

(4)兩直線相交

兩條直線相交有一個公共點，即交點

注意公理和定理的區(qū)分

(1)命題的定義：判斷一件事情的語句叫做命題

(2)組成：①命題是由題設和結(jié)論組成的，題設是已知，結(jié)論是由已知推出的事項

②命題可以寫成“如果.....那么”的形式

③經(jīng)過推論證實的真命題叫定理

3、線段的性質(zhì)

(1)線段的畫法

尺規(guī)法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a

度量法：先量出線段a的長度，在畫出一條等于這個長度的線段

(2)線段的比較

疊合法：即把其中的一條線段移到另一條線段上作比較

度量法：即用刻度尺分別測量出它們的長度作比較

(3)線段的中點

一個點把其中一條線段分成兩條相等的線段，這個點就叫做這條線段的中點，類似的還有線段

的3等分點等。

(4)線段公理

兩點連線的所有線段中，線段最短

(5)線段距離：連接兩點間線段的長度，叫做兩點間的距離

4、角

第16頁共148頁

定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線是角

的兩條邊。

注：角的大小和邊長沒有關系

角可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形，當終止位置和起始位置成一條直線時所

成的角叫做平角，等終止位置和起始位置重合是所形成的的角叫做周角。

(2)角的表示法

①用3個大寫字母表示，表示頂點的字母必須寫中間

②當頂角處只有一個角時，可以用表示頂角的一個大寫字母表示

③用數(shù)字或希臘字母表示

(3)角的分類

①銳角：大于0°,小于90°的角

②直角：等于90°的角

④鈍角：大于90°,小于180°的角

⑤平角：等于180°的角

⑥周角：等于360°的角

(4)角的度量和換算

①我們常用量角器量角，度，分秒是常用的角度單位，把一個周角360等分，每一份就是1度

的角，記作：1°;同樣的還有，把一度的角60等分，記作：1':把1分的角60等分，記作1''

(2)換算方法

①由度化為分秒的形式：1°=60',1'=60''

②由分秒化為度的形式：1''=

③畫角的工具：三角板，量角器

(5)角的比較和運算

①比較：可以用量角器量出度數(shù)再比較

②和差：兩種意義，幾何意義和代數(shù)意義

(6)角平分線

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線

6、余角和補角

①余角

如果兩個角的和等于90度，就說明這兩個角互為余角

簡稱互余，其中一個角是另一的角的余角

第17頁共148頁

②補角

如果兩個角的和等于180°,就說這兩個角互為補角，簡稱互補，其中一個角是另一個角的補

角

③性質(zhì)

等角(或同角)的余角補角相等

7、方位角

方位角通常以正南或正北方向為基準，描述物體運動的方向，通常先寫正北或正南，在寫偏東

或偏西

相交線與平行線

1、兩條相交線所形成的角

鄰補角：有一條公共邊，它們的一條邊互為反向延長線，鄰補角互補

對頂角：有一個公共點，它們的兩邊都互為反向延長線，具有這種關系的兩個角互為對頂角，

對頂角相等

(1)鄰補角和對頂角都是成對出現(xiàn)的

(2)對頂角相等：但相等不一定是對頂角

(3)兩條直線相交，形成兩組對頂角，分別相等，這一條件作為隱含條件，因此可以直接使用

(4)在兩條直線相交所得的四個角中，其中有公共頂點但沒有公共邊的兩個角是對頂角，有公共

頂點且有一條公共邊的兩個角都是鄰補角

2、垂線的相關定義

①垂直：當兩條直線相交所形成的4個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線相互垂直。

②垂線：當兩條直線相互垂直時，其中一條直線叫做另一條直線的垂直

③點到直線的距離：直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線最短，簡稱“垂線段最短”

注：1、垂線是直線，垂線段是線段

2、斜線段有無數(shù)條，而垂線段只有一條

3、在比較兩條線段的長短時，要弄清那一條是垂線

3、平行線

①定義：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。直線a與b平行，記a〃b

②畫法：一落-一把三角尺一邊落在已知直線上

二靠--…用直尺緊靠三角形的另一邊

三移……把三角形沿直尺的邊推到三角尺的第一邊恰好經(jīng)過已知點的位置

四畫……沿三角尺過已知點的邊畫直線

第18頁共148頁

(3)平行線的公理及其推論

①平行公理：經(jīng)過直線外的一點，有且只有一條直線與這條直線平行，推論：如果兩直線都與

第三條直線平行，那么著兩條直線互相平行

(4)平行線的判定

①同位角相等，兩直線平行

②內(nèi)錯角相等，兩直線平行

③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

(5)平行線的性質(zhì)

①兩直線平行，同位角相等

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

注：平行線的性質(zhì)和平行線判定的區(qū)別

判定是由角相等或互補推出的直線平行，性質(zhì)是由直線平行推出的角的相等或互補

2.任務一：空間中的距離問題1-60題

2.1.單選題

1.《九章算術?商功》：“斜解立方，得兩塑堵，斜解塑堵，其一為陽馬，一為鱉晴.陽馬居二,

鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉牖三而一，驗之以基，其形露矣.”文中“陽馬”是底面為長方形

且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.在陽馬尸-488中，側(cè)棱底面/8C。，且Q4=l,AB=AD=2,

則點A到平面PBo的距離為()

ATB-Tc?Td?T

【答案】B

【分析】

利用等體積法有%TBD=%"BD，即可求A到平面PBD的距離.

【詳解】

B

第19頁共148頁

設A到平面心。的距離為〃，則三棱錐PABD的體積為:

；XS"BDXP4=；XS△即x/1,即有:χgχ2χ2χl=*Jχ2√∑χbχ∕;’

：.h=顯

3

故選：B.

2.已知直線/過定點力（2,3,1）,且方向向量為W=（0,1,1）,則點P（4,3,2）至【〃的距離為（）

A?述B.遮C.巫DY

222

【答案】A

【分析】

本題首先可根據(jù)題意得出后,然后求出網(wǎng)與萬帚最后根據(jù)空間點到直線的距離公式即可得出

結(jié)果.

【詳解】

因為4（2,3,1）,P（4,3,2）,所以N=（2,0,1）,

貝IUM二石，力尸辛i=q,

由點到直線的距離公式得八，I羽L酢W=述，

Y1H2

故選：A.

3.在18C中，AB^AC=5,BC=8,若PN_L平面∕8C,Pzi=4,則點P到8C的距離是（）

A.√5B.5C.3√2D.4√2

【答案】B

【分析】

取BC的中點。，連接PD,AD,即可得到4。_L8。，再由線面垂直，得到PALBC,從而得到BCL面PAD,

即可得到尸DISC,再由勾股定理求出9即可；

【詳解】

解：如圖，取BC的中點Q,連接P。、AD,

因為/8=/^=5,所以4。，8。，又&_1平面/8（2,8（7匚平面/8（7,所以以，8。，PAoAD=A,PA,ADa

面Λ4O,所以BC_L面?PZ）U面尸/O,所以PD_L8C,在△/?）中，AC=5,CO=4,所以

第20頁共148頁

AD=y∣AC2-CD2=3,在RtVpw中，PA=4,NO=3,所以尸。=‘?才+,=5

故選：B

4.在四面體P-NBC中，PA,PB,PC兩兩垂直，設PA=PB=PC=a,則點P到平面/6C的距離為

O

A.—aB.—aC.7D.√6

333

【答案】B

【分析】

取BC中點。，連結(jié)N。，作尸O_L平面/8C,交/。于O,由此能求出點P到平面/8C的距離尸。.

【詳解】

解：???在四面體P-48C中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=PB=PC=a,

:.AB—AC—BC—?∣2a，

取8C中點。，連結(jié)4D,作尸。，平面/8C,交.AD于0,

貝IJAD==號a,

：.Ao2瓜旦,

323

點P到平面/8C的距離PO=卜略）2=存.

故選：B.

第21頁共148頁

P

5.已知直線/的方向向量為『(1,0,1),點4(1,2,T)在/上,則點P(3,U)到/的距離為()

A.2√2B.1C.3D.2

【答案】B

【分析】

結(jié)合點到直線距離公式國Isin@蘇)分別計算模長與夾角的正弦值即可計算.

【詳解】

由題可知，點P到/的距離為網(wǎng)Sina刊，A4=(-2,l,-2),∣Λ4∣=3,?=(1,0,1),fl=√∑,則

c°sG'刑=||徜=ξ?=-半，則SinG網(wǎng)=；,故點P到/的距離為網(wǎng),SinGW=BxJ=I.

故選：B

6.已知棱長為2的正方體/88-44CQ,E,尸分別為48和BQ的中點，則點3到川的距離為。

A.—B.√2C.—D.√6

22

【答案】A

【分析】

在正方體力88-44Ca中解,再在心中用面積法求邊E尸上的高.

【詳解】

第22頁共148頁

連接4G、Be、、FB,則尸為4G與他中點,

因為E為48的中點，所以EF='G,

又正方體NBC4ACQ邊長為2,所以

EF=；BC\=6,EB=e,FB=y∣FB^+BB^=√6,

(可+(旬l(√Σ)［小

cosZEBF=

2×√2×√6―2

設3到所的距離為人則

EBXFB_√∣×√6√6

-×EF×h=-×EB×FB×sin--

2262EF2√2^2^

故選：A

7.若平面ɑ的一個法向量為；=(],2,2),點4(3,0,2),8(5,1,3),∕iα,Bwa,A到平面ɑ的距離為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

求出48，點Z到平面α的距離:由此能求出結(jié)果

【詳解】

解：?.?Z(3,0,2),8(5,1,3),Ala,Bea,

18為平而ɑ的一條斜線，Hy?=(2,l,l)

VB''?∣1×2+2×1+2×1∣6

...點A到平面匕的距離：d=?jJ/,2,=/2

222

”√l+2+23

第23頁共148頁

故選：B.

8.已知/(2,l,0),8(l,0,l),C(3,2,3),則點Z到直線8C的距離為()

B.1C.逅

D.?/e

AT32

【答案】A

【分析】

BABC-∕i

先求得=(1,1,-1),SC=(2,2,2),得到向量回在於方向上的投影為進而求得點N到直

~?BC?~~y

線8C的距離.

【詳解】

由4(2,1,0),B(L(M),C(3,2,3),可得切=(IJT),宓=(2,2,2),

則向量防在斯方向上的投影為包翳=產(chǎn)2：2=好,

?BC?√22÷22+223

所以點Z到直線BC的距離Jl西2J旦匹丫=亞.

VI?BC?J3

故選：A.

9.如圖，在棱長為2的正方體∕BCD-4BICIDl中，E為BC的中點，點P在線段DIE上，點P到直

線CCl的距離的最小值為()

A.∣√5B.—

55

C.—D.-^-√5

1010

【答案】A

【分析】

建立空間直角坐標系，將點P到直線CG的距離的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線DIE與CCl的距離，利用空

間向量可求得結(jié)果.

【詳解】

以。為原點，3DC,必分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系，

第24頁共148頁

則E(L2,0),Ol(0,0,2),C(0,2,0),Cl(0,2,2),

西=(-1,-2,2),Cζ=(0,0,2),C￡=(1,0,0),

設力=(x,y,z),a1CC1,it1EDt,

則小無=(χ,y,z)?(0,0,2)=0,.??z=0,

HED1=(χ,y,z]?(-11—2,2)=-x-2y+2