高中數(shù)學選擇性學案第4章等差數(shù)列的性質及應用（習題課）

等差數(shù)列的性質及應用(習題課)必備知識·自主學習導思1.等差數(shù)列的項有哪些性質？2．怎樣應用等差數(shù)列的性質簡化運算？1.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n).其中①的幾何意義是點(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以利用任意項及公差直接得到通項公式，不必求a1.③即斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，可用來由等差數(shù)列任兩項求公差．2．等差數(shù)列的性質在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq．特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝ap成立嗎？提示：不一定．如數(shù)列1，2，3，4，…，滿足a1＋a2＝a3；而數(shù)列1，1，1，1，…，則不滿足a1＋a2＝a3.3．由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)若數(shù)列{an}的通項公式an＝kn＋b，則{an}是公差為k的等差數(shù)列．()(2)等差數(shù)列{an}中，必有a10＝a1＋a9.()(3)若數(shù)列a1，a2，a3，a4，…是等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a3，a5，…也是等差數(shù)列．()(4)若數(shù)列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2，a3…是等差數(shù)列．()提示：(1)√.通項公式是關于n的一次函數(shù)形式的數(shù)列都是等差數(shù)列．(2)×.等差數(shù)列中項的和相等都是等式兩邊項數(shù)相等，項數(shù)和相等．(3)√.等差數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列．(4)×.如數(shù)列1，1，1，…和數(shù)列2，2，2，…，按照規(guī)則排好后成為數(shù)列1，2，1，2，1，2，…，顯然此數(shù)列不是等差數(shù)列．2．等差數(shù)列{an}中，a100＝120，a90＝100，則公差d等于()A.2B．20C．100D．－2【解析】選A.因為a100－a90＝10d，所以10d＝20即d＝2.3．等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于()A.－3B．3C．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)【解析】選B.由數(shù)列的性質，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.4．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．【解析】因為a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.答案：180關鍵能力·合作學習類型一等差數(shù)列性質的應用(數(shù)學運算)1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝6，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30B．15C．5eq\r(6)D．10eq\r(6)2．設{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37＝()A.0B．37C．100D．－373．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為()A.12B．8C．6D．4【解析】1.選B.因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝eq\f(5,2)(a2＋a4)＝eq\f(5,2)×6＝15.2．選C.設cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{cn}也是等差數(shù)列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100，即a37＋b37＝100.3．選B.由等差數(shù)列的性質，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8，又d≠0，所以m＝8.解決等差數(shù)列運算問題的一般方法一是靈活運用等差數(shù)列{an}的性質；二是利用通項公式，轉化為等差數(shù)列的首項與公差求解，屬于通用方法；或者兼而有之．這些方法都運用了整體代換與方程的思想．對等差數(shù)列的性質：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，應注意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11【補償訓練】在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，則2a9－a10的值為________．【解析】因為a2＋a14＝2a8，所以a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，所以a8＝30.所以2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30類型二等差數(shù)列的設法與求解(數(shù)學運算)【典例】已知三個數(shù)成單調遞增等差數(shù)列，它們的和等于18，它們的平方和等于116，求這三個數(shù)．四步理解內容題意條件：①三個數(shù)成單調遞增等差數(shù)列②它們的和等于18，平方和等于116結論：求這三個數(shù)思路探求設出三個數(shù)，列方程組求解書寫表達設這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，且d>0.由題意可得解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝－2.))因為d>0，所以a＝6，d＝2.所以這個數(shù)列是4，6，8.題后反思三個數(shù)成等差數(shù)列設元時以中間一個為準，但需注意對公差符號的選?。O等差數(shù)列的三個技巧(1)對于連續(xù)奇數(shù)項的等差數(shù)列，可設為：…，x－d，x，x＋d，…，此時公差為d.(2)對于連續(xù)偶數(shù)項的等差數(shù)列，通?？稍O為：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此時公差為2d.(3)等差數(shù)列的通項可設為an＝pn＋q.三個數(shù)成等差數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，三個數(shù)之積為－24，求這三個數(shù)．【解析】設這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d.由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝6，,（a－d）·a·（a＋d）＝－24，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,d＝－4.))所以所求三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.類型三等差數(shù)列的實際應用(數(shù)學建模)【典例】某公司經銷一種數(shù)碼產品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？【思路導引】每年的利潤構成一個等差數(shù)列，公差是－20.【解析】設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，所以每年的利潤構成一個等差數(shù)列{an}，從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損．所以由an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損．與等差數(shù)列有關的實際問題解法解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列合理地構建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關鍵的問題．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費多少元．【解析】根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費．令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1.2，那么當出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).課堂檢測·素養(yǎng)達標1．已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12等于()A．15B．30C．31D．64【解析】選A.a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝16－1＝15.2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A．14B．15C．16D．17【解析】選C.由題意，得5a8＝120，所以a8＝24，所以a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.3．等差數(shù)列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.則a7等于________．【解析】因為a3＋a7－a10＋a11－a4＝a3＋a7＋a11－(a10＋a4)＝3a7－2a7＝a7，所以a7＝21－1＝20.答案：204．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝______．【解析】由等差數(shù)列的性質可知a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6，所以a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：745．已知{an}為等差數(shù)列，且a6＝4，則a4a7【解析】設等差數(shù)列的公差為d，則a4a7＝(a6－2d)(a6＝(4－