微考點(diǎn)6-2圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積類(lèi)問(wèn)題（原卷版）

微考點(diǎn)62圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積類(lèi)問(wèn)題（三大題型）直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：①一般方法：（其中為弦長(zhǎng)，為頂點(diǎn)到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截式.進(jìn)一步，=②特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著軸或者軸拆分成兩個(gè)三角形，不過(guò)在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在軸或者軸上，此時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng).③坐標(biāo)法：設(shè)，則④面積比的轉(zhuǎn)化：三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線法完成的線段之比或者設(shè)點(diǎn)法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類(lèi)型：1.兩個(gè)三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離之比2.兩個(gè)三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)之比）3.利用三角形面積計(jì)算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長(zhǎng)之比4.面積的割補(bǔ)和轉(zhuǎn)化⑤四邊形的面積計(jì)算在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見(jiàn)的情況是四邊形的兩對(duì)角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解.⑥注意某條邊過(guò)定點(diǎn)的三角形和四邊形當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過(guò)定點(diǎn)時(shí)，我們就可以把三角形，四邊形某個(gè)定頂點(diǎn)和該定點(diǎn)為邊，這樣就轉(zhuǎn)化成定底邊的情形，最終可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見(jiàn)的定點(diǎn)結(jié)論，才能察覺(jué)出問(wèn)題的關(guān)鍵.題型一：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決弦長(zhǎng)問(wèn)題【精選例題】【例1】已知橢圓，，分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓E上.(1)求橢圓E的離心率；(2)過(guò)左焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，求取最大值時(shí)直線l的方程.【例2】已知圓：和圓：，以動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓與其中一個(gè)圓外切，與另一個(gè)圓內(nèi)切，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)若斜率為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)度的最大值．【跟蹤訓(xùn)練】1.已知橢圓C：，圓O：，若圓O過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點(diǎn)A，B，D，E，試求的取值范圍．2．已知橢圓：的兩焦點(diǎn)，，且橢圓過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，求的取值范圍.題型二：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決三角形面積類(lèi)問(wèn)題【精選例題】【例1】已知橢圓的方程為，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“蒙日?qǐng)A”，橢圓的焦距為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與其“蒙日?qǐng)A”交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．【例2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，上頂點(diǎn)為A，橢圓的焦距等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若B，C是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線AB和直線AC的斜率之積為，求面積的最大值．【例3】動(dòng)點(diǎn)滿足方程．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l與軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)，連接并分別延長(zhǎng)交軌跡于點(diǎn)，記的面積分別是，求的取值范圍．【例4】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑，求直線l的方程．【跟蹤訓(xùn)練】1．如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為，，離心率為，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判定（為坐標(biāo)原點(diǎn)）與的面積之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．①試討論直線AD是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．②求面積的最大值．3．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．橢圓的中心為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且．(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)．記和的面積分別為和，是否存在直線，使得？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型三：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決定四邊形面積問(wèn)題【精選例題】【例1】如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例2】已知，分別為橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于C，D兩點(diǎn)，且，求四邊形ACBD面積的取值范圍.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知橢圓：，橢圓：，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（提示：過(guò)橢圓C：上一點(diǎn)與C相切的直線方程為）(1)求直線AB的方程（用，表示）；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OAPB的面積.2．已知焦距為2的橢圓：，，分別為其左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)且滿足，求四邊形面積的最小值．1．設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)．已知，．(1)求橢圓方程．(2)若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)．若，求直線的方程．2．已知圓O：，點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，M在x軸上的射影為N，點(diǎn)P滿足，記點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求曲線E的方程；(2)已知，過(guò)F的直線m與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F且與m垂直的直線n與圓O交于C，D兩點(diǎn)，求的取值范圍.3．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓過(guò)，斜率為的直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，記的中點(diǎn)為坐標(biāo)為且，求直線的方程，并寫(xiě)出的坐標(biāo).4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，記的面積為，求的最大值.5．已知橢圓C：的離心率為，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P與左、右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線PQ交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，已知，設(shè)和的面積分別為，，求的最大值．6．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若與的面積相等，求直線的方程．7．在平面直角坐標(biāo)系中，、為圓：與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)異于、兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且______，從下列條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中作答.條件①：直線與直線的斜率之積為；條件②：設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為點(diǎn)在軸上的射影，且為的中點(diǎn)；注：如果選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)計(jì)分.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與（1）問(wèn)中軌跡方程交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，且，求面積最大值.8．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為，過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為3．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，若，試求內(nèi)切圓的面積．9．已知直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)橢圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與垂直相交于橢圓的左焦點(diǎn)，是四邊形的面積，求的最小值.10．已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是．(1)求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn)，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值．11．已知橢圓與橢圓有相同的離心率，橢圓焦點(diǎn)在y軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1