吉林省長白朝鮮族自治縣實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷

高二年級上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷一：選擇題（每小題5分，12小題共計60分）1．下列說法正確的是（）A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．三棱錐的四個面都可以是直角三角形C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐2．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A． B．7 C． D．3．設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且，（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．球面上有四個點，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（）A． B． C． D．5．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線7．如圖，在三棱柱中，M，N分別為棱，的中點，過作一平面分別交底面三角形的邊，于點E，F(xiàn)，則（）A．B．四邊形為梯形C．四邊形為平行四邊形D．8．直線的斜率為（）A． B． C． D．9．過直線和的交點，且與直線平行的直線方程是（）A． B． C． D．10．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(－4，2)，(3，1)，則點C的坐標為()A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4)11．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．12．阿波羅尼斯是亞歷山大時期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動點與兩定點，的距離之比為(，且)，則點的軌跡就是圓，事實上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立.已知點，點為圓：上的點，若存在軸上的定點和常數(shù)，對滿足已知條件的點均有，則（）A．1 B． C． D．二：填空題（每小題5分，共4小題20分）13．已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則該圓錐的底面半徑與母線長的比為________.14．如圖，在三棱錐中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，若，則與的面積之比為______.15．已知直線：與：垂直，則的值是__________.16．以點P（1，1）為圓心，且經(jīng)過原點的圓的標準方程為____________．三：解答題（共計70分）17．（本小題12分）如圖，在四棱錐QUOTE中，底面四邊形QUOTE滿足QUOTE，且QUOTE，QUOTE，點QUOTE和QUOTE分別為棱QUOTE和QUOTE的中點．（1）求證：QUOTE平面QUOTE；（2）求證：平面QUOTE平面QUOTE．18．（本小題12分）如圖,直三棱柱中,分別為的中點.(1)證明:平面;(2)求與平面所成角的正弦值.19．（本小題10分）求兩條垂直的直線和的交點坐標．求平行于直線，且與它的距離為的直線方程．20．（本小題12分）已知點，求：（1）直線的方程；（2）以線段為直徑的圓的方程.21．（本小題12分）平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為，，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求的面積.22．（本小題12分）養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫（無底）用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為，高.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；（3）哪個方案更經(jīng)濟些高二第二次月考數(shù)學(xué)參考答案1．B【解析】【分析】對選項逐一判斷，即得答案.【詳解】如圖所示對，如圖（1），將兩個相同的斜平行六面體疊放，符合條件但卻不是棱柱，故錯誤；對，如圖（2），底面，是圓的直徑，點是圓上一點，則三棱錐的四個面都是直角三角形.故正確；對，如圖（3），延長其側(cè)棱不交于一點，符合條件但卻不是棱臺，故錯誤；對，如圖（4），以直角的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個對底的圓錐，故錯誤.故選：.【點睛】本題考查棱柱、棱錐、棱臺和圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是由一個正方體截去一個三棱錐后剩余的部分，然后計算體積即可.【詳解】如圖，由三視圖可知該幾何體是由邊長為2的正方體截去三棱錐后剩余的部分，其中點E為棱的中點，則所求體積為.故選：D．【點睛】本題考查利用空間幾何體的三視圖求體積，考查空間想象能力和計算能力，解題關(guān)鍵是判斷出幾何體的形狀，屬于?？碱}．3．A【解析】試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)4．D【解析】【詳解】【分析】分析：首先求得外接球半徑，然后求解其表面積即可.詳解：由題意可知，該球是一個棱長為4的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，由題意可得：,據(jù)此可得：，外接球的表面積為：.本題選擇D選項.點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.5．A【解析】【分析】取的中點，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計算出的三條邊長，并利用余弦定理計算出，即可得出答案．【詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，由于、分別為、的中點，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進行說明；（3）三計算：選擇合適的三角形，并計算出三角形的邊長，利用余弦定理計算所求的角．6．B【解析】【分析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，．，故選B．【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角性．7．B【解析】【分析】由已知條件及線面平行的性質(zhì)可得且，可得四邊形為梯形，可得答案.【詳解】解：∵在中，，，，.又平面，平面，平面.又平面，平面平面，，.顯然在中，，，∴四邊形為梯形.故選：B.【點睛】本題主要考查直線與平面平行的性質(zhì)定理，需注意其靈活運用，屬于基礎(chǔ)題型.8．A【解析】【分析】將直線方程整理為斜截式，然后確定其斜率即可.【詳解】直線方程即：，整理為斜截式即，據(jù)此可知直線的斜率為.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查直線斜率的計算，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9．B【解析】【分析】解方程組，求出交點坐標.設(shè)所求直線的方程為，把交點坐標代入，求出，即得所求直線的方程.【詳解】解方程組得，即交點坐標為.所求直線與直線平行，設(shè)所求直線的方程為，把點代入得，所以所求直線的方程為.故選：.【點睛】本題考查直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】【分析】求出A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(x，y)，可寫出BC所在直線方程，與直線y＝2x聯(lián)立，即可求出C點坐標.【詳解】設(shè)A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(x，y)，則，解得∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.聯(lián)立直線y=2x，解得，則C(2，4)．故選C.【點睛】本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱點，屬于中檔題.11．A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．12．B【解析】【分析】作出圖形，由已知可得，代入坐標可得選項.【詳解】如下圖所示，由于圓上的任意一點均有，所以A,B兩點也滿足該關(guān)系式.，，，，，解得，故選：B.【點睛】本題考查曲線的新定義，關(guān)鍵在于理解和運用新定義，屬于中檔題.13．【解析】【分析】由題意知圓錐側(cè)面展開圖是以母線為半徑的圓，由它的弧對應(yīng)圓錐底面的周長即可求底面半徑與母線長的比；【詳解】設(shè)圓錐的母線長是R，則扇形的弧長是，設(shè)底面半徑是r，則，所以，所以圓錐的底面半徑與母線長的比為1∶4.故答案為：【點睛】本題考查了圓錐，利用圓錐側(cè)面展開扇形的弧長等于底面圓的周長求母線與底面半徑的比；14．【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，，根據(jù)相似三角形的面積比等于邊長比的平方即可.【詳解】由平面平面，可得，所以，同理，所以∽的面積之比為.故答案為：【點睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15．1或4【解析】直線與垂直，，化簡可得，解得k=1或k=4.16．【解析】【分析】已知圓的圓心，且圓經(jīng)過原點，所以圓心到原點的距離就是圓的半徑，然后直接代入圓的標準方程即可．【詳解】∵P（1，1）為圓心，且經(jīng)過原點，∴半徑r=，∴圓的標準方程為.故答案為．【點睛】本題考查了圓的標準方程，解答此題的關(guān)鍵是求出圓的半徑，是基礎(chǔ)題．17．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）先證明QUOTE∥平面QUOTE，QUOTE∥平面QUOTE，進而得到平面QUOTE∥平面QUOTE，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論成立．（2）先證明QUOTE平面QUOTE，根據(jù)QUOTE∥QUOTE，可得QUOTE平面QUOTE，于是可得面面垂直．【詳解】（1）在底面四邊形QUOTE中，由QUOTE，可得QUOTE∥QUOTE；又QUOTE，QUOTE為QUOTE的中點，所以QUOTE，從而四邊形QUOTE為平行四邊形，所以QUOTE∥QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．由題意，QUOTE是QUOTE的中位線，所以QUOTE∥QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．又QUOTE與QUOTE是平面QUOTE內(nèi)兩相交直線，所以平面QUOTE∥平面QUOTE；因為QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE∥平面QUOTE．（2）由（1）知QUOTE∥QUOTE，因為QUOTE，所以QUOTE，又QUOTE，且QUOTE是平面QUOTE內(nèi)兩相交直線，所以QUOTE平面QUOTE，從而QUOTE平面QUOTE，又QUOTE平面QUOTE，所以平面QUOTE平面QUOTE．【點睛】解答類似問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，并結(jié)合三種平行（垂直）間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系進行求解，解題時注意解題步驟的完整性，特別是定理中的關(guān)鍵性詞語，在證題過程中要得到體現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）見解析；（2）【解析】【分析】(1)法一：要證平面，只需證明即可，通過構(gòu)造平行四邊形可證之；法二：可先證平面平面，利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面;（2）法一：由于即為與平面所成的角，利用數(shù)據(jù)求之；法二：（等積法）利用等積法計算出到平面的距離，從而要求的答案為：即可.【詳解】（1）法一：取中點，連接，在直三棱柱中，.∵為中點，為中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.法二：取中點，連結(jié)，在直三棱柱中，.∵為中點，為中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.∵分別為中點，∴.又平面，平面，∴平面.平面平面.平面平面.（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.又∵，且，∴平面.過作于.∵平面，∴.又平面.又即為與平面所成的角..法二：（等積法）與平面所成的角相等.連結(jié)，直三棱柱中，平面，∴.又平面.，.設(shè)到平面的距離為，.∵，即.設(shè)與平面所成的角為，.【點睛】本題主要考查線面平行，線面角所成正弦值的相關(guān)計算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計算能力.19．（1）；（2）或.【解析】【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求得a的值，再聯(lián)立方程組求得兩直線交點的坐標．由題意利用用待定系數(shù)法設(shè)出直線的方程，再利用兩條平行線間的距離公式求得m的值，可得要求的直線的方程．【詳解】兩條垂直的直線和，，解得，兩條垂直的直線：和，由，解得，故直線和的交點坐標．設(shè)平行于直線，且與它的距離為的直線方程為，則，解得，或，故所求直線方程為：，或．【點睛】本題主要考查兩條直線平行與垂直的