2022－2023學(xué)年西藏日喀則市重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2022—2023學(xué)年西藏日喀則市重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末聯(lián)考數(shù)

學(xué)試卷（理科）

-V單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)全集u={α,b,c,d,ej},集合4滿足CtM={b,c,f},則（）

A.α∈AB.b&AC.dAD.eA

2.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)Z=（3+αi）i（其

中αWR）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)W+αi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量有=（-2,1,3）,3=（—1,1,%），若，與方垂直，則l∣Z+|=（）

A.2B.SynC.2√^13D.√^6

4.某市四區(qū)夜市地?cái)偟臄偽粩?shù)和食品攤位比例分別如圖1、圖2所示，為提升夜市消費(fèi)品質(zhì)，

現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取5%的攤位進(jìn)行調(diào)查分析，則抽取的樣本容量與B區(qū)被抽取的食品攤

位數(shù)分別為（）

食品攤位比例

圖2

A.210,24B.210,12C.252,24D.252,12

已知空空空=√-3,則Sin2。=（

5.cos2θ)

√~6

A.B?4c?^5d?-I

6.某國(guó)際高峰論壇會(huì)議中，組委會(huì)要從5個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國(guó)外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)

行提問，要求這三個(gè)媒體團(tuán)中既有國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)又有國(guó)外媒體團(tuán)，每個(gè)媒體團(tuán)提問一次，且國(guó)

內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為（）

A.150B.90C.48D.36

03

7.已知Q=O.3°?4,b=2?,c=log0.42,則()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,若α=Cc，B=ZBC的面積為亞W,

O4

則b=()

A.√-2B.2C.y∏D.3

9.一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱外接球

的表面積為()

正視圖側(cè)視圖

A.52ττ

B.68π

C.84π

俯視圖

D.60π

11.已知點(diǎn)P為拋物線y2=2px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C：(x+2)2+(y-4)2=1±-

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d,若∣PQ∣+d的最小值為3,則p=()

A.1B.2C.3D.4

12.己知/'(X)是函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)X都有((X)=ex(2x-1)+f(x),

/(O)=-I,則不等式/(x)<5蠟的解集為()

A.(-∞,-2)U(3,+∞)B.(-∞,-3)U(2,+∞)

C.(-2,3)D.(-3,2)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知直線y=kx+b是曲線/(x)=XeX在點(diǎn)(Ij(I))處的切線方程，貝!∣k+b=

14.已知(l-2x)n的展開式中第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中X的系數(shù)為

15.已知圓C：/+y2—4χ+2ay+3=O關(guān)于直線％+2y—6=O對(duì)稱，圓C交y于4、B兩

點(diǎn)，則IABl=

16.在△?!BC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,且2s譏4+sinC=2s譏BCOSC,寫出

滿足條件"ac=10”的一個(gè)b的值______.

三、解答題(本大題共7小題，共82.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛αn｝的前n項(xiàng)和為Sn,且%+2a2+3α3+???+nan=(n—I)Sn+2n.

(1)求的,a2,并求數(shù)列｛αn｝的通項(xiàng)公式;

(2)若“I=an?log2αn,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和

18.(本小題12.0分)

為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)

學(xué)習(xí).第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職

工的學(xué)習(xí)時(shí)間(滿時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)),將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組，

并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

(1)求α的值；

(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間J近似服從正態(tài)分布N(4,C2),其中〃近似為樣本

的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知?！?.39.若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在

(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù);

(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并

從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù).(四舍

五入取整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(JU,er?),貝IJPa-(T<f≤〃+<τ)*0.6827,P(μ—

2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.

頻率/組距

0.18----------------

S

?

S5

3

O8..02

.0

.()O9問

15

19.(本小題12.0分)

如圖，已知直角梯形ABCD與4DEF,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,AD1.AF,ED//AF,

ADVAB,BC∕∕AD,G是線段BF上一點(diǎn).

(I)平面力BCDJ■平面4BF；

(2)若平面力BCD，平面ADE凡設(shè)平面CEG與平面ABF所成角為。，是否存在點(diǎn)G,使得cos。=

力，若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14

20.(本小題12.0分)

已知用周長(zhǎng)為36的矩形截某圓錐得到橢圓C：≡J+^=l(α>h>0),C與矩形的四邊都相切

且焦距為2c,.

@a,b,C為等差數(shù)列；②α+l,c[b為等比數(shù)列.

(1)在①②中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(1)中所求C的左、右焦點(diǎn)分別為F[,F2,過FI作直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，4為橢圓的

右頂點(diǎn)，直線4P,AQ分別交直線X=-與于M,N兩點(diǎn)，求以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若

是求出該定點(diǎn)；若不是請(qǐng)說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=Inx+ax2+(ɑ+2)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)α<0,證明：f(X)≤——2.

22.(本小題10.0分)

以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧

圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形.如圖，以極點(diǎn)。為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸OX為X軸正半軸

建立平面直角坐標(biāo)系XOy.在極坐標(biāo)系OX中，曲邊三角形OPQ為勒洛三角形，且

P(2,γ),Q(2,?由已知曲線C的參數(shù)方程為F-2二(t為參數(shù)).

(y=2+?→

(1)求麗的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

(2)求曲線C與麗交點(diǎn)的極坐標(biāo).

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=?x+2?-?2x-1|.

(1)求不等式f(x)<2的解集；

(2)記函數(shù)f(x)的最大值為M,已知α≥l,b≥l,α+b=2M,求2√α-l+√4-1的最

大值及此時(shí)α,b的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：TU={α,b,c,d,e,f},CuA={b,cl∩,A=[a,d,e).

則α∈4故A正確；b￠A,故8不正確；d≡A,故C不正確；e&A,故。不正確.

故選:A.

依題意可求得4={α,d,e},從而可判斷各選項(xiàng).

本題考查補(bǔ)集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：TZ=(3+αi)i=-ɑ+3i,

又???等部復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，復(fù)數(shù)Z為等部復(fù)數(shù)，

???—a—3,解得α=-3,

z=3+3i,

.?.z=3-3i,即W+出=3—3i—3i=3-6i,

???復(fù)數(shù)，+由在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(3,-6),位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)“等部復(fù)數(shù)”得ɑ的值，即可得z=3+3i,從而得W+αi,從而可確定其復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

所對(duì)應(yīng)的象限.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由于日與B垂直，所以五4=2+1+3x=0=x=~4,

所以方+2石=(-4,3,1).

故IE+2Bl=√(-4)2+32+I2=√^^6.

故選：D.

根據(jù)垂直關(guān)系可得和進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式即可求解.

本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的樣本容量為(IOOo+800+1000+1400)×5%=210,

B區(qū)抽取的食品推位數(shù)為800×5%×0.3=12.

故選:B.

根據(jù)分層抽樣原則，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表直接計(jì)算即可.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：由啜薩=上等喝=五念而=C,貝kos。+sin。=?，

CoSAHCoS/一sin0cosσ+sιnt/3

12

所以(CoSe+sinθ)2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=故siτι26=-

故選：D.

應(yīng)用倍角公式化簡(jiǎn)得COSo+sinθ=?，兩邊平方即可得結(jié)果.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，要求提問的三個(gè)媒體團(tuán)中既有國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)又有國(guó)外媒體團(tuán)，分2種情況討

論：

選出的3個(gè)媒體團(tuán)中只有一個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)，有讖或題=90種不同的提問方式；

②選出的3個(gè)媒體團(tuán)中有兩個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)，則國(guó)外媒體要在中間位置發(fā)言，則有量盤居=60種不

同的提問方式.

綜上，共有60+90=150種不同的提問方式.

故選：A.

根據(jù)題意，分2種情況討論：①選出的3個(gè)媒體團(tuán)中只有一個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)，②選出的3個(gè)媒體團(tuán)中

有兩個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)，由加法原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列組合，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

o4o030

【解析】解：?；0<O.3?<O,3=1,2?>2=1,log0,42<Iog04I=0,

：.b>a>c.

故選：C.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出：O<α<l,b>l,c<0,從而得出α,b,C的大

小關(guān)系.

本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由余弦定理得b2=cι2+c2-2acx?,

又α=>∕~3cf所以b2—4c2—3c2=b=c,

又SXABC-?CLCsinB-∣√-3c2×?==>c=故匕=C=√-3?

故選：C.

根據(jù)余弦定理以及三角形面積公式即可求解.

本題主要考查解三角形，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：如圖，正三棱柱的直觀圖為ABC-&B1G，

由三視圖可知，該正三棱柱的底面正三角形邊上的高(中線)為6,高為2,

設(shè)正三棱柱的外接球的球心為0,。】，外分別為上下底面正三角形的外接圓圓心，

所以，根據(jù)對(duì)稱性，。為。］。2的中點(diǎn)，

因?yàn)?1。1—AO2=§X6=4,

222

所以正三棱柱的外接球的半徑R滿足R2=AO=(TlO2)+(OO2)=16+1=17,

所以這個(gè)正三棱柱的外接球的表面積為4兀產(chǎn)=68TΓ.

故選：B.

由三視圖得正三棱柱的底面正三角形的棱長(zhǎng)為4/耳，高為2,再求外接球半徑，進(jìn)而求解球的表

面積即可.

本題主要考查了正三棱柱的外接球問題，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：對(duì)于函數(shù)f(x)=CoSXIn7/—1—∣cosx∕n(x2—1)?

有--1>0,解得X<一1或X>1,

故函數(shù)/"(X)的定義域?yàn)?—8,—1)U(1,+∞)>

對(duì)任意的X∈(―∞,—1)U(1,+∞),/(—x)=?eos(-x)ln[(-x)2-1]=?cosxln(x2-1)=/(x),

所以，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除4D選項(xiàng)，

因?yàn)?(2)=^cos2ln3<0,排除C選項(xiàng).

故選:B.

分析函數(shù)/(X)的定義域、奇偶性以及/(2)的符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

由圖可知，當(dāng)C,Q,P,尸共線，且P,Q在線段CF上時(shí)，IPQl+?PF?

最短，

而ICFl=J￠+2)2+16,

因?yàn)楱OPQI+IP川-^=ICFl_「一§=3,

所以P

+2+16I-=

2)--23,解得P=2.

故選QC

由拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時(shí)，∣PQ∣+∣PF∣最短,

此時(shí)∣PQ∣+d有最小值，列方程即可求解.

本題考查拋物線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：令g(χ)=腎，①

則d(χ)=

V∕,(x)=ex(2x-1)+/(x),汽@;警■=2x-1,

即g'(χ)=2%—1,

?g(%)=X2—X+c,②

由①②知，管=/一X+C,

???/(x)=ex{x2—%÷c),又f(O)=-1，

?β0?c=-1,即C二一1,.?.??=X2-X-It

ex

?,.不等式f(X)<5exQ今?=X2—X-1<5?

?—2<X<3,

即不等式f(%)<5靖的解集為(一2,3).

故選：C.

構(gòu)造函數(shù)g(%)=%?,依題意可得g'(x)=2%-I=g(x)=x2-x+c=33,再利用/(O)=-1,

可求得C=一1,從而可求得不等式/(%)V5峭的解集.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】e

【解析】解：由題設(shè)，/(1)=e且尸(%)=(%+l)ex,則∕7(1)=Ze,

所以，切線方程為y-e=2e(%-1),即y=2ex-e,

所以/c=2efb=—e,

故k+Z?=e.

故答案為：e.

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，并寫出y=/ex+b的形式確定參數(shù)，即可得結(jié)果.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-20

【解析】解：第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則第=C^n=10,

故展開式中X的系數(shù)為e?j(一2)i=-20.

故答案為:—20.

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)可求解n,進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)性質(zhì)即可求解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：圓C：X2+y2—4x+2ay+3=0>即(x—2/+(y+α)2=ɑ?+1,

其圓心為C(2,—α),半徑為r=Ca?+1,

因?yàn)閳AC關(guān)于直線X+2y-6=0對(duì)稱，

所以2+2×(―ɑ)—6=0>

解得α=-2,

所以(％—2)2+3-2)2=5,圓心C(2,2),半徑r=C，

則圓心C(2,2)到y(tǒng)軸的距離d=2,

所以MBl=2√r2-d2=2.

故答案為：2.

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓C關(guān)于直線x+2y-6=0對(duì)稱，則圓

心在直線x+2y-6=0上，即可求出ɑ的值，最后求出圓心到直線的距離，利用勾股定理、垂徑

定理計(jì)算可得.

本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】「6(答案不唯一)

【解析】解：由正弦定理可得2α+c=2bcosC,

由余弦定理可得2α+c=2b-a+b~c=>α2+C2-h2=-ac<

2ab

所以COSB=—rBe(0,兀)，.?.B=尊

由于αc=10,不妨考慮此時(shí)△ABC為等腰三角形時(shí)，則α=C=V7U，

222

由α2+c-b=-ac,得10+10-∕,=-10≠>h=√^3θ?

故答案為：√^^U(答案不唯一).

根據(jù)正余弦定理邊角互化可得B=與，考慮為等腰三角形時(shí)即可求解.

本題主要考查解三角形，考查正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意由+2a2+3α3H---1-nan=(n—I)Sn+2n①，

當(dāng)n—1時(shí)a1=2；當(dāng)n=2時(shí)01+2a2=S2+4=a1+a2+4=>a2=4；

?π≥2時(shí),ɑ?+2θ,2+??+…+(n—l)ɑj?-?=(n—2)Sjt-1+2(π-1)(2)?

①-②得?Ian=(∏-I)Sjl-(n-2)Sn.1+2=Sn+(n-2')an+2=Sn=2an-2(n≥2),

當(dāng)n=l時(shí)，%=2也適合上式，所以Srl=2αrι-2,所以τι≥2時(shí)SjI-I=2c?.ι—2,

兩式相減得斯=2αrι-ι5≥2),故數(shù)列｛ari｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

所以an=2.

(2)由(1)得%=n?2n,

7；=l×21+2×22+???+(n-l)2n^1+π2n(3),

27；=l×22+2×23+???+(n-l)2n+n2”+ι④，

(3)-④得：一及=21+22+???+2n-n2n+1=窄野一∏2n+1=2n+1(l-n)-2，

所以〃=2r,+1(n-l)+2.

【解析】(1)將n=l、n=2代入求內(nèi),。2，根據(jù)斯，SrI關(guān)系及遞推式可得Sn=2即一2(n≥2),

再次由an,SzI關(guān)系及等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式；

(2)應(yīng)用錯(cuò)位相減及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.

本題主要考查數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)由題意得2X(0.02+0.03+a+0,18+0.10+0,05)=1,

解得α=0.12.

(2)由題意知樣本的平均數(shù)為4X0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×

0.10×2+14×0.05×2=9.84,

所以〃=9.84.

又σ≈2.39,所以P(7.45<ξ<14.62)=P(μ-σ<<≤μ+2σ)

=∣P(μ-σ<ξ≤μ+σ)+ip(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈I×(0.6827+0.9545)=0.8186.

則5000X0.8186=4093,

所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62］內(nèi)的人數(shù)約為4093?

(3)［7,9),［9,11)對(duì)應(yīng)的頻率比為0.24：0.36,即為2：3,

所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在［7,9),［9,11)內(nèi)的人數(shù)分別為2,3,

設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在［7,9)內(nèi)的人數(shù)為X,

則X的所有可能取值為0,1，2,

P(X=O)=卻器P(X=I)=警=∣,p(χ=2)=誓=磊，

所以E(X)=OXA+lx∣+2x^=∣?

則這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在［7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為L(zhǎng)

【解析】(1)根據(jù)頻率之和為1即可求解，

(2)根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解概率，進(jìn)而可求人數(shù)，

(3)求出超幾何分布的分布列，即可求解期望.

本題主要考查頻率分布直方圖，正態(tài)分布曲線，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】證明：(1)因?yàn)?D?LAF,ADLAB,AFnAB=A,AF,ABu平面ABF,

所以ADI平面4B尸，又4。U平面ABCD,

所以平面ABCD_L平面4BF；

⑵由面ABCD1面ADEF,AD1AF,面4BC0n面ADEF=AD,AFU面TWEF,

所以力/_L平面ABC。，AB在面4BC0內(nèi)，則4尸14B,結(jié)合已知建立如下空間直角坐標(biāo)系,

則C(2,l,0),E(0,2,l),F(0,0,2),B(2,0,0),

設(shè)同=/1而,/16[0,1]，得G(24,0,2-24),

平面ABF的法向量為沅=(0,1,0),

又CE=(-2,1,1),CG=(2λ-2,-1,2-2/1),

設(shè)平面CEG的法向量為元=(3,z),貝W潑工;：U(2-2；L)Z=。,

取y=2—2λ,則元=(3-2Λ,2-24,4—24),

∣

故|c。SOl=I篇_2_2__√J4

J12λ2-36Λ+2914，

解得4=2，2=|^(舍),

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(Io1),

故存在點(diǎn)G為BF中點(diǎn)時(shí)使得cos。=?≡?

14

【解析】(1)由線面垂直的判定定理證AOI平面4BF,再由面面垂直的判定證結(jié)論；

(2)由題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求出平面CEG與平面ABF法向量，結(jié)合已知夾角的余弦值求參數(shù),

進(jìn)而確定點(diǎn)的存在性.

本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空間向量求二面角的大小，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)選①，由題意可得4α+4b=36,2b=2α+c,又α2=∕>2+c2,解得α=5,

6=4,c=3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+§=L

2516

選②，由題意可得4α+4b

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+3=L

2516

(2)①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，IPQ的方程為X=-3,

不妨設(shè)P在X軸上方,則P(-3,"(一3,一學(xué)),3的方程為y=-∣(χ-5),令X=-I,得y=爭(zhēng)

所以i,第，同理N(—1,_學(xué)),

所以以MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+的2+y2=等

②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)ZPQ的方程為y=k(x+3),P(XI,%),Q(x2,y2).

'y=fc(x+3),

222

聯(lián)立I/y2得(25好+16)X+150∕cx+225fc-400=0,

-----k--=1

(2516'

可得根與系數(shù)的關(guān)系為Xl+X2=二笆,與冷225/一400

25必+16

g)的方程為y=V?(χ-5),

令％=-爭(zhēng)得廣券則M(，募為)，

同理可得N(卷，券)，

所以以MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。+冷產(chǎn)+⑶+喘普那丁+送與)=。.

(y+3^?)×y+3?))=y2+T?+?y+1T2"?'?'

力。2_k(%ι+3)k(x2+3)_-2(11-2+3(%1+/2)+9)

z?一5%2-5(勺-5)(%2—5)%ι%2-5(%]+%2)+25

2

將根與系數(shù)的關(guān)系代入上式并整理得卜(丁2歲修+了警=∑256,

xix2-5(x1+x2)+251600

令y=0,則(χ+今2=等，解得％=-3或X=-M

當(dāng)斜率不存在時(shí)，令y=0,則(χ+^)2=等，解得X=一分或X=-3.

由①②知，以MN為直徑的圓過(-3,0)和(-與,0).

【解析】(1)周長(zhǎng)為36的矩形截某圓錐得到橢圓C：圣+馬=l(α>b>0),C與矩形的四邊都相切,

可得4α+4b=36,若選①，結(jié)合α,b,C為等差數(shù)列與α?=爐+c?,聯(lián)立解方程組可求得；若

選②，則α+l,c,∣b為等比數(shù)列與已知條件列方程組即可解得：

(2)分直線斜率存在或斜率不存在兩種情況分類討論，直線PQ的斜率不存在時(shí)，GQ的方程為X=

-3,根據(jù)對(duì)稱性即可求得P,Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入U(xiǎn)P的方程求得M,N點(diǎn)的坐標(biāo)，即可寫出圓的方程，

并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線GQ的方程為y=k(%+3),與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)

定理寫出兩根之和，兩根之積，同理求出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出以MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡(jiǎn)

求定點(diǎn).

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

21.【答案】⑴??,/(%)=伍％+a/+(Q+2)%,定義域?yàn)?0,+8),

則［(X)=l÷2αx+α+2=2°∕+,+2)χ+ι=(2工+1髻+1),(%>。>

①當(dāng)α≥0時(shí)，∕,(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)α<0時(shí)，當(dāng)Xe(O,-;)B寸，∕,(x)>0,〃>)在(0,-；)上單調(diào)遞增

當(dāng)x∈(-?,+8)時(shí)，∕,(χ)<0,/0)在(一：,+8)上單調(diào)遞減，

綜上，①當(dāng)ɑ20時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

②當(dāng)α<0時(shí)，/(x)在(0,-》上單調(diào)遞增，在(一；,+8)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可得，當(dāng)α<0時(shí)，f(x)max=/(_》=ln(—等=In(一》一：一1.

要證f(x)≤-∣-2，

--

只需證f(x)j∏αx≤^2,

即證ln(-》+?+1≤0恒成立.

令t=-；，g(t)=Zzit—t+l(t>0),則g'(t)=；-1=

當(dāng)te(0,1)時(shí)，g'(t)>O,g(t)單調(diào)遞增，

當(dāng)￡6(1,+8)時(shí)，g,(t)<0,g(t)單調(diào)遞減，

???g(t)的最大值為g(l)=0,即:g(t)≤O.

.?.ln(-?)+?+1≤0恒成立，

???原命題得證.

即當(dāng)α<0時(shí)，f(x)≤-?~1-

【解析】(1)求導(dǎo)后對(duì)其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分再對(duì)其分子因式分解，分類討論α≥0與α<0時(shí)f(x)的單

調(diào)性即可.

(2)求出/(X)mɑχ,將所證轉(zhuǎn)化為/Q)max≤一］一2,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明In(-6+?+1≤0恒成立,

構(gòu)造函數(shù)求其最大值即可證明.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題.

22.【答案】解：⑴對(duì)點(diǎn)P(2,一9設(shè)其直角坐標(biāo)為(％y),

則X=2cos(-≡)=√-3,y=2sin(-^)=-1,即其直角坐標(biāo)為(，3,—1),

故其在直角坐標(biāo)系下的方程為：(