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25、平面的交線截面問(wèn)題

【例1】如圖,已知PQR分別是正方體ABCD-Aqca的棱ARBC和GA的中點(diǎn),由點(diǎn)

p,。,R確定的平面/截該正方體所得截面為()

四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】根據(jù)題意,取AA的中點(diǎn)T,AA的中點(diǎn)/,CG的中點(diǎn)S,連接尸憶加,RS,QS,

可得過(guò)P,Q,R的截面圖形.

【詳解】解:如圖,取AR的中點(diǎn)T,

AA的中點(diǎn)M,CG的中點(diǎn)S,連接PM,TM,RS,QS,

由正方體的性質(zhì)可知AXCXIIMSIIAC,

由中位線性質(zhì)可知PQUAC,RT11AG,

所以,PQ∕/MSHRT,

所以,由點(diǎn)尸,。,R確定的平面夕即為截面PQSR力W,其為六邊形.

【例2】如圖,已知尸、Q、R分別是正方體ABS-AAGA的棱AB、BC和CQ的中點(diǎn),

由點(diǎn)P、Q、R確定的平面4截該正方體所得截面為().

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】分別取A。、AA、CG的中點(diǎn)尸、E、M,連接R尺FE、EP、PQ,QM、MR,

由正方體性質(zhì)可得答案.

【詳解】如圖,分別取AQ、A4CC1的中點(diǎn)F、E、M,連接RAFE、EP、PQ,QM、MR,

由正方體性質(zhì)RF//P。,所以RF、P、Qe平面夕,且R尸〃PQ〃ME,又QF、RP、EM交于

同一點(diǎn)0,所以區(qū)Me平面/,所以點(diǎn)P、Q、R確定的平面夕即為六邊形RFEPQM

【例3】在長(zhǎng)方體ABCo-AECa中,AB=4,BC=3,M、N分別為棱A3、8片的中點(diǎn),

點(diǎn)P在對(duì)角線AG上,且4尸=3,過(guò)點(diǎn)〃、N、P作一個(gè)截面,該截面的形狀為()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】找到截面與長(zhǎng)方體的平面的交線,判斷為五邊形.

【詳解】如圖所示,延長(zhǎng)MN、4用,使MNCA烏=T,連接尸。、PT,

VAB=4,BC=3、AP=3,

ACI=5、ClP=2,

M.N分別為棱A8、B片的中點(diǎn),

/.BM=Bh=2,

.?.A1T=6,

ATA,P3-一-

???黃萬(wàn)=M=5,又A|、p、G三點(diǎn)共線,

:.T.P、?三點(diǎn)共線,.??A在截面上,

延長(zhǎng)MW、A1A,使NMCAA=K,連接,使RKCAo=。,

.?.Q在截面上,

連接QM、KM,

■:AQH?Dx,且AQ=NA

ΛAK=^AAt,:*AKUBN且AK=BN,

又M為AB中點(diǎn),A、B、M三點(diǎn)共線,

二M、N、K三點(diǎn)共線,

???截面為五邊形ASNMQ,

【例4】在正方體ABCD-AlBlCtDi中,棱長(zhǎng)為3,E為棱8與上靠近用的三等分點(diǎn),則平面AEDt

截正方體ABC。-ABGR的截面面積為()

A.2而B(niǎo).4√ΓTC.2痙D.4√22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面,根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.

【詳解】延長(zhǎng)AE,交于點(diǎn)F,連接DF交BC于點(diǎn)G,如圖,

在正方體ABCD-AlBtQDt中,面ADDlAi//面BCClBt,

面AFDJ?面ADD1A,=AD1,面AFD1?面BCCtBi=EG

AD/GE,又ADl=3厄GE=母

四邊形AEG。是梯形,且為平面AEA截正方體43CZ)-ASCa的截面.

又?RG=AE=Ji5,在等腰梯形AEGR中,過(guò)G作GHLA£>一

22

.?.GH=y]DtG-D1H=√H

.?.S=g?(Aq+EG)?G"=;.(應(yīng)+3√∑)?√∏^=2后.

【例5】已知正方體ABC。—A'5'C'D棱長(zhǎng)為2,M,N,P分別是棱A4'、AB、8C的中點(diǎn),

則平面MNP截正方體所得的多邊形的周長(zhǎng)為()

A.2√2+√6B.4√2C.6√2D.2√2?

【答案】C

【分析】利用平面基本性質(zhì)作出正方體中的截面圖,再由正方體的特征判斷截面的性質(zhì),即

可求周長(zhǎng).

【詳解】過(guò)直線MN與射線BW,分別交于1,J,作射線"交CC',BC于G,H,

連接/〃交A。',C'。'于El,如下圖示:

所以六邊形MNPGFE即為面MNP截正方體所得的多邊形,

又M,N,P分別是棱A4,AB.BC的中點(diǎn),易知:G,P,E均為中點(diǎn),

所以截面為正六邊形,故周長(zhǎng)為6a.

【例6】(多選)如圖,正方體ABCe-ABCA的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CG上

的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方形所得的截面記為S,則下列命題正確的是()

A.異面直線AR與AB所成角為。

B.當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí),S可能是五邊形

C.當(dāng)CQ=g時(shí),S為等腰梯形

D.當(dāng)CQ=I時(shí),S為矩形

【答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征,借助異面直線夾角、平面基本事實(shí)、面面

平行的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,在正方體ABa)-A耳GA中,連接AC,CR,如圖,

因AR//AO〃BC,aAtD,=AD=BC,則四邊形ABCA是平行四邊形,A1B//CDt,

則異面直線A%HAB所成角為NAz)C或其補(bǔ)角,WAC=CD1=AD1=√2,因此NARC=。,

所以異面直線與AB所成角為?,A正確;

對(duì)于B,當(dāng)g<CQ<1時(shí),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面與直線Aq交于點(diǎn)M,連AM,因平面ADDAU

平面8CG4,

貝l"M∕∕PQ,而Av/CQ,且角NAAM與角NCQP方向相反,即有NΛ,AM=NCQP,

因此曾=tanNAAM=tanNC°P=名,Λ,M?-?-e(?I),于是得點(diǎn)例在棱Aa中點(diǎn)與

點(diǎn)2之間(不含端點(diǎn)),

平面A4GR//平面Λ58,過(guò)點(diǎn)4,P,。的平面與平面A與GA相交,交線必平行于直線

AP,

令此交線與直線GA交于點(diǎn)M而NDJ/AB,且角NRMv/與角NW方向相反,則

ZDtNM=ZBAP,

MDBP

—=tanZDl∕VM=tanZBAP=—,即有NR=2MRe(0,1),則有N在棱CQ上,連NQ,

NDlAD

如圖,

截面S與正方體ABCAAMGA的5個(gè)面相交,即S是五邊形,B正確;

對(duì)于C,當(dāng)CQ=g時(shí),即。是CG中點(diǎn),連8G,如圖,則PQ//BG,

因CiDxIICDIIAB,且CQ=CQ=AB,則四邊形ABC1D1是平行四邊形,有ADJ/BCJIPQ,

而AP=4=RQ,因此S為等腰梯形,C正確;

222

對(duì)于D,當(dāng)Ce=I時(shí)?,。與Cl重:合,AP=PQ=與,Λβ=ACl=√3,AP+PQ≠AQ,

則AP與PQ不可能垂直,因此截面S不可能為矩形,D不正確.

【例7】(多選題)如圖,在正方體ABeQ-ABcR中,P,。分別是棱AA,CC的中點(diǎn),平

面DPQCI平面ABcR=/,則下列結(jié)論中不正確的有()

A./過(guò)點(diǎn)3]

B./不一定過(guò)點(diǎn)Bl

C.。尸的延長(zhǎng)線與。圈的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)不在/上

D.OQ的延長(zhǎng)線與AG的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在/上

【答案】BC

【分析】連接PBrDBt,在正方體中可得四邊形CPAQ是平行四邊形,由點(diǎn)共面得點(diǎn)共線可

判斷AB;。尸的延長(zhǎng)線與RA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)尸,。。的延長(zhǎng)線與AG的延長(zhǎng)線交點(diǎn)E,

由點(diǎn)共面得點(diǎn)共線可判斷CD.

【詳解】連接「耳、QB∣,在正方體ABCo-AMCa中,取BBI的中點(diǎn)N,

連接CN,則DP∕∕CN∕∕QBi,DP=CN=QBl,

所以四邊形。PBlQ是平行四邊形,平面。PB∣Q,BIe平面ABC",

所以與€/,故A正確,B錯(cuò)誤;

如圖。尸的延長(zhǎng)線與RA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)F,DQ的延長(zhǎng)線與RG的延長(zhǎng)線交點(diǎn)E,

因?yàn)镈FU平面。Pq。,所以Fe平面Z)P片Q,

因?yàn)镈IAU平面AIBlCIZ)∣,所以4∈平面ABlc1A,所以尸w/,

因?yàn)镈QU平面。尸片。,所以Ee平面QP瓦。,

因?yàn)镽GU平面ABcR,所以Ee平面ABCQ,所以Ee/,

故C錯(cuò)誤,D正確.

【例8】(多選題)棱長(zhǎng)為1的正方體ABCQ-ABCQ中,尸、Q分別在棱BC、CG上,CP=x,

CQ=y,x∈[0,l],ye[0,l]且V+y2≠o,過(guò)A、尸、Q三點(diǎn)的平面截正方體ABCO-A耳GA

A.χ=y時(shí),截面一定為等腰梯形B.X=I時(shí),截面一定為矩形且面積最大值為我

C.存在X,y使截面為六邊形D,存在X,y使BR與截面平行

【答案】BD

【分析】對(duì)A,舉反例判斷即可:

對(duì)B,當(dāng)X=I時(shí),點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)判斷即可;

對(duì)?C,直觀想象根據(jù)截面可能的情況判定即可;

對(duì)D,根據(jù)線面平行與截面的性質(zhì)舉例當(dāng)X=;,y=;時(shí)成立判定即可

【詳解】對(duì)A,x=y=l時(shí),截面為矩形,故A錯(cuò);

對(duì)B,當(dāng)*=1時(shí),點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合,設(shè)過(guò)A、P、Q三點(diǎn)的平面交Ro于M,則因?yàn)槠矫鍭A1D1D//

平面88CC,故PQ〃AM,且A8LPQ,此時(shí)截面為矩形,肖點(diǎn)。與點(diǎn)Cl重合時(shí)面積最大,

對(duì)C,截面只能為四邊形、五邊形,故C錯(cuò);

對(duì)D,當(dāng)X=;,V=;時(shí),延長(zhǎng)與B交QP延長(zhǎng)線于N,畫(huà)出截面APQM如圖所示.此時(shí)因?yàn)?/p>

BP=CP,BN//CQ,故RtVBPN三RtVCPQ`則BN=CQ=g.由面面平行的截面性質(zhì)可得

21

VADM:NPCQ,ΛD=2PC,故MZ)=2QC=:,此時(shí)=;,故MR=BN且岫〃8N,

故平行四邊形MnBN,故MN〃D、B,根據(jù)線面平行的判定可知3。與截面平行,故D正確.

【例9】如圖,在正方體ABCZ>-Λ18C0∣中,AB=I,OR中點(diǎn)為Q,過(guò)42、四三點(diǎn)的截

面面積為.

9

【答案】-##1.125

8

【分析】先作出經(jīng)過(guò)A、Q、A三點(diǎn)的截面,如圖所示為梯形AB/Q,然后求出截面的面積

即可

【詳解】解:如圖所示,取CQ的中點(diǎn)P,連接PQ、PB-AB^AQ和。G,

???P,。分別是CQ,DA的中點(diǎn),

:.PQHCQ,且尸Q=JGO,

VABt∕∕CtD,:.PQHAB、,

所以四邊形ABFQ是過(guò)A、Q、Bl三點(diǎn)的截面,且四邊形ABfQ是梯形,

=AB=1,

截面面積為N坐+√∑)χ一=T,

222Λ∕2O

【例10]如圖,正方體ABCD-AsGR的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),。為棱CG上的動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)AP,。的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是.(請(qǐng)寫(xiě)

出所有正確命題的編號(hào))

②當(dāng)CQ=j3時(shí),S與GA的交點(diǎn)R滿足GR=;1;

3

③當(dāng):<CQ<1時(shí),S為六邊形;

4

④當(dāng)CQ=I時(shí),S的面積為在.

2

【答案】①②④

【分析】①作出輔助線,找到S為四邊形APQQ,證明出其為等腰梯形;②作出輔助線,找

至US,利用各邊長(zhǎng)度與相似,求出C∣R=g;③在②的分析基礎(chǔ)上,得到S為五邊形;④作出

輔助線,得到S為菱形,求出對(duì)角線,進(jìn)而求出面積.

【詳解】當(dāng)CQ=g時(shí),S為等腰梯形,理由如下:

如圖1,連接4。,DtQ,因?yàn)镻為BC的中點(diǎn),。為Ca上的中點(diǎn),

所以A2〃PQ,

所以四邊形APQA為S,其中AP=AQ=JiTJ=*,

所以S為等腰梯形,①正確;

31

當(dāng)CQ=;時(shí),S與G。的交點(diǎn)R滿足GR=],理由如下:

如圖2,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E,使得。E=g,連接E4,EQ交CB于點(diǎn)R,

取AC中點(diǎn)N,OE中點(diǎn)M,連接MQ,MN,PN,

3

則DM=CQ=:,DN=CP,所以四邊形CQM。與四邊形PCz)N均為平行四邊形,

4

所以MQ〃NP〃CD,且MQ=M3=4CD,所以四邊形MNP。為平行四邊形,

所以PQ〃MN,由中位線的性質(zhì)可知:MN//AE,所以PQ〃AE,

所以四邊形AEQP即為S,其中ERR~QGR,

?

所以弟=靜=?=2,所以GR=?,②正確;

C∣ACl?√?3

4

E

3

當(dāng):VeQVI時(shí),S為五邊形,理由如下:

如圖3,根據(jù)②的分析,隨著。點(diǎn)在圖2的基礎(chǔ)上沿著CG向上移動(dòng),

則點(diǎn)E點(diǎn)沿著射線向上移動(dòng),此時(shí)AE與相交于點(diǎn)G,

DBAD1

E。與GP相交于點(diǎn)R,連接GR,故所截得的S為五邊形,故③錯(cuò)誤;

如圖4,點(diǎn)Q與G重合,此時(shí)G為Aa的中點(diǎn),可證得:AG//PQ,AP//GQ,

其中AP=PQ=QG=AG=何邛,所以S為菱形4PQG,

旦AQ=6,PG=應(yīng),S的面積為L(zhǎng)χ6xV∑=?^,④正確.

22

圖4

【例11]已知正三棱柱ABe-AqCl的底面邊長(zhǎng)為3cm,高為3cm,M、N、P分別是A4、

AC、BC的中點(diǎn).

(1)用“斜二測(cè)”畫(huà)法,作出此正三棱柱的直觀圖(嚴(yán)格按照直尺刻度);

⑵在(1)中作出過(guò)M、N、P三點(diǎn)的正三棱柱的截面(保留作圖痕跡).

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析;(2)作圖見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用斜二測(cè)法畫(huà)出棱柱底面A4G的直觀圖,再根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)圖的原則確定

A8,C三點(diǎn),即可得直觀圖;

(2)應(yīng)用平面的基本性質(zhì)畫(huà)出截面即可.

【詳解】(1)①平面直角坐標(biāo)系中作邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形A4G,原點(diǎn)。為ABl中點(diǎn),

如下圖,

②在線段Oc上找到中點(diǎn)Q,過(guò)。作與X軸成45。的y'軸,并在V軸找點(diǎn)G使OG=0。,此

時(shí)直觀圖底面A4G確定;

③過(guò)A中,G向上作與X軸垂直的射線,并在各射線上找一點(diǎn)A,B,C使AA=BN=CC=3cm,

連接AB,8C,BA,即得正三棱柱的直觀圖.

(2)①過(guò)MN作直線分別交射線GA,CC于E,。,連接砂,OP,分別交A4,8C于G1,

②連接MG,NF,則截面FNMGP即為所求.

【例12]如圖所示的正方體ABCQ-AB中,E是棱CG上的一點(diǎn),試說(shuō)明已、A、E三

點(diǎn)確定的平面與平面ABCD相交,并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線.

【分析】延長(zhǎng)RE、OC交于點(diǎn)尸,連接A尸交BC十點(diǎn)G,利用平面的性質(zhì)可知面ARE與

平面ABC£>的交線為ΛF.

【詳解】解:延長(zhǎng)RE、DC交于點(diǎn)F,連接的交BC于點(diǎn)G,則平面4。E與平面ABC。的

交線為AF,證明如下:

因?yàn)镕eAE,REU平面ARE,則F∈平面ARE,

.FeCD,CDU平面ABCD,二尸G平面ABCD,

又因?yàn)锳為平面ARE和平面A3C3的公共點(diǎn),則平面42E與平面ABCD的交線為AF.

【例13]如圖,正方體ABCZ)-AaGA的棱長(zhǎng)為8,M,N,P分別是A4,AD,BA的

中點(diǎn).

⑴畫(huà)出過(guò)點(diǎn)M,N,P的平面與平面ABC。的交線;

(2)設(shè)平面PMNCAB=Q,求PQ的長(zhǎng).

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析

⑵4?歷

【分析】(1)通過(guò)MPU平面ABgA,將MP延長(zhǎng)后必與AB相交,設(shè)交點(diǎn)為Q,連接N。,

NQ即為過(guò)點(diǎn)M,N,P的平面與平面ABC。的交線.

(2)由BQ〃A鳥(niǎo)可知需=6了=1,進(jìn)而可通過(guò)勾股定理求得PQ的長(zhǎng).

∕WΓ>lΓDl

(1)

如下圖所示,:心匚平面斗打與入,MP與AB不平行,,MP與AB必相交.設(shè)交點(diǎn)為Q,

連接NQ.

:NQU平面ABCD,NQU平面MNP,

,過(guò)點(diǎn)M,N,。的平面與平面A88的交線為NQ.

BQPB,

??BQ∕∕A,Bt,?-?-=-=1,ΛBβ=MB1=4.

Mo1rD]

2222

PQ=y∣PB+BQ=√4+4=4√2.

【題型專(zhuān)練】

1.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCr>-A∕B∕CQ/中,E為8/G的中點(diǎn),則過(guò)8,D,E三點(diǎn)的平面

截正方體ABCr>-A∕8∕Go/所得的截面面積為()

A.叵B.IC.3√2D.2√10

【答案】B

【分析】作出正方體的截面圖形,利用面積公式即可求解.

【詳解】取DlG的中點(diǎn)尸,連接DF,EF,BE,

即等腰梯形BEFD為截面,設(shè)BEFD的高為〃,

由平面幾何知識(shí)可得〃=

所以截面面積為S=T小守、羋

2.如圖,在正方體ABC。一AAGR中,AB=2,點(diǎn)E為AB中點(diǎn),點(diǎn)尸為8C中點(diǎn),則過(guò)

點(diǎn)A與&E,G尸都平行的平面α被正方體AB8—ABCQ截得的截面面積為()

A.立B.在C.√3D.-

242

【答案】D

【分析】首先利用平行關(guān)系,作出截面,再求截面面積.

【詳解】取44中點(diǎn)G,AA中點(diǎn)兒則AAG”就是平面。被正方體A8CO—ABCQ,截得

的截面,其中AG=A”=有,GH=&,GH邊上的高為3不¥-與=斗,所以AAGH

的面積S=-×?^2×^^-=-.

222

3.(多選題)正方體ABC。-ABCQ的棱長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P,。分別在棱8C,CC1±,將過(guò)點(diǎn)

A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,設(shè)3P=x,CQ=y,其中x,ye[0,4],下列命題

正確的是()

D

iC1

A.當(dāng)x=γ=2時(shí),S的面積為9

B.當(dāng)x+)=4,Xe(1,3)時(shí),S為等腰梯形

C.當(dāng)4O時(shí),S為矩形,其面積最大值為16√∑

D.當(dāng))=4時(shí),以片為頂點(diǎn),S為底面的棱錐的體積為定值6號(hào)4

【答案】BCD

【分析】山題意可知當(dāng)*,y變化時(shí),S為不同的圖形,故可根據(jù)題意逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)x=2,尸2時(shí),PQ為,BCa的中位線,PQMBG,BCt/∕ADl,:.AD,//PQ,

??.S為等腰梯形APQ過(guò)P作PElAA于E,如圖,

PQ=2>∕2,ADl≈4√2..?.AE=垃.AP=2小、:.PE=3五.

SWΛPQD故不正確;

I=→672×3λ^=l8,A

對(duì)于B,當(dāng)x+y=4,Xe(1,3)時(shí),CP=4-x=y=CQ,即而=記,

Bq//A,,?!ㄊ?。,二5為等腰梯形4P。。,故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)X=O時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)8重合,,ABLPQ,如圖,

此時(shí)S為矩形,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)Cl重合時(shí),S的面積最大,s=4x4垃=16正,故C正確;

對(duì)于D,當(dāng)尸4時(shí),以巴為頂點(diǎn),S為底面的棱錐為4-APGH

當(dāng)y=2時(shí),以用為定點(diǎn),S為底面的棱錐為四-4PG”,如圖,

1164

v2v

B,ΛFC,H=P-BlClH=2X§XQX4X4X4=§,故D正確.

4.如圖,正方體ABCz)-A耳Ca的棱長(zhǎng)為6,GE=gcQ,點(diǎn)f是CQ的中點(diǎn),則過(guò)用,E,

尸三點(diǎn)的平面α截該正方體所得截面的面積為.

【分析】過(guò)尸作小〃Ef;,連接BF,作出截面圖形,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得EBFF為平

行四邊形,然后利用平行四邊形面積公式即可求解.

【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)尸作FP〃E耳,連接"尸,

由面面平行的性質(zhì)可得:四邊形EBxPF為平行四邊形,

又因?yàn)檎襟wABCO-A耳GA的棱長(zhǎng)為6,C1E=^C1D1,

點(diǎn)尸是C。的中點(diǎn),所以點(diǎn)BP=I,所以PF=Jl2+6?=后,

因?yàn)槠叫兴倪呅蜤qPF的高為6,

所以SBtEFP=屈x6=6屈,

5.正方體ABeo-AAGA中,棱長(zhǎng)為α,E∕分別是Bc、GA的中點(diǎn),0是底面ABCQ的

中心,過(guò)及F、0作截面,則所得截面的面積為.

【答案】[##竺

OO

【分析】連接EEF2O8,BE,8Q,4C,可證明所〃BD,然后可得截面為梯形£7班,然后

求出其面積即可.

連接EEFnoB,BE,8Q,AC,因?yàn)镋尸分別是BC、GR的中點(diǎn),

所以EF//BQ,因?yàn)锽QJ/BD,所以EF//BD,

因?yàn)镺是即的中點(diǎn),所以過(guò)E尸、。作截面,所得截面為梯形EmB,

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為“,所以BD=缶,EF=-a,EB=FD=-a

22

所以梯形£77)8的高為其面積為

6.如圖,長(zhǎng)方體ABeD-A耳Ca中,AB=BC=4,AAt=3,M是線段AG的中點(diǎn),點(diǎn)N在

線段Be上,MN//BD,則長(zhǎng)方體A8CO-A4G。被平面AMN所截得的截面面積為

【答案】7"

五邊形四進(jìn)彩

【分析】先判斷出截面是五邊形AEMNF,再求出相關(guān)邊長(zhǎng),通過(guò)SAEMNF=SAAEF+SEtfNF

計(jì)算面積即可.

如圖,M是線段Rcl的中點(diǎn),點(diǎn)N在線段8£上,MN//BI),所以N為BC的中點(diǎn).延長(zhǎng)AA

交直線MN于點(diǎn)P,連接AP交。。于點(diǎn)E:延長(zhǎng)ABl交直線MN于點(diǎn)。,

連接AQ交叫于點(diǎn)F.則PM=MN,NQ=MN.于是易得E、尸分別為DD1、BB1的三等分點(diǎn),因此

截面為五邊形AEMNF,

AE=AF=2-45,EM=FN=下,MN=2√2,EF=4√2.

過(guò)A作ATj.PQ于7,交EF于S,由AE=AF=26,AP=AQ=3指可得

AS=2瓜AT=3小,故

?_??_1ac:?/7,2>∕2+4>∕2yτ,7r

?五邊形AEMNF=+?叫邊形EMNF=X/yJ^∣^XVJ=/?/?■

7.如圖,在正方體ABCo-A4G。中,E是棱CG上一點(diǎn),且CE:EG=I:2.

⑴試畫(huà)出過(guò)R,A,E三點(diǎn)的平面截正方體"CD-A8CQ所得截面ɑ:

(2)證明:平面AAE與平面ABCz)相交,并指出它們的交線.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析;AG為面RAE與面ABCD的交線

【分析】(1)在BC上取一點(diǎn)尸,使得CF=gcB,延長(zhǎng)AF,OC,RE交于點(diǎn)G,連結(jié)所,

即可得到截面;

(2)根據(jù)兩平面有公共點(diǎn)A,可知兩面相交;延長(zhǎng)。CRE,設(shè)它們交于點(diǎn)G,可證得G在

兩面交線上,由此可知交線為AG.

(1)

在BC上取一點(diǎn)F,使得CF=gc8,延長(zhǎng)AF,DC,RE交于點(diǎn)G,連結(jié)EF,

則平面AF皿就是過(guò)AE三點(diǎn)的平面截正方體ABCO-ABCQ所得截面。.

(2)

Ae平面RAE,Ae平面ABCZJ,

.?.平面。/E1平面ABa>≠0,即平面QAE與平面468相交.

延長(zhǎng)。C,3∣E,設(shè)它們交于點(diǎn)G,

Ge直線。E,直線AEU平面OAE,.?.Ge平面AAE.

Ge直線。C,宜線OCU平面488,.?.G∈平面45C3.

.?.AG為面RAE與面ABCf)的交線.

8.如圖所示,在直四棱柱A8CZ)-A4GP中,底面ABCD是等腰梯形,AB//CD,AB=ICD,

ZBAD=60,四邊形CDDG是正方形.

(1)指出棱CG與平面4。鳥(niǎo)的交點(diǎn)E的位置(無(wú)需證明),并在圖中將平面AC片截該四棱柱所

得的截面補(bǔ)充完整;

【答案】(I)E為CG的中點(diǎn),答案見(jiàn)解析

【分析】(I)E為CG的中點(diǎn),取CG的中點(diǎn)E,連接OE,用E可得答案;

(2)連接3D,作OFJ_AB,垂足為尸,由線面垂直的判斷定理可得DFI平面ABB-

利用KO-AB耳=VB-ADel可得答案.

(1)

E為CG的中點(diǎn).作圖如下:如圖,取CG的中點(diǎn)E,連接DE,B1E,平面ADE4即為該四

棱柱所得的截面.

9.(1)如圖,在正方體ABCQ-ABCa中,試畫(huà)出平面ABQ與平面ACGA的交線.

(2)如圖,直角梯形ABC。中,AB//CD,AB>CD,S是直角梯形ABCo所在平面外一點(diǎn),

畫(huà)出平面S3。和平面SAC的交線.

【答案】詳見(jiàn)解析.

【分析】(1)先記BA與AG的交點(diǎn)為。,連接A。,即可得出交線;

(2)延長(zhǎng)8。和AC交于點(diǎn)0,再連接S。,即得到交線.

【詳解】(1)記BQl與AG的交點(diǎn)為0,連接A。,則Ao即為平面ABIR與平面ACGA的

交線,如圖:

(2)延長(zhǎng)3。和AC交于點(diǎn)。,連接S。,So即為平面S%)和平面MC的交線,如圖:

10.P,Q,R三點(diǎn)分別在直四棱柱A。的棱88/,CG和。D上,試畫(huà)出過(guò)P,Q,R三點(diǎn)的

截面作法.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】作截面圖,就是要找到面PQR與直四棱柱相關(guān)面的交線,畫(huà)交線的關(guān)鍵就是找兩個(gè)

公共點(diǎn),沒(méi)有明顯的公共點(diǎn),首選延長(zhǎng)那些同時(shí)在直四棱柱面上的線.

【詳解】作法:(1)連接QP,QR并延長(zhǎng),分別交CB,C。的延長(zhǎng)線于E,F;

(2)連接E尸交A8^ΓT,交AO于S;

(3)連接RS,TP,則五邊形PQRS7即為所求截面.

11.如圖,正方體ABC。-A耳6P的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CG上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)

點(diǎn)A,P,。的平面截該正方體所得截面記為S,當(dāng)CO=:時(shí),S與GA的交點(diǎn)為R,則CR=

;當(dāng)S為四邊形時(shí),CQ的取值范圍為.

3

【分析】設(shè)S與AR的交點(diǎn)為T(mén),根據(jù)截面的性質(zhì)可得.C尸Q~,241A,從而得到珀=:,再

根據(jù)liABP,RRT可得RR=;,從而求得0/?=;;再根據(jù)截面的性質(zhì)可得S與平面"QQ

的交線經(jīng)過(guò)。Q上求S為四邊形時(shí),CQ的取值范圍即可

CPCQ

[詳解】如圖所示,設(shè)S與AR的交點(diǎn)為7,根據(jù)截面的性質(zhì)可得^CPQ、昭A,?ττ=7T-

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=-從而得到3=:,故τη=w?

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一1解得RR=g,故Cm=1-:=;

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