知識資料第十七章數(shù)制、編碼及邏輯代數(shù)(三)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁表證實兩變量的摩根定理的真值表AB000110111000100011101110由表可見（2）關于等式的若干規(guī)矩1)代入規(guī)矩將等式兩邊浮上的同一變量都以一個相同的邏輯函數(shù)代之，則等式仍成立，這個規(guī)矩稱為代入規(guī)矩。利用代入規(guī)矩可以擴大等式的應用范圍，無數(shù)基本公式都可以由兩變量或三變量推廣為多變量的形式。例如，摩根定理的兩變量形式為及，利用代入法則，將前式“B”的位置以(B·C)代入，后式“B”的位置以(B＋C)代入就可得到表中三變量形式的摩根定理。從而，摩根定理得到了擴展。2）反演規(guī)矩對于一個邏輯式Z，倘若把其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量、反變量換成原變量，那么得到的函數(shù)式就是，這個規(guī)矩叫做反演規(guī)矩。它為求一個函數(shù)的反函數(shù)提供了方便。在使用反演規(guī)矩時需要注重兩點：①必須遵守“先括號、然后乘、最后加”的順序。②不屬于單個變量上反號應保留不變。3）對偶規(guī)矩對于任何一個邏輯式Z，倘若把其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個新的函數(shù)式，這就是函數(shù)Z的對偶式，記作?？梢宰C實，若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這就是對偶規(guī)矩。運用對偶規(guī)矩可以使人們要證實的公式大大減少。倘若要求證和是否相等，則只需證實其對偶式、是否相等。例如，分配律為A（B+C）=AB+AC，求這一個公式兩邊的對偶式，則有分配律A+BC=（A+B）（B+C）成立。倘若已證實前式成立，那么后式就不必再證實了，它一定成立。17.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡化簡的意義：將邏輯函數(shù)化成最簡形式便于在用電路實現(xiàn)時節(jié)約器件。（1）邏輯函數(shù)式最簡的標準邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式，或非或非式等等。Y=AB+A'C 與或式=((AB+A'C)')'=((AB)'(A'C)')' 與非與非式 兩次取反=((AB+A'C)')'=((A'+B')(A+C'))'=(AB'+A'C'+B'C')'=(AB'+A'C')'=(A'+B)(A+C) 或與式=(((A'+B)(A+C))')'=((A'+B)'+(A+C)')' 或非或非式 兩次取反=(AB'+A'C')' 與或非式與或式使用最多，因此我們只研究與或式的最簡標準1．包含的與項最少；2．在滿意1項的前提下，每個與項包含的變量個數(shù)最少。（2）化簡主意我們通過一些例子說明如何應用這些公式舉行化簡1）并項法：A+A'=12）吸收法：A+AB=AY=AB+A(C+D)B=AB3）消因子法：A+A'B=A+BY=AC+A'D+C'D=AC+(AC)'D=AC+D4）消項法：AB+A'C+BC=AB+AC'Y=AC+AD'+(C+D)'=AC+AD'+C'D'=AC+C'D'5）配項法：A=A+A1=A+A'AB+A'C=AB+AC'+BCY1=A'BC'+A'BC+ABC=A'BC'+A'BC+A'BC+ABC=A'B+BCY2=AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C+AC'=A'B+B'C+AC'或Y2=AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C+A'C=AB'+BC'+A'C卡諾圖化簡法1.卡諾圖的構成形狀：●二變量卡諾圖有22=4個小方格；●三變量卡諾圖有23=8個小方格；●四變量卡諾圖有24=16個小方格；普通4個小方格和16個小方格的卡諾圖組成正方形；8個小方格的卡諾圖組成長方形。(固然，也有五變量和六變量的卡諾圖，它們有不同的設計主意)坐標軸：也有橫軸和縱軸。與普通代數(shù)中的平面直角坐標軸的稱呼不太相同。下面的主意把坐標軸和變量聯(lián)系起來記憶，可以方便學習?！穸兞?A,B)卡諾圖的橫軸稱為A橫軸，縱軸稱為B縱軸；●三變量(A,B,C)卡諾圖的橫軸稱為AB橫軸，縱軸稱為C縱軸；●四變量(A,B,C,D)卡諾圖的橫軸稱為AB橫軸，縱軸稱為CD縱軸。坐標：橫坐標從左到右，縱坐標從上到下都按升序。●當坐標軸為一個變量時，升序為0，1。如A橫軸，對應坐標為，A。余類推?！癞斪鴺溯S為二個變量時，升序為00，01，11，10。(注重：這種升序是二進制數(shù)00，01，10，11對應的格雷碼)，如AB橫軸，對應坐標為，B，AB，A。余類推。●當坐標軸為三個變量時，升序為000，001，011，010，110，111，101，100。(注重：這種升序是二進制數(shù)000，001，010，011，100，101，110，111對應的格雷碼)卡諾圖中小方格的內(nèi)容：每一個小方格代表一個最小項。宛若平面直角坐標系一樣，平面上的每一個點的坐標是先橫后列。例如四變量的卡諾圖中，最小項m5對應的AB橫軸坐標為01(即為B)，CD縱軸坐標為01(即為D)，故m5=BD。2.邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示⑴若邏輯函數(shù)表達式是“最小項之和”的形式，如F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=m2＋m3＋m6＋m7,則在直接在三變量卡諾圖中對應m2、m3、m6、m7的小方格內(nèi)填1，其余方格填0。●填1的方格稱為1方格，填0的方格稱為0方格。●普通不填0方格，以求圖象清淅。⑵若邏輯函數(shù)是“與－或”表達式，如F(A,B,C)=C+B+AC+BC在三變量卡諾圖中，填C時，因惟獨一個橫坐標，故應先在AB橫軸上找出開始為0的坐標(這個0對應著)：00和01的兩列，然后在C縱軸上找出坐標為1的一列，這樣就在卡諾圖中找到了001和011的兩個1方格。相當于C+BC=C。填B時，因惟獨橫坐標，無縱坐標，故在AB橫軸上找出坐標01后，在這一列的所有兩個小方格內(nèi)填1(即兩個1方格)。相當于BC+B=B。填BC時，因惟獨一個橫坐標B，故應先在AB橫軸上找出第二個坐標為1的坐標(這個1對應著B)的11和01的兩列，然后在C縱軸上找出坐標為1的一列，這樣就在卡諾圖中找到了111和011的兩個1方格。相當于ABC+BC=BC。填AC時，因它是最小項，故在AB橫軸上找出坐標10后，然后在C縱軸上找出坐標為1的一列，就找到了101這個小方格?！褡⒅兀禾热粼谝粋€小方格內(nèi)填了兩個1，最后就以一個1代替。因1+1=1。●這個例子告訴我們，用邏輯函數(shù)“與－或”表達式填圖，不必先轉化成最小項表達式，可以用這種主意直接填圖，簡化填圖手續(xù)。3.卡諾圖上最小項的合并卡諾圖的一個重要應用就是把邏輯函數(shù)簡化成最簡“與－或”表達式或者“或－與”表達式。相鄰的概念：幾何相鄰，邏輯相鄰。●兩個相鄰項(1方格)可以合并成一項，并且消去一個變量?！袼膫€相鄰項(1方格)可以合并成一項，并且消去兩個變量。●八個相鄰項(1方格)可以合并成一項，并且消去三個變量?！袷鶄€相鄰項(1方格)可以合并成一項，并且消去四個變量?！?若一個卡諾圖中所有的方格都是1方格，則合并后變量所有消去，這項為1。)4.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖一定能將邏輯函數(shù)化成最簡的“與－或”或者“或－與”表達式。但最簡的表達式不一定是唯一的?！镒詈啞芭c－或”表達式的化簡步驟：第一步：將邏輯函數(shù)填圖。第二步：對卡諾圖中的１方格畫卡諾圈。⑴在滿意合并條件下，卡諾圈應盡可能大；(一個卡諾圈對應一個“與”項，圈越大，這一項變量的個數(shù)就越少。)●實際上，按照邏輯函數(shù)的代入規(guī)矩，一個１方格卡諾圈對應這個邏輯函數(shù)的一個子函數(shù)。⑵在籠罩所有１方格的前提下，卡諾圈的個數(shù)應盡可能小；(一個卡諾圈對應一個“與”項，圈的個數(shù)越少，邏輯函數(shù)的項數(shù)就越少。)⑶每個１方格可按照合并的需要被多個卡諾圈包含，但至少應被一個卡諾圈包含；※⑷每個卡諾圈中應至少有一個１方格只被一個卡諾圈包含。否則會多出冗余項。第三步：將卡諾圖上所有卡諾圈對應的“與”項相“或”，得到邏輯函數(shù)的最簡“與－或”表達式。邏輯函數(shù)化簡中有關問題的考慮1．包含無關最小項的邏輯函數(shù)的化簡無關最小項的概念：在一個邏輯函數(shù)的所有最小項中，某些輸入變量的取值組合(即某些最小項)，對應的輸出變量(函數(shù))根本不會浮上，即沒有對應的函數(shù)值。這時的函數(shù)值既可以看成1，又可以看成0，普通用d表示?！駸o關最小項又叫隨意項。●在卡諾圖中畫卡諾圈時，若要得出“與－或”表達式，d方格應圍繞１方格來圈，若要得出“或－與”表達式，d方格應圍繞０方格來圈，多余的d方格棄之不圈。2．多輸出邏輯函數(shù)的化簡在化簡多輸出邏輯函數(shù)時，不是僅僅考慮單個函數(shù)最簡，而是以多個函數(shù)整體最簡為目標?！窕喌年P鍵是充足利用各函數(shù)間的分享部分?！窕喓蟮慕Y果對單個函數(shù)來說可能不是最簡的，但化簡的標準是整體上項數(shù)最少。例題【例1】將二進制數(shù)(1001)B轉換成十進制數(shù)。(1001)B=1×23+0×22+0×21+1×20=(9)D【例2】將八進制數(shù)(257)O轉換成十進制數(shù)。(257)O=2×82+5×81+7×80=(175)D【例3】將十進制數(shù)(25)D轉換成二進制數(shù)。225余1最低位212………余026………余023………余121………余1最高位0最后的商為0所以(25)D=(11001)B【例6】(75E)H=(?)B(75E)H=(011101011110)B【例4】(137)O=(?)B(137)O=(001011111)B【例8】(75E)H=(?)O(75E)H=(011101011110)B=（011101011110）B=（3536）O【例9】將十進制數(shù)(13)D轉換成8421BCD碼。(13)D=(00010011)8421BCD(0001011101010000)8421BCD=(?)D(0001011101010000)8421BCD(1750)D00011110001×01×111×××101××例10：Y(A,B,C,D)=m1+m7+m8約束條件為：m3+m5+m9+m10+m12+m14+m15=0解：（用公式法）Y=(A'B'C'D+A'B'CD)+(A'BCD+A'BC'D)+(AB'C'D'+A