2022-2023學(xué)年山東省棗莊市高一年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年下學(xué)期高一期中學(xué)情檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(2-i)(l+i)=()

A.3+iB.l-2iC.3-iD.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：(2-i)(l+i)=2+i-i2=3+i.

故選：A.

2.若向量礪=(3,2),方=(—4,5),則點(diǎn)/的坐標(biāo)為()

A.(—1,7)B.(7,-3)C.(一1,—3)D.(7,7)

【答案】B

【解析】

【分析】求出方，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】由題意，

；礪=(3,2),方=(-4,5),

.?.E=礪-益=(3,2)-(T,5)=(7,-3)

.?.Z(7,-3),

故選：B.

3.對于橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，若它們的模相同，坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”如向量

1),(—1,1),(—1,—1)是模為J5的“等模整向量”，則模為JiG的”等模整向量”的個數(shù)為()

A.4B.8C.10D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)“等模整向量”的概念求解.

【詳解】設(shè)向量為(*6),則/+∕=ιo,又α,b為整數(shù),

所以4,b從-14,3,-3中取值，故符合條件的“等模整向量”為

(-1,3),(-1,-3),(1,3),(1-3),(3,1),(3,-1),(-3-1),(-3,1),共有8個.

故選：B

4.“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波演”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，

屢毀屢建.今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個大明湖的

風(fēng)景.如圖，為測量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104(單位：米)的48兩個觀測點(diǎn)，在月點(diǎn)

測得超然樓在北偏東60°的點(diǎn)。處(/,B,。在同一水平面上)，在8點(diǎn)測得超然樓在北偏西30。，樓頂C

的仰角為45°,則超然樓的高度CD(單位：米)為()

A.26B.26GC.52D.52√3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合直角三角形分析運(yùn)算即可.

【詳解】由題意可得：^BAD=30o,ZABD=60o,ZCBD=45o,AB=\04（米）,

在△力8。中，可得NZDB=90°,則80=ZB?sin∕8∕O=104x^=52（米）,

2

在RtABCQ中，可得ABCQ為等腰直角三角形，即。C=8。=52(米).

故選：C

5.矩形/8CD中，AB=3,AD=2,"為線段NB上靠近Z的三等分點(diǎn)，N為線段BC的中點(diǎn)，則

^DM-AN=（）

A.-1B.OC.1D.7

【答案】C

【解析】

【分析】以｛方,而｝為基底向量表示由,石，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律分析運(yùn)算.

【詳解】以｛方,而｝為基底向量，

,.?,I,T，—,,TI,

則DM=AM—AD=-AB—AD,AN=AB+BN=AB+—AD,

32

因為48J./。，則荏.詬=O，

1―.—Λ—.11------.25-----?------>1------>2

所以。ZN=-AB-ADAB+-AD=-AB一一ABAD一一AD」x9」x4=l

3/236232

故選：C

PFPF1PCT1

6.三棱錐P-ZSC的側(cè)棱尸4尸民PC上分別有三點(diǎn)E,F,G,且一=1,——=一,——=一，則三棱錐

EAFB2GC3

P—ZBC與尸一ERG的體積之比是（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)體積公式計算三棱錐P-ERG的體積與三棱錐尸-ASC的體積表達(dá)式，再求其比值.

【詳解】設(shè)APFG的面積為S-設(shè)APBC的面積為5,,

則R=；PRpGSinNFPG,S?=；PBPCSinNBPC,又NFPG=/BPC,

PF_1PG_1

~PB~3,~PC~4,

.A_1

,

**S212

過點(diǎn)E作EM_L平面PBC,過點(diǎn)A作ZN1平面P8C,如圖,

則EM〃/N,???△尸EM與相似，

PE1EM1

又π---=-，??----=一，

PA2AN2

,,VP-EFG=VE-FPG=QSI?EM,VP-ABC=VA-BPC=WS2.AN，

'PTBC_24

v一'

vP-EFG

三棱錐P—力8C與尸一ERG的體積之比是24.

故選:D.

7.已知“5。的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若m=(b,b),n=(COSC,JJsinC^,m-n=a+c^

則8=()

Tl7171Tl

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可推得bcosC+?sinC=α+c,正弦定理邊化角可得

sinBcosC+JJsinBsinC=sinZ+sinC.然后根據(jù)三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦定理化筒可推得

GsinB-CosB=I,輔助角公式化簡可求得Sin(Bq)=g,然后根據(jù)角的范圍，即可得出答案.

【詳解】由已知可得，m-n=bcosC+y∕3bsinC=Q+C?

由正弦定理邊化角可得，sinBcosC+?/?sin5sinC=sin/1+sinC?

因為sin%=sin(S+C)=sinS∞sC+cosBsinC,

所以有JJSinBSinC—COSBSinC=SinC?

又sinC≠O?所以sinB—cosB=T，

即2sin[8-?^J=l,所以Sin(B_EJ=5

TTjrSTE

因為0<8<7i,所以—<B---<—,

666

所以8-生=色，所以8=g.

663

故選：B.

8.已知48,C,。四點(diǎn)都在表面積為Ioo兀的球O的表面上,若Zz)球。的直徑,且BC=4,ZBAC=150°,

則三棱錐4-8CQ體積的最大值為()

A.4√3B.8√3C.4(2-√3)D.8(2-√3)

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)a∕8C的外接圓半徑為廠，圓心為。I,根據(jù)正弦定理可求,，根據(jù)幾何關(guān)系可求。到平面/8C

的距離為定值2。01,當(dāng)4/8C面積最大時，三棱椎CD體積最大，利用余弦定理、基本不等式、三角

形面積公式可求ANBC面積的最大值，即得.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R,因為球。的表面積為100兀，故4兀R2=ιoo兀，即R=5,

V5C=4,/胡C=I20°,設(shè)ANBC的外接圓半徑為心圓心為。一

2222

|。0J=y∣OB-OtB=√5-4=3,

:?D是直徑，。是3中點(diǎn)，故。到平面N8C的距離為2∣OQ∣=6,

在aNBC中，根據(jù)余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC.

即16=次+/。2+@歷/八2/氏/。+MAB?AC，

：?AB.ACWT6(2-5,當(dāng)且僅當(dāng)月8=ZC時，等號成立，

.??△/BC面積的最大值為S=J∕8?∕C?sinZ5^C=∣×16(2-√3)×^?=4(2-√3),

/.三棱錐A-BCD體積的最大值K=∣×4(2-√3)×6=8(2-√3).

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.關(guān)于復(fù)數(shù)Z∣,Z2,Z3,下列說法中正確的是()

22

A.㈤=同B.z1=∣z1∣

C.Z∣?(Z2+Z3)=Z∣?Z2+Z]?Z3D.z1+z2=z1+z2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘法判斷B,C選項，根據(jù)復(fù)數(shù)的共輒復(fù)數(shù)判斷D選項，結(jié)合共朝復(fù)數(shù)及

模長判斷A選項.

【詳解】設(shè)Z]=a+h?z2=c+di%=加+所，

222

=a-bi,?zy?=-Ja+6,∣z11=J/+b,.?.IZj=同,A選項正確；

212

z；=(α+bi)2-/+2α6i,∣zj2={y∣a+b)=+???,?z；≠∣z1∣,B選項錯誤；

z1?(z2+z3)=(α+∕>i)(c+Ji+m÷wi)=(α+Z>i)(c+Ji)+(α+6i)(τn+πi)=z1?z2+z1?z3,C選項正確；

z1+z2=(c+Aw)+(^+∕7)Z,z1+z2=(c+w)-(J÷w)z,

zx+Z2=C-di+m-ni=(c+加)一(d+n)i,

z1+z2=Z1+z2,D選項正確；.

故選:ACD.

10.已知正四棱臺力BCD—中，/8=4,44=2,44=2,則關(guān)于該正四棱臺，下列說法正確的

是()

體積為里亞

表面積為

A.AAxAB=-B.高為近D.12JW

63

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征逐項分析判斷.

【詳解】過4分別作底面ZBeQ、/8的垂線，垂足分別為M、N,

則W==√Σ,∕N==1,

44

2222

可得4河=y]AxA-AM=厄AlN=y∣A1A-AN=√3.

對于A：在RtN中，可得SinNAIAN=型=?,

AAi2

π

且N//N為銳角，則故A錯誤；

對于B：正四棱臺的高即為4河=J5,故B錯誤；

對于C：正四棱臺的體積％=g（4*4+2x2+"^Zm∑）x0=空/，故C正確;

對于D：四棱臺的表面積s=4χ4+2x2+4χY^C^i=20+12百，故D錯誤;

2

11.石墨的二維層狀結(jié)構(gòu)存在如圖所示的環(huán)狀正六邊形，正六邊形ZBCQE/為其中的一個六元環(huán)，設(shè)

/6=1,P為正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），則下列說法正確的是（）

?-AD=4AB÷4AFB.AC?AD=3AB'

______13

C.N萬在方上的投影向量為布D.不.刀的取值范圍為一,,C

【答案】BCD

【解析】

【分析】建系，利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算判斷A、B、C,對于D：結(jié)合向量的投影分析運(yùn)算.

【詳解】如圖，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則4（0,0）,等"唱一卦）（2,0唱撲（號

可得冠=WM=5料石=（2,0）,萬書當(dāng).

1'7l'√1'）

對于A：因為4Z6+4ZE=（4,0）,則打≠4萬+4萬故A錯誤;

對于B：∕C.AD=gχ2+0=3=3Z6,故B正確；

對于C：因為（茄,茄）=60°,則I而∣cos（方,益）=2x；=l,

AB—

所以而在篇上的投影向量為后M=/8,故C正確；

對于D：分別過C、f作直線ZB的垂線，垂足分別為M、N,

1___「13一

則BM=/N=5,可得/尸在/8上的投影的取值范圍為一］，］＞

_,______13

且卜l4=1,所以ZP./8的取值范圍為一萬，5,故D正確;

故選：BCD.

12.已知“3C內(nèi)角力,B,C所對的邊分別為°,b,^ABC內(nèi)一點(diǎn)N滿足

sin∕?福+sin8?標(biāo)+sinC?近=0,4N與SC交于點(diǎn)。，則下列說法正確的是（）

(ABAC}

A.B.AN-=O

a-NA+b-NB+c-NC=0[?AB??AC?)

C.c-AD+b-AD=?6csinCF7b?4B+c?AC

D.AN=-----------------

2a+b+c

【答案】ABD

【解析】

【分析】由正弦定理判斷A,再由向量的線性運(yùn)算判斷D,根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算判斷B,由B知NN在角平分

線上可判斷C.

【詳解】?.?sinZ?麗+sin8?赤+sinC?祝=6,

，由正弦定理可得α?福+b?而+c?&=2R?6=G,故A正確;

.?.a(-AN)+b(AB-AN)+c(AC-ΛN)=?,

可得京=""+以0，故D正確；

a+b+c

<?(hAB+cAC)-(hAB—cAC)-(h2c2-c2b2)

故B正確;

JZBlIAC?)a+b+ca+b+c

如圖,

:.-c-AD?sin—+—∕)?AD?sin—=-bcsinA,故C不正確.

22222

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.i2023=.

【答案】-i

【解析】

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的周期性求解.

【詳解】i2023=i4×55+3=i3=-i,

故答案為：—i

14.-8C中，4。為邊BC的中線，AB=3tAC=2,ZBAC=60%則中線的長為

【答案】晅陽LM

22

【解析】

由已知而=;（在+就），然后平方根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，即可得出答案.

【分析】

2----2------\132+22+2×3×2×∣?19

+AC+2AB-AC?=-×^4

所以，中線的長為畫.

2

故答案為：晅.

2

15.設(shè)M為“BC內(nèi)一點(diǎn)，且宿=工赤+!工，則AMSC與&48C的面積之比為

23

【答案】?

6

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論確定點(diǎn)〃的位置，進(jìn)而分析運(yùn)算即可.

3——.1—>1—>1->1—.

【詳解】在ZC取點(diǎn)N,使得ZC=-NN,則/Λl=-∕8+-NC=-Z8+-∕N,

22322

可知：點(diǎn)”為BN的中點(diǎn)，

可得SAMBC=~^SANBC=~f~^ABC=7^ΔΛBC,即1''=Z'

2213）6S△ABC6

所以&MBC馬”BC的面積之比為L.

6

故答案為：—.

6

16.早在15世紀(jì)，達(dá)?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖（1）,先制作三張一樣的黃金矩形

ZBCz）I黑■=然后從長邊的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向，即E/='/O,再

（長邊2J2

沿著與長邊45行的方向剪出相同的長度，即FE=FG；將這三個矩形穿插兩兩垂直放置（如圖（2））,

連接所有頂點(diǎn)即可得到一個正二十面體（如圖（3））.若黃金矩形的短邊長為2,則按如上制作的正二十面

體的表面積為,其內(nèi)切球的表面積為.

Ai-----------,D

圖⑴圖Q)圖(3)

②(14+6向萬

【答案】①.20√3

3

【解析】

【分析】正二十面體的表面是20個全等的等邊三角形，且每個等邊三角形的邊長都等于黃金矩形的短邊長

可得其表面積，根據(jù)對稱性可知內(nèi)切球的球心在所有黃金矩形的對角線交點(diǎn)處，從而可求出球的半徑，得

出答案.

【詳解】正二十面體的表面是20個全等的等邊三角形，

且每個等邊三角形的邊長都等于黃金矩形的短邊長2.

所以表面積為：20×?×2×2×sin60°=2073

2

根據(jù)對稱性可知：三個黃金矩形的對角線交于一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為。

由對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的球心在所有黃金矩形的對角線交點(diǎn)處，

點(diǎn)。連接其中一個面/8C,如圖，作。OlJ■面/3C,則。/為外接球半徑，。。為內(nèi)切球的半徑.

O

黃金矩形的短邊長為2,設(shè)長邊為2夕，則Z=避二1,即2y=一一X2=6+1

2,y2Λ∕5—1

^22+(√5+lj2=∣

所以黃金矩形的對角線長為yW+2y∕5

所以外接球的半徑為：∣√10+2√5

由正三棱錐的性質(zhì)可知，q為A45C的中心，QC為ΔJ8C的外接圓半徑,

所以2*=焉=孚'所以*=平

所以O(shè)。；=OC2一℃2=10+2√5414+6√5

4312

所以內(nèi)切球的表面積為4萬×國+61=（14+6√?r

123

故答案為：2。5吐盧

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知復(fù)數(shù)z=-J.

1+21

（1）求|z|；

（2）若Z是關(guān)于X的方程/+ax+/,=。的一個根，求實數(shù)°,b的值.

【答案】（I）√5

(2)a=—2,6=5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求z,進(jìn)而求模長;

（2）將Z代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式求解.

【小問1詳解】

55(1-21)

因為Z=--------l-2i

l+2i(l+2i)(l-2i)

所以IZl=Vl+22=y∣5.

【小問2詳解】

由（1）可得：z=1-2Z,

將Z代入方程/+*+b=o得：0-2iJ+α(ι-2i)+6=g+6-3)+i(-2α-4)=0,

a+b-3=0

則解得：α=-2,6=5.

2。+4=0

18.已知ZD是同一平面內(nèi)的三個向量，其中7=（1,6）.

（1）若H=4,且。〃0,求C坐標(biāo)；

（2）若W=1,且僅+9工（215磯求Z與3的夾角.

【答案】（1）工=（2,26）或2=（一2,-2百）

π

（2）-

3

【解析】

【分析】（1）設(shè)）=（x,y）,然后根據(jù)向量模以及向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程組，求解即可得出答案;

（2）根據(jù)已知可推得￡石=1，然后即可得出CoS?,分=；,進(jìn)而得出答案.

【小問1詳解】

設(shè)c=(x,y),

X2-^y2=16X=2X=—2

由已知可得＜解得《或〈

y-VJx=Oy=2√3[y=-2√3

所以"=（2,2百）或"=卜2,-2省）.

【小問2詳解】

由已知可得，Iq=JI2+（石『=2.

由（Q+1）_1_（2〃-5可得（α+Z）?（2α—5可=O,

即23-375—5披=0,

即8—3。?人一5二0,

所以4萬=1，

a?b1

R二耐大

因為，0≤（Z,B）＜π,

故：

19.如圖，圓錐SO的底面半徑為3,此圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓.

（1）求圓錐SO的表面積；

（2）若圓錐So的底面圓周和頂點(diǎn)S都在球O'的球面上，求球。'的體積.

【答案】（1）27π

（2）32√3π

【解析】

【分析】（1）設(shè)C%=O8=r,S4=55=/,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，由兀/=2口=6兀求得母

線后再利用表面積公式求解.

（2）令SO'=R,利用球的截面圓性質(zhì)，由0'。2+。82=o%2求得半徑即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)OA=OB=r,SA=SB=I,

由題意得：π/=2πr=6π.則/=6.

所以S側(cè)=?！?18兀,5底=9π,S表=?+S底=27π.

【小問2詳解】

令SO'=R,

由。'。2+。8?=?！?,得(3百一R)2+9=R2,

解得R=2√3.

4-

故/=MlR3=32r0.

20.ΔJBC中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別為〃，b,c.已知（匕+。）6足6+5詁。）=。5皿4+3加出。.

（1）求角A的大小;

（2）若α=2,求c-Z?的取值范圍.

【答案】（1）A=^

(2)c—b&(-2,2)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意利用正、余弦定理分析運(yùn)算;

（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，在結(jié)合三角恒等變換及余弦函數(shù)分析運(yùn)算.

【小問1詳解】

因為(6+C)(SinB+sinC)=asinZ+36sinC,

由正弦定理得（b+c）（b+c）=q2+3bc，整理得從+。2一/be，

所以c°s"=C?千=T

且∕∈（0,兀），故力=三.

【小問2詳解】

abc24√3

，可得6=逑sin8,c=迪SinC，

因為sin/sin5SinCJJ3

~τ33

—[sinf8+乙π)一SinB

則C一人=-^-(SinC-SinB)

33

1

cos5+-si∏5-sin5

2√

C1?C4√3

COSD——sinBco+

2vi}

因為O<8<—,所以一<BT—<—,則cosIBT—πI∈_也目

3666\6)2'2

7

所以等CoSl6+2,2）,即c-be（-2,2）.

21.已知是邊長為2的等邊三角形，。為邊SC的中點(diǎn)，E為邊ZC上任一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），尸在線

段EZ）延長線上，且麗=而.

（1）當(dāng)I而I最小時，求而.屜的值；

（2）求衣.萬ζ的取值范圍.

3

【答案】（1）--

2

-9"

（2）0,-

L4」

【解析】

【分析】（1）設(shè)方=XX（4e[0,l]）,把麗轉(zhuǎn)化為刀一;1%，由I而I=J（而）2求出

ICFI=√4Λ2-4Λ+4,λ∈[0,1]＞從而可知當(dāng)X=；時，|而|最小，把而.而轉(zhuǎn)化為用彳瓦衣表示,

再把X=/代入即可求出N萬.礪的值；

（2）把荏.左轉(zhuǎn)化為用彳瓦就表示，化簡為只含變量X的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法即可

求得近?N的取值范圍?

【小問1詳解】

如圖，

CF=AF-AC^AE+2ED-AC^AE+2(Ab-AE)-AC

=2AD-AE-AC=JB+JC-ΛAC-Jc=JB-λ^AC

.I..I?2..2??2

ICEl=J(Z8—ZMC)2=7AB-2λAB-AC+λAC

因為樂?就=2,所以I方∣="/P—4∕l+4,∕le[0,l]

1——

當(dāng)4=5時，∣C77∣最小，

此時Z5?礪=」（萬+元）萬一方］=一方.就+'元2=--.

2（2J2442

【小問2詳解】

由（1）知彳斤一元=萬一；I就，故萬ζ=刀+（1—2）%,

因為衣.簫=4%?［益+（l-∕l）X］

^λABAC+（λ-λ2）AC2

-—4λ2+6λ，

因為3。』］,所以而