2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試卷 全國(guó)甲卷（參考版答案）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)試卷全國(guó)甲卷

(參考版，部分答案)

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、設(shè)集合A={x∣x=3A+l,%eZ},B={x?x=3k+2,keZ},U為整數(shù)集，則

g(A8)=()

A.{x∣x=3k,k∈Z}B.{x∣x=3k-l,k∈Z}

C.{N尤=3%-1,Z∈Z}D.0

2、若復(fù)數(shù)(α+i)(l-αi)=2,則。=()

A.-lB.0C.lD.2

3、執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的3=()

A.21B.34C.55D.89

4、向量Ial=IM=1,∣c∣=√∑且“+h+c=0,則COS〈“一瓦——c〉=()

1224

A.」B.--C.-D.-

5555

5、已知數(shù)列{a,,}中，S“為{4}前“項(xiàng)和，S5=553-4,則S4=()

A.7B.9C.15D.20

6、有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，結(jié)束70人報(bào)名足球或兵乓球俱

樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

7、"sin?a+sii?尸=1"是"cosa+COS￡=0”的()

A?充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

8、已知雙曲線二+1=l(a>O,O>O)的離心率為逐，其中一條漸近線與圓

ah

(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B兩點(diǎn)，則IABI=()

A.iB.在C.還D.撞

5555

9、有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加

服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()

A.120B.60C.40D.30

10、已知/(x)為函數(shù)y=cos(2x+0向左平移N個(gè)單位所得函數(shù)，則k/⑴與

I4；6

y=-x--,交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

22

A.lB.2C.3D.4

11、在四棱錐P-ABC。中，底面ABCo為正方形，AB=4,PC=PD=3,

NPC4=45。，則4PBC的面積為()

A.2√2B.3√2C.4√2D.5√2

22

12、已知橢圓］+卷=1,F1>居為兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，

CosZFiPF2=-,則IOPl=()

A?2B.我CwD?返

5252

二、填空題

13、若y=(x-l)2+0x+sin(x+')為偶函數(shù)，則a=.

-2x+3y≤3

14、設(shè)％,y滿足約束條件《3x-2y<3,設(shè)z=3x+2y,則Z的最大值為.

x+y=1

15、在正方體ABCD-ABC。中，E,尸分別為C。，A4的中點(diǎn)，則以E尸為直徑的

球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

16、已知aABC中，NB4C=6()o,AB=2,BC=?,AO平分NBA。交BC于點(diǎn)

D,則Ar)=.

三、解答題

17、已知數(shù)列｛%｝中，4=1，設(shè)S”為｛q｝前〃項(xiàng)和，2Sn=nan.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹M空｝的前〃項(xiàng)和7；.

18、在三棱柱ABC—AgG中，A4,=2,AC_L底面ABC,NACB=90。，A到平面

BCC4的距離為1.

(1)證明：AC=A1C;

(2)若直線AA與BBl距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

19、為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組(不藥

物)和實(shí)驗(yàn)組(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)測(cè)得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.8

27.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組:5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.8

24.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)〃?，并完成下面2x2列聯(lián)表；

<m>m

對(duì)照組

實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

參考數(shù)據(jù):

k。0.100.050.010

P(k2≥k°)2.7063.8416.835

20、直線x-2y+l=0與y2=2pχ(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，IABl=4√i?.

⑴求尸的值；

(2)f■為V=2px的焦點(diǎn)，M,N為拋物線上的兩點(diǎn)，且MDM=O,求AMN尸面積的

最小值.

21、已知/(x)=ax-SinJ,X∈fO5—.

cosXI2J

(1)當(dāng)α=8時(shí)，討論f?x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)<sin2x,求α的取值范圍.

22、［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

已知點(diǎn)P(2,l),直線/：F=2+rcosc，”為參數(shù))，/與X軸，丫軸正半軸交于A,B,

l+rsi∏6z

?PA???PB?=4.

⑴求C的值；

(2)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求/的極坐標(biāo)方程.

23、［選修4一5：不等式選講］

己知/(x)=2∣x-4∣-α,a>0.

(1)解不等式/(x)<x;

(2)若y=∕(x)與坐標(biāo)軸圍成的面積為2,求α.

參考答案

1、答案：A

解析：

2、答案：C

解析：

3、答案：B

解析：

4、答案：D

解析：

5、答案：C

解析：

6、答案：A

解析：

7、答案：B

解析：

8、答案：D

解析：

9、答案：B

解析：

10、答案：C

解析：

11、答案：C

解析：

12、答案：B

解析：

13、答案：2

解析：

14、答案：15

解析：

15、答案：12

解析：

16、答案：2

解析：

17、答案：略

解析：

18、答案：略

解析：

19、答案：（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望E（X）=I

(2)(i)m=23.4

(ii)見解析

解析：(I)X的取值有0,1,2.

小。）卷嘴UD=警啜,尸…啜啜

.?.X的分布列為:

X012

1920