2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試卷 全國甲卷（參考版答案）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(理)試卷全國甲卷

(參考版，部分答案)

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、設集合A={x∣x=3A+l,%eZ},B={x?x=3k+2,keZ},U為整數(shù)集，則

g(A8)=()

A.{x∣x=3k,k∈Z}B.{x∣x=3k-l,k∈Z}

C.{N尤=3%-1,Z∈Z}D.0

2、若復數(shù)(α+i)(l-αi)=2,則。=()

A.-lB.0C.lD.2

3、執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的3=()

A.21B.34C.55D.89

4、向量Ial=IM=1,∣c∣=√∑且“+h+c=0,則COS〈“一瓦——c〉=()

1224

A.」B.--C.-D.-

5555

5、已知數(shù)列{a,,}中，S“為{4}前“項和，S5=553-4,則S4=()

A.7B.9C.15D.20

6、有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，結束70人報名足球或兵乓球俱

樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

7、"sin?a+sii?尸=1"是"cosa+COS￡=0”的()

A?充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

8、已知雙曲線二+1=l(a>O,O>O)的離心率為逐，其中一條漸近線與圓

ah

(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B兩點，則IABI=()

A.iB.在C.還D.撞

5555

9、有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加

服務，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為()

A.120B.60C.40D.30

10、已知/(x)為函數(shù)y=cos(2x+0向左平移N個單位所得函數(shù)，則k/⑴與

I4；6

y=-x--,交點個數(shù)為()

22

A.lB.2C.3D.4

11、在四棱錐P-ABC。中，底面ABCo為正方形，AB=4,PC=PD=3,

NPC4=45。，則4PBC的面積為()

A.2√2B.3√2C.4√2D.5√2

22

12、已知橢圓］+卷=1,F1>居為兩個焦點，。為原點，P為橢圓上一點，

CosZFiPF2=-,則IOPl=()

A?2B.我CwD?返

5252

二、填空題

13、若y=(x-l)2+0x+sin(x+')為偶函數(shù)，則a=.

-2x+3y≤3

14、設％,y滿足約束條件《3x-2y<3,設z=3x+2y,則Z的最大值為.

x+y=1

15、在正方體ABCD-ABC。中，E,尸分別為C。，A4的中點，則以E尸為直徑的

球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為.

16、已知aABC中，NB4C=6()o,AB=2,BC=?,AO平分NBA。交BC于點

D,則Ar)=.

三、解答題

17、已知數(shù)列｛%｝中，4=1，設S”為｛q｝前〃項和，2Sn=nan.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹M空｝的前〃項和7；.

18、在三棱柱ABC—AgG中，A4,=2,AC_L底面ABC,NACB=90。，A到平面

BCC4的距離為1.

(1)證明：AC=A1C;

(2)若直線AA與BBl距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

19、為探究某藥物對小鼠的生長作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不藥

物)和實驗組(加藥物).

(1)設其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.8

27.027.427.527.628.3

實驗組:5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.8

24.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)〃?，并完成下面2x2列聯(lián)表；

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數(shù)據(jù):

k。0.100.050.010

P(k2≥k°)2.7063.8416.835

20、直線x-2y+l=0與y2=2pχ(p>0)交于A,B兩點，IABl=4√i?.

⑴求尸的值；

(2)f■為V=2px的焦點，M,N為拋物線上的兩點，且MDM=O,求AMN尸面積的

最小值.

21、已知/(x)=ax-SinJ,X∈fO5—.

cosXI2J

(1)當α=8時，討論f?x)的單調性；

⑵若/(x)<sin2x,求α的取值范圍.

22、［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］

已知點P(2,l),直線/：F=2+rcosc，”為參數(shù))，/與X軸，丫軸正半軸交于A,B,

l+rsi∏6z

?PA???PB?=4.

⑴求C的值；

(2)以原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，求/的極坐標方程.

23、［選修4一5：不等式選講］

己知/(x)=2∣x-4∣-α,a>0.

(1)解不等式/(x)<x;

(2)若y=∕(x)與坐標軸圍成的面積為2,求α.

參考答案

1、答案：A

解析：

2、答案：C

解析：

3、答案：B

解析：

4、答案：D

解析：

5、答案：C

解析：

6、答案：A

解析：

7、答案：B

解析：

8、答案：D

解析：

9、答案：B

解析：

10、答案：C

解析：

11、答案：C

解析：

12、答案：B

解析：

13、答案：2

解析：

14、答案：15

解析：

15、答案：12

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16、答案：2

解析：

17、答案：略

解析：

18、答案：略

解析：

19、答案：（1）分布列見解析，數(shù)學期望E（X）=I

(2)(i)m=23.4

(ii)見解析

解析：(I)X的取值有0,1,2.

小。）卷嘴UD=警啜,尸…啜啜

.?.X的分布列為:

X012

1920