方程的根與函數(shù)的零點

方程的根與函數(shù)的零點冷水江一中楊玉林引入課題思考

一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象有什么關系？引入課題方程有兩個實數(shù)根：

觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象．函數(shù)與x軸有兩個交點：引入課題

觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象．方程有兩個相等的實數(shù)根：函數(shù)與x軸有一個交點：

觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象．引入課題方程函數(shù)與x軸：無實根無交點無交點

上述關系對一般的一元二次方程及其相對應的二次函數(shù)也成立．得出結(jié)論

一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象的關系：

判別式方程的根圖象與x軸的交點無實數(shù)根無交點方程和函數(shù)關系

對于函數(shù)y=f,我們把使f=0的實數(shù)根叫做函數(shù)y=f的零點eropoint方程f=0有實數(shù)根函數(shù)y=f的圖象與軸有交點函數(shù)y=f有零點

二次函數(shù)的圖象與軸的交點和相應的一元二次方程根的關系，可以推廣到一般情形．為此，先給出函數(shù)零點的概念．方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點

一般地，對于不能用公式法求根的方程來說，我們可以將它與函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點，從而求出方程的根．函數(shù)零點概念

由此可知，求方程的實數(shù)根，就是確定函數(shù)的零點，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標．

觀察二次函數(shù)的圖象，能發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間上有零點，計算與的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點？零點

函數(shù)在內(nèi)有零點，它是方程的一個根．探究判斷函數(shù)零點在區(qū)間上是否具有這種特點呢？零點

函數(shù)在內(nèi)有零點，它是方程的一個根．探究判斷函數(shù)零點

我們能從二次函數(shù)的圖象看到零點的性質(zhì)：1．二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（非二重零點），函數(shù)值變號．2．相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．

對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立．函數(shù)零點性質(zhì)

如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的根．

注:只要滿足上述兩個條件,就能判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在零點。函數(shù)零點性質(zhì)函數(shù)零點性質(zhì)

觀察下面區(qū)間上的函數(shù)圖象的簡圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？xxxx1函數(shù)y＝f（）的方程的圖象在區(qū)間（a，b）上必須是連續(xù)曲線，才能用上述方法判定．我們所研究的大部分函數(shù)，其圖象都是連續(xù)曲線．2在區(qū)間（a，b）內(nèi)，當f（a）·f（b）＞0時，并不能判定方程f（）＝0沒有解．

（）＝0解的存在，即至少有一解，但不能判斷具體解的個數(shù)．函數(shù)零點性質(zhì)說明例1求函數(shù)的零點個數(shù)．典型例題例1求函數(shù)的零點個數(shù)．解：列表x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972描點作圖由圖可知，，即

說明這個函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點．

由于函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點．

你能給出這個函數(shù)是增函數(shù)的證明嗎？典型例題

判斷函數(shù)零點個數(shù)的一般步驟：1．用計算器或計算機列出、f（）的對應值表；2．用描點法作出函數(shù)的圖象；3．取區(qū)間，判斷fa·fb