異面直線所成的角求法-總結(jié)加分析

./異面直線所成的角一、平移法：常見(jiàn)三種平移方法：直接平移：中位線平移〔尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)：補(bǔ)形平移法："補(bǔ)形法"是立體幾何中一種常見(jiàn)的方法,通過(guò)補(bǔ)形,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理,利用"補(bǔ)形法"找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1．在空間四邊形ABCD中,AD＝BC＝2,E,F分別為AB、CD的中點(diǎn),EF＝,求AD、BC所成角的大?。猓涸O(shè)BD的中點(diǎn)G,連接FG,EG。在△EFG中EF＝FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD與BC成60°的角。2．正ABC的邊長(zhǎng)為a,S為ABC所在平面外的一點(diǎn),SA＝SB＝SC＝a,E,F分別是SC和AB的中點(diǎn)．求異面直線SA和EF所成角．答案：45°BMANCS3．S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn),如圖SA＝SB＝SC,且ASB＝BSC＝CSA＝,M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)．求異面直線SM與BNBMANCS證明：連結(jié)CM,設(shè)Q為CM的中點(diǎn),連結(jié)QN則QN∥SM∴∠QNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)BQ,設(shè)SC＝a,在△BQN中BN＝NQ＝SM＝aBQ＝∴COS∠QNB＝4．如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BCA＝90°,M、N分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn),若BC＝CA＝CC1,求BM與AN解：連接MN,作NG∥BM交BC于G,連接AG,易證∠GNA就是BM與AN所成的角．設(shè)：BC＝CA＝CC1＝2,則AG＝AN＝,GN＝BM＝,cos∠GNA＝。5．如圖,在正方體中,E、F分別是、CD的中點(diǎn)．求與所成的角。證明：取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,FG因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GF∥AD,又A1D1∥AD,所以GF∥A1D1,故四邊形GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D設(shè)A1G與AE相交于H,則∠A1HA是AE與D因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn),所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,從而∠A1即直線AE與D1FBB<圖1－28>AABCDCDFE6．如圖1—28的正方體中,E是A′D′的中點(diǎn)<1>圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線?<2>求直線BA′和CC′所成的角的大??；<3>求直線AE和CC′所成的角的正切值；<4>求直線AE和BA′所成的角的余弦值解：<1>∵A平面BC′,又點(diǎn)B和直線CC′都在平面BC′內(nèi),且BCC′,∴直線BA′與CC′是異面直線同理,正方體12條棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直線都和直線BA′成異面直線<2>∵CC′∥BB′,∴BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°<3>∵AA′∥BB′∥CC′,故AE和AA′所成的銳角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中,tan∠A′AE＝＝,所以AE和CC′所成角的正切值是<4>取B′C′的中點(diǎn)F,連EF、BF,則有EFABAB,∴ABFE是平行四邊形,從而B(niǎo)FAE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF與BA′所成的銳角∠A′BF就是AE和BA′所成的角ABFM<圖1－29>ABFM<圖1－29>A′B＝2,A′F＝BF＝,由余弦定理得：cos∠A′BF＝7.長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求異面直線B1D與BC1所成角的大小。解法一：如圖④,過(guò)B1點(diǎn)作B1E∥BC1交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)。則∠DB1E或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成角,連結(jié)DE交AB于M,DE=2DM=3,∠DB1E=∴∠DB1E=。解法二：如圖⑤,在平面D1DBB1中過(guò)B點(diǎn)作BE∥DB1交D1B1的延長(zhǎng)線于E,則∠C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角,連結(jié)C1E,在△B1C1E中,∠C1B1E=135°,C1E=3,∠C1BE=,∴∠C1BE=。練習(xí)：8.如圖,PA矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD與PC所成角的余切值為。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,若棱BB1=BC=1,AB=,求DB和AC所成角的余弦值.中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線,然后利用中位線的性質(zhì),將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,解三角形求之。解法一：如圖①連結(jié)B1C交BC1于0,過(guò)0點(diǎn)作OE∥DB1,則∠BOE為所求的異面直線DB1與BC1所成的角。連結(jié)EB,由已知有B1D=,BC1=5,BE=,∴∠BOE=∴∠BOE=解法二：如圖②,連DB、AC交于O點(diǎn),過(guò)O點(diǎn)作OE∥DB1,過(guò)E點(diǎn)作EF∥C1B,則∠OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角,過(guò)O點(diǎn)作OM∥DC,連結(jié)MF、OF。則OF=,∠OEF=,∴異面直線B1D與BC1所成的角為。解法三：如圖③,連結(jié)D1B交DB1于O,連結(jié)D1A,則四邊形ABC1D1為平行四邊形。在平行四邊形ABC1D1中過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F,則∠DOF或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角。在△ADF中DF=,∠DOF=,∴∠DOF=。課堂練習(xí)在正四面體ABCD中,已知E是棱BC的中點(diǎn),求異面直線AE和BD所成角的余弦值。補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體,以例于找出平行線。解法一：如圖⑥,以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長(zhǎng)方體ABCD-A2B2C2D2,連結(jié)D2B,則DB1∥D2B,∴∠C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角,連C1D2,則△C1D2C2為Rt△,∠C1BD2=－,∴異面直線DB1與BC1所成的角是。課堂練習(xí)：求異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體,將A1C1平移到BE,則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角,在△BD1E中,BD1=3,二、利用模型求異面直線所成的角模型1引理：已知平面α的一條斜線a與平面α所成的角為θ1,平面α內(nèi)的一條直線b與斜線a所成的角為θ,與它的射影a′所成的角為θ2。求證：cosθ=cosθ1·cosθ2。在平面的斜線a上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB,垂足為O、B連接OB,則OB⊥b.在直角△AOP中,.在直角△ABC中,.在直角△ABP中,.所以所以PbABOα證明：設(shè)PA是α的斜線,OAPbABOαOB//b,如圖所示。則∠PAO=θ1,∠PAB=θ,∠OAB=θ2,過(guò)點(diǎn)O在平面α內(nèi)作OB⊥AB,垂足為B,連結(jié)PB。可知PB⊥AB。所以cosθ1=,cosθ=,cosθ2=。所以cosθ=cosθ1·cosθ2。利用這個(gè)模型來(lái)求兩條異面直線a和b所成的角,即引理中的角θ。需：過(guò)a的一個(gè)平面α,以及該平面的一條斜線b以及b在α內(nèi)的射影。如圖,MA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,且MA=AB=a,試求異面直線MB與AC所成的角。AABCDM解：由圖可知,直線MB在平面ABCD內(nèi)的射影為AB,直線MB與平面ABCD所成的角為45°,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45°,所以直線AC與直MB所成的角為θ,滿足cosθ=cos45°·cos45°=,所以直線AC與MB所成的角為60°。13.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,在底面上的射影為的中點(diǎn),則異面直線與所成的角的余弦值為〔D〔A〔B〔C<D>解：設(shè)的中點(diǎn)為D,連結(jié)D,AD,易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理,易知.故選DPEDFABC14.如圖,在立體圖形P-ABCD中,底面ABCD是一個(gè)直角梯形,∠BAD=90°,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角,AE⊥PD于PEDFABC解：過(guò)E作AD的平行線EF交AD于F,由PA⊥底面ABCD可知,直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AF,直線AE與平面ABCD所成的角為∠DAE,其大小為60°,射影AF與直線CD所成的角為∠CDA,其大小為45°,所以直線與直線所成的角θ滿足cosθ=cos60°·cos45°=,所以其大小為arccos。模型2定理：四面體ADBCD兩相對(duì)棱AC、BD間的夾角為,則有證明：所以有：長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求異面直線A1C1與BD1所成的角。解：連結(jié)BC1、A1B在四面體為,易求得由定理得：所以二、向量法求異面直線所成的角16.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是相鄰兩側(cè)面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：〔作圖法作圖關(guān)鍵是平移直線,可平移其中一條直線,也可平移兩條直線到某個(gè)點(diǎn)上。BACDFEB1A1D1C1GHSRPBACDFEB1A1D1C1GHSRPQ連結(jié)GH,有GH//A1E。過(guò)F作CD的平行線RS,分別交CC1、DD1于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH,連結(jié)GS。由B1H//C1D1//FS,B1H=FS,可得B1F//SH。在△GHS中,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a。GH=a〔作直線GQ//BC交BB1于點(diǎn)Q,連QH,可知△GQH為直角三角形,HS=a〔連A1S,可知△HA1S為直角三角形,GS=a〔作直線GP交BC于點(diǎn)P,連PD,可知四邊形GPDS為直角梯形?！郈os∠GHS=。BACDFEB1A1D1BACDFEB1A1D1C1解法二：〔向量法分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體,所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系,從而可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量,從而可以用向量的方法來(lái)求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn),BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,設(shè)BC長(zhǎng)度為2。則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為〔0,2,2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔1,0,1,點(diǎn)B1的坐標(biāo)為〔0,0,2,點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔2,1,1；所以向量的坐標(biāo)為〔-1,2,1,向量的坐標(biāo)為〔2,1,-1,所以這兩個(gè)向量的夾角θ滿足cosθ===-。所以直線A1E與直線B1F所成的角的余弦值為ABCDMN已知空間四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分別為BC和AD的中點(diǎn),設(shè)AM和CN所成的角為ABCDMN解：由已知得,空間向量,,不共面,且兩兩之間的夾角均為60°。由向量的加法可以得到=〔+,=+所以向量與向量的夾角θ〔即角α或者α的補(bǔ)角滿足cosθ=,其中·=〔+·〔+=〔·+·+〔·+·=a2〔++1=a2；||2=〔+·〔+=〔1+1+1a2=a2；||2=〔+·〔+=+1a2=a2。所以cosα=|cosθ|=。ABCDEFG已知空間四邊形ABCD中,AB=CD=3,E、F分別是BC、AD上的點(diǎn),且BE：EC=AF：FD=1：2,EF=ABCDEFG解：取AC上點(diǎn)G,使AG：GC=1：2。連結(jié)EG、FG,可知EG//AB,FG//CD,3EG=2AB,3FG=CD。由向量的知識(shí)可知=+=+,設(shè)向量和的夾角為θ。則由||2=〔+·〔+=4+1+4cosθ=7,得cosθ=,所以AB和CD所成的角為60°?！菜伎碱}如圖,已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱AA1長(zhǎng)為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120°.求：<1>AC1的長(zhǎng)；<2>直線BD1與AC所成的角的余弦值.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.∴BD1與AC所成角的余弦值為.判斷是非：<1><3><8><10>正確,其余錯(cuò)；選擇：1<C>；2<D>；3<D>；4<D>．5．<2>相交,<5>平行,其余異面；〔6：<D>,取AB中點(diǎn)M,CC1中點(diǎn)N,連B1E和B1F；〔7答案：<A>,延長(zhǎng)B1A1至M,使A1M＝A1D1,連MA,取AB中點(diǎn)N．8<D>；9<E>；10<D>；三．,取AD中點(diǎn)E,則∠MEN＝90°；四．,取AC中點(diǎn)F,連EF、BF,求得BE＝AD＝5,BF＝AC＝3；五．,分別取AC、B1C1的中點(diǎn)P、Q,則PMQN是矩形,設(shè)CC1＝MQ＝a,則MP＝a；六．,取AC中點(diǎn)F,連EF、BF,則EF＝4,BE＝BF＝3．異面直線所成的角作業(yè)班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：一、判斷是非<下列命題中,正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；<2>對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；<3>平行于同一直線的兩直線平行；<4>垂直于同一直線的兩直線平行；<5>兩條直線確定一個(gè)平面；<6>經(jīng)過(guò)三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；<7>無(wú)公共點(diǎn)的兩直線異面；<8>兩異面直線無(wú)公共點(diǎn)；<9>兩異面直線可以同時(shí)平行于一直線；<10>兩異面直線可以同時(shí)垂直于一直線；<11>不同在一個(gè)已知平面內(nèi)的兩直線異面；<12>互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是<><A>平行<B>異面<C>平行或異面<D>不能確定2.分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是<><A>異面<B>平行<C>平行或異面<D>平行或異面或相交3.兩條異面直線指的是<><A>在空間不相交的兩條直線<B>某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線<C>分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線<D>不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4.a、b是異面直線,b、c也是異面直線,那么a、c的位置是<><A>異面<B>異面或平行<C>異面或相交<D>相交、平行或異面5.說(shuō)出正方體中各對(duì)線段的位置關(guān)系：<1>AB和CC1；<2>A1C和BD1；<3>A1A和CB<4>A1C1和CB1；<5>A1B1和DC；<6>BD1和6.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),那么直線AM與CN所成角的余弦值是<>7.如圖,A1B1C1—ABC是直三棱柱<三側(cè)面為矩形>,∠BCA=90°,點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)若BC=CA=CC1,則BD1與AF1所成角的余弦值是8.正方體ABCD—A1B1C1D1中,直線BC1與<A>相交且垂直<B>相交但不垂直<C>異面且垂直<D>異面但不垂直9.設(shè)a、