折疊問題強化練習

折疊問題強化練習1．如圖，將一張邊長為8的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，那么線段MN的長為〔〕A．10B．4C．D．2．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當點H與點A重合時，EF=2．以上結(jié)論中，你認為正確的有〔〕個．A．1B．2C．3D．43．如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于以下結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的選項是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①④4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么△ABE的面積是〔〕A．1B．C．D．5．：如圖，四邊形AOBC是矩形，以O為坐標原點，OB、OA分別在x軸、y軸上，點A的坐標為〔0，3〕，∠OAB=60°，以AB為軸對折后，C點落在D點處，那么D點的坐標為〔〕A．B．C．D．6．小明在學習“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如下圖的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，復原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是〔〕A．+1B．+1C．D．7．如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點A、D分別落在點A′、D′處，且A′D′經(jīng)過點B，EF為折痕，當D′F⊥CD時，的值為〔〕A．B．C．D．8．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，假設CF=1，F(xiàn)D=2，那么BC的長為〔〕A．3B．2C．2D．29．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連接CN．假設△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，那么的值為〔〕A．2B．4C．D．10．如圖，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，點D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折使AB與AC重合，得△AB′D，那么△ABC與△AB′D重疊局部的面積為〔〕A．B．C．3﹣D．11．如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M是邊BC上的點，連接AM．如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好在邊AC的中點處，那么點M到AC的距離是〔〕A．B．2C．D．312．矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．延長B′E交AB的延長線于M，折痕AE上有點P，以下五個結(jié)論中正確的有〔〕個①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤假設B′P⊥CD，那么EB′=B′P．A．2B．3C．4D．513．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．以下結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是〔〕A．1B．2C．3D．414．如圖．在直角坐標系中，矩形ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點B的坐標為〔1，3〕，將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E．那么點D的坐標為〔〕A．B．C．D．15．如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6．將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，那么CF的長為〔〕A．6B．4C．2D．116．如下圖，在完全重合放置的兩張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，將上面的矩形紙片折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，點D的對應點為G，連接DG，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．B．6C．D．17．在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，現(xiàn)將紙片折疊壓平，使A與C重合，如果設折痕為EF，那么重疊局部△AEF的面積等于〔〕A．B．C．D．18．如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，以下結(jié)論中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四邊形ADFE=AF?DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正確的個數(shù)是〔〕A．1B．2C．3D．4二．解答題〔共12小題〕19．如下圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點〔不與點A、點D重合〕將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．〔1〕求證：∠APB=∠BPH；〔2〕當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；〔3〕設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？假設存在，求出這個最小值；假設不存在，請說明理由．20．〔1〕操作發(fā)現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．〔2〕問題解決：保持〔1〕中的條件不變，假設DC=2DF，求的值；〔3〕類比探求：保持〔1〕中條件不變，假設DC=nDF，求的值．21．問題解決：如圖〔1〕，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E〔不與點C，D重合〕，壓平后得到折痕MN．當時，求的值．類比歸納：在圖〔1〕中，假設，那么的值等于；假設，那么的值等于；假設〔n為整數(shù)〕，那么的值等于．〔用含n的式子表示〕聯(lián)系拓廣：如圖〔2〕，將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E〔不與點C，D重合〕，壓平后得到折痕MN，設，那么的值等于．〔用含m，n的式子表示〕22．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可到達解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，那么EF=BE+DF，試說明理由．〔1〕思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．根據(jù)，易證△AFG≌，得EF=BE+DF．〔2〕類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．假設∠B、∠D都不是直角，那么當∠B與∠D滿足等量關系時，仍有EF=BE+DF．〔3〕聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜測BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程．23．如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F(xiàn)．〔1〕當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，那么的值為；〔2〕現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜60°〕角，如圖2，求的值；〔3〕在〔2〕的根底上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結(jié)論．24．閱讀材料如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，那么BF=CD．解決問題〔1〕將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜測此時線段BF與CD的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；〔2〕如圖③，假設△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述〔1〕中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關系；〔3〕如圖④，假設△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值〔用含α的式子表示出來〕25．問題情境：如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是射線BC上的一個動點，連結(jié)AE并延長，交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B坐在點B′處．自主探究：〔1〕當=1時，如圖1，延長AB′，交CD于點M．①CF的長為；②求證：AM=FM．〔2〕當點B′恰好落在對角線AC上時，如圖2，此時CF的長為，=．拓展運用：〔3〕當=2時，求sin∠DAB′的值．26．如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE〔AB＜AE〕在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)角為α．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG．〔1〕當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；〔2〕當點C在直線BE上時，連接FC，直接寫出∠FCD的度數(shù)；〔3〕如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=，求點G到BE的距離．27．：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關于AB的對稱點，連接AF、BF．〔1〕求AE和BE的長；〔2〕假設將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m〔平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度〕．當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值．〔3〕如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α〔0°＜α＜180°〕，記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？假設存在，求出此時DQ的長；假設不存在，請說明理由．28．：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可繞點B旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)過程中直線CC′和AA′相交于點D．〔1〕如圖1所示，當點C′在AB邊上時，判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；〔2〕將Rt△A′BC′由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，〔1〕中的結(jié)論是否成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由；〔3〕將Rt△A′BC′由圖1的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角〔0°≤α≤120°〕，當A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．29．問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，將一個用足夠長的細鐵絲制作的直角的頂點D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點．問題探究：〔1〕在旋轉(zhuǎn)過程中，①如圖2，當AD=BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關系？并說明理由．②如圖3，當AD=2BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關系？并說明理由．③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當AD=nBD時，DP、DQ滿足的數(shù)量關系為〔直接寫出結(jié)論，不必證明〕〔2〕當AD=BD時，假設AB=20，連接PQ，設△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？假設存在，求出最小值或最大值；假設不存在，請說明理由．30．問題情境：數(shù)學活動課上，老師提出了一個問題：如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為直線AB上的一動點〔點D不與點A，B重合〕連接CD，以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將CD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，試探索線段AB，BD，BE之間的數(shù)量關系．小組展示：“希望”小組展示如下：解：線段AB，BD，BE之間的數(shù)量關系是AB=BE+BD．證明：如圖①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB=∠DCB=∠DCE﹣∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE是由CD旋轉(zhuǎn)得到．∴CE=CD那么在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE〔依據(jù)1〕∴AD=BE〔依據(jù)2〕∵AB