高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第四章2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義作業(yè)1

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.做直線運(yùn)動的物體，從時(shí)刻t到t＋Δt時(shí)，物體的位移為Δs，那么eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)為()A．從時(shí)刻t到t＋Δt時(shí)，物體的平均速度B．該物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度C．Δt時(shí)刻時(shí)，該物體的速度D．從時(shí)刻t到t＋Δt時(shí)，位移的平均變化率解析：選B.eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)表示運(yùn)動的物體在t時(shí)刻位移的導(dǎo)數(shù)，也即該時(shí)刻的瞬時(shí)速度．2.自由落體的運(yùn)動公式是s＝eq\f(1,2)gt2(g為重力加速度)，則物體在下落3s到4s之間的平均變化率是(取g＝10m/s2)()A．30 B．32C．35 D．40解析：選C.v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\f(1,2)g×42－\f(1,2)g×32,4－3)＝eq\f(7,2)g＝35.3.李華在參加一次同學(xué)聚會時(shí)，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華想：如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時(shí)間內(nèi)倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)h(t)，則函數(shù)h(t)的圖像可能是()解析：選B.由于圓口杯的形狀是“下細(xì)上粗”，則開始階段飲料的高度增加較快，以后高度增加得越來越慢，僅有B符合．4.國際環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，對甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測結(jié)果如圖，(其中W1、W2分別表示甲、乙的排污量)．下列說法正確的是()A．甲企業(yè)治污效果好B．乙企業(yè)治污效果好C．甲、乙兩企業(yè)治污效果相同D．無法判定解析：選A.由圖可知甲企業(yè)治污快，效果好．5.細(xì)桿AB的長為20cm，M為細(xì)桿AB上的一點(diǎn)，AM段的質(zhì)量與A到M的距離的平方成正比，當(dāng)AM＝2cm時(shí)，AM的質(zhì)量為8g，那么當(dāng)AM＝xcm時(shí)，M處的細(xì)桿線密度ρ(x)為()A．2x B．3xC．4x D．5x解析：選C.當(dāng)AM＝xcm時(shí)，設(shè)AM的質(zhì)量為f(x)＝kx2，因?yàn)閒(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故細(xì)桿線密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故選C.6.人體血液中藥物的質(zhì)量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：服藥2min時(shí)血液中藥物的質(zhì)量濃度以每分鐘0.3mg/mL的速度增加7.將1kg鐵從0℃加熱到t℃需要的熱量為Q(單位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t.(1)當(dāng)t從10變到20時(shí)函數(shù)值Q關(guān)于t的平均變化率是________，它的實(shí)際意義是________________________________________________________________________．(2)Q′(100)＝________，它的實(shí)際意義是________________________________________________________________________．解析：(1)當(dāng)t從10變到20時(shí)，函數(shù)值Q關(guān)于t的平均變化率為eq\f(Q（20）－Q（10）,20－10)≈0.4498，它表示在鐵塊的溫度從10℃增加到20℃的過程中，平均每增加1℃，需要吸收熱量約為0.4498J.(2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，則Q′(100)＝0.5003，它表示在鐵塊的溫度為100℃這一時(shí)刻每增加1℃，需要吸收熱量0.5003J.答案：(1)0.4498它表示在鐵塊的溫度從10℃增加到20℃的過程中，平均每增加1℃，需要吸收熱量約為0.4498J(2)0.5003它表示在鐵塊的溫度為100℃這一時(shí)刻每增加1℃，需要吸收熱量0.5003J8.已知?dú)馇虻捏w積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)，將半徑r表示為體積V的函數(shù)，有r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π))，則當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí)，氣球的平均膨脹率為________．解析：∵r(V1)－r(V2)＝eq\r(3,\f(3V1,4π))－eq\r(3,\f(3V2,4π))＝eq\f(\f(3,4π)（V1－V2）,\r(3,\f(9Veq\o\al(2,1),16π2))＋\r(3,\f(9V1V2,16π2))＋\r(3,\f(9Veq\o\al(2,2),16π2))).∴平均膨脹率為：eq\f(r（V1）－r（V2）,V1－V2)＝eq\f(3\r(3,16π2),4π（\r(3,9Veq\o\al(2,1))＋\r(3,9V1V2)＋\r(3,9Veq\o\al(2,2))）).答案：eq\f(3\r(3,16π2),4π（\r(3,9Veq\o\al(2,1))＋\r(3,9V1V2)＋\r(3,9Veq\o\al(2,2))）)9.水以20m3/min的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30m，上底面直徑為12m，試求當(dāng)水深為10m時(shí)，水面上升的速度．解：設(shè)經(jīng)過tmin后水深為H，則此時(shí)水面半徑為eq\f(H,5).由等體積知，20t＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(H,5)))eq\s\up12(2)·H.∴H(t)＝5eq\r(3,\f(12t,π))，H′(t)＝eq\f(5,3)eq\r(3,\f(12,π))·t－eq\f(2,3).∴水深10m時(shí)水面上升的速度為H′(10)＝eq\f(1,3)eq\r(3,\f(15,π))(m/min)．10.路燈距地平面為8m，一個(gè)身高為1.6m的人以84m/min的速度在地面上行走，從路燈在地面上的射影點(diǎn)C出發(fā)，沿某直線離開路燈，求人影長度的變化速度v.解：如圖所示，路燈距地面的距離為DC＝8m，人的身高為EB＝1.6m.設(shè)人從C處運(yùn)動到B處的路程CB為xm，時(shí)間為ts，AB為人影長度，設(shè)為ym.∵BE∥CD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD).∴eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，∴y＝eq\f(1,4)x.又∵84m/min＝1.4m/s，∴y＝eq\f(1,4)x＝eq\f(7,20)t(x＝1.4t)．∴y′＝eq\f(7,20)，即人影長度的變化速度v為eq\f(7,20)m/s.[能力提升]1.如圖所示，設(shè)有定圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖像大致是()解析：選D.由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時(shí)段緩慢增加，而中間時(shí)段相對增速較快．選項(xiàng)A表示面積的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符；選項(xiàng)B表示最后時(shí)段面積的增速較快，與實(shí)際不符；選項(xiàng)C表示開始時(shí)段和最后時(shí)段面積的增速比中間時(shí)段面積的增速快，也與實(shí)際不符；選項(xiàng)D表示開始和最后時(shí)段面積的增速緩慢，中間時(shí)段增速較快，符合實(shí)際．2.將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m(m>1)時(shí)球的體積膨脹率為eq\f(28π,3)，則m的值為________．解析：ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)(m3－1)，∴eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)（m3－1）,m－1)＝eq\f(28,3)π.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)．答案：23.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)c(萬元)與產(chǎn)量q(萬件)之間的函數(shù)關(guān)系為c(q)＝100＋4q－0.2q2＋0.01q3.求生產(chǎn)水平為q＝10萬元時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合算？解：當(dāng)q＝10時(shí)，總成本c(10)＝100＋4×10－0.2×102＋0.01×103＝100＋40－20＋10＝130(萬元)．平均成本130÷10＝13(元/件)，邊際成本c′(q)＝4－0.4q＋0.03q2，∴c′(10)＝4－0.4×10＋0.03×102＝4－4＋3＝3(元/件)．因此在生產(chǎn)水平為10萬元時(shí)每增產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，總成本增加3元，比當(dāng)前的平均成本13元低，從降低成本角度看，應(yīng)繼續(xù)提高產(chǎn)量．4．學(xué)習(xí)曲線是1936年美國康乃爾大學(xué)T.P.Wright博士在飛機(jī)制造過程中，通過對大量有關(guān)資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來的．已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)曲線為：f(t)＝eq\f(3,4＋a·2－t)×100%(f(t)為該學(xué)習(xí)任務(wù)已掌握的程度，t為學(xué)習(xí)時(shí)間)，且這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)滿足f(2)＝60%.(1)求f(t)的表達(dá)式，計(jì)算f(0)并說明f(0)的含義；(2)已知2x>xln2對任意x>0恒成立，現(xiàn)定義eq\f(f（t）,t)為該類學(xué)習(xí)任務(wù)在t時(shí)刻的學(xué)習(xí)效率指數(shù)．研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間t∈(1，2)時(shí)，學(xué)習(xí)效率最佳，則當(dāng)學(xué)習(xí)效率最佳時(shí)，求學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍．解：(1)∵f(t)＝eq\f(3,4＋a·2－t)×100%(t為學(xué)習(xí)時(shí)間)，且f(2)＝60%，∴eq\f(3,4＋a×2－2)×100%＝60%，解得a＝4.∴f(t)＝eq\f(3,4＋a·2－t)×100%＝eq\f(3,4（1＋2－t）)×100%(t≥0)，∴f(0)＝eq\f(3,4（1＋20）)×100%＝37.5%，f(0)表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開始學(xué)習(xí)時(shí)已掌握的程度為37.5%.(2)令學(xué)習(xí)效率指數(shù)eq\f(f（t）,t)＝y(tǒng)，則y＝eq\f(f（t）,t)＝eq\f(3,4t（1＋2－t）)＝eq\f(3,4（t＋\f(t,2t)）)(t>0)．現(xiàn)研究函數(shù)g(t)＝t＋eq\f(t,2t)的單調(diào)性，由于g′(t)＝eq\f(2t－tln2＋1,2t)(t>0)，又已知2x>xln2對任意x>0恒成立，即2t－tln2>0對任意t>0恒成立，則g′(t)>0恒成立，∴g(t)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且g(t)為正數(shù)．∴y＝eq\f(f（t）,t