2022－2023學(xué)年山西省重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022—2023學(xué)年山西省重點(diǎn)學(xué)校高三（±）期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合4={x∣χ2-3χ+2>0},集合B={xeN∣l≤%≤4},則力nB=()

A.{x?2<x≤4}B.{2,3,4}C.{3,4}D.0

1A1

2.已知a=2022癡，b=(?7j)2°22'C=Iog2022淅，則a，b,C的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

3.已知tατια=則Y-=()

2SinZa

55C2D5

A.4-2-

4.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛α"的前律項(xiàng)和為5，a4=1a5,則￡=（）

A.15B.1C.-1D.-9

5.隨著我國經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，人們對電能的需求愈來愈大，而電能所排放的氣體會(huì)出現(xiàn)全

球氣候變暖的問題，這在一定程度上威脅到了人們的健康.所以，為了提高火電廠一次能源的

使用效率，有效推動(dòng)社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展，必須對火電廠節(jié)能減排技術(shù)進(jìn)行深入的探討.火電廠

的冷卻塔常用的外形之一就是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，它的優(yōu)點(diǎn)是對流快、散熱效果好，外形可以

看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖1）.某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙比例（

長度比）為1：40（圖紙上的尺寸單位：m）,圖紙中單葉雙曲面的方程為/+y2—,z2=1（-2≤

z≤1）（如圖2）,則該冷卻塔占地面積為（）

A.2800πm2B.3000τrm2C.3200πm2D.4800πm2

6.已知正實(shí)數(shù)α,h,則''2α+b=4”是“αb≥2”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，有8個(gè)不同顏色的正方形盒子組成的調(diào)味盒，現(xiàn)將編號(hào)為4B,C,。的4個(gè)蓋子蓋

上(一個(gè)蓋子配套一個(gè)盒子)，要求4B不在同一行也不在同一列，C,D也是此要求.那么不

同的蓋法總數(shù)為()

1234

5678

A.224B.336C.448D.576

8.已知偶函數(shù)f(x)=>Λ3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ~)(ω>0,?φ?<今在(0,2)上有且僅有一

個(gè)極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)，則3的取值范圍為()

A.(^,τt]B.(π,y]C.(y.2π]D.(2ττ,4π]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.若復(fù)數(shù)Z滿足z(2+i)=1-12023,則()

A.z的虛部為IB.z=∣-∣

C.∣z∣=YD?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

10.已知定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)對任意的X∈R有f(x+2)=一/(x),當(dāng)一1≤x≤1時(shí),

/(x)=ax(β.≥1).函數(shù)g(x)={-x,x<OhI(X+l),x>0.,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)α=1時(shí)，方程f(x)=g(x)在R上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

D.若方程/(x)=g(x)在R上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則α≥InG

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段過點(diǎn)且

11.XOy48P(1,0),yka

?AO?=?AB?,若需=?，則下列說法正確的是()/

A.點(diǎn)4的軌跡是一個(gè)圓心PP

B.乙40P的最大值為號(hào)IB

C.當(dāng)4,0,B三點(diǎn)不共線時(shí)，AABO面積的最大值為2

D.I萬I的最小值為2√^Z-2

12.半正多面體亦稱“阿基米德體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖，將

正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體,點(diǎn)4

B,C是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，且棱長4B=2,則下列結(jié)論正確的是（)

A.該多面體的表面積為24門

B.該多面體的體積為竺P

C.該多面體的外接球的表面積為22兀

D.若點(diǎn)M是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足CM_LAB時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為4+4，？

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知同=2,㈤=2/3,五不=一4，則口+國=.

14.已知函數(shù)/（x）=∕,（l）ex-X,則/（0）=.

15.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是反映中華民族對

生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華

民族的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量》（單位：克）與藥物功效

y（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系y=IOx-尤2.檢測這種藥品一個(gè)批次的6個(gè)樣本，得到成分

甲的平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2,則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.

16.把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這

個(gè)比值即為黃金分割,黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，

這一比值能夠引起人們的美感，被認(rèn)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例，若橢圓的離心率為此

比值，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.若“黃金橢圓”C:3+,=l（α>b>0）的左，右焦點(diǎn)

分別為a,F2,點(diǎn)P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，4&PF2的平分線交線段RF?于點(diǎn)4,則

IPFIl-

?F1A?------------

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛α7l｝的前n項(xiàng)和為Srι,且滿足%=1,2S"+ι=Sn+2.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足砥=即+；，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和r7l?

an

18.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面4BC.PC=2AC=2AB=4,。為PC中點(diǎn)，S.BDA.AC.

⑴求BC的長;

(2)求銳二面角4-BD-C的余弦值.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四邊形ABeD中，已知乙4BC=§,/-BDC=≡AB=BC=7√-3?

??

(1)若BD=5/耳，求4。的長;

(2)求AAB。面積的最大值.

20.(本小題12.0分)

周末可以去哪里？帶著挖沙桶、皮球、滑板車和野餐墊，踩踩沙灘、在草地上跑累了隨手拿

起野餐墊上的蛋糕往嘴巴里塞，沙灘和野餐沒有哪個(gè)家庭會(huì)拒絕的.小蕓正在考慮購買一些物

品，和父母一起在本周末去離家不遠(yuǎn)的度假村游玩.買挖沙桶需要40元，買皮球需要60元，買

野餐墊需要100元，假設(shè)是否購買相互獨(dú)立，小蕓購買三種物品的概率依次為pι,P2,%只不

購買野餐墊的概率為W至少購買一件物品的概率為聯(lián)

66

(1)求小蕓恰好購買兩件物品的概率；

(2)求小蕓購買物品的總金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點(diǎn)4(。2),拋物線C的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為B,且IABl=2√7?

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)8的直線2與拋物線C交于E,F兩點(diǎn)(異于點(diǎn)4),若直線E4FA分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,N,

求踹的值.

22.(本小題12.0分)

已知定義在(一］,+8)上的函數(shù)f(x)=(x-k)sinx.

Q)若曲線y=f(x)在點(diǎn)G，/?))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,求k的值；

(2)將/(久)的所有極值點(diǎn)按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{x7l},若與，x2,不成等差數(shù)列，

求k的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合a=(x?x2-3x+2>0)={x∣x<1或X>2},

集合B={x∈W∣l≤x≤4)={1,2,3,4},

則ACB={3,4}?

故選：C.

解一元二次不等式得到集合4再利用交集的定義求解結(jié)果.

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2022'為單調(diào)遞增函數(shù)可得，0=2022劇>2022°=1-

即Q∈(1,+8)；

再由指數(shù)函數(shù)y=(武尸為單調(diào)遞減函數(shù)可知，b=(?)2022<(?)0=1，

結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域可得b∈(0,1)；

根據(jù)對數(shù)函數(shù)y=lθg2022%在％e(0,+8)上為單調(diào)遞增可知，C=ZOg2022蔡lo?2Q22^=。，

即Ce(—8,0)；

所以α>b>c.

故選：A.

利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域，以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可分別限定α,b,C的取值范圍，即可比較出

其大小.

本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，考查函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

3.【答案】B

2oO

【解析】解：二_=_2_=?=Sina+c°s%=tanα+l.

sin2a2sinacosaSinaCOSaSinaCoSatancr

?

因?yàn)閠ɑnɑ=

所以二_=taMα+l=熨+1=ξ

^sin2atana12

故選:B.

利用二倍角公式，進(jìn)行弦化切代入即可求解.

本題主要考查了二倍角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛atl｝的公差為d,(d>0).

???a4=Ct5,二α4=g(α4+d),解得：a4=d,α5=2d.

?*?ɑ?=CZ43d=2d,

??.ɑ?+α4=-d.

.S9_(aj+dg)×9_2a5×9_4dx9_θ

"S4(a1+ci4)x4(a1+a4)×4—d×4

故選：D.

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,利用基本量代換求出，=窯卷獸進(jìn)而求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：令Z=-2,得方程為/+y2=2,這是一個(gè)半徑為，乏的圓.

乘上比例尺，即圓的實(shí)際半徑為40，訝加，

則建筑的占地面積為TrX(40√^2)2=3200τr(m2).

故選：C.

令z=-2,可得出/+y2=2,可得出圓的半徑，乘以比例尺，可得出實(shí)際圓的半徑長，再利用

圓的面積公式可求得結(jié)果.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)基本不等式可得2a+b=4≥2√2a?b，即2≥√2a?b,可得ab≤2,

所以充分性不成立；

若ab≥2,可令a=2,b=2滿足ab≥2,此時(shí)2a+b=6=≠4;

即必要性不成立；

所以“2a+b=4"是"ab≥2''的既不充分也不必要條件.

故選：D.

利用基本不等式由2α+b=4可得αb≤2,可得充分性不成立；當(dāng)a=2,b=2時(shí)可得必要性不成

立，即可得出結(jié)果.

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：第一步：先蓋4,B,有8x3=24種方法；

第二步：再蓋C,D.

①若C與A或B在同一列，則有2種蓋法，。就有3種蓋法，共2x3=6種方法；

②若C與A或B不在同一列，則有4種蓋法，D就有2種蓋法，共4x2=8種方法.

綜上所述，滿足要求的有24X(6+8)=336種方法.

故選；B.

根據(jù)題意可得先分步，先蓋4B,再進(jìn)行分類討論蓋上C,D,利用分類加法和分步乘法基本計(jì)

數(shù)原理即可得出其結(jié)果.

本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：由題可知,∕^(x)=2[^sin(ωx+φ^)—∣cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ—專)為偶函數(shù),

???<p-=+kπ(k∈Z),即W=ITr+∕cτr,k€Z,

v?ψ?<pψ=-p

.?./(x)=2sin(ωx—1—=-2cos(ωx'),

令t=ωx,由0<X<2得t∈(0,2ω),

???f(x)轉(zhuǎn)化為f(t)=一2cost,t6(0,23),如圖：

/(，)4

f(t)=-2CoSt在(0,23)上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)沒有極小值點(diǎn)時(shí)，則兀<2ω≤2π,

???<ω≤π,

即3的取值范圍為￠,兀].

故選：/.

利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用余弦型函數(shù)的

性質(zhì)的應(yīng)用求出3的取值范圍.

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】BC

.20231...

【解析】解：因?yàn)閆=與λ一=二l=季o，

2+i2+i5

對于a,Z的虛部為高，故A錯(cuò)誤；

對于B,W=Id故B正確；

對于C,∣z∣=J(|)2+(_/=?,故C正確；

對于D,Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(Iq)位于第一象限，故O錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z,再根據(jù)復(fù)數(shù)Z的特征逐一判斷各選項(xiàng).

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

對于B,：x<0時(shí)，g(x}=-X,

二函數(shù)g(久)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減，.?.B正確；

對于C,?；函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，

???f(x)=-f(x),又f(x+2)=一f(x),

f[x+2)=/(-X),.?.y=f(X)的圖象關(guān)于直線X=1對稱,

?.?a=1時(shí)，當(dāng)一1≤x≤1時(shí)，，f(x)-x,

二當(dāng)l≤x≤3時(shí)，-1≤2-xSl,/(x)=/(2—x)=2—X,

???函數(shù)f(x)在［一1禹上單調(diào)遞增,在［1,3］上單調(diào)遞減，-l≤∕(x)≤l,

???函數(shù)/Q)在R上的值域?yàn)椋?1,1］,

當(dāng)-l≤x<O時(shí)，g(x)>0>/(%),當(dāng)x<—1時(shí),g(x)>1≥/(x),

???方程f(x)=g(x)在(一8,0)上無解，

當(dāng)0≤X≤1時(shí)，令∕ι(x)=x—In(x+1),∕ι,(x)=1-?-,

當(dāng)X∈(0,1)時(shí)有∕ι'(X)>O,∕ι(x)在［0,1］匕遞增，

???當(dāng)Xe(0,1］時(shí)，h(x)>∕ι(O)=O,二函數(shù)∕ι(x)在［0,1］上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)l≤x≤3時(shí),,令(p(x)=2-X-In(X+1),顯然函數(shù)尹(尤)在［1,3］上單調(diào)遞減，

又0(1)=1-m2>0,￠(3)=-1一m4<0,.?.函數(shù)W(X)在［1,3］上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)%>3時(shí)，g(x)>仇4>1≥/(尤)，即方程/。)=9。)在(3,+8)上無解，

??.當(dāng)α=1時(shí)，方程/(x)=g(x)在R上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，.?.C正確；

對于D,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在［1,3］上單調(diào)遞減，

又/(l)=α,而函數(shù)/(x)的周期為4,

???fMmax=f(4k+1)=a,kez,/(0)=g(0)=0,

由選項(xiàng)C知，當(dāng)Xe(0,1］時(shí),ax≥x>ln(x+1),

即方程f(久)=g(x)在［0,1］上有一個(gè)根，當(dāng)1≤%≤3時(shí)，/(x)=α(2-X),

???函數(shù)M(X)=α(2-X)-In(X+1)在［1,3］上單調(diào)遞減，???u(l)>0,u(3)<0,

即方程f(X)=g(x)在(1,3)上有一個(gè)根，

顯然函數(shù)/(x)在［3,5］上單調(diào)遞增，在［5,7］上單調(diào)遞減，當(dāng)/(5)>g(5),即α>"6時(shí)，

方程f(x)=以乃在(3,7)上有兩個(gè)根，要方程f(x)=9(x)在R上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

必有/(9)<g(9),即a<InlO,又/(-3)=a<InlO<3=g(-3),

因此當(dāng)a<ZnlO時(shí)，方程f(x)=g(x)在(一8,0)上無解，

所以方程/(%)=9(乃在/?上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，m6<a<)10,。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

分析函數(shù)/^(x)的周期判斷4確定g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)性判斷B；分析/(x)的最大值判斷C；

由方程有4個(gè)根求出a的范圍判斷D作答.

本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想，屬難題.

11.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)閨4。I=NB|、嘿=?，

∣∕1DIZ

所以器=年設(shè)小辦心山嚀,

|4。12Jχ2+y22

化簡得Q-4)2+y2=i2,所以點(diǎn)A的軌跡是以(4,0)為圓心，2，W為半徑的圓，故A正確,

當(dāng)直線O力與圓(X-4)2+y2=12相切時(shí)，NAOP最大，

設(shè)直線(M的方程為y=kx,則有了比一2V3,解得卜=i√-3,

所以此時(shí)直線OA的傾斜角為?即乙4。P的最大值為基故8正確，

因?yàn)橛??，所以SfBo=亨S“p0,

因?yàn)?”。=T?∣0P∣?MI=TMl，Ml的最大值為2，？，

所以Sgpo的最大值為√至，SAABO的最大值為2,故C正確，

當(dāng)A,0,P三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于4,。之間時(shí)，I而I最小，最小值為23，故。錯(cuò)誤，

故選；ABC.

由條件可得察J=孕，設(shè)Zl(X,y),由此可化得(％—4)2+y2=12＞即可判斷4當(dāng)直線04與圓(X-

IAUl乙

4)2+y2=12相切時(shí)，44。P最大，由此可判斷B,S^AB0=^-ShAp0,求出SMPO的最大值可判

斷C,當(dāng)4,0,P三點(diǎn)共線且點(diǎn)P位于4。之間時(shí)，I而I最小，求出最小值可判斷D?

本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對于4選項(xiàng)，因?yàn)锳B=2,“阿基米德體”一共有八個(gè)面，

其中有四個(gè)面是邊長為2的正六邊形，有四個(gè)面是邊長為2的正三角形，

因此，“阿基米德體”的表面積為S=4×?5×22+4×6×^×22=28√^3,故A錯(cuò)誤；

44

對于B選項(xiàng)，如下圖所示，在棱長為ɑ的正四面體P-MNG中，設(shè)頂點(diǎn)P在底面MNG的射影點(diǎn)為點(diǎn)

0,

延長M。交NG于點(diǎn)，，則H為GN的中點(diǎn)，

因?yàn)椤鱉NG為等邊三角形，則MH1NG,且MH=√MN2-NH2=?a，

易知點(diǎn)。為△MNG的中心，則M。=IMH=IXya=?a,

因?yàn)镻O_L平面MNG,MoU平面MNG,所以P。_LM。，

故Po=√PM2-MO2=Ja2一(?ɑ)2=?a，

KP-MMG=WSAMNG?P。=WX—a2X?a-

即棱長為a的正四面體的體積為著a3,

因?yàn)椤鞍⒒椎麦w”是在棱長為6的正四面體上截去了4個(gè)棱長為2的正四面體，

因此，“阿基米德體”的體積為U=MX63-4X瞪X23=竺?，故B正確;

對于C選項(xiàng)，設(shè)等邊ACEF的中心為N,與平面CE尸平行的底面正六邊形的中心記為點(diǎn)M,

則MN1平面CEF,

原正四面體（棱長為6）的高為?×6=2λΓ6,則MN=I×2，%=亨，

由題意可知，“阿基米德體”的外接球球心。在直線MN上，

易知EN=|x?x2=1I即正△CEF的外接圓半徑為小，

底面正六邊形的外接圓半徑為2,

設(shè)。N=d,“阿基米德體”的外接球半徑為R,則R2=cf2+（亨）2=I亨一d『+22,

解得d=亨，則R2=（筆）2+（亨）2=與

因此，該多面體的外接球的表面積為4兀/?2—4τt×~?=22ττ,C正確；

對于。選項(xiàng)，如下圖所示：

由正六邊形的幾何性質(zhì)可知44BK=乙BKC=120°,

因?yàn)锽K=CK,則NKBC=30。,所以∕4BC=44BK-NCBK=120°-30°=90。,即BCIAB,

同理可知BQ1AB,

因?yàn)?BCBQ=B,BC、BQU平面BCQ,則ABL平面BCQ,

因?yàn)镃QU平面BCQ,所以，AB1CQ,

由余弦定理可得BC=√BK2+CK2-2BK-CKcosl200=J4+4-2×4×(-?)=2√^3?

同理可得BQ=243,易知CQ=4,

所以，點(diǎn)M的軌跡長度為BC+BQ+CQ=4√^己+4,故。正確.

故選：BCD.

計(jì)算出該多面體的表面積和體積，可判斷ZB選項(xiàng)；作出圖形，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算出該多面體的外

接球半徑，利用球體表面積公式可判斷C選項(xiàng)；找出與AB垂直的直線，可求出點(diǎn)M的軌跡長度，

可判斷。選項(xiàng).

本題考查了立體幾何的綜合問題，屬于難題.

13.【答案】2√~Σ

【解析】解：?∣α∣=2,∣K∣=2√^3,五?石=一4,

可得Ia+b?=J位+3)2=Ja2+b2+2a?b=√4+12+2×(-4)=2＜7-

故答案為：2/7.

2

利用M+b?=I(a+b)＞展開計(jì)算即可求得答案.

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-?-

e-l

【解析】解：/(x)=f(l)ex-%,

則尸(X)=/(I)靖一1,

令％=1,

則尸(l)=e/解得尸(I)=

e-JL

故/⑶=含＞-％,

所以/(O)=占

故答案為：-T.

根據(jù)已知條件，先求出f'(x),將X=I代入，求出f'(l),即可推得/Q),再將X=O代入/(χ),即

可求解.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】20

【解析】解：設(shè)這6個(gè)樣本中成分甲的含量分別為Xi,x2,x3,x4,x5,x6,平均值為3

則X=X1+X2+X33%+X5+X6=6,所以Xl+X2+X3+X4+X5+X6=36,

所以(XI-x)2+(X2-x)2H-------F(X6-x)2=(X1+X2+…+?i)-6χ2=24，

所以好+好4-----+以=240,

于是%+>2+…+B=Io(Xl+X2+…+?)-(后+μ+…+蟾)=120,

則,=Z112聯(lián)U20.

故答案為：20.

設(shè)這6個(gè)樣本中成分甲的含量分別為右,不，，辦，與，％6，平均值為3即可求出好+好+…+好,

即可求出力+V2+???+y6,從而求出平均數(shù).

本題主要考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】手?

【解析】解：已知把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長

的比值等于較小部分與較大的比值，

設(shè)線段較大部分為y,較小部分為X,X>0,y>0.

則焉=］，X2+χy-y2=0,

則X=年>即：=字，則e=咨二.

如圖，已知P4是4F1P&的平分線，

則由角平分性質(zhì)定理可以得出照=隔,

IPFIlIPFlI+∣PF2∣：：2α1√^^5+l

則由橢圓的定義得e=-2~

IF遇I-?F1A?+?F2A?—2c

故答案為：與1

根據(jù)NFlPF2的平分線的性質(zhì)及橢圓的定義，正弦定理，即可求解.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，平分線的性質(zhì)，正弦定理，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)由2S.+1=Sτι+2,知2(SJI+I-2)=Srl—2,即今用=也

又工一2=的-2=1-2=-1,

所以數(shù)列｛Sn-2｝是首項(xiàng)為-1,公比為T的等比數(shù)列，

所以Sn-2=_1??)"-1=一聲，

所以Sn=2-聲，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-S"_]=2-??-2+=??,

而%=1,滿足上式，

所以α?=p?T?

n1

(2)bjl=αn+?=2-+/，

所以〃=2。+2】+...+2"-】+/+/+...+聲=1^+^^|^=2二號(hào)+1.

【解析】(1)由2Sn+ι=Sn+2,構(gòu)造得2(Sn+ι-2)=Sn-2,從而知數(shù)列｛Sn-2｝是首項(xiàng)為一1,

公比為T的等比數(shù)列，求得Sn后，再利用αn=Sn-Szιτ(n≥2),即可得解，注意檢驗(yàn)τι=1的情

形；

(2)采用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式，得解.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，熟練掌握利用αzι=Sn-SnT(Tl≥2)和構(gòu)造法求通項(xiàng)

公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分組求和法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于

中檔題.

18.【答案】解：（1）因?yàn)镻4_L底面力BC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)B(X,y,0),C(0,2,0),P(0,0,2√^),D(0,l,√-3).

所以前=(—光,1—y,C),AC=(0,2,0).

即2(l-y)=0

所以AC=O,

1=2?/X2+y2=2,

解得匕=C或匕=舍去〉

所以8(C,L0),所以近=(-/3,1,0),

所以I前I=J(-C)2+12=2,即BC的長為2.

(2)由(1)可知前=(一口1,0),詼=(0,-l,√3),

設(shè)平面BCD的法向量為元=(α,b,c),

則g?包=。，即卜;Cz=O,則可取五=(1，31),

(n-BC=0I-Cx+y=0

因?yàn)槎?(0,l,√-3)-AB=(√^^,1,0)

設(shè)平面48。的法向量為沅=（%,y,z）,

AD?m=y÷√-3z=0

則令y=y∏,則記=（一1,二,一1）,

AB?m=-?Λ3x+y=0

所以COS（而用=器f=j,即銳二面角A-BD-C的余弦值為最

【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B（x,y,O）,根據(jù)｛：焉［：得到方程組，解得x、y,即可

求出B的坐標(biāo)，再求出I配即可得解；

（2）利用空間向量法計(jì)算可得.

本題主要考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間中距離的求解，考查空間想象能力,

推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)在ABCD中，由余弦定理，WBC2=BD2+DC2-2BD-DC-COSΔBDC,

222

■■(7√3)=(5<3)+CD-2×5√3XCD?cos≡整理得亦—5√1CD-72=0,

解得CD=8√"3或CD=-3/3(舍去)，

222222

rιnz,_BD+BC-CD_(5√^3)+(7ΛΛ^3)-(8^)1

C°S.皿=-—=2×5√3×7>Γ3=7,

Tf∏Z.DβC∈(θ,?),故SinZ?DBC=與』

?CosZ.ABD——cos(—-乙DBC)=—-cosz,DBC+)Sin乙DBC———?

故在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB-BD-COS乙4BD=(7vr3)2+(5√3)2-2×7√^×

5λΛ^×∣i=57,

.?.AD=√-57;

(2)設(shè)NCBD=仇?！?0,等，則在ABCD中,BC_BD

SinzFDC-s?n?BCDf

BCsin?BCD

則8。=14sin(Θ+^),

sin?BDC

所以SMBD=?BDsinz-ABD=∣×7√3×14sm(0+勺xSin(W—。)=49√3sin2(0+≡),

44???

當(dāng)si∏2(0+卞=1,即8=(時(shí),△4BO面積取到最大值49C.

【解析】(I)在ABCD中，由余弦定理求得CD=8，？，繼而求得COSNDBC,sin/DBC,再求得

cos?ABD,在4力BD中利用余弦定理即可求得AC的長；

(2)設(shè)4CBD=。，由正弦定理表示出BD,利用三角形面積公式表示出AABD面積，結(jié)合正弦函數(shù)

性質(zhì)即可求得最大值.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

PlP2(1-?)=7

36I、，

I-(I-P)(I-P)(I-I)=I

I12

..JP1P2-4,解得Pi=P2=/，

(p1+p2=1

：?小蕓恰好購買兩件物品的概率為:^×Z×(1-?÷^,×(l-?)×z÷(l-?×^×^=τ;

乙乙?CΛCΛ?乙乙??

(2)根據(jù)題意可知X=O,40,60,100,140,160,200,

又P(X=O)=(IT)X(IW)X(IV)=Oq

P(x=40)=l×(i-l)×(i-∣)=?=l,

1121

XXθ--

-2--o6-

12

11131

XX+XX=

-3-2-2-4-

12

P(X=140)=i1×(l-i1)×1i=1?,

P(X=160)=(l-i)×i×i=?

P(X=200)=i×i×i=?,

???x的分布列為：

X04060IOO140160200

IIIII11

P

6664121212

111111I2S0

:?E（X）=0×?÷40×?÷60×i÷100×?+140×?+160×?÷200×?=

OOO4IZIZIZ?

【解析】（1）由題意列出關(guān)于Pl，P2的方程組，解得Pl，P2,進(jìn)而求出小蕓恰好購買兩件物品的概

率；

（2）X的所有可能取值為0,40,60,100,140,160,200,求出對應(yīng)的概率，得出分布列，進(jìn)而

計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

本題考查獨(dú)立事件的積事件的概率乘法公式，對立事件的概率公式，互斥事件的并事件的概率加

法公式，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，屬中檔題.

2P

則

t故40-

=「

21.【答案】解：（1）依題意，222PP2

?AB?=JC+獷+22=2/7,解得P=2（負(fù)值舍去）,

拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x；

(2)由(I)及題設(shè)，3(-1