高中數(shù)學(xué)選修第一冊講義（人教版）

第1講空間向量及其運(yùn)算

一、空間向量及其加減運(yùn)算

1、空間向量的定義及其表示

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量向量的大小叫做向量的長度或模，空間向

量可以用有向線段和小寫字母表示。

2、幾類常見的空間向量

零向量：長度為O的向量叫做零向量，零向量的方向是任意。

單位向量：模為1的向量叫做單位向量,單位向量的方向任意。

相反向量：長度相等，方向相反的向量叫做相反向量，

相等向量：長度相等，方向相同的向量叫做相等向量.

3、空間向量的加減運(yùn)算

Γ

向量加;去的三角形法則向量加法的平行四邊形法則向量減法的三角形法則

力口法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a結(jié)合律：(a+/?)+c=a+(Z?+C)

1、下列命題中正確的是

①如果a,b是兩個單位向量，則IaI=IbI；②兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同;

③若a,。,C為非零向量，且8，b//c,則a〃c；

④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)。

UUUULIUlUUUlUUU

2、已知空間向量AB,BC,CD,AD,則下列結(jié)論正確的是（

UUUUUUUUUlUUUUUUlUUUUUU

A、AB=BC+CDB、AB—DC+BC=AD

UUUlUUUUUUUUUUUUUUUUUlH

C、AD=AB+BC+DCD、BC=BD—DC

3、化簡下列各式：

UUllUUtlUUUUlUUUUUUlUULl

(1)AB+BC+CA(2)AB+MB+BO+OM

UUUUUlIIllIUUUllUUlUUlUUUW

(3)AB-AC+BD-CD(4)OA-OD-DC

UUUUUIUlUUUUUl

4、已知空間四邊形ABCD中，A8=α,CB=b,AD=C,則CO等于()。

A、Q+Z7-CB、-Cl—+C

C、-ci+。+CD、-ci+h—c

5、如圖所示，已知長方體ABCo-AgGR，化簡下列向量表達(dá)式:

UUUUUIlUUUULlIlUIILIU11UUB1UlU1UUlI

-

(1)A4∣CB；(2)AB、+4G+C[D?；⑶-AD÷-AB--AAo

二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

與平面向量一樣，實(shí)數(shù)/1與空間向量”的乘積4。仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘。

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律：分配律：λ(a+b)=λa+λb結(jié)合律：Λ(∕∕α)=(λμ)a

2、平行(共線)向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。

共線向量定理：對于空間任意兩個向量a,b(b≠O),a∕∕b的充要條件是存在實(shí)數(shù)4,使α=勸。

推論：點(diǎn)A在直線/上，對空間任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線/上的充要條件

UUUUU

是存在實(shí)數(shù)人使。P=OA+勿，向量。為直線/的方向向量或直線/上取向量

UlUUUUUULUUU

AB=a,則OP=OA+tAB?

3、共面向量

平行于同一個平面的向量叫作共面向量。

共面向量定理：向量P與兩個不共線向量。力共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(χ,y),

使P=Xa+。

推論：點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),

UUUIUUIUUUUlUUUUUUUuIUuuια

使MP=XMA+yMB或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,有QP=OM+xMA+yMB。

1、己知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射

影恰好是正方形的中心0,Q是CD的中點(diǎn)，求下列各題中的x,y的值:

ULUllUtInUlLMlUUUULILUULIUUILUl

(1)OQ=PQ+xPC+yPA；(2)PA=xPO+yPQ+PD.

2、(多選題)(師大附中2022年春月考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),

2-3X

點(diǎn)F為線段BD上的一動點(diǎn)，若AE=XAE+yOC(x>0,y>0),則一^的取值可以是()。

4y+1

11

A、-B、-

24

C、1D、2

共線的證明：對空間任意三點(diǎn)P、A、B,可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線。

uuUiuuuuuuUin

(1)PA=λPB-.(2)對空間任意一點(diǎn)O,OP=OA+tAB；

UUUUUUlIU

(3)對空間任意一點(diǎn)O,QP=XeM+yQ6(x+y=l)°

共面的證明：對空間任意四點(diǎn)P,M,A,B,可通過證明下列結(jié)論來證明四點(diǎn)共面。

UUlUULUUUUUlUUuUUUIlUUUUUl

(1)MP=xMA+yMB；(2)對空間任意一點(diǎn)0,OP=OM+xMA+yMB；

LlLUlUUtlULiLlUU

(3)對空間任意一點(diǎn)O,OP=xOM+γOA+zOB(x+y+z=l)；

UUUUUUUUUUUUUUUU

(4)PM〃AB或PA〃或尸B〃AM。

uni1Uir2UimUUln

3、已知A,B,C三點(diǎn)不共線，0是平面ABC外任一點(diǎn)，若由OP=—Q4+—O3+；IoC確定

53

的一點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)共面，則/1=。

uin3ULr∣?u??∣uus?

4、A,B,C不共線，對空間任意一點(diǎn)0,若OP=-Q4+-O5+—OC,則P,A,B,C四

488

點(diǎn)()。

A、不共面B、共面C、不一定共面D、無法判斷是否共面

5、對空間任一點(diǎn)0和不共線三點(diǎn)A、B、C,能得到P、A、B、C四點(diǎn)共面的是()。

UUiUUIUUSIUUUUun1Utr1Ulll1UUttl

A、OP=OA+OB+OCB、OP=-OA+-OB+-OC

333

UimUir1uni1uuu

C、OP=-OA+-OB+-OCD、以上皆錯

22

三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1、空間向量的夾角

UlflUUU

已知兩個非零向量。,仇在空間中任取一點(diǎn)。，作OA=α,0B=b,則NAOB叫做向量α,Z?

的夾角。

2、空間向量的數(shù)量積

己知兩個非零向量α力,貝!1∣α∣MlCoS<α,b>叫做向量α,Z?的數(shù)量積，記作。力，即

a-b=?a??h?cos<a,b>,零向量與任意的向量的數(shù)量積為0。

運(yùn)算律：{λd)-b—λ{(lán)a■b)ab=baa?(h+c)-a?b+a?c

3、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

(1)若為非零向量，則a_LZ?U>α?0=0;

(2)α?α=∣α『或Ial=y∣a.a=；

∩?h

(3)若α力為非零向量，則COS<α,匕>=....-?

?a??b?

1、已知Ial=2,IM=3,<a,b>—60°,貝∣J∣2α-3Z?I=。

2、已知四邊形ABCD為矩形，PAj_平面ABCD,連結(jié)AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組

向量中，數(shù)量積不為零的是()。

UUUiUUUlUUUUU

A、PC與BDB、DA馬PB

UUlUUUUUUUUUl

C、尸。與ABD、PA與CD

3、已知IaI=2?x∕∑,I〃|=,a?h=-y∣2,則Va力>=。

四、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

1、空間向量的基本定理

如果三個向量”,b,c不共面，那么對空間任一向量P,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使

p^xa+yb+zc.任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底，α∕,c叫作基向量，

2、空間向量的坐標(biāo)表示

單位正交基底：如果空間一個基底的三個基向量，兩兩垂直且模都為1,則這個基底叫做單位

空間向量的坐標(biāo)：給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量且設(shè)i,/,左為坐標(biāo)向量，由空間向量基本

定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（4,4,。3），使α=4"+//+4%。有序?qū)崝?shù)組（q,4,0,）叫作a

UU

在空間直角坐標(biāo)系。一處Z中的坐標(biāo)，即α=（%,%,%）。設(shè)A是空間任意一點(diǎn)，Q4=Xi+0+Zk,

則（x,y,z）稱為點(diǎn)A的空間直角坐標(biāo)。

UUUCIWUUIl

1、0,A,B,C為空間四個點(diǎn)，又｛Q4,OB,OC｝為空間的一個基底，則（）o

A、O,A,B,C四點(diǎn)不共線B、O,A,B,C四點(diǎn)共面，但不共線

C、O,A,B,C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線D、0,A,B,C四點(diǎn)不共面

2、以下四個命題中正確的是（）o

A、空間的任何一個向量都可用其它三個向量表示

B、若｛”,dc｝為空間向量的一組基底，則4,仇C全不是零向量

UUUUUU

C、AABC為直角三角形的充要條件是4??AC=O

D、任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底

3、棱長為1的正方體ABC。一A4GA中，E,F,G分別為棱。A,DiCt,BC的中點(diǎn)，以

UUUUUUUUU

{AB,AD,A4l}為基底，求下列向量的坐標(biāo)：

UUUUUUlUUUIUUUlUUUUUU

(1)AE,AG,AF；(2)EF,EG,DG

1UUU

4、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABC?！狝∣4GA棱長為1,B1E1=~AiBt,則

等于()。

A、(0,-9-1)B、(——,0,1)

44

C、(0,--,1)D、(-,0,-1)

44

B

X

五、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1、空間向量的坐標(biāo)與其端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

ULUlULl

設(shè)A(Xl,χ,zj,B(x2,y2,z2),0(0,0,0),則08-O4=--'/2-Zl)

2、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

)，

設(shè)4=(%,02,。3b=(b[,b2,b3),λ≡R

y

加法：a+b=(al+bl,a2+b2,a3+b3)減法：a-b=(al-bl,a2-b2,a3-b3)

數(shù)乘：λa=(λal,λa2,λa3)數(shù)量積：a?b=(她,a2b2,a3b3)

al=λby

共線：a//b<=>6z=λ?<=><a2=Ab2

a3-勸3

垂直：QJLz?=α?O=O=aibl+a2b2+a3b3=0

向量長度：若4=(%,%，的)，則量I=Ja?a=Jal2+4?+42

兩點(diǎn)間的距離公式:已知A(XI,χ,z∣),δ(x2,y2,z2),

UllI1-----------------------------------------

則I=√(x-x)2+(γ-γ)2+(z-z)2

dλli=|AB2l2121

(，，〃)，

向量夾角公式：若。=4。23b=(bl,b2,b3),

a`b61秋+ab+ab

則cos<a,b>=2233

Ial聞Qa：+a；+必收+b；+b；

1、設(shè)向量α二(3,5,-4),?=(2,1,8),計(jì)算2。+3/7,3a-2b,。為以及。與。所成角的余弦

值。

2、已知AB=(2,1,3),CQ=(3,x,y),若AB與C/5平行，則x+y=。

3、下列各組向量不平行的是()。

A、α=(l,2,-2),0=(-2,-4,4)B、c=(1,0,0),J=(3,0,0)

C、e=(2,3,0),/=(0,0,0)D、g=(-2,3,5),∕z=(16,-24,40)

4、已知α=(l,0,l),∕?=(-2,-1,1),則∣α+b∣=(4

As√6B、6C、3D、G

5、已知向量α=(2,1,4),O=(LO,2),且α+b與姐―人互相垂直，則Z的值為()。

1-315

A、1B■>—C、-D、—

5531

6、已知向量。=(1,一1,—2),∕?=(-2,-1,1)?

(1)求向量α,b的夾角；(2)若(阮!+。)_L(α-%),求Z的值。

7、已知向量。=(2,-1,2),b=(2,2,l),則以向量a,。為鄰邊的平行四邊形的面積為()。

B、√65C、4D、8

8、如圖，直三棱柱ABC-A4G底面A4JBC中，C4=CB=1,ZBC4=90。，棱A41=2,

M,N分別是Ag,Λ,A的中點(diǎn)。

UUUl

(1)求BN的長度；

UUUIUUU

(2)求CoSVBAPC6]>的值;

(3)求證：AlBLCiMo

第2講空間向量的應(yīng)用

一、直線的方向向量

如圖，/為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于非零向量。的直線，那么非零向量。叫做直線/的方向向量

二、平面的法向量

如果直線/_L平面α,取直線/的方向向量”，則向量α叫做平面ɑ的法向量。

1、在空間直角坐標(biāo)系中，已知4(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),試求平面ABe的一個法向

J≡.

里。

2、已知M(1,0,1),N((U,1),P(l,l,0),則平面MNP的一個法向量是()。

A、(1,0,0)B、(0,1,0)C、(0,0,1)D、(1,1,1)

3、已知平面。內(nèi)有一個點(diǎn)加(1,7,2),平面ɑ的一個法向量為〃=(6,-3,6),則下列點(diǎn)P中,

在平面α內(nèi)的是()o

A、P(2,3,3)B、P(-2,0,l)C、P(-4,4,0)D、P(3,-3,4)

三、利用向量方法判定空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

1、直線4的方向向量為%=(α∣,b],c∣),直線，2的方向向量為“2=(生，生!，。2)。

如果4//I2，那么ul//u2<=>ul=Au2Oal=λa2,hi=λb2,ct=Ac2

如果4±I2,那么ulA,U2=W,U=0=α102+bth2+clc2=0

2、直線/的方向向量”=(α∣,b],CI),平面α的法向量為〃=(4,優(yōu),。2)。

若/〃α,則〃J,〃=〃?〃=00+b?b?+c1c2=0

若/-Lα,則〃〃〃="=左〃U>α∣=ka2,bl—kb2,ci=kc2

3、平面α的法向量為％=(4,4,c∣),平面夕的法向量為％=(4，仇，。2)。

若α〃/，則/〃4O/=ku2=(OI,b∣,q)=k(a2,b2,c2)

若αJ_/7,貝!]/J_%="∣?"2=0=%42+Rb?+clc2=0

1、若直線4的方向向量分別為。=(2,4,T),8=(—6,9,6),則()。

A、I1//I2B、I1II2Cs∕∣與4相交但不垂直D、以上均不正確

2、已知向量”=(-2,-3,l),6=(2,0,4),C=(T,-6,2),則下列結(jié)論正確的是()。

A>a//c,b//cBAa//b,aVc

C>a//c,aΛ.bD、以上都不對

3、已知直線/的方向向量為v,平面α的法向量是〃，且u?4=0,貝H與α的位置關(guān)系是

4、已知直線4的方向向量α=(2,4,x),直線4的方向向量8=(-2,χ-2),若4與b平行，則

χ+y的值是()。

A、6B、-6C、2D、-2

5、若平面α,尸的法向量分別為nl=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則(

A、α〃夕B,aLβC、α,僅相交但不垂直D、以上均不正確

6、如圖所示，已知直三棱柱ABCG中，ΔABC為等腰直角三角形，ZBAC=90°,且

AB=AAi,D,E,F分別為gA,C1C,BC的中點(diǎn).

(1)DE〃平面ABC；(2)AFj.平面AEF。

7、(長郡202()年秋期中)如圖，24JL平面ABCD,四邊形ABCD是正方形，PA^AD=2,

M,N分別是AB,Pe的中點(diǎn)。

(1)求證：平面MNDJ■平面PCD；

(2)求點(diǎn)P到平面MND的距離。

8,(師大附中2022年秋期中)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，PDL

平面ABCD,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，AB=2,PD=BC=1。

(1)證明：EF〃平面PBC：

(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離。

四、利用向量方法求直線與平面所成的角

1、求兩條異面直線所成的角：設(shè)α/分別是兩異面直線4,的方向向量，貝IJ：

/,與，2所成的角。。與〃的夾角〈a.6〉

范圍(。號］OW〈。,6〉WTr

CoSe=ICoS.b〉I

/a?b

求法_I。?bIcosa?bJA=亙畫

=IaISl

2、求直線與平面所成的角：設(shè)直線/的方向向量為〃，平面ɑ的法向量為V,直線/與平面α所

成的角為則Sine=ICoS<M,V>∣=∣""

∣w∣∣v∣

1、在正方體ABCT)-A4G9中，M是AB的中點(diǎn)，則對角線。4與CM所成角的余弦值為

2、在正方體ABC。-4gClA中，E是GA的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為

3、如圖，在ABC。一Ag￡2中，已知IM=OC=4,DDt=3,則異面直線AR與BC所

成角的余弦值為

4、如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC—CA=CC1=2CB,則直線BG與

直線Aq夾角的余弦值為（）。

小小2√53

A、---B、---C、----D、一

5355

5、在正方體ABCQ-A4G2中，M為。A的中點(diǎn)，O為正方形ABCD的中心，P為棱4百

上任一點(diǎn)，則異面直線OP與MA所成的角為（）?

A、30°B、45oC、60oD、90°

6、（長郡2020年秋期末）已知正方體ABCo-A/CQ的棱長為1,直線AR與直線OC的

夾角等于（）。

Tt71

C、D、

T2

7、如圖，在長方體ABCD-AgCQ中，AB=BC=2,A4∣=l,則BG與平面BBa。所

8、已知正四棱柱ABa>-44G2中,AAi=2AB,則CD與平面6。G所成角的正弦值等

于（）。

2

A、-

33

正?

D、

33

9、（長郡2020年秋期末）如圖，正三棱柱ABC-AgC∣的底面邊長為2,側(cè)棱長為2夜，則

AG與平面AB4A1所成的角為_______。I

Ii

10、（師大附中2020年秋期中）在正方體ABCo--AgG。中，E為棱的中點(diǎn)，求證:

(1)BQ〃平面EAC；（2）求直線ABl與平面EAC所成角的大小。

Dt______

B

ΛB%

11、(2020年北京卷)如圖，在正方體ABCD—44G。，E是Bg的中點(diǎn)。

(1)求證：BG〃平面AoIE；

(2)求直線AA∣與平面AAE所成角的正弦值。

12、(2022年全國甲卷理)在四棱錐P-ASC。中，PD_L底面ABCD,CD〃AB,

AD=DC=CB=1,AB=2，DP=G

(1)證明：BDLPA-,(2)求PD與平面PAB所成角的正弦值。

五、利用向量方法求二面角

1、若AB,CD分別是二面角￡-/-夕的兩個半平面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角的大

UUUUUlU

小就是向量AB,CO的夾角（如圖①）；

2、設(shè)4,4分別是二面角a—/—用的兩個半平面的法向量，則向量々與々的夾角（或

其補(bǔ)角）的大小就是二面角的大小（如圖②③）。

2、己知點(diǎn)E,F分別在正方體ABeD-AMGA的棱BB∣,CG上,且gE=2EB,CE=2口6，

則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為

3、(長郡2019年秋月考)如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，AB±AC,A5=AC=2,

AA=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)。

(1)求異面直線AB與G。所成角的余弦值；

(2)求平面AoG與平面ABA1所成二面角(是指不超過90°的角)的余弦值。

4、(師大附中2019年秋期中)已知Ao是圓錐的高，BD是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上

一點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，平面ABC和平面ACD將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示。

(1)求證：平面AEOl平面ACD；

(2)若AC=B￡)=2,BC=Jl,求二面角3—AC-。的余弦值。

IT

5、(長郡2019年秋期末)如圖，三棱錐P—ABC中，PC_L平面ABC,PC=3,ZACB=-,

2

D,E分別為線段AB,BC上的點(diǎn)，且CD=DE=丘,CE=2EB=2.

(1)證明：Z)E，平面PCD；(2)求二面角A-Pr)-C的余弦值。

B

6、(師大附中2022年秋月考)如圖，直三棱柱AO歹一BCE中，側(cè)面ABCD，ABEF均為邊長

為2的正方形，且面ABCO_1面ABEE,M,N分別為正方形對角線AC,BF的中點(diǎn)。

(1)求點(diǎn)B到面ANM的距離；

(2)求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值。

7、(2020年天津卷)如圖，在三棱柱ABC—A4G中，CCl_L平面ABC,ACVBC,

AC=BC=2,CG=3,點(diǎn)D,E分別在棱AA∣和棱CG上，且AD=1，CE=2,M為棱Ag

的中點(diǎn)。

(1)求證：C1MIfilD;(2)求二面角8一月￡—。的正弦值；

(3)求直線AB與平面。旦E所成角的正弦值.

8、(2021年全國乙卷理)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，POJ?底面ABCD,

PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn)，且PB_LAM。

求二面角的正弦值。

(1)求BC；(2)A-PM-B

9、(2022年天津卷)直三棱柱ABC-ΛlgC∣中，M=AB=AC=2,AA,VAB,ACYAB,

D為Ag的中點(diǎn)，E為AAl的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)。

(1)求證：EF〃平面ABC；(2)求直線BE與平面CGo所成角的正弦值；

(3)求平面AcD與平面CG。所成二面角的余弦值。

第3講直線的傾斜角和斜率

一、傾斜角與斜率

直線/與X軸相交，我們?nèi)軸為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線

/的傾斜角。規(guī)定：當(dāng)直線和X軸平行或重合時，它的傾斜角為0°。

直線/傾斜角ɑ的取值范圍為：［0°,180。）

我們把一條直線的傾斜角ɑ的正切值叫做這條直線的斜率。常用小寫字母女表示，即左=tan。。

當(dāng)直線與X軸垂直時，直線的傾斜角為90°,此時直線沒有斜率。

【探究】如何由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率。

銳角如圖，當(dāng)α為銳角時,

a=ZP2P1Q,

且占<x2,yl<y2

在&VQ中

IggI=?z?0

鈍角如圖，當(dāng)α為鈍角時,

a=180°-6?,

且X1>X2,M<%

tana-tan(l80o-θ)

二-ta∏e

在MΔ2Q6中

/.左二tana二

當(dāng)直線平行于X軸，或與X軸重合時

y

4(%Ji)2&，乃)

_%-必

x2-X1

當(dāng)直線平行于y軸，或與y軸重合時

斜率％與傾斜角ɑ之間的關(guān)系:

直線的斜率公式：上=上2?（或&=2匚匹）

斗一々

1、若直線x=2的傾斜角為α,則1()?

TTTT

A、等于OB、等于土C、等于巴D、不存在

42

2、不論左取何值，直線x+gy+左=O的傾斜角是()o

A、30°B、60oC、150°D、與%有關(guān)

3、直線y=-島+1的傾斜角為()。

A、30°B、60oC、120oD、150°

4、己知兩點(diǎn)A(a,3),B(1,-2),若直線AB的傾斜角為135。，則4的值為()。

A、6B、-6.C、4D>-A

5、過點(diǎn)M(-2,加)，N(m,4)的直線的斜率等于1,則加的值為()。

A、1B、4C、1或3D、1或4

6、已知直線/經(jīng)過兩點(diǎn)P(1,2),Q(4,3),那么直線/的斜率為()。

C11

A、-3B、—C、一D、3

33

7、經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角。

(1)A(2,3),B(4,5)(2)C(-2,3),D(2,-1)

(3)P(-3,1),Q(-3,10)

8、己知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線/與線段AB有公共點(diǎn)。

(I)求直線/的斜率攵的取值范圍;

9、已知兩點(diǎn)M(2,-3),N(-3,-2),直線/過點(diǎn)P(1,1)且與線段MN相交，則直線/的

斜率上的取值范圍是()。

3

A、Z≥一或左≤-4B、-4≤k≤~

44

3,“3,“

C、-≤?≤4D、——≤Z≤4

44

10、已知A(3,5),B(4,7),C(-l,x)三點(diǎn)共線，則X=

Ik已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=8,當(dāng)2≤x≤3H寸，求上的最大值與最小值。

X

二、兩條直線平行與垂直的判定

【探究】（I）設(shè)兩條直線4，4的斜率分別為匕，k2,若4〃4，則人，心滿足什么關(guān)系？

（3）對于兩條互相垂直的直線4和4,若一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率如何?

y八

1

ZL4

——>

OX

1、直線/的傾斜角為30。，若直線4〃/,則直線4的斜率用=；若直線4_L/,則直

線4的斜率網(wǎng)=

2、若直線4：2x-0一I=O過點(diǎn)(1,1),直線4：x+2y=0,則直線∕∣與4()?

A、平行B、相交但不垂直C、垂直D、相交于點(diǎn)(2,-1)

3、已知過點(diǎn)4(一2,加)和3(〃?,4)的直線與直線2x+y—1=0平行，則機(jī)的值為()。

A、-8B、0C、2D、10

4、過點(diǎn)P(-l,3)且垂直于直線X-2y+3=0的直線方程為()。

A、2x+y—5=0B、2x+y—1=0

C、x+2y-5=()D、x-2y+7=0

5、直線/過點(diǎn)(―1,2)且與直線3y=2x+l垂直，則/的方程是()。

A、3x+2γ-l=0B、3x+2y+7=0

C、2x-3y+5=0D、2x—3y+8=0

6、已知點(diǎn)A(—1,3),B(4,2),若X軸上有點(diǎn)C,使4CJ.8C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

7、經(jīng)過點(diǎn)(機(jī),3)與(2,m)的直線/與斜率為-4的直線互相垂直，則機(jī)的值為

第4講直線的方程

一、直線的點(diǎn)斜式方程

點(diǎn)斜式方程：直線/經(jīng)過點(diǎn)凡(XO，%)，且斜率為左，設(shè)點(diǎn)P(χ,y)是直線上不同于點(diǎn)弓的任意

一點(diǎn)，因?yàn)橹本€/的斜率為左，由斜率公式得：％=2二包，即點(diǎn)斜式方程：y-y0=Kx-x0)

當(dāng)直線的傾斜角為0°時，這時直線與X軸平行或重合，其直線的方程為y=y0；當(dāng)直線的傾

斜角為90°時，這時直線與y軸平行或重合，其直線的方程為X=%。

例題直線/經(jīng)過點(diǎn)玲(-2,3)且傾斜角為60。，求直線/的點(diǎn)斜式方程。

1、求滿足下列條件的直線方程：

(1)過點(diǎn)P(-4,3),斜率左=—3；(2)過點(diǎn)A(-1,4).傾斜角為135°；

(3)過點(diǎn)P(3,-4),且與X軸平行；(4)過點(diǎn)P(5,-2),且與y軸平行。

2、直線y-2=∕nr+m經(jīng)過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為()。

A、(T2)B、(2,-1)C、(1,2)D、(2,1)

如果直線/的斜率為攵，且與y軸的交點(diǎn)為(0,。)得直線的點(diǎn)斜式方程：y—O=后(x—O)即

y=kx+bo

我們把直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在y軸上的截距。該方程由直線的斜率與它在y軸上

的截距確定，所以該方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。

例題求下列直線的斜截式方程:

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(T,2),且與直線y=3x+l垂直；(2)斜率為一2,且在y軸上的截距為5。

3、寫出斜率為-1,在y軸上截距為-2的直線方程的斜截式。

4

4、求過點(diǎn)A(6,-4),斜率為-一的直線方程的斜截式。

3

5、己知直線的傾斜角為45。，在y軸上的截距為2,則此直線方程為()。

A、y-x+2.B、y-x—2C、y--x+2D、y--x-2

6、已知ZVLBC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為4(0,1),8(2,0),BC的斜率為―,。

3

(1)求加的值；(2)求直線AB和直線BC的方程(將結(jié)果化為斜截式)。

二、直線的兩點(diǎn)式方程

【探究】已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)6Cη,y),P2(x2,y2),其中XlNX2，?,≠J2-如何求出這兩個

點(diǎn)的直線方程呢？

根據(jù)兩點(diǎn)Pi(x1，y1),P2(×2?丫2)，

例題已知三角形的三個頂點(diǎn)A(-5,O),B(3,-3),C(0,2),求BC邊所在直線的方程,

以及該邊上中線所在直線的方程。

1、己知三角形三個頂點(diǎn)是A(-5,0),8(4,-4),C(0,2)o

(1)求BC邊上的中線所在直線方程；(2)求BC邊上的高AE所在直線方程.

2、已知ΔA6C三個頂點(diǎn)坐標(biāo)A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三條邊所在的直線

方程。

【探究】已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（α,0）,B（0,。），其中α≠0,b≠O,求直線的方程。

3、在X軸和〉軸上的截距分別為-2,3的直線方程是—

4、（多選題）（長郡2022年秋月考）若直線過點(diǎn)P（2,l）且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則

直線的方程可能為（）。

A、x—y+l=0B、x+y-3=0

C、Ix-y-0D、x+y+l=0

5、根據(jù)下列條件，求直線的截距式方程：

（1）在X軸上的截距為-2,在y軸上的截距為-2；

（2）過點(diǎn)（1,1）,在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為10。

三、直線的一般式方程

我們把關(guān)于x,y的一元二次方程Λx+By+C=O（其中A和B不同時為0）叫做直線