9.11平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2023-2024學(xué)年蘇科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)尖子生同步培優(yōu)練習(xí)（含答案解析）

第9章中心對(duì)稱圖形-平行四邊形9.11平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：_________班級(jí)：_________學(xué)號(hào)：_________注意事項(xiàng)：本試卷共24題，解答24道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、解答題（共24小題）1．已知，如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，且．求證：四邊形是平行四邊形．2．如圖，已知四邊形，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)是四邊形外一點(diǎn)．（1）求證：、互相平分；（2）若，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并給予證明．3．已知：在中，、是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，對(duì)角線、交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．4．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，與交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）連接，，若，，且，求四邊形的周長(zhǎng)．5．已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，且，連接，．求證：．6．如圖，，是四邊形的對(duì)角線上兩點(diǎn)，，，．求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．7．如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在上，且，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若平分，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．8．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．9．如圖，是的邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，，求的長(zhǎng)．10．中，平分交于，為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連接．（1）判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由；（2）若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的周長(zhǎng)．11．如圖，四邊形為平行四邊形，的角平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接，若，，，求平行四邊形的周長(zhǎng)．12．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、的延長(zhǎng)線上，且，連接、、、，與交于點(diǎn)．（1）求證：、互相平分；（2）若平分，判斷四邊形的形狀并證明．13．如圖，在四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，交于，，求長(zhǎng)．（3）若時(shí)，則平行四邊形為形．14．如圖，平行四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作，，連接交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀？并說(shuō)明理由．15．如圖，四邊形中、相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，．（1）求證：是線段的中點(diǎn)：（2）連接、，證明四邊形是平行四邊形．16．如圖，在平行四邊形中，，，垂足分別為、．求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．17．如圖，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)自點(diǎn)向以的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)即停止．點(diǎn)自點(diǎn)向以的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)即停止，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）用含的代數(shù)式表示：；；；．（2）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？19．如圖，的對(duì)角線、交于點(diǎn)，，分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求四邊形的周長(zhǎng)．20．已知：在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接、，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中的四個(gè)平行四邊形，使寫(xiě)出每個(gè)平行四邊形的面積都等于平行四邊形面積的一半．21．如圖，為中邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，求證：；（2）連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，直接寫(xiě)出圖中所有長(zhǎng)度是二倍的線段．22．如圖，在平行四邊形中，、是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，求的長(zhǎng)．23．如圖，在中，點(diǎn)、、、分別在邊、、、上，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．24．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)，平分，，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若為中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．參考答案一、解答題（共24小題）1．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，推出，即可得出結(jié)論．【解析】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，又，四邊形是平行四邊形．2．【分析】（1）證四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：四邊形是平行四邊形，則，，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，，則，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，、互相平分；（2）解：四邊形是矩形，證明如下：連接，如圖所示：由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，，，，平行四邊形是矩形．3．【分析】（1）利用證明三角形全等即可；（2）證得四邊形是平行四邊形即可利用對(duì)邊平行證得結(jié)論．【解析】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，，在和中，；（2）連接，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，．4．【分析】（1）先由證明，得出，再由，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分確定，，然后求得，從而求得答案．【解析】（1）證明：連接，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，又，四邊形是平行四邊形，；（2）解四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為．5．【分析】根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，，再由可得與平行且相等，進(jìn)而可以證明四邊形是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)證得結(jié)論即可；【解析】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，又，四邊形是平行四邊形，．6．【分析】（1）利用兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，這一判定定理容易證明．（2）由，容易證明且，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【解析】證明：（1），．在和中，，；（2）由（1）知，，，．四邊形是平行四邊形．7．【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形證明，即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)已知條件證明，即可得結(jié)論．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，即，又，，．（2）四邊形是菱形．理由如下：，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，平分，，，，平行四邊形是菱形．8．【分析】（1）先證明，然后利用可進(jìn)行全等的證明；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，求出的度數(shù)，即可得的度數(shù)．【解析】（1）證明：在平行四邊形中，，，，又，，，在和中，，．（2）解：，，，，，．9．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，，由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)證出，求出，即可得出的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，是的邊的中點(diǎn)，，在和中，，；（2），，，，在中，，，．10．【分析】（1）由，推出，由，可得四邊形是平行四邊形，再證明即可解決問(wèn)題；（2）分不為直角和兩種情況求得周長(zhǎng)即可．【解析】（1）四邊形是菱形；理由：四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形；平分，，，，，四邊形是菱形．（2），不可能為直角；當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)的周長(zhǎng)為；所以的周長(zhǎng)為或．11．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)角平分線定義得出，求出，即可得出答案；（2）求出為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，在中，，，解直角三角形求出，，，，即可得出答案．【解析】（1）四邊形為平行四邊形，，，，又平分，．．，；（2）解：由（1）知：，又，為等邊三角形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．在中，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是等邊三角形，，，平行四邊形的周長(zhǎng)為．12．【分析】（1）要證明線段與互相平分，可以把這兩條線段作為一個(gè)四邊形的對(duì)角線，然后證明這個(gè)四邊形是平行四邊形即可；（2）要證四邊形是菱形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，．又，，即．，，四邊形是平行四邊形．、互相平分．（2）四邊形是菱形．證明：，．平分，．．．四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．13．【分析】（1）運(yùn)用證明得，根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出，繼而可得，然后根據(jù)已知可求得的長(zhǎng)度；（3）由可得，由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)論．【解析】（1），，在和中，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）四邊形為平行四邊形，，，，平分，，，，，，；（3）是的外角，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形．故答案為：矩．14．【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，得出，證出，即可得出；（2）證出四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)得出，即可得出四邊形為菱形．【解析】證明：（1），，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，；（2）當(dāng)滿足時(shí)，四邊形為菱形；理由如下：，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，，，四邊形為菱形．15．【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，則結(jié)論得出；（2）證明．則，可得出結(jié)論．【解析】證明：（1），，，四邊形是平行四邊形，，互相平分；即是線段的中點(diǎn)．（2），，在和中，，．，又，四邊形是平行四邊形．16．【分析】（1）欲證明，只要證明即可；（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證明；【解析】證明：（1）四邊形是平行四邊形．，．．，，．在與中，，．（2），，．．又，四邊形是平行四邊形．17．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用即可證明．（2）結(jié)論：．利用三角形中位線定理，證明即可解決問(wèn)題．【解析】（1）四邊形為平行四邊形，，，為的中點(diǎn)，，在和中，．（2）結(jié)論：．理由如下：，，，，為的中點(diǎn)，，．18．【分析】（1）根據(jù)速度、路程以及時(shí)間的關(guān)系和線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可求出，，，的長(zhǎng)（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，建立關(guān)于的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的值即可；（3）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；建立關(guān)于的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的值即可．【解析】（1），，，（2）根據(jù)題意有，，，．，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．，解得．時(shí)四邊形是平行四邊形；（3）由，，，，，如圖1，，即，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．即：，解得，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．19．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行四邊形的判定可證得結(jié)論；（2）由勾股定理求得，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到，進(jìn)而可求得結(jié)論．【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，，由三角形的中位線的性質(zhì)得到，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，，，，，，，四邊形的周長(zhǎng)．20．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，，由平行線的性質(zhì)得，易證，由證得，得出，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，，，，易證、互相平分，則四邊形是平行四邊形，，易證是的中位線，則，易證四邊形是平行四邊形，，證，，則四邊形是平行四邊形，，證，，則四邊形是平行四邊形，．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，，；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，、互相平分，四邊形是平行四邊形，，，，，是的中位線，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，圖中的平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形四個(gè)平行四邊形，每個(gè)平行四邊形的面積都等于平行四邊形面積的一半．21．【分析】（1）由可以得到，，再利用即可證明，便可得結(jié)論；（2）證明是的中位線，得，進(jìn)而得，再證明四邊形為平行四邊形得．【解析】（1）四邊形是平行四邊形，，．又，．，，．，；（2）四邊形為平行四邊形，，，是的中位線，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形為平行四邊形，，故圖中長(zhǎng)度是二倍的線段有，，，．22．【分析】（1）只要證明，即可；（2）在中，，推出，在中，，由此即可解決問(wèn)題．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，在中，，，在中，，．23．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證得，得，同理，得，即可得出四邊形是平行四邊形；（2）由（1）知四邊形是