人教A版（2019）必修第二冊 第六章 6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標表示（教學課件）

第六章

§6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示學習目標XUEXIMUBIAO1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的

坐標運算.2.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)

的問題.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.則a·b＝

.(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝

或|a|＝

.若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a＝(

，

)，|a|＝

.(2)a⊥b?

.(3)cosθ＝

＝

.知識點平面向量數(shù)量積的坐標表示x1x2＋y1y2x2＋y2x2－x1y2－y1x1x2＋y1y2＝0思考若兩個非零向量的夾角滿足cosθ<0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角嗎？答案不一定，當cosθ<0時，兩向量的夾角θ可能是鈍角，也可能是180°.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1y2－x2y1＝0.(

)2.若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ>0，則兩向量的夾角θ一定是銳角.(

)3.兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，滿足x1y2－x2y1＝0，則向量a與b的夾角為0°.(

)4.若向量a＝(1,0)，b＝

，則|a|＝|b|.(

)××××2題型探究PARTTWO例1

(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)等于A.10 B.－10C.3 D.－3一、數(shù)量積的坐標運算√解析a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x等于A.6 B.5C.4 D.3√解析由題意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關(guān)系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.解析建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，二、平面向量的模例2

(1)設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于√解析∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，(2)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，0)，則|2a－b|的最大值為________.反思感悟求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時，勿忘記開方.(2)a·a＝a2＝|a|2或

，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.√解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.三、平面向量的夾角、垂直問題例3

已知a＝(4,3)，b＝(－1,2).(1)求a與b夾角的余弦值；解因為a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，設(shè)a與b的夾角為θ，(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數(shù)λ的值.解因為a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，反思感悟解決向量夾角問題的方法及注意事項(1)求解方法：由cosθ＝

直接求出cosθ.(2)注意事項：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝

判斷θ的值時，要注意cosθ<0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cosθ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.√(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b與a垂直，則m＝_____.7解析∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.3隨堂演練PARTTHREE1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，則x等于12345√解析a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，則a與b夾角的余弦值為√a·b＝3×5＋4×12＝63.12345123453.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于A.1 B.C.2 D.4√解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，4.若平面向量a＝(1，－2)與b的夾角是180°，且|b|＝

，則b等于A.(－3,6) B.(3，－6)C.(6，－3) D.(－6,3)12345√解析由題意，設(shè)b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).712345課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示.(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0(a，b為非零向量).(3)cosθ＝

(θ為非零向量a，b的夾角).2.方法歸納：化歸與轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū)：兩向量夾角的余弦公式易記錯.4課時對點練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固1.(多選)設(shè)向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列結(jié)論中正確的是A.|a|＝b2

B.a·b＝0C.a∥b

D.(a－b)⊥b√√解析|a|＝b2＝2，故A正確，B，C顯然錯誤，a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.故D正確.123456789101112131415162.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|等于√解析由題意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，123456789101112131415163.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，則△ABC的形狀是A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.等邊三角形√12345678910111213141516所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.123456789101112131415164.平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|等于√解析a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.12345678910111213141516√解析∵四邊形OABC是平行四邊形，12345678910111213141516123456789101112131415166.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，則a·(a＋2b)＝______.4解析∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.123456789101112131415167.設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，則m＝_______.－1解析由題意得ma－b＝(m＋1，－m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.123456789101112131415168.設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________，|a＋b|＝________.－2解析由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.所以a＋b＝(－1,3)，9.已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，－1).(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐標；解設(shè)c＝(x，y)，故c＝(－3,3)或c＝(3，－3).12345678910111213141516(2)若b是單位向量，且a⊥(a－2b)，求a與b的夾角θ.即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，因為θ∈[0，π]，1234567891011121314151610.已知向量a＝(1，

)，b＝(－2,0).(1)求a－b的坐標以及a－b與a之間的夾角；設(shè)a－b與a之間的夾角為θ，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)當t∈[－1,1]時，求|a－tb|的取值范圍.易知當t∈[－1,1]時，|a－tb|2∈[3,12]，綜合運用11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ等于A.－4 B.－3C.－2 D.－1√解析由m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516A.(－3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)√＝x2－6