數(shù)學(xué)-專(zhuān)項(xiàng)11.2 期中期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之實(shí)數(shù)十六大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）（帶答案）

專(zhuān)題11.2實(shí)數(shù)十六大考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1求算術(shù)平方根、平方根、立方根】 1【考點(diǎn)2利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值】 3【考點(diǎn)3估算算術(shù)平方根的取值范圍】 5【考點(diǎn)4求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分】 7【考點(diǎn)5與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】 9【考點(diǎn)6已知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】 11【考點(diǎn)7利用平方根、立方根解方程】 13【考點(diǎn)8已知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】 16【考點(diǎn)9平方根、算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用】 18【考點(diǎn)9實(shí)數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念】 20【考點(diǎn)10實(shí)數(shù)的大小比較】 22【考點(diǎn)11實(shí)數(shù)與數(shù)軸】 24【考點(diǎn)12程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 26【考點(diǎn)13新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 29【考點(diǎn)14實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 32【考點(diǎn)15實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律探究】 35【考點(diǎn)16實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】 37【考點(diǎn)1求算術(shù)平方根、平方根、立方根】【例1】（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)期中）0.16的算術(shù)平方根是______，25的平方根是______．【答案】

0.4

±【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】0.16的算術(shù)平方根是0.4，25=5，則25的平方根是故答案為：0.4，±【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根，理解平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱(chēng)之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根．【變式1-1】（2022·云南·景洪市第三中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算正確的是（

）A．31=±1 B．?0.81=0.9 C．

【答案】D【分析】直接利用立方根以及算術(shù)平方根的定義分別分析得出答案【詳解】解：A、31B、?0.81C、9=3D、(?3)2故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根及算術(shù)平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若m是169的正的平方根，n是121的負(fù)的平方根，求：(1)m＋n的值；(2)（m【答案】(1)2(2)±2【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求出m、n的值，然后代入計(jì)算即可求解；（2）先求出（m（1）∵±132=169，∴m＝13，∵（±11）2∴n＝﹣11，∴m+n＝13+（﹣11）＝2；（2）∵m+n＝2∴（m+n∴（m+n【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，熟記一些常用的平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．

【變式1-3】（2022·湖南·八年級(jí)單元測(cè)試）－27的立方根與9的平方根之和為（

）A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6【答案】C【分析】依據(jù)平方根和立方根求得這兩個(gè)數(shù)，然后利用加法法則計(jì)算即可．【詳解】解：-27的立方根是-3，9的平方根是±3，-3+3=0，-3+（-3）=-6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是立方根和平方根，熟練掌握立方根和平方根的意義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值】【例2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足(a﹣2)2+|2b+6|+5?c＝0．(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(2)求a?3b+c的平方根．【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5(2)a?3b+c的平方根為±2【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，5?c＝0，求出a，b，c的值；（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，將a，b，c代入求解即可．（1）解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+5?c＝0，∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，5?c=0∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；（2）解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，則a?3b+c＝2?3×(?3)+5＝4，而±4故a?3b+c的平方根為±2．【點(diǎn)睛】本題考查了平方的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，以及求一個(gè)數(shù)的平方根，熟練地運(yùn)用以上知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）若y＝2x?1﹣1?2x+6x，則2x+2y?3的值為_(kāi)____．

【答案】2【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)性即可求出x、y的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】∵y＝2x?1﹣1?2x+6x，∴2x?1≥01?2x≥0，解得∴y=3∴2x+2y?3故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的非負(fù)性以及求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟記被開(kāi)方數(shù)非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·上海·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若x?2+|y+7|+(z?7)2=0，則A．±2 B．4 C．2 D．±4【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值，平方，二次根式的非負(fù)性求出x，y，z，算出代數(shù)式的值計(jì)算即可；【詳解】∵x?2+|y+7|+(z?7∴x?2=0y+7=0解得x=2y=?7∴x?y+z=2??7∴±16故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的求解，結(jié)合絕對(duì)值、二次根式的非負(fù)性計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）已知|2020﹣m|+m?2021＝m，求m﹣20202的值．【答案】m﹣20202＝2021【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性確定a的范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再根據(jù)平方根的定義求得代數(shù)式的值．【詳解】解：∵m﹣2021≥0，∴m≥2021，∴2020﹣m≤0，

∴原方程可化為：m﹣2020+m?2021＝m，

∴m?2021＝2020，∴m﹣2021＝20202，∴m﹣20202＝2021．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性確定a的范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3估算算術(shù)平方根的取值范圍】【例3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)面積為18的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，∴大正方形的面積為：9+9=18，則大正方形的邊長(zhǎng)為：18，∵16<∴4＜18＜4.5，∴大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點(diǎn)，能落在A，B兩個(gè)點(diǎn)之間的是（

）A．?3 B．

C．11 D．13【答案】B【分析】首先確定A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)，再分別估算四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸得，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是3，A.-2＜?3B.2＜7＜3，符合題意；C、3＜11＜4，不符合題意；D.3＜13＜4，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)無(wú)理數(shù)的估算．【變式3-2】（2022·天津·九年級(jí)期末）估計(jì)7?2的值在（

A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3至4之間【答案】A【分析】先判斷7的取值范圍，從而得出7?2【詳解】∵2∴2<7∴0<7即7?2故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的估算，常見(jiàn)方法有2種：平方法去根號(hào)比較、將整數(shù)轉(zhuǎn)化到根號(hào)內(nèi)比較．【變式3-3】（2022·重慶·八年級(jí)期中）估計(jì)13+12的值在（A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】B【分析】根據(jù)二次根式值的估算辦法，可得結(jié)果.【詳解】解：∵3<13<4

∴4<13+1<5

∴2<13故13+1

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的估計(jì)大小，掌握放縮法估計(jì)實(shí)數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)4求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分】【例4】（2022·上海徐匯·七年級(jí)階段練習(xí)）11的整數(shù)部分是______．小數(shù)部分是_______．【答案】

3

11【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵9<11<16，∴3<11∴11的整數(shù)部分為3，∴11的小數(shù)部分為11?3故答案為3，11?3【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個(gè)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）6?11的小數(shù)部分為a，7+11的小數(shù)部分為b，則【答案】1【分析】先分析11介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，再分別求出6?11和7+11介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可求出6?11和7+【詳解】解：∵3<∴10<7+11<11∴3>6?∴7+11的整數(shù)部分為10，6?∴a=6?

b=7+代入得：a+b

=12018=1【點(diǎn)睛】此題考查的是實(shí)數(shù)（帶根號(hào)）的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法.【變式4-2】（2022·重慶市萬(wàn)盛經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)溱州中學(xué)七年級(jí)期中）已知2a?1＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整數(shù)部分，求a+b+2c的平方根．

【答案】±5【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的意義，無(wú)理數(shù)的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根據(jù)平方根的意義即可求解．【詳解】解：∵2a?1＝3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∴15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵100<∴10＜113＜11，∴c＝10，∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∴a+b+2c的平方根為±25【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根的意義，無(wú)理數(shù)的估算，熟知算術(shù)平方根、平方根的意義是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·江蘇·八年級(jí)）設(shè)2+6的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術(shù)平方根．【答案】3．【詳解】試題分析：先找到6介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而找到整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，然后代入求值即可．試題解析：因?yàn)?＜6＜9，所以2＜6＜3，即6的整數(shù)部分是2，所以2+6的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是2+6-4=6-2，即x=4，y=6-2，所以x?1=4?1=考點(diǎn)：1．估算無(wú)理數(shù)的大小；2．算術(shù)平方根．【考點(diǎn)5與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】【例5】（2022·山東菏澤·八年級(jí)期中）將一組數(shù)3，6，3，12，15，……，228按下面的方法進(jìn)行排列：

3

6

3

12151821242730……若12的位置記為1,4，24的位置記為2,3，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為（）A．14,4 B．14,5 C．15,5 D．16,1【答案】C【分析】依據(jù)每組數(shù)的排列規(guī)律，設(shè)an=3n，這列數(shù)中最大的有理數(shù)為225【詳解】解：設(shè)an∵該列數(shù)中，最大的有理數(shù)為225，∴3n=225，即n=75，∵每行5個(gè)數(shù)，∴225在第15行第5列，∴這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為：15,5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的規(guī)律探索，正確找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱該下列材料：（1）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：0.000004＝0.002，0.0004＝0.02，0.04＝0.2，4＝2，400＝20，根據(jù)以上材料填空：40000＝__，4000000＝__．（2）已知2≈1.414，直接寫(xiě)出：0.02≈______，200≈_____，20000≈______．【答案】

200

2000

0.1414

14.14

141.4【分析】（1）觀察被開(kāi)方數(shù)和算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)的位置，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，從被開(kāi)方數(shù)和算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)位置考慮，即可求解；【詳解】解：（1）由所提供的各數(shù)算術(shù)平方根的變化規(guī)律可知，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大（縮?。?00倍，10000倍，1000000倍……則其結(jié)果就擴(kuò)大（縮?。?0倍，100倍，1000倍……所以40000＝200，4000000＝2000，故答案為：200，2000；（2）由（1）的規(guī)律可得，

0.02＝0.1×2≈0.1414，200＝102≈14.14，20000＝1002≈141.4，故答案為：0.1414，14.14，141.4．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是從小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)來(lái)考慮．【變式5-2】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下列各式：(1)(2)(3)(4)??用字母n表示出一般規(guī)律是__________．（n為不小于2的整數(shù)）【答案】3nnn【分析】分析被開(kāi)方數(shù)的變換規(guī)律即可求得【詳解】解：1、觀察4個(gè)等式左邊根號(hào)內(nèi)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)：①整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5，②整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分的分母有下列關(guān)系：7=22、觀察四個(gè)等式右邊的立方根前的倍數(shù)正好是等式左邊被開(kāi)方數(shù)的整數(shù)部分，立方根里的分?jǐn)?shù)正好是左邊被開(kāi)方數(shù)的分?jǐn)?shù)部分，所以其中的規(guī)律可以表示為3nnn故答案為：3nnn【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的規(guī)律探究，分析被開(kāi)方數(shù)的變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·北京市十一學(xué)校二模）由102=100，1002=10000，我們可以確定1225是兩位數(shù)．根據(jù)類(lèi)似的想法，由于1225個(gè)位上的數(shù)是5，我們能確定1225個(gè)位上的數(shù)是______，如果只看1225的前兩位12，而32【答案】

5

3【分析】根據(jù)題意，以題目給出的思路和方法進(jìn)行推理得出答案，5的任何次方尾數(shù)均是5，則可求解①，根據(jù)題意確定1225的平方根是兩位數(shù)，再根據(jù)3的平方和4的平方即可確定②．【詳解】∵5的任何次方尾數(shù)均是5，∴1225的平方根的個(gè)位數(shù)是5，

∵32=9，∴1225的平方根的十位數(shù)是3，故答案為：5，3．【點(diǎn)睛】考查了實(shí)數(shù)的意義，平方根的意義以及尾數(shù)的特征等知識(shí)，閱讀理解題目提供的解題方法是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6已知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】【例6】（2022·山西臨汾·七年級(jí)期中）若正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+2和2x?5，則a的值為_(kāi)__________．【答案】9【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得出x的值，再根據(jù)a=(x+2)【詳解】∵正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+2和2x?5∴x+2+2x-5=0，解得：x=1．∴a=故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．【變式6-1】（2022·福建·古田縣玉田中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)的平方根和立方根都是它的本身，則這個(gè)數(shù)是(

)A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0，一個(gè)數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是﹣1或0或1，進(jìn)行解答即可．【詳解】∵02∴一個(gè)數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0，∵03＝0，-13∴一個(gè)數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是﹣1或0或1，∴一個(gè)數(shù)的平方根和立方根都是它本身的數(shù)為0，故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根的性質(zhì)，牢記一個(gè)數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0，一個(gè)數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是﹣1或0或1，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為?8.69；x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，則（

）A．x=1100a,y=?1000bC．x=100a,y=1100a【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義求出a、b、x、y的值，再找出關(guān)系即可．【詳解】解：∵a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴x=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平方根、算術(shù)平方根和立方根的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義．【變式6-3】（2022·河南·平頂山市第三中學(xué)七年級(jí)期中）若4?2a與3a+1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根．(1)求a的值；(2)求這個(gè)正數(shù)．【答案】(1)a=-5；(2)這個(gè)正數(shù)為196．【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)解答即可；（2）由a的值可求得這個(gè)正數(shù)．（1）解：由題意得：4-2a+3a+1=0，解得a=-5，答：a=-5；（2）解：當(dāng)a=-5，

∴4-2a=4-2×(-5)=14，∴這個(gè)正數(shù)為142【點(diǎn)睛】本題考查平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提，掌握一個(gè)正數(shù)兩個(gè)平方根的特征是正確解答的關(guān)鍵.【考點(diǎn)7利用平方根、立方根解方程】【例7】（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）求下列等式中的x；（1）若x2=196，則x=______；（2）若x2（3）若x2=(?5)2，則x=______；（4）若【答案】

±14

±32

±5【分析】（1）根據(jù)平方根的定義，由±142=196，可得（2）根據(jù)平方根的定義，由±322（3）根據(jù)平方根的定義，由±52=(?5)（4）根據(jù)平方根的定義，由(±1.1)2=1.21，可得【詳解】（1）∵±14∴x=±14故答案為：±14（2）∵±∴x=±故答案為：±3（3）∵±5∴x=±5故答案為：±5（4）∵(±1.1)∴x=±1.1故答案為：±1.1【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：平方根．理解平方根的定義是關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·黑龍江·拜泉縣第三中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）用學(xué)過(guò)的知識(shí)解方程

(1)8(2)4【答案】(1)x=?(2)x1=【分析】（1）采用開(kāi)立方的方法即可求解；（2）采用開(kāi)平方的方法即可求解．（1）8x+1x+1x+1=?x=?7（2）44x?2x?2x?2=±x=2±即x1=15即方程的解為：x1=15【點(diǎn)睛】本題考查了利用開(kāi)立方和開(kāi)平方的方法求解方程，掌握開(kāi)平方和開(kāi)立方的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.【變式7-2】（2022·黑龍江鶴崗·七年級(jí)期末）5+3x+1

【答案】-9【分析】先將5移到等式右邊，與3合并，兩邊再立方，即可求出x的值．【詳解】解：5+3x+13x+1x+1=-8x=-9【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于立方根的方程，熟練掌握立方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·湖北·監(jiān)利市玉沙初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）解方程：(1)x3(2)16x【答案】(1)x=?3(2)x=114【分析】（1）根據(jù)求立方根的方法解方程即可；（2）根據(jù)求平方根的方法解方程即可．（1）解：∵x3∴x3∴x=?3；（2）解：∵16x∴16x∴x﹣∴x?2=±3∴x=114或【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用求平方根、求立方根的方法解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)8已知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】【例8】2022·吉林四平·七年級(jí)期中）已知2a?1的平方根是±3，a+3b?1的算術(shù)平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求ab+5的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)±5．【分析】（1）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的定義，求解即可；（2）根據(jù)平方根定義，求解即可．(1)解：∵2a?1的平方根是±3，a+3b?1的算術(shù)平方根是4．∴2a?1=9，a+3b?1=16，解得a＝5，b＝4．(2)解：當(dāng)a＝5，b＝4時(shí)，ab+5＝25，而25的平方根為±25即ab+5的平方根是±5．【點(diǎn)睛】此題主要考查平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根，算術(shù)平方根的定義．【變式8-1】（2022·福建廈門(mén)·七年級(jí)期中）已知a2=81，3b【答案】1【分析】利用平方根和立方根的意義求得a，b的值，將a，b的值代入利用算術(shù)平方根的意義計(jì)算即可．【詳解】解：∵a2∴a=±9，∵3b∴b=?8，∵b?a≥0，∴a=?9，b=?8，∴b?a=故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根、立方根和算術(shù)平方根的意義，根據(jù)題意正確確定字母的值是解題的關(guān)鍵．

【變式8-2】（2022·四川·自貢市田家炳中學(xué)七年級(jí)期中）已知x+2的平方根±3，2x+y+7的立方根是3，試求7x?3y的立方根．【答案】3【分析】首先根據(jù)平方根和立方根的定義求出x，y的值，再把x，y的值代入要求的式子，然后根據(jù)立方根的定義即可得出答案．【詳解】由題得：x+2=±3解得x=7y=6∴3【點(diǎn)睛】此題主要考查了求一個(gè)數(shù)的立方根和平方根的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解立方根和平方根的定義．【變式8-3】（2022·江西·上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)七年級(jí)期中）已知2a?1的算術(shù)平方根是17，3a+b?1的立方根是3．(1)求a，b的值；(2)求a+b的平方根．【答案】(1)a=9，b=1(2)±【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義進(jìn)行求解；（2）由（1）將a，b的值代入求解即可．（1）解：∵2a?1的算術(shù)平方根是17，3a+b?1的立方根是3，∴2a?1=17，3a+b?1=27，∴a=9，b=1．（2）解：由（1）知a=9，b=1，∴a+b=9+1=10，∴a+b的平方根是±10【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確地理解算術(shù)平方根，立方根和平方根的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)9平方根、算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2022·山西呂梁·七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎制作了一個(gè)表面積為30cm2的無(wú)蓋正方體紙盒，這個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)是（A．5cm B．6cm C．10cm【答案】B【分析】根據(jù)題意得：這個(gè)正方體紙盒的每個(gè)面的面積為30÷5=6cm【詳解】解：根據(jù)題意得：這個(gè)正方體紙盒的每個(gè)面的面積為30÷5=6cm∴這個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)是6cm故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·安徽·潛山市羅漢初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）交通警察通常根據(jù)剎車(chē)時(shí)后車(chē)輪滑過(guò)的距離估計(jì)車(chē)輛行駛的速度．在某高速公路上，常用的計(jì)算公式是v2=256df+1，其中v表示車(chē)速（單位；km/h），d表示剎車(chē)后車(chē)輪滑過(guò)的距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)，f=1.25【答案】肇事汽車(chē)的速度大約是80km/h【分析】將d，f的值代入公式計(jì)算出v2【詳解】解：當(dāng)f=1.25，d=19.2時(shí)，v2∴v=6400答：肇事汽車(chē)的速度大約是80km/h．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．【變式9-2】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）某學(xué)校有一塊長(zhǎng)、寬分別為38m和16m的長(zhǎng)方形空地，計(jì)劃沿邊建造一個(gè)長(zhǎng)寬之比為5:3且面積為540m

【答案】不能，理由見(jiàn)解析【分析】通過(guò)用同一未知數(shù)表示出籃球場(chǎng)的長(zhǎng)和寬，列方程進(jìn)行求解．【詳解】解：不能，理由如下：設(shè)長(zhǎng)方形標(biāo)準(zhǔn)籃球場(chǎng)的長(zhǎng)為5xm．寬為3xm，由題意得：5x×3x＝540，解得：x＝?6（舍去）或6，即長(zhǎng)方形標(biāo)準(zhǔn)籃球場(chǎng)的長(zhǎng)為30m，寬為18m，∵18m＞16m，∴該學(xué)校不能用這塊長(zhǎng)方形空地建造符合要求的籃球場(chǎng)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確得出x的值是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3．(1)求長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高為多少？(2)當(dāng)有一個(gè)半徑為r的球放入注滿(mǎn)水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的160【答案】(1)長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高為：20cm，20cm，40cm；(2)該小球的半徑為4.05cm．【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高為2x，2x，4x，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式列方程，根據(jù)立方根定義即可求解，問(wèn)題得解；（2）設(shè)該小球的半徑為rcm，根據(jù)溢出水池外的水的體積為水池體積的160（1）

解：∵有一個(gè)長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3，∴設(shè)長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高為2x，2x，4x，∴2x?2x?4x＝16000，∴16x3＝16000，∴x3＝1000，解得：x＝10，∴長(zhǎng)方體的水池長(zhǎng)、寬、高為：20cm，20cm，40cm；（2）解：設(shè)該小球的半徑為rcm，由題意得43∴r3＝160×16000×1∴r≈4.05，答：該小球的半徑為4.05cm．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的應(yīng)用，熟知立方根的意義，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)9實(shí)數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念】【例9】（2022·山東青島·八年級(jí)期中）下列各數(shù)1.414，36，20π，13，8A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】分別根據(jù)無(wú)理數(shù)、有理數(shù)的定義逐個(gè)判定即可．【詳解】解：1.414，3.1415926，是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；36＝6，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；13是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；無(wú)理數(shù)有20π，8故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)．【變式9-1】（2022·福建·晉江市南僑中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于“19”，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．它是一個(gè)無(wú)理數(shù) B．它可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示C．它可以表示面積為19的正方形的邊長(zhǎng) D．它不是實(shí)數(shù)

【答案】D【分析】分別根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義、數(shù)軸的意義、正方形面積公式，實(shí)數(shù)的分類(lèi)判斷即可．【詳解】解：A、19是一個(gè)無(wú)理數(shù)，說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不合題意；B、19可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不合題意；C、19可以表示面積為19的正方形的邊長(zhǎng)，利用正方形的面積公式S=aD.19是一個(gè)無(wú)理數(shù)，自然也是實(shí)數(shù)，說(shuō)法不正確，故此選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義、數(shù)軸的意義，正方形面積公式，實(shí)數(shù)的分類(lèi)，掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)期中）設(shè)m為大于1且小于100的整數(shù)，則m的平方根中，屬于無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．92個(gè) B．180個(gè) C．182個(gè) D．184個(gè)【答案】B【分析】1至100之間，除去完全平方數(shù)，余下的數(shù)字的平方根均為無(wú)理數(shù)．【詳解】1至100之間（不含1和100）共計(jì)有98個(gè)數(shù)，完全平方數(shù)有4、9、16、25、36、49、64、81，共計(jì)8個(gè)數(shù)，則余下的數(shù)有98-8=90個(gè)數(shù)，則m可以取的數(shù)有90個(gè)，這90個(gè)數(shù)的平方根有180個(gè)，且都是無(wú)理數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)以及平方根的知識(shí)．無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)是無(wú)理數(shù)，找到m可以取值的個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級(jí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．?|?5|,?(1)負(fù)數(shù)集合：{

…}；(2)非負(fù)整數(shù)集合：{

…}；(3)分?jǐn)?shù)集合：{

…}；(4)無(wú)理數(shù)集合：{

…}．

【答案】(1)??5(2)0,?(3)?(4)2π,?12.101001?【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)進(jìn)行判斷即可，有理數(shù)包括：整數(shù)（正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)），無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，即可求解．（1）解∶?|?5|=?5,?負(fù)數(shù)集合：{??5（2）解∶?|?5|=?5,?非負(fù)整數(shù)集合：{0,??6（3）解∶?|?5|=?5,?分?jǐn)?shù)集合：{?3（4）解∶?|?5|=?5,?無(wú)理數(shù)集合：{2π,?12.101001?（每?jī)蓚€(gè)1之間0的個(gè)數(shù)依次增加1）…}【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10實(shí)數(shù)的大小比較】【例10】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）下列四個(gè)數(shù)中最小的實(shí)數(shù)是（

）A．0 B．?π C．?2 D．?3【答案】B【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則：正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；然后根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，即可得到答案．

【詳解】解：∵正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，∴較小的三個(gè)數(shù)為：?π、?2、?3，∵|?2|＜|?3|＜|?π|，∴?2＞?3＞?π，∴最小的數(shù)是?π．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題，掌握實(shí)數(shù)大小比較的法則是關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·福建福州·七年級(jí)期中）比較大?。?7__________6．（用“>”或“<”連接）【答案】>【分析】根據(jù)6=36【詳解】∵6=∴37故答案為：>．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)大小的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的相關(guān)知識(shí)．【變式10-2】（2022·湖北·測(cè)試·編輯教研五八年級(jí)階段練習(xí)）四個(gè)實(shí)數(shù)?2，0，1，2中最大的實(shí)數(shù)是（

）A．?2 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，再估算出2的值即可判斷出最大的實(shí)數(shù)．【詳解】解：∵1<2<4，∴1<2在四個(gè)實(shí)數(shù)?2，0，1，2中，∵2∴最大的數(shù)是：2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，準(zhǔn)確估算出2的值是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·遼寧阜新·八年級(jí)期末）比較大?。?2______5【答案】＜【分析】將兩數(shù)分別平方后，再比較大小即可．

【詳解】解：∵52∴(52)∴(5∴52故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握平方運(yùn)算比較大小是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)11實(shí)數(shù)與數(shù)軸】【例11】（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）己知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)b>0 【答案】D【分析】由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知a<0<b，【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知a<0<b，∴ab<0，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確根據(jù)數(shù)軸得到a<0<b，【變式11-1】（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上表示-1，?2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，B，若點(diǎn)A是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C【答案】2?2##【分析】設(shè)C表示的數(shù)是x，根據(jù)A是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，列出算式，求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)C表示的數(shù)是x，∵A是BC中點(diǎn)，∴AB=AC，即x?(?1)=?1?(?2

∴x=2-2．故答案為：2-2．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、線(xiàn)段的中點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是理解線(xiàn)段中點(diǎn)的含義．【變式11-2】（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓形紙片上的點(diǎn)A與數(shù)軸上表示-1的點(diǎn)重合，若將該圓形紙片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)一周（無(wú)滑動(dòng)）后點(diǎn)A與數(shù)軸上的點(diǎn)A′重合，則點(diǎn)A′表示的數(shù)為_(kāi)____________【答案】π?1或【分析】計(jì)算圓的周長(zhǎng)為π，分A′在?1的左邊與右邊兩種情形討論即可求解．【詳解】解：∵圓的周長(zhǎng)為π×1=π，根據(jù)題意，點(diǎn)A′表示的數(shù)為?1+π或?1?π．故答案為：?1+π或?1?π．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，理解題意，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2022·湖南·八年級(jí)單元測(cè)試）若實(shí)數(shù)a的位置如圖所示，則a、?a、1a、a【答案】1【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置將?a，【詳解】解：∵?1<a<0∴0<?a<1又∵?a<1，a≠0兩邊同時(shí)乘以∴∵a>?1，a≠0兩邊同時(shí)除以∴?1>綜上所述：1

故答案為：1a【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)實(shí)數(shù)的相反數(shù)，倒數(shù)，實(shí)數(shù)大小的比較，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)12程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例12】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說(shuō)法正確的是（

）A．輸入值x為16時(shí)，輸出y值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個(gè)無(wú)理數(shù)C．輸出值y為3時(shí)，輸入值x為9D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．【詳解】解∶A．輸入值x為16時(shí)，16=4，4=2，即y=B．當(dāng)x=0，1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C錯(cuò)誤；D．當(dāng)x=1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)；故D正確；故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根及無(wú)理數(shù)的概念，正確理解給出的運(yùn)算方法是關(guān)鍵．【變式12-1】（2022·福建廈門(mén)·七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說(shuō)法：

①當(dāng)輸出值y為2時(shí)，輸入值x為2或4；②當(dāng)輸入值x為9時(shí)，輸出值y為3；③對(duì)于任意的正無(wú)理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中正確的是________．【答案】②④##④②【分析】根據(jù)流程圖逆向分析即可判斷①，把x=9代入流程圖判斷②；通過(guò)特殊值法排除③；當(dāng)x=1時(shí)判斷④．【詳解】解：①∵當(dāng)x=16時(shí)，16=4，4=2，2取算術(shù)平方根為2，輸出值y為2，則輸入值x為2或4或②9=3，3取算術(shù)平方根為3，輸出值y為3③如x=π2時(shí)，π2是正無(wú)理數(shù)不是正整數(shù)，輸出值y為π④當(dāng)x=1，1的算術(shù)平方根為1，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值，故④符合題意；故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，無(wú)理數(shù)的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2022·河北邢臺(tái)·七年級(jí)期末）按下面程序計(jì)算：

（1）當(dāng)輸入x=5時(shí)，輸出的結(jié)果為_(kāi)_____（2）若輸入x的值為大于1的實(shí)數(shù)，最后輸出的結(jié)果為17，則符合條件的x的值是______【答案】

26

3或4##4或3【分析】（1）把x=5代入x2（2）分三種情況討論：第一次輸出的數(shù)為17，第二次輸出的數(shù)為17，第三次輸出的數(shù)為17，再利用平方根的含義解方程可得答案．【詳解】解：（1）當(dāng)x=5時(shí)，∴x2∴輸出的數(shù)是26．（2）當(dāng)?shù)谝淮屋敵龅慕Y(jié)果為17時(shí)，∴x2解得：x=4或x=?4,又∵x>1,∴x=4,當(dāng)?shù)诙屋敵龅慕Y(jié)果為17時(shí)，則(x∴x2+1=4,（解得：x=3（x=?當(dāng)?shù)谌屋敵龅臄?shù)為17時(shí)，則x2+1=3綜上：x的值為：3或4故答案為：（1）26；（2）3或4【點(diǎn)睛】本題考查的是程序框圖與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，利用平方根的含義解方程，理解題意得到關(guān)于x的方程是解本題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期末）小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：

那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是_______；當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是ｎ時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是_____【答案】

256

?2【分析】從絕對(duì)值來(lái)看，輸出數(shù)據(jù)等于以2為底、輸入數(shù)據(jù)為指數(shù)的冪．從符號(hào)來(lái)看，輸入數(shù)據(jù)為奇數(shù)，輸出數(shù)據(jù)為負(fù);輸入數(shù)據(jù)為偶數(shù)，輸出數(shù)據(jù)為正．根據(jù)這兩個(gè)特征即可得到解答．【詳解】解：設(shè)輸入數(shù)據(jù)為a，輸出數(shù)據(jù)為b，則由題意可得：b=?2當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是?28=256；當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是ｎ時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是故答案為256；?2n【考點(diǎn)13新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例13】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，可用a表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如4=4，2=1，則【答案】3【分析】估計(jì)出3<19?1<4，再結(jié)合題意，a表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，因此即可得出【詳解】解：∵16<19<25，∴4<19∴3<19∴19?1故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的估算，以及新定義運(yùn)算，熟練找準(zhǔn)無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分是本題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f(x)=x1+x，例如f(3)=31+3=【答案】20201【分析】按照定義式規(guī)定f(x)=x1+x，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，兩兩組合相加，剩下【詳解】解：∵f(1)=11+1=12，f(2)=f(12)=12

∴f(2)+f(1f(3)+f(1…，f(2021)+f(1∴f=12=202012故答案為：202012【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算在有理數(shù)的混合運(yùn)算中的應(yīng)用，讀懂定義，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2022·四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如[2]＝2，[3.7]＝3，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次【答案】3【分析】根據(jù)題意可得109→第一次109=10→第二次10=3【詳解】解：根據(jù)題意得：109→第一次109=10→第二次10=3∴對(duì)109只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，明確題意，準(zhǔn)確理解[a]的含義是解題的關(guān)鍵．【變式13-3】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)四位自然數(shù)n，若n滿(mǎn)足千位上的數(shù)字等于個(gè)位上的數(shù)字，百位上的數(shù)字等于十位和個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱(chēng)n為“加油數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“加油數(shù)”n，將n的百位數(shù)字記為x，百位數(shù)字與十位數(shù)字的積記為y，令Fn例如：當(dāng)n=1541時(shí)，∵1=1且5=4+1，∴1541是“加油數(shù)”：此時(shí)x=5，y=5×4=20，F(xiàn)1541=3×52?20=55；當(dāng)n=3213(1)請(qǐng)判斷2422，1531是否是“加油數(shù)”、并說(shuō)明理由；如果是，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的Fn(2)己知m是個(gè)位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字的“加油數(shù)”，將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和記為Gm，若

能被4整除，求m的所有可能值．【答案】(1)2422是“加油數(shù)”，1531不是“加油數(shù)”，理由見(jiàn)解析；F(2)1431、1871、2862、3853【分析】（1）根據(jù)題干所給的方法直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)m=1000a+100(a+b)+10b+a，求出F（m），結(jié)合材料求出G（m），進(jìn)而求得FmGm=a+b（1）當(dāng)n=2422時(shí)，∵2=2且4=2+2，∴2422是“加油數(shù)”，此時(shí)x=4，y=4×2=8，F(xiàn)2422當(dāng)n=1531時(shí)，∵1=1但5≠3+1，∴1531不是“加油數(shù)”；（2）設(shè)m=1000a+100(a+b)+10b+a=1101a+110b，其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤a+b≤9，a<b，且a、b為整數(shù)，∴1≤a≤4，則x=a+b，y=(a+b)b，∴FmGm∴Fm若Fm當(dāng)a=1時(shí)，滿(mǎn)足條件的b=3或7，此時(shí)a+b=4或8，∴m=1101a+110b=1431或1871；當(dāng)a=2時(shí)，滿(mǎn)足條件的b=6，此時(shí)a+b=8，∴m=1101a+110b=2862；當(dāng)a=3時(shí)，滿(mǎn)足條件的b=5，此時(shí)a+b=8，∴m=1101a+110b=3853；當(dāng)a=4時(shí)，沒(méi)有b滿(mǎn)足條件，綜上所述，m的所有可能值為1431、1871、2862、3853．

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“加油數(shù)”的定義表示出四位數(shù)m，再結(jié)合題意因式分解化簡(jiǎn)討論即可．【考點(diǎn)14實(shí)數(shù)的運(yùn)算】【例14】（2022·河南信陽(yáng)·七年級(jí)期末）計(jì)算：(1)?2(2)1?【答案】(1)?38(2)5【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先化簡(jiǎn)每一個(gè)絕對(duì)值，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：?2=?8×4+(?4)+=?32?4+=?383（2）解：1?=2=5?1【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵．【變式14-1】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期中）計(jì)算：?12021【答案】1?【分析】根據(jù)冪的計(jì)算，算術(shù)平方根、立方根、絕對(duì)值化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：?1＝﹣1﹣2﹣(﹣2)+2﹣3＝﹣1﹣2+2+2﹣3

＝1﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的計(jì)算、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、立方根、絕對(duì)值化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式14-2】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)?3(2)7?2(3)1+(4)?4【答案】(1)9(2)?π(3)?(4)?11+【分析】（1）根據(jù)立方根的定義和算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義、算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可；（3）根據(jù)立方根的定義和算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的乘方、立方根、算術(shù)平方根的定義、絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：原式=?=2+5+2=9；（2）解：原式=7?=?π；（3）解：原式=1+=?2+

=?15（4）解：原式=?16+4?=?16+4+3+=?11+2【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、絕對(duì)值的意義、有理數(shù)的乘方，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握定義和運(yùn)算法則．一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根；如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做【變式14-3】（2022·遼寧鞍山·七年級(jí)期中）計(jì)算(1)0.04(2)?【答案】(1)－2.3(2)2【分析】（1）由算術(shù)平方根、立方根的定義進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）由乘方、立方根、絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案．（1）解：0.04=0.2+(?2)?=?2.3；（2）解：?=?8÷=2?3+2+=2．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行計(jì)算

【考點(diǎn)15實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律探究】【例15】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)七年級(jí)期中）已知C32=3×21×2=3，C53A．56 B．54 C．52 D．50【答案】A【分析】根據(jù)題意，得出對(duì)于Cab(b<a)來(lái)講，等于一個(gè)分式，其中分母是從1到b的b個(gè)數(shù)相乘，分子是從a【詳解】解：∵C32=3×21×2∴C8故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是利用已知得出分子與分母之間的規(guī)律，利用規(guī)律進(jìn)行求解．【變式15-1】（2022·貴州銅仁·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）觀察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示這組數(shù)的和是__________．【答案】2【分析】由2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2，得到2＋22【詳解】解：∵2＋