數(shù)學(xué)-專項(xiàng)09 二次函數(shù)與胡不歸綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）（帶答案）

專題09二次函數(shù)與胡不歸綜合應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，P點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則2OP+AP的最小值為．【答案】6【解答】解：連接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如圖，∵y＝0時(shí)，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴B的坐標(biāo)為（2，0），∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，∴A的坐標(biāo)為（，3），∴OA＝＝2，而AB＝AO＝2，∴AB＝AO＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠OAP＝30°，∴PH＝AP，∵AP垂直平分OB，∴PO＝PB，∴OP+AP＝PB+PH，當(dāng)H、P、B共線時(shí)，PB+PH的值最小，最小值為BC的長(zhǎng)，而BC＝AB＝3，∴2OP+AP＝2（OP+AP）的最小值為6．故答案為：6．

2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣2），與x軸分別交于點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)A，且tan∠CAO＝1．（1）求拋物線解析式．（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使PC+PD值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．版權(quán)所有【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），∴OC＝2，∵tan∠CAO＝1，∴＝1，∴OA＝2，A（﹣2，0），將A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）存在一點(diǎn)Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：過A作AM∥BC交y軸于M，交拋物線于Q，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，作直線AM'交拋物線于Q'，如圖：

∵AM∥BC，∴∠QAB＝∠ABC，即Q是滿足題意的點(diǎn)，∵B（3，0），C（0，﹣2），∴直線BC解析式是y＝x﹣2，設(shè)直線AM解析式為y＝x+m，將A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，∴m＝，∴直線AM解析式為y＝x+，M（0，），解得（與A重合，舍去）或，∴Q（5，），∵M(jìn)、M'關(guān)于x軸對(duì)稱，∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），∴Q'是滿足題意的點(diǎn)，設(shè)直線AQ'為y＝kx﹣，將A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，∴k＝﹣，∴直線AQ'為y＝﹣x﹣，解得（舍去）或，

∴Q（1，﹣2）；綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)是（5，）或（1，﹣2）；（3）在y軸上存在一個(gè)點(diǎn)P，使PC+PD值最小，理由如下：過P作PH⊥AC于H，過D作DH'⊥AC于H'，交y軸于P'，如圖：∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴拋物線對(duì)稱軸是直線x＝，∴D（，0），∵OA＝OC＝2，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OCA＝45°＝∠OAC，∴△PCH是等腰直角三角形，∴PH＝PC，∴PC+PD最小即是PH+PD最小，∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P'，H和H'重合時(shí)，PC+PD的最小，最小值是DH'，∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，∴△ADH'是等腰直角三角形，∴DH'＝AD，∵A（﹣2，0），D（，0），∴AD＝，∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．

3．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P（x，y）在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)F為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B和D），連接AF．是否存在點(diǎn)F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．版權(quán)所有【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，解得y＝3，∴D（﹣5，3），把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)E，∴E（0，），由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），由S△BCD＝S△ABP，∴CE?|xB﹣xD|＝AB?|yP|，∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，

∴|yP|＝，∴yP＝±，∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣），∴yP＝，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）存在點(diǎn)F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：過點(diǎn)D作DM平行于x軸，故∠BDM＝30°，過F作FH⊥DM于H，∴sin30°＝＝，∴HF＝DF，∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，即AH⊥DM時(shí)，2AF+DF取最小值，∵A（﹣2，0），∴F（﹣2，2），∵D（﹣5，3），∴AH＝3，∴2AF+DF的最小值為6．4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x+7經(jīng)過點(diǎn)A、C，點(diǎn)M是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求PM+AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，∴A（﹣7，0），B（1，0）；（2）過P作PN⊥x軸于N，交AC于M，如圖：拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣3，在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，∴C（0，7），∴AC＝＝7，∴sin∠CAB＝＝＝，在Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠CAB＝AM，

∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂線段最短可知PM+AM的最小值即為PN的長(zhǎng)，∵點(diǎn)P，C（0，7）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝﹣3對(duì)稱，∴PN與OC關(guān)于拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對(duì)稱軸直線x＝﹣3對(duì)稱，P（﹣6，7），∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值為7，由A（﹣7，0），C（0，7）得直線AC解析式為y＝x+7，在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，∴M（﹣6，）；5．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點(diǎn)，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若M為線段AO上任意一點(diǎn)，求MC+AM的最小值．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，∴x1?x2＝﹣2c，∵tan∠CAB?tan∠CBA＝1，即＝1，∴OC2＝OA?OB＝（﹣x1）?x2＝2C，即c2＝2c，解得c1＝0（舍去），c2＝2，

∴拋物線y＝﹣x2﹣x+2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，故點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（1，0）；（2）△PAC的內(nèi)切圓圓心正好落在x軸上，則x軸為∠CAP的角平分線，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（0，﹣2），設(shè)直線AC'的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，得，解得，∴直線AC'的解析式為y＝x﹣2，聯(lián)立拋物線與直線得，解得，，故點(diǎn)P坐標(biāo)（2，﹣3）；（3）過點(diǎn)A作直線AD，使sin∠OAD＝，過點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，如圖，

在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，∴ME＝AM，∴MC+AM＝MC+ME，當(dāng)點(diǎn)M、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，MC+ME最小為CE，∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，∴∠EAM＝∠OCM，在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，∴tan∠OCM＝＝＝，cos∠OAD＝＝，∴OM＝1，CM＝，∴AM＝4﹣1＝3，在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，∴EM＝3?sin∠OAD＝，∴MC+ME＝+＝．故MC+AM的最小值．6．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝OA．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)E（m，n）為拋物線上的一點(diǎn)，且0＜m＜6，連接AE，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P．點(diǎn)F為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，當(dāng)PA＝2PE時(shí)，求

EF+BF的最小值．版權(quán)所有【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝OA，∴OC＝3，即C（0，3），將C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；（2）過E作EH⊥x軸于H，交BC于F'，過F作FQ⊥x軸于Q，如圖：∵y＝﹣x2+x+3對(duì)稱軸為直線x＝2，∴P橫坐標(biāo)為2，即ON＝2，∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，∵AP＝2PE，

∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E橫坐標(biāo)為4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，∴E（4，3），由（1）可