6.2平面向量的運(yùn)算（十二大題型）（講義）（原卷版）

6．2平面向量的運(yùn)算【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線．這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝蓚€(gè)向量的和是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二：向量求和的多邊形法則及加法運(yùn)算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有2、向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識(shí)點(diǎn)三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當(dāng)不共線時(shí)，；（2）當(dāng)同向且共線時(shí)，同向，則；（3）當(dāng)反向且共線時(shí)，若，則同向，；若，則同向，．知識(shí)點(diǎn)四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩種方法給出的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的．（2）對(duì)于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）．利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．（2）利用相反向量作圖，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．知識(shí)點(diǎn)五：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；②當(dāng)時(shí)．的方向與的方向相反；③當(dāng)時(shí)，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實(shí)數(shù)與向量積的定義知，實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=，與互為相反向量；當(dāng)時(shí)，=．實(shí)數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識(shí)點(diǎn)六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識(shí)點(diǎn)七：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個(gè)非零向量，，，作如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定．（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因?yàn)槠渲杏锌赡転?．2、投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為；當(dāng)=180時(shí)投影為．3、投影向量是一個(gè)向量，當(dāng)對(duì)于任意的，都有．知識(shí)點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以．知識(shí)點(diǎn)九：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別的或4、5、知識(shí)點(diǎn)十：向量數(shù)量積的運(yùn)算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、已知實(shí)數(shù)、、（），則．但是；2、在實(shí)數(shù)中，有，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【典型例題】題型一：向量加法法則【例1】（2024·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，已知，求作.(1)；(2)【變式11】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量(1)求作(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值．【變式12】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【變式13】（2024·山東濟(jì)寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點(diǎn)，作出；(2)以B為始點(diǎn)，作出；(3)若圖表中小正方形邊長(zhǎng)為1，求、．【方法技巧與總結(jié)】向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則（1）首尾相接（2）適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半平行四邊形法則（1）共起點(diǎn)（2）僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和題型二：向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用【例2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的是.(填序號(hào))【變式21】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn).（1）；（2）；（3）；（4）.【變式22】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）.【變式23】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：.【方法技巧與總結(jié)】向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則（1）意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的．實(shí)際上，由于向量的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行．（2）應(yīng)用原則：通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．題型三：向量加法的實(shí)際應(yīng)用【例3】（2024·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（

）A．向東北方向航行B．向北偏東方向航行C．向正北方向航行D．向正東方向航行【變式31】（2024·山西陽(yáng)泉·高一統(tǒng)考期末）菱形中，，若，則（

）A． B． C． D．【變式32】（2024·云南·高一統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)人騎自行車(chē)由A地出發(fā)到達(dá)B地，然后由B地出發(fā)到達(dá)C地，則這個(gè)人由A地到C地位移的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【變式33】（2024·河南·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正六邊形中，（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟（1）表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題．（2）運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題．（3）還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題．題型四：向量的減法運(yùn)算【例4】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，，，，試作出下列向量并分別求出其長(zhǎng)度.(1)；(2)【變式41】（2024·高一課前預(yù)習(xí)）已知?，用向量減法作出+.(1)(2)【變式42】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量，，，求作向量．【變式43】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量，，求作向量．【方法技巧與總結(jié)】求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路（1）可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如，可以先作，然后作即可．（2）可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量．題型五：向量減法法則的應(yīng)用【例5】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)（1）（2）；（3）＋．【變式51】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）.【變式52】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）化簡(jiǎn)(1)；(2)．【變式53】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）化簡(jiǎn)(1)；(2)．【方法技巧與總結(jié)】（1）向量減法運(yùn)算的常用方法（2）向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式①首尾相連且為和．②起點(diǎn)相同且為差．解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)注意逆向應(yīng)用．題型六：向量的線性運(yùn)算【例6】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【變式61】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向量．(1)；(2)．【變式62】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)．【變式63】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2).【方法技巧與總結(jié)】向量線性運(yùn)算的基本方法（1）類(lèi)比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類(lèi)項(xiàng)”、“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．（2）方程法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．題型七：用已知向量表示其他向量【例7】（2024·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）在中，為邊上的中線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【變式71】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【變式72】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．【變式73】（2024·遼寧錦州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在等腰梯形中，，，若，，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】用已知向量表示其他向量的兩種方法（1）直接法（2）方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．題型八：向量共線的判定及應(yīng)用【例8】（2024·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是不共線的向量，且，則（

）A．A、B、D三點(diǎn)共線 B．A、B、C三點(diǎn)共線C．B、C、D三點(diǎn)共線 D．A、C、D三點(diǎn)共線【變式81】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知（不共線），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【變式82】（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知，是平面內(nèi)的一組基底，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【變式83】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）判斷三點(diǎn)是否共線.(1)已知兩個(gè)非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點(diǎn)共線.(2)已知任意兩個(gè)非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【方法技巧與總結(jié)】（1）證明或判斷三點(diǎn)共線的方法一般來(lái)說(shuō)，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)，使得（或等）即可．（2）利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．題型九：三點(diǎn)共線的常用結(jié)論【例9】（2024·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤鐖D所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別與邊、交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)、與點(diǎn)、不重合），設(shè)，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此時(shí)，的值．【變式91】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，中，AB邊的中點(diǎn)為P，重心為G．在外任取一點(diǎn)O，作向量，，，，．(1)試用，表示．(2)試用，，表示．【變式92】（2024·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知，若，則，.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用判斷三點(diǎn)共線的一個(gè)常用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線，為直線外一點(diǎn)存在實(shí)數(shù)x，y，使，且．題型十：求兩向量的數(shù)量積【例10】（2024·四川眉山·高一?？计谀┤鐖D，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，令，.(1)試用表示向量；(2)求的值.(3)延長(zhǎng)線段交于，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.【變式101】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知向量與的夾角為，且，求：(1)；(2)．【變式102】（2024·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）在△中，已知，，在線段上，且，設(shè)，．(1)用向量，表示；(2)若，求和．【變式103】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【方法技巧與總結(jié)】求平面向量數(shù)量積的方法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合以上條件．題型十一：向量的模和夾角的計(jì)算問(wèn)題【例11】（2024·河南鶴壁·高一