廣西貴港市2018屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學(理)試題+Word版含解析

貴港市2018屆高中畢業(yè)班12月聯(lián)考理科數(shù)學第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，若，，則集合中的元素個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】結合交集的結果可知：，且，結合交集的結果可得：，綜上可得：，集合中的元素個數(shù)為4.本題選擇C選項.2.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖所示，設水深為尺，由題意可得：，求解關于實數(shù)的方程可得：，即水深為尺，又葭長為尺，則所求問題的概率值為.本題選擇A選項.3.若復數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由復數(shù)模的定義有：，則：.本題選擇D選項.4.已知等差數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前10項和等于（）A.90B.150C.440D.880【答案】C【解析】本題考查等差數(shù)列的定義，通項公式和前n項和公式及數(shù)列的基本運算.設公差為則所以于是.，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項和等于故選C5.正數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C則：.本題選擇C選項.A.20B.21C.35D.56【答案】C【解析】閱讀流程圖，程序運行如下：；；；；；；則輸出值為.本題選擇C選項.9.已知函數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A.在上單調遞減B.在上單調遞減C.在上單調遞增D.在上單調遞增【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式有：，函數(shù)為奇函數(shù)，則當時：，令可得：，即函數(shù)的解析式為：，結合函數(shù)的性質可得：函數(shù)在區(qū)間上不具有單調性，在區(qū)間上單調遞減.本題選擇B選項.10.直線與拋物線相交于兩點，拋物線的焦點為，設，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設，若，則，，則，，故：，若，同理可得：.本題選擇A選項.點睛：(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．11.若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意結合對數(shù)的運算法則有：，由對數(shù)函數(shù)的單調性有：，整理可得：，由恒成立的條件有：，其中，當且僅當時等號成立.即時，函數(shù)取得最小值.綜上可得：.本題選擇D選項.12.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，當時，，記數(shù)列的前項和為，當時，的值為（）A.7B.6C.5D.4【答案】D【解析】由題意結合函數(shù)的解析式可得：，求解方程組有：.則函數(shù)的解析式為：，當時，，則：，由可得：.本題選擇D選項.點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.向量，，則__________．【答案】5【解析】由題意可得：，則：.14.已知不等式組表示的平面區(qū)域為，若直線與平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，直線恒過定點，則滿足條件的直線介于直線與直線之間.點的坐標，，其中，即實數(shù)的取值范圍是.點睛：目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)問題的實際意義注意轉化成“直線的斜率”、“點到直線的距離”等模型進行討論研究。當參數(shù)在線性規(guī)劃問題的約束條件中時，作可行域要注意應用“過定點的直線系”知識，使直線“初步穩(wěn)定”，再結合題中的條件進行全方面分析才能準確獲得答案.15.設雙曲線的右焦點為，則到漸近線的距離為__________．【答案】1【解析】結合雙曲線的方程可得：，則：，右焦點坐標為，一條漸近線方程為：，即：，則右焦點到漸近線的距離為：.16.如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，則下列結論中正確結論的序號是__________．①；②直線與平面所成角的正弦值為定值；③當為定值，則三棱錐的體積為定值；④異面直線所成的角的余弦值為定值.【答案】①③【解析】連接，交于點.很明顯平面，而平面，①正確；由AC⊥平面BB1D1D，得OE是AE在平面BB1D1D上的射影,所以∠AEO是直線AE與平面DBB1D1所成角,由于AE不是定值,所以②不正確;由于點B到直線B1D1的距離不變,故△BEF的面積為定值,又點A到平面BEF的距離為,故三棱錐E-ABF的體積為定值,故③正確;當E在D1,F在B1,此時異面直線AE,BF所成的角為,故④不正確;應填:①③.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.在中，分別是內角的對邊，且，.（1）求邊的值；（2）求的周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)由題意結合兩角和差正余弦公式和余弦定理可得.(2)由題意結合余弦定理有，結合均值不等式等號成立的條件可知的周長的最大值為.試題解析：（1）由得.∴，即.由正弦定理得，故.（2）由余弦定理得，.∴，∴.所以當時，的周長的最大值為.18.2018年全國數(shù)學奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽，學生如果其中2次成績達全區(qū)前20名即可進入省隊培訓，不用參加其余的競賽，而每個學生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定：若前4次競賽成績都沒有達全區(qū)前20名，則第5次不能參加競賽.假設某學生每次成績達全區(qū)前20名的概率都是，每次競賽成績達全區(qū)前20名與否互相獨立.（1）求該學生進入省隊的概率.（2）如果該學生進入省隊或參加完5次競賽就結束，記該學生參加競賽的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)由題意結合對立事件概率公式可得：該學生進入省隊的概率為；(2)由題意可知的可能取值為2,3,4,5，求解相應的概率值得到分布列，結合分布列計算可得的數(shù)學期望為.試題解析：（1）記“該生進入省隊”的事件為事件，其對立事件為，則.∴.（2）該生參加競賽次數(shù)的可能取值為2,3,4,5.，，..故的分布列為：.19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為菱形，，，過作平面與直線平行，交于.（1）求證：為的中點；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：(1)由題意結合線面平行的判定定理可證得平面，結合幾何關系即可證得為的中點；(2)由題意作出二面角的平面角，結合幾何關系計算可得二面角的余弦值為.試題解析：（1）證明：連結，設，連接，則為的中點，且面面，∵平面，∴，∴為的中點.（2）∵，∴底面，∴.又∵，，∴平面.過點作的垂線，交于，連接.∵，∴，∴為所求的平面角.，∴，又，∴.∴，∴二面角的余弦值為.點睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20.橢圓的右焦點為，過作圓的切線交軸于點，切點為線段的中點.（1）求橢圓的方程；（2）曲線與橢圓交于四點，若這四個點都在同一個圓上，求此圓的圓心坐標.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)由題意可得，.則橢圓的方程為；(2)設出點的坐標，結合幾何體的對稱性和點差法計算可得圓心坐標為.試題解析：（1）由已知得，且，∴，∴.所以橢圓的方程為；（2）由曲線知曲線的圖象關于軸對稱，又橢圓的圖象也是關于軸對稱，所以圓心在軸上，設圓心為，曲線與橢圓在一、四象限交于，兩點，則，.把代入得，∴，又由得，即，∵，∴，∴.所以此圓的圓心坐標為.21.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）證明：對任意時，.【答案】（1）時，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，時，遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】試題分析：(1)對函數(shù)求導有，分類討論有：時，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，時，遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；(2)由題意結合(1)的結論有.結合題意利用放縮法即可證得題中的不等式.試題解析：（1），，①若，當時，，當時，.所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；②若，當時，，當或時，，所以的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；（2）證明：當時，由（1）知在處取得最小值，∴，即，當時，恒有.∴.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極點和直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合的極坐標系中，圓的極坐標方程為.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若直線與曲線相交于兩點，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(2)聯(lián)立直線與二次曲線的方程，結合弦長公式計算可得的值是.試題解析：（1）圓的直角坐標方程為，直線的一般方程為，∴，∴；（2）曲線的一般方程為，代入得，∴，，∴.23.已知函數(shù).（1）求證：；（2）解不等式.【答案】（1）見解析（2）【解