2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）（解析版）

2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）

1.計(jì)算：3-5=（）

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可.

【詳解】解：3-5=-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法法則，熟知：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A心CO

c?S

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱

圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部

分重合.

3.如圖，/〃AB,ZA=2Zβ?若Nl=IO8°,則N2的度數(shù)為（）

1

/X

AB

A.360B.460C.720D.820

【答案】A

【解析】

【分析】由對(duì)頂角相等可得N3=Nl=108°,再由平行線的性質(zhì)可求得NA=72。，NB=N2,結(jié)合已知

條件可求得/6,即可求解.

ΛZ3=Z1=108O.

`:I//AB,

.?.Z3+ZA=180o,N2=ZB，

.?.ZA=180。-/3=72°,

ZA=2ZB,

.-.ZB=36°,

.?.N2=36°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

4.計(jì)算：6xy2.(_gx3y3)=()

A.3∕y5B.-3x4y5C.3x3y6D.-3x3y6

【答案】B

【解析】

【分析】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：6xy2-（-→3y3

=-3∕y5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

【解析】

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到函數(shù)y="和y=χ+α的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限，本

題得以解決.

【詳解】解：；。＜0,

.?.函數(shù)y=αr是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，經(jīng)過(guò)第二、四象限，

函數(shù)y=χ+α是經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的直線，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用正比例函數(shù)和一

次函數(shù)的性質(zhì)解答.

6.如圖，OE是-ABC的中位線，點(diǎn)尸在上，DF=IBF.連接E尸并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于

點(diǎn)M.若BC=6,則線段CM的長(zhǎng)為（）

A

1315

A.—B.7C.—D.8

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得。七〃BC,求出。E，進(jìn)而證得ADEES.根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)求出BM，即可求出結(jié)論.

【詳解】解：DE是ABC的中位線,

.?.DE//BC,DE=—BC=-×6-3,

22

.?.,DEFSABMF,

DEDF2BF

=2,

BMBFBF

3

：.BM，

2

15

：.CM=BC+BM

~2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似

三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖

①）的形狀示意圖.AB是。的一部分，。是AB的中點(diǎn)，連接0。，與弦AB交于點(diǎn)C，連接。4,

0B.已知A3=24cm,碗深CD=8cm,則OO的半徑為（）

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出ODLAB，AC=BC=^AB=Ucm,再設(shè)。的半徑為RCm,

則OC=(H—8)cm.在RtQ4C中根據(jù)勾股定理列出方程R2=12?+(R—8)2,求出R即可.

【詳解】解：AB是L。的一部分，。是AB的中點(diǎn)，AB=24cm,

.?,OD±AB，AC=BC=?AB=12cm.

2

設(shè)fO的半徑OA為Rcm,則OC=OD-CD=(R-8)Cm.

在RtQ4C中，?.?NOC4=90°,

.-.OA2=AC2+OC2>

2

:.R=12?+(A-8)2,

.?.R=13,

即(O的半徑(M為13cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)：O的半徑Q4為HCm,列出關(guān)于R的方程是解題的

關(guān)鍵.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=V+〃比+m2一機(jī)(用為常數(shù))的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,6),其對(duì)稱軸在y

軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有()

A.最大值5B.最大值"C.最小值5D.最小值”

44

【答案】D

【解析】

【分析】將(0,6)代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出加值，再利用對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，得出m=3,再利

用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)最值.

【詳解】解：將代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=∕2—加得：=m2-加，解得：仍

(0,6)χ2+∕nr+726=3,m,=-2,

b

;二次函數(shù)y=無(wú)2+〃優(yōu)+〃/一〃?，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，即X=-----=-----<0,

Ia2

.*.m>0,

機(jī)=3,

2is

.?.當(dāng)X=-二時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為一，

34

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出加的值是解題關(guān)鍵.

二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）

9.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示G，點(diǎn)8與點(diǎn)A位于原點(diǎn)兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等.則點(diǎn)B表示的數(shù)是

-3-2-1O123

【答案】—百

【解析】

【分析】由絕對(duì)值的定義，再根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)即可得出答案.

【詳解】解：由題意得：點(diǎn)B表示的數(shù)是-6.

故答案為：-百.

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的意義，掌握絕對(duì)值的意義是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AB、Co相交于點(diǎn)E.則線段BE的長(zhǎng)為—.

【答案】2+√2

【解析】

【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEG尸是矩形，ΛACE,ABFG是等腰直角三角形，

AC=CF=fB=EG=2,再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出AE,GE,BG即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)/作RGlAB于G,由題意可知，四邊形CEG尸是矩形，?ACE.BFG是等

腰直角三角形，AC=CF=FB=EG=2,

在RtACE中，AC=2,AE=CE,

：.AE=CE=立AC=O,

2

同理BG=J5，

.?.BE=EG+BG=2+也,

故答案為：2+&-

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

11.點(diǎn)E是菱形A88的對(duì)稱中心，NB=56°,連接AE，則上84七的度數(shù)為-.

【答案】62°

【解析】

【分析】連接3￡，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義得出點(diǎn)E是菱形ABe。的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)

得出AE_L8￡，NABE=LNABC=28。，那么Zfi4E=90°-ZABE=62。.

2

點(diǎn)E是菱形ABCO的對(duì)稱中心，ZABC=56°,

■■點(diǎn)E是菱形ABCr）的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，

.-.AElBE,ZABE=LzABC=28。，

2

.?./BAE=900-ZABE=62°.

故答案為：62°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形是中心對(duì)稱圖形，兩對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心，掌握菱形的兩條對(duì)角

線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在矩形OLBC和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C,F均在X軸正半軸上，點(diǎn)。在

邊BC上，BC=2CD,AB=3.若點(diǎn)B,E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是

X

【解析】

【分析】設(shè)正方形CoEp的邊長(zhǎng)為"?，根據(jù)BC=2CD,AB=3,得到B(3,2m),根據(jù)矩形對(duì)邊相等得

到0C=3,推出￡(3+〃?,")，根據(jù)點(diǎn)B,E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，得到3χ2m=(3+m)m,得

1Q

到加=3,推出y='.

X

【詳解】解：V四邊形Q4BC是矩形，

.*.OC=AB=3，

設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為m,

CD=CF=EF=m，

???BC=2CD,

.*.BC=2m，

：.B(3,2∕n),E(3+m,m),

k

設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=—,

X

.*.3×2m=(3+fn)m,

解得加=3或加=0(不合題意，舍去),

ΛB(3,6),

.*.Z=3x6=18,

1Q

???這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=’,

X

1Q

故答案為：y=-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì),

々的幾何意義.

13.如圖，在矩形ABCo中，AB=3,BC=A.點(diǎn)E在邊AO上，且ED=3,M、N分別是邊A3、

BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN,P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN.若PM+PN=4.則線段PC

【答案】2近

【解析】

【分析】由題意知.CDE是等腰直角三角形，作點(diǎn)N關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)N',則N'在直線CDk,連接PN',

PN=PN',PM+PN=4.即PΛ1+PN'=4,BC=4,BM=BN,所以此時(shí)M、P、N'三點(diǎn)共線

且肱V'〃AO,點(diǎn)尸在W的中點(diǎn)處，PM=PN'=2,可求出PC=2j5?

【詳解】解：DE=AB=CD=3,

CDE是等腰直角三角形,

作點(diǎn)N關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)N',則N'在直線上，連接PN',如圖:

PM+PN=4.

PM+PN'=4=BC,即MN'=4,

此時(shí)M、P、N'三點(diǎn)共線且W〃AD,點(diǎn)P在肱V'的中點(diǎn)處,

：.PM=PN'=2,

:.PC=20?

故答案為：2j∑?

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共13小題，計(jì)81分.解答應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程)

3r-5

14.解不等式：士—>2x?

2

【答案】x<-5

【解析】

【分析】去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可.

3r-5

【詳解】解：與二>2x,

2

去分母，得3x-5>4x,

移項(xiàng)，得3x-4x>5,

合并同類項(xiàng)，得一x>5,

不等式的兩邊都除以T，得％<-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.

15.計(jì)算：?/?×VlOj—(―)l+∣-23∣.

【答案】-5√2+l

【解析】

【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)事的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出

答案.

【詳解】解：原式=-5&-7+|-8|

=—50—7+8

=-5√2+1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

3。-L]÷2

16.化簡(jiǎn):

a1-1a-?)α+l

1

【答案】

【解析】

【分析】先算括號(hào)里的運(yùn)算，把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可.

2.(1—1

【詳解】解:

α+l

3aa+?a+l

(α+l)(α—1)(α+l)(α-1)2a-1

3d—a—1α+1

(α+l)(α-1)2a-1

2αT,]

a—12α—1

1

^0≡T-

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

17.如圖.已知銳角ABC,NB=48°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P.使PB=PC.且

NPBC=24。.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

分析】先作/A3C的平分線BD,再作BC的垂直平分線/,直線/交30于P點(diǎn)，則P點(diǎn)滿足條件.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性

質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

18.如圖，在-ABC中，ZB=50o,NC=20°.過(guò)點(diǎn)A作AELBC,垂足為E,延長(zhǎng)E4至點(diǎn)￡>.使

AD=AC.在邊AC上截取A尸=AB，連接。E?求證：DF=CB.

D

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得NCAB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】證明：在一ABC中，ZB=50o,NC=20。，

.?.ZCAB=180o-ZB-ZC=110o.

AElBC.

.-.ZAEC=90°.

:./DAF=ZAEC+NC=Il0。，

"DAF=NCAB.

在ADAF和ACAB中，

"AD=AC

<ZDAF=ZCAB,

AF=AB

.?..DAF^CAB(SAS).

:.DF=CB.

【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

19.一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1,1,2,3,這些小球除標(biāo)

有的數(shù)字外都相同.

(1)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為；

(2)先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小

球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶

數(shù)的概率.

【答案】⑴?

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)

字是1的概率；

（2）根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，然后即可求出摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得，數(shù)字1,1,2,3中，數(shù)字I有2個(gè)，

所以，從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為2=',

42

故答案為：?；

【小問(wèn)2詳解】

樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

?23

∕√V?∕√V?∕√V?

1123112311231123

兩數(shù)之積1123112322463369

由上可得，一共有16種等可能性，其中兩數(shù)之積是偶數(shù)的可能性有7種，

7

摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率一.

16

【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，求出相

應(yīng)的概率.

20.小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元.已知她買(mǎi)的這種大筆記

本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià).

【答案】8元

【解析】

【分析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是X元，則小筆記本的單價(jià)是（X-3）元，根據(jù)買(mǎi)了一種大筆記

本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，列方程求解.

【詳解】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是X元，則小筆記本的單價(jià)是（％—3）元，

由題意可得4x+6(x-3)=62,

解得：x=8；

答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題.

21.一天晚上，小明和爸爸帶著測(cè)角儀和皮尺去公園測(cè)量一景觀燈(燈桿底部不可到達(dá))的高AB.如圖所

示，當(dāng)小明爸爸站在點(diǎn)。處時(shí)，他在該景觀燈照射下的影子長(zhǎng)為OE，測(cè)得。F=2.4m;當(dāng)小明站在爸爸

影子的頂端F處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角α為26.6°.已知爸爸的身高C0=1.8m,小明眼睛到地面的距離

EF=L6m,點(diǎn)、F、D、8在同一條直線上，EFlFB,CDVFB,ABLFB.求該景觀燈的高AB.(參

考數(shù)據(jù)：sin26.6o≈0.45,cos26.6o≈0.89,tan26.6o≈0.50)

【答案】4.8m

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)E作￡”_LAB，垂足為H,根據(jù)題意可得：EH=FB，EF=BH=ISm,然后設(shè)

EH=FB=xm,在RtZ?AEH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出A4的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)

垂直定義可得NCZ)R=NAjBF=90。，從而證明A字模型相似三角形aCDEsA4BE,最后利用相似三

3

角形的性質(zhì)可得A3=-x,從而列出關(guān)于X的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作E"LAβ,垂足為H,

由題意得：EH=FB，EF=BH=T.6m,

設(shè)E"=尸B=Xm,

在Rt中，NAEH=26.6°,

AH-EHtan26.60≈0.5x(m),

.-.AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m,

CD±FB,ABVFB,

：.ZCDF=ZABF=90°,

ZCFD=ZAFB,

CDFS_ABF,

.CDDF

.?—,

ABBF

.1.82.4

,?=,

ABx

3

/.A,B=—x,

4

3

—X=0.5X+1.6,

4

解得：尢=6.4,

3

/.AS=—x=4.8(m),

?該景觀燈的高AB約為4.8m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用，中心投影，根據(jù)題目的已知

條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

22.經(jīng)驗(yàn)表明，樹(shù)在一定的成長(zhǎng)階段，其胸徑(樹(shù)的主干在地面以上L3m處的直徑)越大，樹(shù)就越高.通

過(guò)對(duì)某種樹(shù)進(jìn)行測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹(shù)的樹(shù)高y(m)是其胸徑x(m)的一次函數(shù).已知這種樹(shù)的胸徑為

0.2m時(shí)，樹(shù)高為20m；這種樹(shù)的胸徑為0.28m時(shí)，樹(shù)高為22m.

(1)求y與X之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)這種樹(shù)的胸徑為0.3m時(shí)，其樹(shù)高是多少？

【答案】(1)y=25%+15

(2)22.5m

【解析】

【分析】(1)設(shè)y="+。仕，0),利用待定系數(shù)法解答即可;

(2)把x=().3代入(1)的結(jié)論解答即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)y=Ax+0(Z≠0),

0.2Z+0=20

根據(jù)題意，得＜

0.28k+0=22

k=25

解之,得《

b=l5

.,.y=25x+15；

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)x=().3m時(shí)，y=25×0.3+15=22.5(m).

當(dāng)這種樹(shù)的胸徑為0.3m時(shí)，其樹(shù)高為22.5m.

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

23.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們從“校園農(nóng)場(chǎng)”中隨機(jī)抽取了20棵西紅柿植株，并統(tǒng)計(jì)了每棵植株上小西

紅柿的個(gè)數(shù).其數(shù)據(jù)如下:28,36,37,39,42,45,46,47,48,50,54,54,54,54,55,60,62,62,

63,64,通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計(jì)圖表：

分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個(gè)數(shù)

25≤Λ<35128

35≤%<45n154

45≤X<559452

55≤%<656366

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：這20個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；

(2)求這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(3)“校園農(nóng)場(chǎng)“中共有300棵這種西紅柿植株，請(qǐng)估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù).

【答案】(1)54,見(jiàn)解析

(2)50(3)15000個(gè)

【解析】

【分析】(1)用總數(shù)減去其它三組的頻數(shù)可得的值，進(jìn)而補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，然后根據(jù)眾數(shù)的定義解答

即可;

（2）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式解答即可;

（3）用300乘（2）的結(jié)論可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得，“=20—1—9—6=4,

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下

這20個(gè)數(shù)據(jù)中，54出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為54.

故答案為：54；

【小問(wèn)2詳解】

1

X=×(28+154+452+366)=50.

20

這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是50；

小問(wèn)3詳解】

所求總個(gè)數(shù)：50×300=15000（個(gè)）.

估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù)是15000個(gè).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，用樣本估計(jì)總體，眾數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，解決此題

的關(guān)鍵是明確頻率=頻數(shù)÷總數(shù).

24.如圖，_ABC內(nèi)接于GO,ZfiAC=45°,過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線，交，。于點(diǎn)。，并與C4的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)E，作B尸工4C,垂足為交（。于點(diǎn)尸.

(1)求證：BD=BC;

(2)若(。的半徑r=3,BE=6,求線段BF的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)26+逐

【解析】

【分析】(1)如圖，連接。C,根據(jù)圓周角定理得到NBDC=/BAC=45°,求得

ZBCD=900-ZBDC=45°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)如圖，根據(jù)圓周角定理得到Co為「O的直徑，求得CZ)=2r=6?根據(jù)勾股定理得到

EC=y∣BE2+BC2=Jβ2+(3√2)2=3√6，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

則NβQC=NBAC=45。，

BDlBC,

:.NBCD=90o-ZBDC=45°，

.?.ZBCD=ZBDC.

BD=BC；

【小問(wèn)2詳解】

如圖，NDBC=90。,

.?.C。為。。的直徑，

.,.CD=2r=6.

:.BC=CD-SinZBDC=6×—=3√2，

2

.?.EC=y]BE2+BC2=J62+(3√2)2=3√6，

BFLAC,

：.ZBMC=ZEBC=90°，NBCM=ZBCM，

：.ABCMSMCB.

BCBMCM

ECEBCB

BCEB3√2×6

：.BM2√LCM=虻=Ve,

EC??/eEC3√6

連接b,則NE=NBOC=45°,NMCF=45。,

.?.MF=MC=娓,

.??BF=BM+MF=2&娓.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為48m"

還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案.現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)

圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度ON=I2m,拱高尸E=4m.其中，點(diǎn)N在X軸上，PELON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度ON'=8m,拱高P'E'=6m.其中，點(diǎn)M在X軸上，P'E'±O'N',

OE=EN.

要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì)).方案一中，矩形框架ABCD

的面積記為S∣,點(diǎn)A、。在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'CZ)'的面積記為S?,點(diǎn)

2

A,,在拋物線上，邊B'C'在ON'上.現(xiàn)知，小華己正確求出方案二中，當(dāng)A'3'=3m時(shí)，S2=12√2m,

請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：

方案一方案二

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCO的面積Sl并比較S∣,S?的大小.

J、4

【答案】(1)y=——√+-%

93

2

（2）18m,S,>S2

【解析】

【分析】(I)利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可;

(2)在y=-gχ2+gx中，令y=3得：3=-^?γ2+Jx,求出X=3或x=9,得出BC=9-3=6(m),

求出&=A8?BC=3χ6=18(m2),然后比較大小即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)尸(6,4),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=4(x-6)2+4,

把。(0,0)代入得：0=α(0-6Y+4,

解得：。=一！，

9

1/-?2.124

Λy=——(X-6z)+4=——X"+—X；

?9v793

.?.方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-∣χ2+∣%；

【小問(wèn)2詳解】

解：在y=-'χ2+dχ中，令y=3得：3=—??2+—X,

9393

解得x=3或x=9,

.?.3C=9—3=6(m),

2

.?.S1=AB?BC=3×6=18(m);

<?,18>12√2>

??SI>S,.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法則，求

出函數(shù)解析式.

26.(1)如圖①，在.。鉆中，OA=OB,/408=120。，A6=24.若。的半徑為4,點(diǎn)P在。上，

點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；

(2)如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)8處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)

交通樞紐.已知：NA=NABC=NAED=90°,AB=AE=IO(XX)m,BC=DE=6(XX)m.根據(jù)新區(qū)

的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)(含邊界)修一個(gè)半徑為3()m的圓型環(huán)道(O；過(guò)圓心

。，作OMJ.Afi,垂足為"，與O交于點(diǎn)N.