2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

隨州市2023年初中畢業(yè)升學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間120分鐘滿分120分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形

碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如雷改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試卷上無效.

3.非選擇題作答：用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試

卷上無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)是正確的）

1.實(shí)數(shù)-2023的絕對(duì)值是（）

11

A.2023B.-2023C.-------D.

20232023

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)樨?fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，

所以，-2023的絕對(duì)值等于2023.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的代數(shù)意義，熟練掌握知

2.如圖，直線4〃乙，直線/與4、4相交，若圖中NI=60。，則/2為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行求解，即可得到答案.

【詳解】解：直線4〃4，

.?.Zl+Z2=180o,

Zl=60°,

.?.N2=120°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互

補(bǔ).

3.如圖是一個(gè)放在水平桌面上的圓柱體，該幾何體的三視圖中完全相同的是（）

A.主視圖和俯視圖B.左視圖和俯視圖C.主視圖和左視圖D.三個(gè)視圖均相同

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的定義判斷即可.

【詳解】該幾何體的三視圖中完全相同的是主視圖和左視圖，均為矩形，俯視圖是一個(gè)圓.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的知識(shí)點(diǎn)，主要掌握主視圖、左視圖、俯視圖分別是從物體的前面、左面、上面

看到的圖形是解題的關(guān)鍵.

4.某班在開展勞動(dòng)教育課程調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，第一小組6名同學(xué)每周做家務(wù)的天數(shù)依次為3,7,5,6,5,4

（單位：天），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）

A.5和5B.5和4C.5和6D.6和5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解.

【詳解】解：將數(shù)據(jù)重新排列為3,4,5,5,6,7,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5,中位數(shù)——=5,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小

到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如

果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

5.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米.已知乙工

程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月.若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修X千米,

則可列出方程為（)

91211291912_?12_2_j_

??______—_B.------------=—C.——

Xx+l2x÷lX2x+lX2Xx+l2

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修X千米，則乙工程隊(duì)每個(gè)月修（X+1）千米，根據(jù)“最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)

少半個(gè)月”列出分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修X千米，則乙工程隊(duì)每個(gè)月修（x+l）千米，

依題意得2-」Z=

XX+12

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是分析題意，找準(zhǔn)關(guān)鍵語句，列出相等關(guān)系.

6.甲、乙兩車沿同一路線從4城出發(fā)前往B城，在整個(gè)行程中，汽車離開A城的距離y與時(shí)刻f的對(duì)應(yīng)關(guān)

系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①A,B兩城相距300km；②甲車的平均速度是60km∕h,乙車的平均速度

是10（）km∕h;③乙車先出發(fā)，先到達(dá)B城；④甲車在9:30追上乙車.正確的有（）

A.①②B.①③C.②④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圖象逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：由圖象知:

①A,B兩城相距300km,故此項(xiàng)正確;

②甲車的平均速度是＜%=100(km∕h),乙車的平均速度是型L=60(km∕h),故此項(xiàng)錯(cuò)誤;

③乙車7:00先出發(fā)，12:00才到達(dá)2城，甲車8:()()后出發(fā)，11:00就到達(dá)B城，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；

④兩車在9:30時(shí)，行駛路程一樣，即甲車在9:30追上乙車，故此項(xiàng)正確.

綜上，①④說法正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，正確識(shí)別圖象并能提取相關(guān)信息是解答的關(guān)鍵.

7.如圖，在YABeD中，分別以B，。為圓心，大于,如的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,過

2

M,N兩點(diǎn)作直線交Bo于點(diǎn)O,交AD,BC于點(diǎn)E,F,下列結(jié)論不思佛的是()

A.AE-CFB.DE=BFC.OE=OFD.DE-DC

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可知：EF垂直平分80,得到BD=JDO,于是得到點(diǎn)O為YABCZ)的對(duì)稱中心,

BE=ED,BF=FD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NBEE=N。莊，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

NBFE=NDEF,推出四邊形5陽E是菱形，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)作圖可知：所垂直平分3￡＞，

."?BO=DO,

點(diǎn)。為YABCD的對(duì)稱中心,

?*?BE=ED,BF—FD，

?/FE=EF,

；.-BFE名-DFE(SSS),

.??ZBFE=ZDFE>

；在.ABCD中,AD//BC,AD=BC

，ZBFE=ZDEF>

.?.NDFE=NDEF,

，DE=DF，

：.BE=DE=DF=BF,故B正確；

.*.AD-DE=BC-BF,

：.AE^CF,故A正確；

，四邊形BEDE是菱形，

ΛOE=OF,故C正確；

OE與。C不一定相等，故D錯(cuò)誤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

8.已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流/(單位：A)與電阻R單位：C)是反比例函數(shù)關(guān)系,

它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為6Ω時(shí)，電流為()

A.3AB.4AC.6AD.8A

【答案】B

【解析】

k?4

【分析】設(shè)該反比函數(shù)解析式為/=—(AN0)，根據(jù)當(dāng)R=8時(shí)，/=3,可得該反比函數(shù)解析式為/=一,

RR

再把R=6代入，即可求出電流/.

k

【詳解】解：設(shè)該反比函數(shù)解析式為/=天(AN0),

由題意可知，當(dāng)R=8時(shí)，1=3,

34

解得：攵=24,

???設(shè)該反比函數(shù)解析式為I=2J4

R

?二當(dāng)R=6時(shí)，I=—=4,

6

即電流為4A,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

9.設(shè)有邊長分別為α和從。＞〃)的A類和B類正方形紙片、長為。寬為人的C類矩形紙片若干張.如圖所

示要拼一個(gè)邊長為a+8的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片.若要拼一個(gè)長為

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算出長為(3α+0),寬為(2α+20)的大長方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即

可看出應(yīng)當(dāng)需要各類卡片多少張.

【詳解】解：長為(3α+h),寬為(2α+2Z?)的大長方形的面積為：

2

(3α+匕)(2α+2Z?)=6Q2+2b+Sab；

需要6張A卡片，2張8卡片和8張C卡片.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，解題的關(guān)鍵是理解(34+0)(2α+2Λ)結(jié)果中必項(xiàng)的

系數(shù)即為需要C類卡片的張數(shù).

10.如圖，已知開口向下的拋物線丁=依2+法+。與》軸交于點(diǎn)(6,0),對(duì)稱軸為直線x=2.則下列結(jié)論

正確的有()

①ahc<0；

②Q-/7+C>0:

③方程CX2+?x+α=0的兩個(gè)根為玉=g,％2=-9；

26

④拋物線上有兩點(diǎn)尸(Xl,χ)和。(七,必)，若玉<2<々且玉+%2>4,則yl<y2-

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：由拋物線的開口可知：cι<0,由拋物線與y軸的交點(diǎn)可知:c>0,由拋物線的對(duì)稱軸可知:

bcc.

-----=2>O,?*?Z?>O,

2a

：.abc<O,故①正確；

???拋物線y=o√+歷c+c與X軸交于點(diǎn)(6,0),對(duì)稱軸為直線χ=2,

則另一個(gè)交點(diǎn)(—2,0),

.?.χ=-l時(shí)，y>0,

?a-b+c>0^故②正確;

???拋物線y=以2+公+。與K軸交于點(diǎn)(6,0)和(-2,0),

?β?ax2+Zzx+C=O的兩根為6和—2，

bC

Λ6+(-2)=4=――,6×(-2)=-12=-,則8=Ta,C=一12a,

aa

如果方程c￡+bx+α=0的兩個(gè)根為Xl=；,%2=一W成立，

而c=-12α,.'.-W=!

c4

，方程cx2÷bx÷a=O的兩個(gè)根為Xl==~~2不成立，故③不正確；

26

。兩點(diǎn)分布在對(duì)稱軸的兩側(cè)，

VXI<2<X2,ΛP.

(w—2)—(2—XJ=A2—2—2+x∣=(x∣+A?2)一4>O,

即%,到對(duì)稱軸的距離小于巧到對(duì)稱軸的距離，

.,.??>Λ>故④不正確.

綜上，正確的有①②，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=o√+笈+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方

向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與X軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定.

二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分.只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對(duì)

應(yīng)題號(hào)處的橫線上)

11.計(jì)算：(—2)2+(—2)x2=.

【答案】O

【解析】

分析】先算乘方，再計(jì)算乘法，最后算加減.

【詳解】解：(―2)2+(-2)X2=4-4=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.

12.如圖，在匚。中，OA±BC,NAo3=60°,則/4)C的度數(shù)為.

【答案】300##30度

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理得到>8=*C，根據(jù)圓周角定理解答即可.

【詳解】解：?.?O4LBC,

?,?舫=*c，

.?.ZADC=-ZAOB=30°,

2

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

13.已知一元二次方程/-3x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根XI,X2,貝1]?+》2-汨》2的值等于.

【答案】2

【解析】

【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得X∣+X2=3,X1X2=1,然后利用整體代入的方法計(jì)算.

【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：

X∣+X2=3,XLX2=1,

/.x?+X2-XIX2=3-1=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若曾，X2是一元二次方程αχ2+?x+c?=0(α≠0)的兩根時(shí)，x∣+x2

bc

=XX=-.熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

a12a

14.如圖，在RtZVLBC中，ZC=90o,AC=8,BC=6,。為AC上一點(diǎn)，若BO是/ABC的角平

分線，則AD=.

【答案】3

【解析】

【分析】首先證明CD=OP，BC=BP=6,設(shè)Cz)=Pz)=x,在RJAZ)P中，利用勾股定理構(gòu)建方

程即可解決問題.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作AB的垂線，垂足為P，

C

DX\

APB

在RtZVlBC中，?.?AC=8,BC=6,

二AB=√AC2+BC2=√82+62=10>

,/BD是/ABC的角平分線，

ZCBD=ZPBD，

?；NC=ZBPD=90。,BD=BD,

.?..3。&￡80P(AAS),

：.BC=BP=6,CD=PD,

設(shè)CD=Po=%,

在RtqADP中，VPA=AB-BP=A,AD=8-x,

：.%2+42=(8-X)2,

X=3,

.".AD=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

15.某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：

設(shè)有編號(hào)為1-100IOO盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為I-IOo的IOO個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀

態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”.現(xiàn)有100個(gè)人，第1

個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人

把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次.問

最終狀態(tài)為“亮”

的燈共有多少盞？

幾位同學(xué)對(duì)該問題展開了討論：

甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：

乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和

第3個(gè)人共按了2次，……

丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài).

根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有盞.

【答案】10

【解析】

【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-

IOO中，各個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，從而求解.

【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；

因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，I-IOO中，完全平方數(shù)為1,4,9,16,25,36,49,64,

81,100；有10個(gè)數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；

故答案為：10?

【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在矩形ABCz）中，A3=5,4）=4,M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將ZWJM沿直線OM

對(duì)折，得到NDM.當(dāng)射線CN交線段AB于點(diǎn)尸時(shí).，連接。P，則4COP的面積為；DP

的最大值為.

【答案】Φ.10②.2√5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；

（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當(dāng)北最大時(shí)，OP即最大，通過分析點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合勾股定理確定

AP的最值，從而求得Z）P的最大值.

【詳解】解：由題意可得ACDP的面積等于矩形ABeD的一半，

.?.Z?COP的面積為LABAo=LX4x5=10,

22

在Rt-APD中,PD=AD2+AP2>

當(dāng)ΛP最大時(shí)，OP即最大，

由題意可得點(diǎn)N是在以。為圓心4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)射線CN與圓相切時(shí)，AP最大，此時(shí)C、N、M

三點(diǎn)共線，如圖：

AP(M

由題意可得：AD=ND,NMND=NB4。=/B=90°，

.*.ZNDC+ADCN=90o,ADCN+ZMCB=9()°,

.,.ΛNDC=AMCB

?/AD=BC,

：.DN=BC,

：.LNDgABCM，

?,?CN=BM=Ncif-DN?=3,

.?.AP=AB-BP=2,

在R/APO中，PD=y∣AD2+AP2?√42+22?2√5-

故答案為：1()，2√5?

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng),

難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過

程)

42

17.先化簡，再求值：--÷——,其中x=l.

x??^乙—4A%-—C2

2

【答案】

3

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代

入求出答案即可.

4x-2

(Λ+2)(x-2)2

2

x+2'

22

當(dāng)X=I時(shí)，原式=——=-.

1+23

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順

序.

18.如圖，矩形ABCo的對(duì)角線AC,Bz）相交于點(diǎn)。，DEAC,CEBD.

（1）求證：四邊形OCE。是菱形；

（2）若8C=3,OC=2,求四邊形OCEr）的面積.

【答案】（1）見解析（2）3

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得OC=QD,然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理;

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得QeD的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解.

【小問1詳解】

解：VDE//AC,CE//BD,

Λ四邊形OCEZ）是平行四邊形，

又Y矩形ABC。中，OC=OD,

平行四邊形。CEZ）是菱形；

【小問2詳解】

解：矩形ABCr）的面積為BCOC=3x2=6,

13

*'?：OCD的面積為一×6=一,

42

3

.?.菱形OCED的面積為2X—=3.

2

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎(chǔ)題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確

推理論證是解題關(guān)鍵.

19.中學(xué)生心理健康受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對(duì)心理健康知識(shí)的了

解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

扇形統(tǒng)計(jì)圖條形統(tǒng)計(jì)圖

了解了解很少解

根據(jù)圖中信息回答下列問題:

（I）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，條形統(tǒng)計(jì)圖中，”的值為,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非

常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為;

（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的

總?cè)藬?shù)為人；

（3）若某班要從對(duì)心理健康知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加心理健

康知識(shí)競賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率.

【答案】（1）80,16,90°

（2）40（3）恰好抽到2名女生的概率為工.

6

【解析】

【分析】（1）用“基本了解”的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其他項(xiàng)的人

數(shù)，求出“了解很少”的人數(shù)；用360。乘以扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所占的比例即可；

（2）用總?cè)藬?shù)800乘以“不了解”的人數(shù)所占的比例即可；

（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好抽到2名女生的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求

解.

【小問1詳解】

解：接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有4O÷5O%=8O（人）,

m=80-20-40-4=16（人），

20

扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為360。X—=90。；

80

故答案為：80,16,90°；

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意得：

4

800×-=40（人），

80

答：估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為40人;

故答案為：40；

【小問3詳解】

解：由題意列樹狀圖：

開始

男男女女

∕↑????

男女女男女女男男女男男女

由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有12種，恰好抽到2名女生的結(jié)果有2種，

21

，恰好抽到2名女生的概率為F:.

126

【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所

求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡長CD=Io米,

坡角α=30°,小華在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為60。，在。處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為

30°.（已知點(diǎn)A,B,C,。在同一平面內(nèi)，B,C在同一水平線上）

O

O

D

（1）求點(diǎn)。到地面3C的距離；

（2）求該建筑物的高度AB.

【答案】（1）5米（2）15米

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)D作DE_LBC,根據(jù)坡角的概念及含30°直角三角形的性質(zhì)分析求解;

（2）通過證明∕ACD=90°,然后解直角三角形分析求解.

【小問1詳解】

解：過點(diǎn)D作OELBC,

O

O

D

由題意可得Nz)Cε=30°,

...在RjCDE中，OE=LCQ=Lχl0=5,

22

即點(diǎn)D到地面BC的距離為5米；

【小問2詳解】

如圖，

□

□

□

RCE

由題意可得NZ)CE=30°，NAcδ=60°,

.?.∠zACZ>90o,

又，：MN〃BE,

：.ΛMDC=Za=30o,

.?.NADC=60。

?(~?R.AΓL

在RtAcD中，—=tanZADC=,即一^=正，

CD10

解得AC=IOJL

在Rt..ABC中，—=SinZACfi=-，即當(dāng)?=1，

AC2IOG2

解得AB=I5,

答：該建筑物的高度AB為15米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角

三角形是解答此題的關(guān)鍵.

21.如圖，AB是Co的直徑，點(diǎn)E,C在(。上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，AE垂直于過C點(diǎn)的直線。C,

垂足為。，AB的延長線交直線DC于點(diǎn)F.

D

C

Ej

（1）求證：DC是。的切線；

（2）若AE=2,sinZAFD=^,①求。的半徑；②求線段DE的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）①3；②2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到Nc4E=NAC0,推出A?！∣C,

進(jìn)而得到OCLOC,再利用圓的切線的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）①連接5E,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和平行線的判定，得到巫〃Z）F，進(jìn)而得到

ZAFD=ZABE,再利用銳角三角函數(shù)，求得AB=6,即可求出O的半徑；

②利用銳角三角函數(shù)，分別求出M和A￡＞的長，即可得到線段OE的長.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OC,

點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，

：.CE=CB>

.?.ZCAE=ZCAB,

OA=OC,

.-.ZCABZACO,

.?.ZCAE=ZACO,

.?.AD^OC,

ADLDC,

:.OCVDC,

OC是、。的半徑，

.?.oc是。。的切線；

【小問2詳解】

解：①如圖，連接BE,

.?.ZΛEB=90o,

.-.BELAD,

ADlDF,

.?.BE∕∕DF,

：.ZAFD=ZABE,

SinZAFD=-,

3

.-.SinZABE=-=-,

AB3

?.AE=2,

/.AB=6,

???O的半徑為3；

②由(1)可知，OCVDF,

./…OC1

.?.sin/AFD==-,

OF3

Oe=3,OF=OB+BF=3+BF,

.3_1

'3÷BF^3，

??.BF=6,

AF=AB+BF=6+6=12f

AD上DF,

?23絲=絲1

AF123

.?.ΛZ)=4,

AE=2-

：.DE=AD-AE-4-2-2.

【點(diǎn)睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦值求邊長是解題關(guān)鍵.

22.為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，增加村民收入，某村委會(huì)干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天

mx+n(?≤x<20)

中，第尤天(l≤x≤30且X為整數(shù))的售價(jià)P(元/千克)與尤的函數(shù)關(guān)系式〃八小八，，，O(且

30(20≤x≤30)

X為整數(shù))，銷量q(千克)與X的函數(shù)關(guān)系式為q=x+10,已知第5天售價(jià)為50元/千克，第10天售價(jià)為

40元/千克，設(shè)第X天的銷售額為W元

(1)tn=,n=；

(2)求第X天的銷售額W元與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在試銷售的30天中，銷售額超過IOoo元的共有多少天？

【答案】(1)一2，60

(2)l≤χ<2()時(shí)，W=-2∕+40x+600,當(dāng)2()≤x<30時(shí)，W=3Ox+3OO

(3)7天

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求待定系數(shù)；

(2)根據(jù)“銷售額=售價(jià)X銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，

(3)利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.

【小問1詳解】

解：第5天售價(jià)為50元/千克，第10天售價(jià)為40元/千克，

5m+〃=50[m=-2

.-J,解得《“，

10，〃+〃=40[〃=60

故答案為：一2，60；

【小問2詳解】

解:由題意當(dāng)l≤x<20時(shí)，W=Pq=(-2x+60)(x+10)=-2f+4()x+600,

當(dāng)20≤x<30時(shí)，W=30q=30(x+10)=30x+3(X),

【小問3詳解】

解：由題意當(dāng)l≤x<20時(shí)，W=-2X2+40X+6∞=-2(X-10)2+8∞,

V-2<0,

當(dāng)X=Io時(shí)，W最大為800，

當(dāng)20Wx≤30時(shí)，W=30x+300,

由30%+34)>1￡)0時(shí)，解得X>23，,

3

又Yx為整數(shù)，且30>0,

.?.當(dāng)2()≤x≤30時(shí)，W隨X的增大而增大，

第24至30天，銷售額超過IoOO元，共7天.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，分段分析函數(shù)解析式，掌握一次函數(shù)和

二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求

平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該

點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選

擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短"和''三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，

④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)一ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將AAPC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到αA'P'C,連接尸P，

由PC=PGNPCP=60°,可知△尸CP'為①三角形,故"=PC,又P'A=Rb故

PA+PB+PC=PAr+PB+PP>A,B,

由②可知,當(dāng)8,P,P',A在同一條直線上時(shí)，B4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為

A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③：

已知當(dāng)JsC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若

ZBAC≥120°,則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn).

(2)如圖4,在OABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°,且AC=3,BC=4,NACB=30°,已知點(diǎn)尸為

_ABC的''費(fèi)馬點(diǎn)"，求P4+RB+PC的值;

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知

AC=4km,fiC=2√3km,NAC6=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，

已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為α元/km，。元∕km,0?元/km，選取合適的P的

位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果用含”的式子表示)

【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2√13a

【解析】

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)的方法將aAPC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，A'PzC,即可得出可知當(dāng)B,P,P',A在

同一條直線上時(shí)，Q4+PB+PC取最小值，最小值為A'B，在根據(jù)NAcB=30°可證明

ZAC4,=ZA,Oy+ZBCP+NPCP=90°,由勾股定理求A1B即可，

(3)由總的鋪設(shè)成本=α(PA+PB+√∑PC),通過將AAPC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到.A'P'C,

得到等腰直角CPP'C,得到&PC=PP，即可得出當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，

H4'+P8+∕7y取最小值，即PA+PB+√∑PC取最小值為A8，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出A'B即

可.

【小問1詳解】

解：VPC=P'C,NPCP'=60°,

.?.ZXPCP為等邊三角形；

.?.PP'=PC,NpPC=/PPC=60°，

又尸'A'=∕?,故Λ4+P8+PC=PA'+P3+PP≥A5,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，Q4+P8+PC取最小值，

最小值為A3,此時(shí)的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

：.ZBPC+ZP,PC=180o,ZAPC+ZPPC=180°，

???ZBPC=120。，ZΛ'PC=120°，

又?；APC=APC,

；?NAPC=NAPC=I20。，

.?.ZAPB=360o-ZAPC-ZBPC=120°,

???ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°；

,/NfiAC≥120°,

ΛBC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.

又；已知當(dāng)一ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).

.?.該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A,

故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

【小問2詳解】

將XMiC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到APC,連接PP',

由（1）可知當(dāng)8,P,P',A在同一條直線上時(shí)，Q4+P8+PC取最小值，最小值為AB，

：ZACP=ZA",

.?.ZACP+NBCP=ZA'CP+ZBCP=ZACB=30°,

又?.?NPay=60°

.?.ZBCA=ZACP,+ZBCP+/PCP=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

,AB=√BC2+A,C2=√42+32=5,

.?.Q4+P3+PC最小值為5,

【小問3詳解】

,.?總鋪設(shè)成本=PA.a+PB.a+PC.近a=a(PA+PB+√2PC)

當(dāng)P4+pg+√2PC最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，

將AAPC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。得到心APC,連接尸P，A!B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：PC=PC,NPCpZ=NAC4'=90°,P'A,=PA,A'C=AC=4km,

???PP'=√2PC，

???PA+PB+-JlPC=P'A!+PB+PP'，

當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，PZA'+必+小取最小值，即尸A+PB+J∑PC取最小值為

A'B，

過點(diǎn)A'作4H_LBC,垂足為“，

VZACB=60°,NAC4'=9()。，

.?.ZA,CH=30°,

.?.A4=LAC=2km,

2

?,?HC=√AC2-A∕72=√42-22=2√3(km)，

.,.BH=BC+CH=2百+2√5=4向km),

2222

；?A'B=AH+BH=A∕(4√3)+2=2√B(km)

PA+PB+√2PC的最小值為2JBkm

總的鋪設(shè)成本=PA.a+PB,a+PC.√2α=a(PA+PB+√2PC)=2√130(元)

故答案為：2屈a

【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

24.如圖1,平面直角坐標(biāo)系Xay中，拋物線>=以2+區(qū)+，過點(diǎn)4(-1,0),B(2,0)和C(0,2),連接

BC,點(diǎn)P(〃?,〃)(機(jī)＞0)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN_Lx軸交直線BC于點(diǎn)交X軸于點(diǎn)N?

(1)亶毯耳出拋物線和直線BC的解析式；

(2)如圖2,連接OM,當(dāng).OCM為等腰三角形時(shí)，求m的值；

(3)當(dāng)尸點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在y軸上是否存在點(diǎn)。，使得以O(shè),P,。為頂點(diǎn)三角形與以8,C,

N為頂點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng))，若存在，直毯再中點(diǎn)P和點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

2

【答案】(1)拋物線：y=-x+x+2i直線3C：y=-x+2

(2)/%=1或機(jī)=應(yīng)或加=