2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)(l+2i)α+b=-2i,其中“涉為實(shí)數(shù)，則()

A.a=l,b=-?B.a=l,?=l

C.a=-l,b=-lD.a=-l,b=l

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.

/、fa+b=0

【詳解】(l+2i)β÷?=-2i,.?._,

故選：D.

2.平面向量α與b相互垂直，已知α=(6,-8),W=5,且。與向量(1,0)的夾角是鈍角，則b=()

A.(—3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.(-4,-3)

【答案】D

【分析】先設(shè)出向量8的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示及模的運(yùn)算，向量夾角的定義求解即

可.

【詳解】設(shè)6=(χ,y)

a^.b,:.a-h=0,:.6x—Sy=0,①,

W=JX2+y2=§,②，

8與向量(1,0)夾角為鈍角，.?.χ<o,③,

(X=-4

由①②③解得(一.?.?=(-4,-3),

Iy=-3

故選：D.

3.??ABCΦ,sinA:sinB:SinC=3:5:7,則此三角形中的最大角的大小為()

A.150oB.135oC.120oD.90°

【答案】C

【分析】由正弦定理可得出m∕τc=357,設(shè)α=3%(Q0),則b=53C=Ik,然后根據(jù)余弦定

理求出COSC即可得出答案.

【詳解】由正弦定理可得，a:6:c=3:5:7,

設(shè)α=3%(%>0),則6=5k,c=1k,所以C最大.

由余弦定理可得，c。SC=T^9/+25/-49公?

2×3k×5k2

因?yàn)?°<C<180°,所以C=120°.

故選：C.

4.下列不能化簡(jiǎn)為P。的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+^PA+BQ^

C.(AB+PC)+(BA-βC)D.PA+AB-BQ

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加減法以及運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ,故A不符合題意；

對(duì)于B,AB+(PA+BQ)=AB+PA+BQ=PB+BQ=PQ,故B不符合題意；

對(duì)于c,(AB+PC)+(BA-QC)=AB+PC+BA+CQ=PQ,故C不符合題意;

對(duì)于D,PA+AB-BQ=PB-BQ,故D符合題意.

故選：D.

5.已知向量∣α∣=2,W=I,且,-3可=近，則向量°力的夾角是()

A5兀C兀-2兀n兀

A.—B.—C.——D.—

6633

【答案】D

【分析】由卜-3力1=7可求得a?b,根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.

【詳解】∣t7-3?∣=∣d∣2-6Λ??+9∣?∣=13-6d?Z>=7,.?,d??=1，

,a?b1--π

.?.cos<a,b>=,I=-j又<α,6>e[0,π],.?.<α,Z>>=1.

故選：D.

直線與

6.如圖所示，在三棱柱ABC-AAG中，AA，底面ABC,ABlBC,AAi=AC2,AC

側(cè)面AAB聲所成的角為30,則該三棱柱的側(cè)面積為

【答案】A

【分析】由線面垂直的判定定理可得BCJ_面AAgB,得到直線AC與側(cè)面AAg8所成的角為

NCAB,然后由題目條件可得AB,BC的長(zhǎng)度，從而可得側(cè)面積.

【詳解】AA_L底面ABC,則AA1LBC,ABlBC,MAB=A,可得BC,面AAg8,所以直線

AC與側(cè)面AAgB所成的角為NCA8=30，又

AA,=AC=2,鄧=2啦，BC=及WBC貝IJ=√^,則該三棱柱的側(cè)面積為

2√2×2+2×2=4+4√2?

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理的應(yīng)用和線面角的求法,

7.在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后,

剩下的幾何體的體積是

A，-3b?τd?i

【答案】D

【詳解】由題意幾何體的體積，就是正方體的體積減去8個(gè)正三棱錐的體積,

V正方體-8V三棱錐=l-8χ1XWiXI=工.

322226

【解析】組合幾何體的面積、體積問題

8.如圖(1)在正方形SG∣G2G3中，EF分別是邊GG?,G2G3的中點(diǎn)，沿SE,SP及EF把這個(gè)正方形

折成一個(gè)幾何體如圖(2),使GQ2G3三點(diǎn)重合于G,下面結(jié)論成立的是()

A.SGJ_平面EFGB.S￡>_L平面EFG

C.GF_L平面SEFD.Z)G_L平面SEF

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊前后垂直關(guān)系不變可推出A正確，B錯(cuò)誤，再由G尸與E尸不垂直判斷C,反證法

可判斷D.

【詳解】在折疊過程中，始終有SG∣LG∣E,SGJQF,

即SG_LGE,SGLGF,又GECGF=E,GE,GFu平面EFG,

.?.SGJ?平面EFG,所以A正確，B錯(cuò)誤；

GE=GF,。是EF的中點(diǎn)，.?.GOLEF,故GF與E尸不垂直，故C錯(cuò)誤；

若Z)G，平面SE萬，則DGLS。，又SGL平面EFG,則SGLOG,顯然矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

二、多選題

9.已知向量α=(∕M+l,T),?=(1-∕∏,2),則下列說法正確的是()

A.若“∕∕b,則機(jī)=3B.存在機(jī)eR,使得aqb

C.p?∣=√5D.當(dāng)〃?=1時(shí)，α在b上的投影向量的坐標(biāo)為(0,-1)

【答案】CD

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)平面線路垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根

據(jù)向量的模的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷C；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若a〃b，則2(w+l)+l-加=0,解得m=-3,故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,a.Lb1則4力=0，

即1-機(jī)2—2=0,方程無解，

所以不存在〃zeR,使得α2b,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,α+?=(2,l),所以卜+6卜4TT=石，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)"7=1時(shí)，=(2,-1),b=(0,2),

abh-2(0,2)

則d在人上的投影向量的坐標(biāo)為討?M=Eχky2=(°,τ),故D正確.

故選：CD.

2

10.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)Z=IJ(i為虛數(shù)單位)的命題，其中真命題為()

-l÷ι

A.Z的實(shí)部為1B.z2=2i

C.Z的共軌復(fù)數(shù)為l+iD.Z的虛部為T

【答案】BD

【分析】由復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，然后判斷各選項(xiàng).

22(-1-i),.

2

【詳解】因?yàn)閦=-r77=/、=-1，所以Z的實(shí)部為-1,故A是假命題；z=2i,故B

是真命題；Z的共軌復(fù)數(shù)為τ+i,故C是假命題；Z的虛部為T,故D是真命題.

故選：BD.

11.下列命題正確的是()

A.平行于同一個(gè)平面的兩直線平行

B.兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截得的線段相等

C.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行

D.一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行

【答案】BC

【分析】以長(zhǎng)方體為例，舉例即可判斷A、C、D；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可證得線線平行，進(jìn)

而通過證明平行四邊形，即可得出B項(xiàng).

Sl

對(duì)于A項(xiàng)，如圖1,長(zhǎng)方體ABCD-A4G。中,

4耳〃平面ABC￡),8∣C∣∕/平面ASCZ),

圖2

對(duì)于B項(xiàng)，如圖2,已知兩個(gè)平面α,Q,allβ,兩條直線a//〃,

且直線αa=E,aB=F,ba=G,bβ=H.

因?yàn)閍〃b,所以“力可構(gòu)成平面，設(shè)為7,

則由圖可知，?1γ=EF,βγ=GH,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，EFHGH.

又因?yàn)镋H//FG,

所以，四邊形EFG”為平行四邊形，

所以EH=FG,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)面面平行的判定定理可知，C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，如圖1,長(zhǎng)方體ABeo-A4GR中，

AA〃平面ABCD,平面ABa）//平面ABIG2，

但是ABlU平面A內(nèi)Gq,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.對(duì)于，A8C,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若A>B,則SinA>si∏β

B.若sin2A=sin23,則.ΛBC為等腰三角形

C.若α=10,b=9,8=60。，則符合條件的一ABC有兩個(gè)

D.若siYA+sin'BAsi/C,則AABC是銳角三角形

【答案】AC

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)，利用

正弦定理可判斷C選項(xiàng)，利用正弦定理及余弦定理可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：由/>6,則當(dāng)4e（θ,]時(shí)，SinA>sin8,當(dāng)Aee,萬）時(shí)，由A+3<不可知

B<π-A<^,所以sinB<sin（乃-A）=SinA,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B：由sin2A=sin28,Ae（0,萬），B∈（O,Λ-）,A+3e（0∕）得：2A=2B或2A+2B=τr,即A=B

TT

或A+B=],所以ABC為等腰三角形或直角三角形，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由a=10,6=9,8=60。，根據(jù)正弦定理三=工得：SinA=a*=地>立，

sinASinBh92

Tlr）,TΓTT

.?.?<A<手=乃一8,且Aw1,所以滿足條件的三角形有兩個(gè)，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D：由正弦定理可將sin2A+sh√8>sin2C轉(zhuǎn)化為/+U>c2,則COSC=色亙二：>0,所以

lab

c<T^T,但無法判斷A8的范圍，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

13.如圖所示，正方形O'A'8'C'的邊長(zhǎng)為2cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形

的周長(zhǎng)是cm.

【答案】16

【分析】將直觀圖還原可得，原圖形為平行四邊形，根據(jù)斜二測(cè)畫法的法則，結(jié)合勾股定理，可得

出平行四邊形各邊長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】由己知可得，0'B'=2√2.

則將直觀圖還原為原圖形如下圖

原圖形為平行四邊形，其中，OA=BC=2,OB=20'B'=4√2.

所以，OC=AB=JOA2+OB?=6,

所以，QABC的周長(zhǎng)為OA+A3+3C+CO=2+6+2+6=16.

故答案為：16.

9JT

14.若圓錐的側(cè)面展開圖的面積為3π且圓心角為芍的扇形，則此圓錐的體積為.

【答案】邁L

3

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/,由題意，結(jié)合扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式可得

?jrI?jr

2πr=y?∕,且gq∕=3π,解得r,/,再利用圓錐的體積計(jì)算公式即可.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線長(zhǎng)為/,

由題意知2口=曰?/,且g仔.U-解得r=l,∕=3,

??圓錐的高/z=J/?—產(chǎn)=19-1=2*72,

.?.此圓錐的體積VJπr%=Lτtxl2χ2忘=冬色.

333

故答案為：也.

3

15.一艘船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，向東行駛IOkm后，船到達(dá)8處，看到燈塔"

在北偏東15。方向，這時(shí)船與燈塔的距離為km.

【答案】5√2

【分析】結(jié)合圖形，利用正弦定理求解即可.

【詳解】如圖，根據(jù)題意可知43=10km,ZM4S=30o,ZAMB=45°,

ABBM

在,408中，由正弦定理得

SinZAMBsinZMAB

10BM

即α-J.，解得BM=5拉km.

T2

故答案為：5√2?

16.如圖，在四棱錐S-AB8中，底面A8C。為平行四邊形，點(diǎn)E是SA上一點(diǎn)，當(dāng)SE:3=

時(shí)，SC〃平面EBD.

【答案】1:2

【分析】連接AC交8。于0,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得SC//EO,進(jìn)而即得.

【詳解】如圖，連接AC,設(shè)4C與BO的交點(diǎn)為。，連接E。，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以點(diǎn)。是4C的中點(diǎn).

因?yàn)镾C〃平面EBz),且平面平面以C=EO,又SCU平面SAC,

所以SC7/EO,

所以點(diǎn)E是SA的中點(diǎn)，即SE：S4=1：2.

故答案為：1:2.

四、解答題

17.向量04=(%,12),08=(4,5),OC=(I(),%),若A8,C三點(diǎn)共線，則求實(shí)數(shù)h

【答案】Z=II或4=-2

【分析】先根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則求出AB=(4-R-7),BC=(6,k-5),再利用向量共線的性質(zhì)

列方程求解即可.

【詳解】因?yàn)镺A=(LI2),OB=(4,5),OC=(10,k),

所以45=OB-OA=(4-%,-7)

BC=OC-OB=(6,k-5)

因?yàn)锳,8,C三點(diǎn)共線，

所以AB與BC共線，

Λ(4-k)(k-5)=-42

Z=Il或〃=一2

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算法則，以及向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩

種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：(1)平行四邊形

法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差)；(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭

與箭尾間向量是和)；二是坐標(biāo)運(yùn)算.

18.已知忖=1,W=2.

⑴若<4,6>=60。，求卜+電

⑵若α功與“垂直，求當(dāng)左為何值時(shí)，(ka-b)l(a+2b)?

【答案】(1)近

(2)3

【分析】(1)根據(jù)向量模長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)a-b與a垂直可以求出α力=1，根據(jù)(ka-b)?a+2?)=0即可求出k的值.

【詳解】(1)α??=∣w∣?∣?∣?cos<α,?>=l,

∣α+?∣=J(α+b)=+2?α??+∣?∣=幣>

所以卜+4=近；

(2)因?yàn)棣?b與α垂直,

2

所以(T)?α=0,βp∣ɑ∣-fl-?=O,

解得“?6=l,

當(dāng)(kα-Z>)_L(“+26)時(shí)，(Z4-6)?(4+2b)=0,

BP?∣0∣2+(2?-l)?6z?ft-2∣∕7∣2=0,

解得％=3,

所以當(dāng)人=3時(shí)，(ka-b)r(a+2b).

19.如圖，已知在長(zhǎng)方體ABC。-ABQQ中，DA=DC=I,AA=2,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

（1）求證：平面EBO；

（2）求三棱錐R-BDE的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）?

O

【分析】（I）連接OE,利用中位線的性質(zhì)得出A4〃?！?再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論

成立；

（2）計(jì)算出S△皿￡,利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?8CO為矩形，且ACBD=O,則。為AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為CR的中點(diǎn)，則0E//4R,

.4。（？平面后3。，OEU平面E3Z）,因此，AZv/平面E5。；

(2)因?yàn)镺R_LC￡>,CD=I,OR=2且E為CR的中點(diǎn),

所以，SADDfi=2?^ΔCOD1=WC￡)-DD1=—,

在長(zhǎng)方體ABCD-AIBcQl中，BC工平面CDDC,

=

因此,VoI-BDE~B-Dt?E?ΔDDlE'BC=~.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的線面平行的證明方法有：

（1）通過面面平行得到線面平行；

（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).

20.已知a,b,C為AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且,2=/+從-必

⑴求角C

（2）若SinB<SinC,〃=4,力為BC的中點(diǎn)，AD=√13,求AABC的面積

Tr

【答案】（I）C=］；

（2）6√3?

【分析】（1）根據(jù)余弦定理邊角互化即可求解；

（2）根據(jù)余弦定理可求CZ）值，進(jìn)而可求”,根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）由題可得。+從一C?=助,

由余弦定理得CoSC="+"-C2=

2ab2

因?yàn)镺VC<兀，

π

所以C=1;

(2)在三角形A。C中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosZACD,

BP13=16÷CD2-4CD,

解得8=1或CO=3,

即α=2或α=6,

因?yàn)镾inB<sinC,所以由正弦定理可得∕><c,故8<C,

Tr

因?yàn)镃=§,

所以A>C>8,故α>c>b,

所以。=6,

所以SL?mΛteH,=—2absi2nC=-×6×?4×—'=673.

21.在，ASC中，?=2√3,再從下面兩個(gè)條件中，選出一個(gè)作為已知，解答下面問題.

(1)若α=2,求ABC的面積；

(2)求α+c的取值范圍.

條件①^/JccosB=6sinC;條件②2(√-c=2?cosC.

【答案】⑴2百

(2)(2^,4√3]

【分析】(1)根據(jù)條件求出角B,再運(yùn)用正弦定理和余弦定理求出c,用面積公式計(jì)算即可;

(2)運(yùn)用正弦定理，再做恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)選條件①，幣CCGSB=bsinC,..GsinCcosB=SinBsinC,又SinC≠0,

.?.tanB=y∕3f而8∈(0,π),故B=。；

選條件②，2a—c=2bcosC,.,.2a-c=2?cosC=2?×"+"———="+"———,

Iaha

^a2+c2-b2=ac,.?.cosB=a'+c'~lr又8e(0,π),故B=f,

2ac2ac23

在..ABC中，當(dāng)b=2√5,a=2,B=(時(shí)，

?1

由余弦定理。2—er+c?-20ccos3得：12=4+c--4。、萬,

即。2一2°-8=0,.?.c=4(負(fù)值舍去)，

所以SMe=?^?sinB=?×2×4sin?=2>/3；

（2）由題設(shè)及（1）可知：B=p?=2√3,

故由正弦定理得:

2√3

a+c=——(sinA+sinC)=(sinA+sinC)=4(sinA+si∏C)

sinBv7.π

sin—

3

=4sin[C+y1+sinC=4JSinCH■―-cosC+sinC=4√3sin(C+

22

QB=^,.?.C∈^0,yj,故2/<4&山長(zhǎng)+春卜4出（當(dāng)且僅當(dāng)A=C=I時(shí)等號(hào)成立）,

即2石＜α+c≤4√J;

綜上，.ABC的面積為2√Lα+c的取值范圍是卜"4G]

22.如圖所示，三棱柱ABC-A46,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱AA，底面ABC,點(diǎn)E,尸分

別是棱CG，BA上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB