河南省高三下學(xué)期模擬考試(文科)數(shù)學(xué)試卷附答案解析

河南省高三下學(xué)期模擬考試（文科）數(shù)學(xué)試卷附答案解析

班級:姓名：考號：

一、單選題

1.己知集合A={xeZ,-2x<3}和B={xeZ∣0≤x<2},則AkJB=（）

A.{-l,0,1,2}B.{0,l}C.{0,l,2,3}D.{0,1,2）

2.己知復(fù)數(shù)z=l-2i,且z+應(yīng)+b=2i,其中。涉為實數(shù)，則∣α+同=（）

A.√7B.√∏C.√13D.4

3.疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中一

般都會進(jìn)行動物保護(hù)測試，為了考察某種疫苗預(yù)防效果，在進(jìn)行動物試驗時得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

未發(fā)病發(fā)病總計

未注射疫苗20

注射疫苗30

總計5050100

附表及公式:

n(ad-bc)^

---------------n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(?+d)

2

P(κ≥k0)0.050.010.0050.OOl

ko3.8416.6357.87910.828

2

現(xiàn)從試驗動物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為：，則下列判斷錯誤的是（）A.注射疫苗發(fā)病的

動物數(shù)為10

B.從該試驗未注射疫苗的動物中任取一只，發(fā)病的概率為；

C.能在犯錯概率不超過O.OOl的前提下，認(rèn)為疫苗有效

D.該疫苗的有效率為75%

4.已知三個單位向量d,b和C滿足“?%=1,則（α+R?c的最大值為（）

第1頁共21頁

A.叵B.2C.?D.姮

222

5.已知函數(shù)/（x）=2cos（2x+e）在區(qū)間（θ,?）上單調(diào)遞減，且其圖象過點（0,1）,則夕的值可能為（）

6.在三棱銖A-8CD中所有的棱長都相等，E為48中點,尸對/C上一動點，若加計煙的最小值為2近,

則該三棱錐的外接球體積為（）

A.8y∕βπB.C.6y∕6πD.5^Jβπ

7.在等比數(shù)列｛q｝中0<4<%=L則能使不等式+出―，++≤0成立的正整數(shù)”的

I4八引IaJ

最大值為（）

?.13B.MC.15D.16

8.已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+2y+V=4,直線∕）0r+2y+l=0（α∈R）,若直線T被圓C所截得的弦長為

亞，則直線/'與直線以7+2=0的關(guān)系為（）

2

Λ.平行B.垂直C.平行或相交D.相交

9.如圖，在平面四邊形A8C3中NA=N3=NC=75。，BC=4,則A8的取值范圍是（）

B.[?V^-v∑,

C.(√6-√2,√6+√2)D.(2√6-2√2,2√6+2√2)

x+3≥0,

10.若實數(shù)X,y滿足約束條件r-2y+l≤0,則z=y-X的最大值為()

2x+?+2≤0,

A.1B.2C.6D.7

第2頁共21頁

11.已知雙曲線αS-方=l(α>0,6>0)的左、右焦點分別為"與K，點戶為第一象限內(nèi)一點，且點一

在雙曲線。的一條漸近線上，PFyVPF1,線段PF2與雙曲線，相交于點M,直線PF1與y軸相交于點N,MN∕∕x

軸，則雙曲線，的離心率為()

更D,3把

Λ.我B.?C,

222

?Gx-m,x<-

2

12.己知函數(shù)/(x)=?1(e是自然對數(shù)的底數(shù))在定義域"上有三個零點，則實數(shù)力的取

Xer-C2mx+m,x>-?

2

值范圍是()

A.(e,+∞)B.(e,5JC.(e,5)D.[e,5J

二、填空題

13.已知/(x)=2α4-g在點(1,"1))處的切線與直線x-2y+l=0垂直，則”=.

14.己知橢圓1+V=I的左、右焦點分別為片，鳥，材為橢圓上異于長軸端點的動點，乙的內(nèi)心為

15.已知函數(shù)/(x)=SinX,若存在為、演、…、Xn,滿足°≤x∣≤j?<…<x,,,≤6乃，且

X2W0N

∣.∕(-VI)-∕(?)∣+∣∕(?)-∕(,)∣÷???÷∣∕(?-∣)-∕(‰)∣=I(≥^∈*),則加的最小值為.

16.若函數(shù)=在(0,+8)上存在極值,則“的取值范圍為.

三、解答題

17.某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產(chǎn)的特斯拉汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛

該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費者,

就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.

第3頁共21頁

01234567補(bǔ)貼金額的心理

預(yù)期值(萬元)

(1)估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01)；

(2)統(tǒng)計今年以來元月~5月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下，預(yù)測該品牌汽車在今年6月份

的銷售量約為多少萬輛?

2345

月份元月

月月月月

銷售量(萬輛)0.50.61.01.41.7

∑α-丁)(%-9)∑χ,?%一阿

參考公式：B=J-----------T---------與&=歹一宸

z(?,-?∑x--nx2

/=1z=l

18.如圖，在直四棱柱(側(cè)棱垂直底面的棱柱稱為直棱柱)力靦-48心〃/中底面是邊長為2的菱形，且N

W=60°,/M,=∕8,點￡,廠分別為的“Cq的中點，點G在〃聲上.

⑴證明：BG〃平面ACE；

(2)求三棱錐6-4%■的體積.

19.已知等差數(shù)列｛4｝和正項等比數(shù)列也｝滿足4=A=1R+%=10也=%.

⑴求｛%｝,也｝的通項公式;

第4頁共21頁

⑵求數(shù)歹(I{q}的前n項和S11時”的最小值.

20.已知橢圓C：5+/=l(a>/7>0)的右焦點為凡離心率為且點(1，|)在柳圓上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點尸且斜率不為0的直線/與橢圓C交于46兩點，線段46的中點為。，經(jīng)過坐標(biāo)原點。和點

0的直線力與橢圓C交于機(jī)及兩點，求四邊形4例?’的面積的取值范圍.

21.己知/(x)="e*—lnx(αeR).

⑴若/(x)在[L+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍

(2)證明:當(dāng)“≥y時/(x)>0.

1

x=tn?]---

22.在平面直角坐標(biāo)系xθy中曲線C的參數(shù)方程為2：為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，X軸的正

y=m----

2m

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。CoS(O+gj=l.

(1)求曲線C的普通方程以及直線/的直角坐標(biāo)方程.

(2)已知直線/過點M(2,0),與曲線C交于p、。兩點，求向+高的值?

23.己知函數(shù)"x)=2x+；+2x-g.

⑴求不等式/(x)<3的解集;

⑵設(shè)心)的最小值為M若正實數(shù)a,6滿足卷+券=",證明：^≥∣?

參考答案與解析

1.D

【分析】先求解集合4夕再求并集即可.

【詳解】由已知得A={xeZk2-2x<3}={xeZH<x<3},所以A={0,l,2}

又因為B={xwZ∣0≤x<2}={0,l},所以AB={0,l,2}.

故選：D.

2.C

第5頁共21頁

?a=2

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等得LQ，進(jìn)而再求復(fù)數(shù)模即可.

出二一3

【詳解】解；因為復(fù)數(shù)z=l-2i,為實數(shù)

所以z+應(yīng)+/?=l-2i+6Z（l+2i）+Z?=l+6z+/?+（2z7-2）i=2i

[?+a+b=OIQ=2

所以工99，解得〃q

[2a-2=2[?=-3

所以∣4+M=∣2-3i∣=√^=√i^.

故選：C

3.D

【解析】由題知注射疫苗動物共40只，未注射為60只，補(bǔ)充完成列聯(lián)表后，可判斷A,B,計算犬后可判

斷C,D.

【詳解】由

題知注射疫

苗動物共40

只，未注射未發(fā)病發(fā)病總計

為60只

補(bǔ)充列聯(lián)表

未注射疫苗204060

注射疫苗301040

總計5050100

由此可得A、B正確.

1OOX(2OX14OX3O)2

計算得：^=°-=16,67>1O,828

60×40×50×50

故能在犯錯概率不超過0?001的前提下認(rèn)為疫苗有效.C正確，D錯誤.

故選:D.

4.A

第6頁共21頁

【分析】根據(jù)題意可求得卜+N=當(dāng)■,再結(jié)合數(shù)量積的定義分析運算.

【詳解】因為,+0(=/+2〃包+°2=∣,則μ+可=半

.??R+1”=B+調(diào)M+調(diào)平+力卜萼

故當(dāng)COS("+Ac)=l,即C與α+/,同向時(α+6)?c有最大值羋.

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，求得。的范圍，結(jié)合選項，即可求解.

TTJI

【詳解】由。<工<:，^?^φ<2x+φ<-+φ

42

因為函數(shù).f(x)=2cos(2x+c)在區(qū)間(θ∕)上單調(diào)遞減

JTTT

可得0≥2kπ且萬■+e≤乃+2kπ,Z∈Z,解得2kπ<φ<-+2kπ,Z∈Z

又由函數(shù)“X)的圖象過點(0,1),可得2cosg=l,即cose=；

Tt2ττ

解得0=^y+2k冗或0=—+2kπ,kwZ

TTπ

當(dāng)Z=O時可得所以。的值可能為

故選:D.

6.A

【分析】設(shè)三棱錐棱長為。，外接球半徑為R,由正四面體性質(zhì)求得R="α,把ABC和^AC。沿AC攤

4

平，由余弦定理求得加十用的最小值得“值，從而可得外接球體積.

【詳解】如圖1,三棱錐A—88各棱相等，/7是底面ABCO中心，則AHL平面ABC,顯然有A”與底面

上的直線8”垂直，。是其外接球球心，設(shè)三棱錐棱長為。，外接球半徑為R

則BH=亭a,AH=^a2a)2=^-a

2

由BO2=8爐+O"?得R2=也a)+匹a-R)2R=-a

第7頁共21頁

A

圖1

把一ABC和一AC。沿Ae攤平，如圖2

,∣八口Λ

m?~2~i~2~∏?∕7

V4232

因為∕W+用的最小值為26，所以日Q=2√7,a=4

所以R=×4=?

4

V=^-R3=^-×(√6)3=8√6π.

故選：A.

圖2

7.C

【分析】首先IiJ得q>l,即可得到〃>8時αff-L>0?〃<8時&-LVO.再根據(jù)卜.標(biāo)和性質(zhì)得到4=；.

%=；，L.a-=~<即可得到[-51+MT[+…+:&T]=。，從而得解.

【詳解】解：因為o<q<G=ι,所以公比g7=色?>1.則g>ι

q

.?.n>8時q-L>O.〃<8時0“一工<0

ana?

Λ=

乂S=%%=4%==%a9,月不以q=；，2—?L，生二V

4%a9

又當(dāng)〃>8時?！ㄒ?>。

第8頁共21頁

所以能使不等式++≤0成立的最大正整數(shù)〃是15.

I%八a2)Ia,J

故選：C.

8.C

【分析】根據(jù)弦心距、半弦長和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理建立等量關(guān)系式，求得〃=-2或

46

6∕=y,從而得到直線/'的方程，進(jìn)而判斷出兩直線的位置關(guān)系，得到結(jié)果.

【詳解】由題知直線/'被圓C所截得的弦長為2,4-P≠空工］=巫

Vl√?rJ2

46

解得a=—2或α=—

7

146

所以直線/'的方程為x—y—5=0或;x+2y+l=0

所以直線廠與/要么平行，要么相交

故選：C.

【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，涉及到的知識點有直線被圓截得的弦長，兩直線的位置關(guān)系,

屬于簡單題目.

9.D

【解析】利用正弦定理建立關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的有界限即可求解AB的取值范圍

【詳解】由題意，平面四邊形ABCQ中延長區(qū)4、8交于點E,如圖

ZB=ZC=75°

.?.AEBC為等腰三角形NE=30°

第9頁共21頁

若點A與點E重合或在點E右方，則不存在四邊形ABCO

當(dāng)點A與點E重合時

ABBC

根據(jù)正弦定理:

sinZECBsinZBEC

MWAB=2√6+2√2

.?.AB<2√6+2√2

若點。與點C重合或在點C上方，則不存在四邊形ABCQ

當(dāng)點。與點C重合時NAC4=30。

48BC

根據(jù)正弦定理:

SinZACBSinZBAC

WWΛB=2√6-2√2

.?.AB>2√6-2√2

綜上所述，AB的取值范圍為(2#-2五,2#+2五).

故選：D

【點睛】本題考查了正余弦定理的運用和數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)成三角形的條件的處理.屬于中檔題.

10.D

【分析】根據(jù)不等式組作出可行域，結(jié)合直線縱截距的幾何意義求解.

【詳解】作出可行域如下

由z=y—X可得y=x+z,結(jié)合Z的幾何意義可知

當(dāng)直線V=x+z經(jīng)過點B(-3,4)時縱截距Z有最大值

最大值為4T-3)=7

第10頁共21頁

故選:D.

11.D

【分析】根據(jù)題意求出點〃坐標(biāo)，繼而表示出直線P片和尸鳥的方程，根據(jù)點N位置求出求出點N坐標(biāo)，根

據(jù)MN〃x,求出點"坐標(biāo)，將〃坐標(biāo)代入曲線方程即可求出離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線。的焦距為2C,由PE，PK可得點〃在圓f+V=,?上

X2+y2=C2

聯(lián)立方程b，可解得點夕的坐標(biāo)為（。/）

y=τ

a

直線PK的方程為y=—也（X+C）,令X=O,可得點/V的坐標(biāo)為（0,-竺]

a+cIa+c）

直線Pg的方程為y=—也（X-C,）,令/一（X-C）=旦

a-CCl-C4+C

解得X=Z竺，可得點M的坐標(biāo)為（義￡,旦）

a+c?a+ca+cJ

將點材的坐標(biāo)代入雙曲線。的方程有

("+C)?

化解得福印,解得e

故選:D.

12.B

【分析】令/（χ）=o,分別討論χ≤g和時零點的情況：χ≤;時直接解方程；時利用數(shù)形結(jié)合研

究零點的情況.

-1[1

γ>一X<一

【詳解】令，冗）=0,則有2或一2

Xec-2tnx+ιn=0IOx-Zw=O

當(dāng)x≤g時由IOX—〃2=0得，至多有一個根.

1Xel

當(dāng)%>不時由Xer-Iivx+m=0得：m=------.

22χ-?

eQ+l)

則U=(XT).

(21『

令4>0,解得：χ>l:÷√<0,解得g<χ<l;

所以），產(chǎn)犬【在d上單減，在（1,田）上單增.

第11頁共21頁

無最大值.

所以函數(shù)f(χ)在定義域E上有三個零點，只需χ≤［時有一個根；χ>!時有兩個根.

22

要使,〃=上有兩根，只需，">e.

2x-l

tn1

所以只需滿足證55,解得e<∕n≤5.

m>e

故選：B

【點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利

用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

13.-3

【分析】求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)作答.

【詳解】由=-T求導(dǎo)得：:(X)=A+5，而直線x-2y+l=0的斜率為T

依題意，/'(1)=4+1=-2,解得a=-3

所以α=-3.

故答案為：-3

14.√2-l

【解析】運用橢圓的定義和圓切線的性質(zhì)，以及內(nèi)心的定義，結(jié)合解直角三角形的知識，即可求得.

【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓與8相切于〃E,F

第12頁共21頁

則MD=MF=u,DFl=EF1=v,EF2=FF2=t

由橢圓的定義，可得5+%=24=2五,百6=2°=2

即有2"+v+f=20,v+∕=2

即有：2π=2√2-2.即t∕=√∑-l

Ml-MF

2=IMIIcosNIMF=∣MF∣=w=√2-l

再山IMF2∣

故答案為√Σ-1.

【點睛】本題考查橢圓的方程的定義，考查切線的性質(zhì)，內(nèi)心的定義，屬于中檔題.

15.8

【解析】本題首先可根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出∣∕(%)-∕(三)∣≤∕(X)皿-/(X)rajl=2,然后根據(jù)當(dāng)

∣∕(")-∕(")∣最大時?'最小即可得出結(jié)果.

【詳解】因為/(x)=sinx,所以∣∕(XJ-/(XJ≤∕(κ)a-∕(x)mm=2

因此要使∣∕(Xl)-F罐蜩醐-∕G)∣+*rJf(XT)-/(XJ=I2成立的冽最小

zxtfrl7t3π5τrlπ9πIbr,t4llC

為IU乂再=°、Xj=—、工3=—、七=—、/=—、&=—、M=----、=6JΓ9LpDi—8

222222

故答案為：8.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，能否結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得出

|/(XW)-/(x,,)l≤∕(x)2-∕(x)min=2是解決本題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生分析問題和討論

第13頁共21頁

問題的能力，是中檔題.

/2、

e.

16.---,+∞

I3J

【分析】/(x)=在(0,+8)上存在極值,即/，(X)=(X--3〃在(0,+8)上存在變號零點,構(gòu)造新函數(shù),

求導(dǎo)求單調(diào)性,判斷函數(shù)性質(zhì)后使函數(shù)的最小值小于零即可.

【詳解】解：由題知"X)=C詈在(0,+8)上存在極值

即∕,(x)在(0,+8)上存在變號零點

所以r(x)=(>393α

設(shè)函數(shù)g(x)=(x-3)e*-3α

即g(x)在(0,+司上存在變號零點

則g,(x)=(l)e*

當(dāng)0<x<2時且g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>2時且g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增.

因為Xf+∞時g(x)f+8

故只需g(x)mirl=g⑵=γ2-3α<0即可

9

Bp>--.

a3

故答案為：[-],+∞].

【點睛】思路點睛:此題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題,屬于難題,關(guān)于函數(shù)極值點的存在問題的思路有：

(1)對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；

(2)令導(dǎo)函數(shù)為新的函數(shù),使新的函數(shù)有變號零點；

(3)對新函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,判斷函數(shù)性質(zhì)，建立不等式,計算結(jié)果.

17.(1)平均數(shù)的估計值為3.5萬元，中位數(shù)的估計值為3.33萬元

(2)預(yù)測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為2萬輛

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)的公式，即可求解；

第14頁共21頁

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，即可求解線性回歸方程，再將x=7代入上式

的線性回歸方程中即可求解.

【詳解】（1）因為直方圖的組距為1,則各組頻率即為

相應(yīng)小矩形的高，所以平均數(shù)的估計值為：

1=1.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x0.1+6.5x0.05=3.5萬元.

因為0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.3

所以中位數(shù)在區(qū)間（3,4）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為3+x

則有0.1+0.3+0.3x=0?5,解得X[a0.33

所以中位數(shù)的估計值為3.33萬元.

（2）記%=m=1,2,3,4,5）

7=

y∣=0?5,%=0?6,J31.0,%=1?4,y5=1.7

由散點圖可知5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系

1+2+3+4+5C0.5÷0.6+1.0+1.4+1.7

因為X=------------------=3y=------------------------------=1.04

55

則有：EXiyj=0.5+1.2+3+5.6+8.5=18.8

<=ι

Z.￠=1+4+9+16+25=55

i=l

18.8-5×3×1.04八”

所以匕=---------------------------=0.32

55-5x9

Q=LO4—0.32x3=0.08

所以回歸直線方程為y=0.32X+0.08

當(dāng)X=6時y=0.32x6+0.08=2

所以預(yù)測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為2萬輛.

18.（1）證明見解析

⑵巫

3

【分析】（1）通過面面平行的性質(zhì)來證得BG//平面AC￡

（2）結(jié)合錐體體積公式求得正確答案.

【詳解】（1）連接即交〃'于點。，則。為曲的中點

第15頁共21頁

連接蘇',OE,BD,,則BR//OE.

:BR0平面4CE,Ofc平面力2

.?.BD"/平面ACE.

'：EDJICF,EDt=CF

.?.四邊形功時為平行四邊形

,

..DxFHEC.

又?；DFB平面ACE,反t平面ACE

：.R尸〃平面力出

??BDcDF=DI,做U平面BDRZVt平面BD1F

.?.平面8。F〃平面力位

?；8仁平面即尸,BG〃平面

(2)在中∕8=A7=2,/08=30°

則/C邊上的高為1,且AC=2√5

SABC=gX2石X1=6?

ln

又點少到平面力比的距離為班且朦-

1`,=1VCEΛAtB>vC=3-SΛAtfLB-C-DE=-3

??VB-ACE=VE-ABC='

19.(1)an=2n-l,?π=3^-'

⑵〃=10

第16頁共21頁

【分析】(I)根據(jù)條件列出公差與公比的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；

(2)由(1)中的結(jié)論得到數(shù)列｛%｝的前〃項和S,，然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，正項等比數(shù)列｛〃,｝的公比為4(4>0)

+aa

因為q=優(yōu)=1,?24=1。也=s

則l+d+l+3d=10,q2=l+4d

所以"=2,且夕>0,則<7=3

所以4,=1+("-1)、2=2〃-1與2=1、3"-'=3"，

(2)由(1)知%=2"-l,則S,,="0+2"7)="?,且a=34=81

2

所以S”>々，即〃2>81,所以"的最小值為10.

20.(1)-+^=1;

43

(2)[6,4√3).

【分析】(1)由題得到關(guān)于“力,c的方程，解方程即得解;

(2)設(shè)直線/的方程為X=外+1,聯(lián)立橢圓。的方程得到韋達(dá)定理，設(shè)線段/8的中點為Q(??,%),求出

它的坐標(biāo)，求出|4砌、點弘、到直線/的距離4,4,再化簡求出5=4有/——二即得解.

V3k2+4

C1

【詳解】(I)設(shè)橢圓右焦點的坐標(biāo)為(c,0)(c>0),則￡=：，即α=2c

a2

又∕=∕+c2,貝∣JU=3C2

因為點(1，/在橢圓上

1913

所以/+/=1'即/+/=1'解得CT

則4=2,h=有所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為!+?=1.

(2)由(1)知尸(1,0),因為直線/的斜率不為0,所以可設(shè)直線，的方程為x=6+1

22

代入橢圓C的方程,消去X化簡得W+4)y2+6Q?-9=0

設(shè)Aa,M)與B(Λ2,%)，則乂+%=τfr?和%%=-

?K十一DK十一

第17頁共21頁

設(shè)線段的中點為則％="%=就,%=優(yōu)含即

4?Q(Λ,%),?,+1=+1=J

0乙3K十45KI?43K?十^T?

4(赤4？-Ak\則直線〃的方程為產(chǎn)一弘下

4

代入橢圓C的方程可得x=±2

√3?÷4不妨設(shè)M[E'EJ

24

IAB1=-y2∣=√l7F-5∕(yl+y2)-4y1y2=√I7F?1—-×^?

Vk??tIr)JK,十一3KI4

12(1+Λ2)

3?2+4

點MN到直線1的距離分別為4=

Jl+公7ι+?2

則四邊形4場V的面積為S=gxIABIx&+gxIABI=JXlABIX(4+4)=；XlABlX

IXM-?VMτ∣I匾一孰-1|、

、71+?:2J1+J2>

因為點M,N在直線7的兩側(cè),所以S=彳XIABIX------—=-^?×lAB?XXM-XN二M",-VN)

2√l+?2√1+A:22√l+?2

22222

1..βl2√3?+4I12(l+?)2√3?+412√l+?Il+k.fτ[.1-

2√17F23k2+4√F7F√3?774V3Λ2+4V3?2+4

H√?θ<?ττ^^7≤7>所以6≤S<4>∕J.

3?2+44

因此，四邊形4周V的面積的取值范圍為[6,4√J).

21.(1):，+8)

(2)證明見解析.

【分析】(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為α≥[7在[l,+∞)上恒成立，求出函數(shù)g(x)=[7,(x≥l)的最大值即可得到

結(jié)果；

(2)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為"x)=αe'-Inx>5?e'-(x-l)=ei-χ+i,然后求得MX)=e*"-χ+I,(χ>0)的最

小值即可證明.

第18頁共21頁

【詳解】(1)由/(x)=αe'-lnx,可得

因為f(x)在［I,-)上單調(diào)遞增，則/'(x)NO在［l,+∞)上恒成立

即4≥?在［l,x)上恒成立

令g(x)=J7,(x≥l),則/U)=一1三⑹+利卜-喬"在上+^上恒成立，即g(x)在［l,+oo)上單調(diào)

遞減

所以g(x)mJg(I)=J

由4≥±在［l,+∞)上恒成立，可得“≥g(x)nm=:

所以實數(shù)。的取值范圍為:，+8).

(2)因為函數(shù)。(x)=e*-x-l,/(?)?e'-l令。'(x)=0,則X=O

即x>0時"(x)>0,則。(x)單調(diào)遞增；

即x<0時式(x)<0,則。(x)單調(diào)遞減；

所以0(x)2。(O)=I—1=0,即e'≥x+l(當(dāng)且僅當(dāng)X=O取等號)

因為函數(shù)S(X)=InX-X+1,(x>0)

則9’(X)=令Q'(X)=0,貝IJX=I

當(dāng)0<x<l時R'(X)>0,則函數(shù)S(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時d(x)<0,則函數(shù)S(X)單調(diào)遞減；

所以e(x)≤e(l)=0-l+l=0,即InX≤x-l(當(dāng)且僅當(dāng)x=l取等號)

因為“≥!,且e*≥x+l(當(dāng)且僅當(dāng)X=O取等號)，lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號)，所以

e

xxχ2

/(x)=βe-lnx>^?e-(x-l)=e--x+l(兩個等號不同時成立這里反為大于號)

令MX)=e'"-x+l,(x>0),即證〃(X)≥0

因額為〃(X)=e"2-l,令∕z'(x)=O,可得e-=/=1,所以x=2

當(dāng)0<x<2時〃'(x)<0,則函數(shù)MX)單調(diào)遞減；

第19頁共21頁

當(dāng)x>2時磯x)>O,則函數(shù)MX)單調(diào)遞增;

22

所以“(x)mto="C)=e^-2+1=0,所以Λ(x)≥∕ι(2)=O

即當(dāng)“≥*時/(x)>0.

22.(1)曲線C：—-^-=1直線/：x-√Jy-2=0

22

⑵G

【分析】(1)平方相減，消掉參數(shù)〃?，即可將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，利用兩角和的余弦公式以

及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可求出直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)根據(jù)第一問，求出直線/的傾斜角，寫出直線/的參數(shù)方程，將其與曲線C的方程聯(lián)立，利用,的幾何

11

意義，即可求出版j+國的值?